湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

雅禮教育集團(tuán)2022年下學(xué)期期末考試試卷

局一數(shù)學(xué)

一、選擇題：本共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知直線/過點(diǎn)且不過第四象限，則直線/的斜率左的最大值是（）

A.2B.1

C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】由直線不過第四象限，可畫出所有符合要求的直線，觀察可得.

如圖，kOA=2,勺=0,只有當(dāng)直線落在圖中所示位置時(shí)才符合題意，故左e[0,2].

故直線/的斜率左的最大值為2.

故選：A.

2.函數(shù)y=sin1+:!tanx的一條對稱軸方程是（）

7in37r

A.%=0B.x——C.x=—D.x=—

424

【答案】C

【解析】

【分析】先化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸求解

sinx（7i\7C

【詳解】y=cosx------=sinx,xw左"+一,左eZ|,對稱軸方程是x=左"+—,左eZ

cosxV2）2

取左=0,知是一條對稱軸

2

故選:C

3.若集合AMMeNkZnAFbBnWeNlcZnCU},則AB=()

A.0B.{4}C.{0,4}D.{0,1,2,3,4)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式可得A={4},根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可得3={0,L2,3,4},即可由交集的定義求

解.

4?4?

【詳解】由A：=A7可得『二葉旬1n5-〃=ln〃=4,

由(3；=(：丁"得7=0,1,2,3,4,故4={4},5={0,1,2,3,4},AB={4}.

故選：B

4.如圖，在同一平面內(nèi)以平行四邊形ABCD兩邊A5AD為斜邊向外作等腰直角ABE,Z\ADF,若

兀

AB=2,AD=1,ABAD=一，則AC.所=()

4…

E

A3R33&N3A/2

2222

【答案】B

【解析】

【分析】通過題意可得到AC?跖=(AB+AO>(A尸-AE),然后通過數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.

【詳解】根據(jù)題意可知AB1AF,AD，AE,所以A3?AR=0,AD?AE=0,

由等腰直角ABE,可得AF=DF=也，AE=BE=6,

2

AD-AF=|AD|-|AF|cos450=lx^x^=1,A5-AE=|AB|-|AE|cos450=2xV2x^=2

3

ACEF=(AB+AD)(AF-AE)=ABAF+ADAF-ABAE-ADAE=ADAF-ABAE=--

故選：B

5.6名志愿者分配到3個(gè)社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名志愿者

且人數(shù)各不相同，不同的分配方案共有()

A.540種B.360種C.180種D.120種

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分組分配即可由排列組合進(jìn)行求解.

【詳解】每個(gè)社區(qū)至少分配一名志愿者且人數(shù)各不相同，故三個(gè)社區(qū)分配到志愿者的人數(shù)為L2,3,故共有

C1cC：A；=360種.

故選：B

22

6.雙曲線[-[=1(“>0力>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線V=8x的焦點(diǎn)重合,兩曲線有一個(gè)公共點(diǎn)為P,若

ab

IPE1=4,則該雙曲線的離心率為()

A.72+1B.73+1C.G—1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)焦半徑公式計(jì)算出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)定義計(jì)算離心率即可

【詳解】由題知，拋物線焦準(zhǔn)距P=4

設(shè)P(m,ri)，由|PE|=4,得根+3=+2=4,所以〃z=2

2

不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則尸(2,4)

雙曲線焦半距c=2,焦點(diǎn)是F(2,0),4(-2,0)

根據(jù)雙曲線的定義2a=|/岑卜|PE|=4行一4,所以。=2夜—2

所以離心率e=￡=—2—=0+1

a2V2-2

故選:A

7.函數(shù)=”+/+…+x—l(x>0)的零點(diǎn)屬于區(qū)間()

'MB.品O

【答案】c

【解析】

【分析】找到兩個(gè)端點(diǎn)異號的區(qū)間,再說明函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理即可

Ui」］

【詳解】/白』+吩++--1=^-3--「-揖<0

2

因?yàn)槎?1二l—i=o

I2J2

所以，K->。

flJ5-C

又因?yàn)?(x)是增函數(shù)，所以/(x)有唯一的零點(diǎn)Xoe“

(22J

故選：C

8.已知x,y,0eR,若e*"<(x-y-l)ey,則x2+y2-2xcos8--2ysin。的最小值等于（）

A.3-272B.2-20C.2+2點(diǎn)D.3+2」

【答案】B

【解析】

［分析］先變形為eAy-2_(x_y_2)_l=0,證明x—y_2=0,再把問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到圓上

動(dòng)點(diǎn)距離的最小值.

［詳解］由題設(shè)e￡7-2_(x_y_2)_l<0,

設(shè)F(x)=e-x-1,則r(x)=e“-1,

當(dāng)xe(-co,0),/(%)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(0,+oo),/'(x)〉0,/(x)單調(diào)遞增，

2

所以f(x)>/(0)=0,即e^--(x-j-2)-l>0,

綜上，exf—(x—y—2)—1=0,即/(x—y—2)=0,所以x--y—2=0,

設(shè)P是直線%-丁一2=。上的點(diǎn)，Q(cos6,sin，)是圓f+y=1上的點(diǎn)，

而目標(biāo)式為x2+y2-2xcos?！?ysin。=(X—cos行+(y—sin-1=|PQ\2-1,

由IPQL.J"全2一1=0—I,故(IPQF_1)=(0—1)2—1=2—20.

A/21NM

故選：B.

二、選擇題：本共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合

題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若復(fù)數(shù)z=i—2,則下列結(jié)論正確的是()

A.z的虛部是一2B.z的共軟復(fù)數(shù)是—i-2

C.z的模是J5D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1)

【答案】BCD

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)虛部、共軟復(fù)數(shù)、模的定義和復(fù)數(shù)的幾何意義對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】：z=i—2=—2+i,；.z的虛部是1,

共輾復(fù)數(shù)是—i—2,|z|=J(-2)2+]=后，

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1).

故選:BCD

10.下列數(shù)列｛4｝中，單調(diào)遞增的數(shù)列是()

2

A.an=(n-3)

C.a“=tan〃D.an=In------

n+1

【答案】BD

【解析】

【分析】結(jié)合對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性即可判斷各選項(xiàng).

【詳解】對于A,結(jié)合對應(yīng)函數(shù)y=(x-3)2在(-8,3)上單調(diào)遞減，在(3,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，可知數(shù)列｛4｝

不為遞增數(shù)列;

對于B,結(jié)合對應(yīng)函數(shù)y=-在R上單調(diào)遞增，可知數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列；

(兀7C]

對于C,結(jié)合對應(yīng)函數(shù)y=tan無的單調(diào)遞增區(qū)間為-5+E，,+E，keZ,可知數(shù)列｛?｝不為遞增數(shù)

列；

對于D,由于a,=ln*=ln[l—匕)，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)y=In[1在((),+”)上單調(diào)遞增，所以

數(shù)列｛?｝為遞增數(shù)列.

故選：BD.

11.法國數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河.他研究了許多優(yōu)美的曲線，在平面直角坐標(biāo)系中,

方程X3+,3=3叼所表示的曲線稱為笛卡爾葉形線.當(dāng)。=1時(shí)，笛卡爾葉形線具有的性質(zhì)是()

A.經(jīng)過第三象限B.關(guān)于直線y=x對稱

C.與直線x+y+l=。有公共點(diǎn)D,與直線x+y+l=。沒有公共點(diǎn)

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)笛卡爾葉形線的方程，即可判斷AB,聯(lián)立直線x+y+l=O與笛卡爾葉形線的方程，通過方

程的根可判斷CD.

【詳解】當(dāng)。=1時(shí)，笛卡爾葉形線為d+y3=3孫，

A：若x<0,y<0,則爐+丁3<0,3孫〉0,13+丁3彳3孫，故不經(jīng)過第三象限，故A錯(cuò)誤,

B：若點(diǎn)(x,y)在曲線上，則點(diǎn)(y,x)也在曲線上.故笛卡爾葉形線關(guān)于直線V=x對稱，故B正確，

C.D：由方程組1,得4,，此方程組無解，故笛卡爾葉形線與直線x+y+i=。沒

x+y=-l,[x+y=-l

有公共點(diǎn)，故D正確，C錯(cuò)誤，

故選：BD

12.過下列哪些點(diǎn)恰可以作函數(shù)/(》)=2]3—3x的兩條切線()

A.(—2,—10)B.(—2,3)C.(—2,6)D.(—2,8)

【答案】AC

【解析】

【分析】由/(x)=2V—3x,所以/'(x)=6f—3,設(shè)切點(diǎn)為(%,2年—3%),則/'小)=6寸—3,結(jié)

合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求解即可.

【詳解】由/(x)=2d—3x,所以/'(x)=6*—3,

設(shè)切點(diǎn)為(玉),2君一3玉)),則毛)=6君-3.

對于A,因?yàn)椤ā?)=—10,所以(―2,—10)在函數(shù)/(力=2/—3%上，

當(dāng)(—2,—10)為切點(diǎn)時(shí)，有一條切線；

當(dāng)(-2,-10)不為切點(diǎn)時(shí)，由/(%)=6焉—3=-a(2%-3x0),

—2一%

即3xg+5XQ—8=0,

設(shè)g(x)=+5x2—8,貝!Jgr(%)=9%2+10x=x(9x+10),

令g'(x)>0,則％<-與或x>0；令g'(x)<0,則一與<x<0,

所以函數(shù)g(x)在和(°，+")上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又g1—T]=—署("g(0)=-8<0,

所以函數(shù)g(x)=3x3+5f—8只有一個(gè)零點(diǎn)，故與只有一個(gè)解，

綜上所述，過(-2,-10)恰可做函數(shù)〃力=2%3—3%的兩條切線，故A正確；

對于B,由廣(x°)=6x：-3="(；。一3%),

-2-xo

即6XQ+10XQ-3=0,

設(shè)/?(%)=6d+10x2—3,貝!J"(%)=18d+20%=2%(9%+10),

令〃'(冗)>0,則尤<一^■或x>0；令〃(x)<0,則一^■<%<(),

所以函數(shù)人⑺在和(°，+“)上單調(diào)遞增，在1—上單調(diào)遞減，

又，［-胃"A(0)=-3<0,

所以函數(shù)g(x)=3x3+512—8有3個(gè)零點(diǎn)，故看有3個(gè)解，

所以(—2,3)恰可做函數(shù)〃力=2三—3x的三條切線，故B不正確；

對于C,由于(x°)=6x；-3=—(：廣川),

-2-xo

即3Xg+5x；=0,解得毛=0或/=—g,

所以過(—2,6)恰可做函數(shù)f(x)=2x3-3x的兩條切線，故C正確；

對于D,由尸(x°)=6x：—3=8-匕,3%),

—2—x0

即3XQ+5xg+1=0,

設(shè)u(x)=3x3+5x2+1,貝!Ju(%)=9d+10x=x(9x+10),

令則％<—■或光>0；令則——<x<0,

所以函數(shù)"(x)在［鞏-和(°，+")上單調(diào)遞增，在［T,o］上單調(diào)遞減'

又言M°)=i>°，

所以函數(shù)“(X)=3/+5*+1有1個(gè)零點(diǎn)，故％有1個(gè)解，

所以(―2,8)恰可做函數(shù)/(月=2三—3兀的一條切線，故D不正確；

故選：AC.

三、本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在［x+工)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】20

【解析】

【分析】根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】在'+的展開式的通項(xiàng)公式為"產(chǎn)，

所以令6—2左=0,解得左=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為竊=20

故答案為：20.

14.圓爐+V=1與圓(X—4)2+(y—4)2=25的公共弦長等于.

【答案】V2

【解析】

【分析】兩圓相減得出公共弦所在直線方程，再根據(jù)勾股定理計(jì)算公共弦長

【詳解】聯(lián)立12，得公共弦所在直線方程為％+y-1=0.

[d)2+(1)2=25

1

圓心(0,0)到x+y—1=0距離d正

所以公共弦長為251-儲=2x也=J5

2

故答案為：V2

15.如圖，在正方體ABC。-A4GR中，動(dòng)點(diǎn)/在線段AC上，異面直線和3M所成的角為。，則

。的取值范圍是.(用區(qū)間表示)

兀n

【答案】

【解析】

【分析】利用BC.//AD,,得出。=NMBCi,通過線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得到

/CQB=NONB="NB=3通過幾何關(guān)系可得到cos。=與cos/MBO，可知。的最小值為BG與

平面ABC所成的角.設(shè)CD],Z)G的交點(diǎn)為。，則NO5Q為BG與平面ABC所成的角.所以。的最小值為

JT-TT

2.。的最大值為點(diǎn)/在點(diǎn)A處，此時(shí)8=2.

63

【詳解】連結(jié)

由正方體的性質(zhì)可得AB//CR,AB=GD「所以四邊形是平行四邊形，

所以BCJ/AD,,所以異面直線AD,和BM所成的角即直線BCt與BM所成的角，

連接C2，Z)G的交點(diǎn)為。，過點(diǎn)。作直線3M的垂線，垂足為N,

因?yàn)?平面CDDG,DC,u平面CDRG,

顯然BC1DC],CDl±DC1,

又BCcCD[=C,BC,CD[u平面BCD^，所以Z)G，平面BCD^,

因?yàn)?0,BN<=平面BCDA，所以。G，3。，DCi1BN,

又因?yàn)镺NLBN,。G「。N=O,DG，ONu平面。NG，所以BN,平面。NC「

又N￡u平面0NC[,Ng±BN,

易知ZQOB=ZONB=ZQNB=-，所以有cosNOBCy段,cosAMBO=—

2BC]OB

NB

cosNMBC[=可得cos/MBC]=cos/OBC]cosAMBO,

~BCX

由正方體的性質(zhì)可知sinNOB￡=gg=(，顯然NO3G為銳角，所以cosNO5G=X3，得

BC、212

cosZMBQ=^-cosAMBO>即cos0=cosZMBC1=-^-cosAMBO，

所以當(dāng)NMBO=0,即點(diǎn)M在。B上時(shí)，此時(shí)cos。有最大值為立，此時(shí)。最小為王;

26

顯然當(dāng)點(diǎn)以在4時(shí)，此時(shí)NMBO有最大值，因?yàn)镃OS6=43COSNM5O,此時(shí)。有最大值，顯然

2

7T7171

為正三角形，所以此時(shí)9=一；故

36,3

故答案為：—

o3

16.曲線的曲率就是針對曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率,表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，

表示曲線的彎曲程度越大,工程規(guī)劃中常需要計(jì)算曲率,如高鐵的彎道設(shè)計(jì).曲線y=/(x)在點(diǎn)(羽)(%))曲率

的計(jì)算公式是K=其中y"是y的導(dǎo)函數(shù).則曲線孫=1上點(diǎn)的曲率的最大值是

【答案】顯

2

【解析】

【分析】根據(jù)定義直接計(jì)算，最后利用基本不等式得出結(jié)果

【詳解】對于曲線沖=1,即>=1

%

.1..2

2”后

當(dāng)且僅當(dāng)1x1=1時(shí)等號成立

故答案為:交

2

三、本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容,

立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺.該平臺首次實(shí)現(xiàn)了“有組織，有管理，有指導(dǎo)，有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極

大地滿足了廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求，日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài),

緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP.某市宣傳部門為了解市民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)國家政策的情況，從全市抽取1000

人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時(shí)長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國''時(shí)長在區(qū)間［6,8）內(nèi)的概率;

（2）估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長；

（3）若宣傳部為了解市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從［4,6）和［10,12）組

中抽取7人了解情況，從這7人中隨機(jī)選取2人參加座談會(huì)，求所選取的2人來自不同的組的概率.

【答案】（1）0.3（2）6.8小時(shí)

⑶叱

21

【解析】

【分析】（1）由頻率分布直方圖求出學(xué)習(xí)時(shí)長在［6,8）內(nèi)的頻率，由此估計(jì)學(xué)習(xí)時(shí)長在［6,8）內(nèi)的概率；（2）

根據(jù)平均值的計(jì)算公式求解；（3）先由分層抽樣的性質(zhì)確定從［4,6）和［10,12）組中應(yīng)抽取的人數(shù)，再列出樣

本空間，并利用古典概型概率公式求出事件所選取的2人來自不同的組的概率.

【小問1詳解】

由題意知，該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在［6,8）內(nèi)的頻率為0.15x2=0.3,

所以估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在［6,8）內(nèi)的概率為0.3.

【小問2詳解】

由題意知各組的頻率分別為0.05,0.1,0.25,0.3,0.15,0.1,0.05,

所以元=1x0.05+3x0.1+5x025+7x0.3+9x0.15+11x0.1+13x0.05=6.8,

所以估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長在6.8小時(shí).

【小問3詳解】

由（2）知,利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在［4,6）和［10,12）的頻率分別為0.25,0.1,故兩組人數(shù)分別為250,100,

7

采用分層抽樣的方法從［4,6）組抽取人數(shù)為250x——=5,記作〃，b,c,d,e；從［1。,12）組抽取人數(shù)為

7,,

100x---=2,記作A,B；

350

從7人中抽取2人的基本事件有

ab.ac.ad.ae.aA,aB,be.bd.be.bA,bB.cd.ce.cA,cB,de.dA^dB.eA,eB,AB,共21個(gè)，來自不同組的基

本事件有反么,共10個(gè)，

故所求概率P=—.

21

S1

18.記S”為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，已知〃］=1,/"的公差為一的等差數(shù)列.

+3

（1）求｛a.｝的通項(xiàng)公式;

111c

(2)證明：—+—+—<2.

2

【答案】（1）an=n；

（2）證明見解析.

【解析】

S,〃二1

【分析】（1）利用題意建立等式求出S“，然后利用%二°C，求出通項(xiàng)即可;

電—S_1，7后2

1111、，111、

(2)先將-+f+f+—F=放大為1+'^^-+-~~-H—+----——,然后裂項(xiàng)求和即可.

12232n21x22x3(ZZ-I)H

【小問1詳解】

因?yàn)?=1,所以二上=!

1x22

S”1s11

又因?yàn)椤妒枪顬椤斓牡炔顢?shù)歹u,所以由T5+§（〃-I）'

所以S“」心+1)(2〃+1).

6

當(dāng)〃22時(shí)，=S〃一S〃_i=〃2,〃=1時(shí)，卬=1也滿足上式.

所以｛4｝的通項(xiàng)公式是4=/；

【小問2詳解】

1,c

當(dāng)”=1時(shí)，一=1<2,不等式成立;

當(dāng)時(shí)，—+—+?--+—=-+—+—+—<1+----+----+???+------

12232n21x22x3(n-l)n

+???+=2——<2.

n-1n

19.如圖，，ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(b+c+d)(b+c-d)^3bc.

(1)求A大小；

(2)若,ABC內(nèi)點(diǎn)P滿足ZPAB=ZPBC=ZPCA=/PAC,求ZBPC的大小.

【答案】(1)A=1Jr

(2)ZBPC=—

【解析】

【分析】(1)對3+c+a)S+c—a)=3〃c變形,運(yùn)用余弦定理求解.

7T

(2)設(shè)NPCB=a,/P8A=〃，則a+夕=§,再在.PBC與A上鉆中運(yùn)用正弦定理得出名月的另外一個(gè)

關(guān)系即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)?Z?+c+a)(人+c—a)=3bc.

所以Z?2+。2—4=/c

由余弦定理得,cosA=--

2bc

TT

所以A

【小問2詳解】

A

jrTT

因?yàn)锳=土，所以—

設(shè)/PCB=a,/PBA=0

PBPC

在,PBC中,由正弦定理得，嬴￡=.兀

sin

6

PBPA

在，MB中，由正弦定理得，.%一sin0

sin—產(chǎn)

6

.71

sin—.n,

兩式相除得一6="，所以sinssin尸=一

sma疝工4

6

7TTT

又因?yàn)椤?P=7T-4X—=—

63

13

所以cos(a+/?)=cosacos/?-sinar-sin/?=—,BPcosacosP~~

31

所以cos(a-B)=cosacos+sinor-sin=—+—=1

即a—1=0所以&=夕=工，所以/6。。=乃一工—工=也

6663

20.如圖所示，在直三棱柱ABC-4與G中，AB±BC,AB=BC=2BB,=2,E為8片的中點(diǎn).

(1)直線與平面AEG的交點(diǎn)記為/,直線4片與平面AEC的交點(diǎn)記為N.證明：直線〃平面

ACGA.

(2)求二面角E—AG—C的大小;

【答案】(1)證明見解析

(2)90°

【解析】

【分析】(1)由題意可知，8。,5男,四兩兩垂直，分別以3C,53”癡為無軸，y軸，z軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系3-孫z,可得=(2,1,—2),AC=(2,0,—2),進(jìn)而得到“7丫〃4￡,從而得證；

(2)求得平面平面ACC】A和平面AEG的法向量，進(jìn)而求解.

【小問1詳解】

根據(jù)題意知，5。,5片,瓦1兩兩垂直，

分別以3C,5用,54為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系5-孫z.

因?yàn)?3=30=23g=2,E為8月的中點(diǎn).

所以A(0,0,2),3(0,0,0),C(2,0,0),￡[0,3,0：C,(2,1,0),

所以AG=(2,1,-2),AC=(2,0,-2).

直線BC與GE的交點(diǎn)即為直線BC與平面AEG的交點(diǎn)M,

直線AE與4月的交點(diǎn)即為直線4片與平面AEC的交點(diǎn)N,

所以M(—2,0,0),N(0,l,—2).

所以;W=(2』,—2),MTV=AG,

所以MN//AC-又AGu平面ACC〕A，MN<Z平面ACC】A,

所以直線MN〃平面ACGA.

【小問2詳解】

設(shè)G為AC的中點(diǎn)，則5GJ_AC,G(l,0,l),

因?yàn)槠矫鍭BC1平面ACGA,平面ABCc平面ACGA=AC,且BGu平面ABC,

所以5GJ_平面AC￡4,

所以平面ACGA的一個(gè)法向量BG=(1,0,1).

由AE=畤―2)EG=卜川,

設(shè)〃=。;。,九/。)是平面AEQ的法向量,

n-AE=O；%—220=0

則，4,，

[〃曰=0|2%o+lyo=o

令為=2,得〃=]—g，2,g),即BG-"=O,

所以二面角E-A￡-C大小是90°.

21.設(shè)FE分別是橢圓三+上=l(a〉6〉0,aeN*)的左，右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)N,滿足NEA/=90°

且△石7\下的面積為20.

(1)求b值；

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,1),直線過點(diǎn)P,與橢圓交于點(diǎn)A,8,線段A3的中點(diǎn)記為設(shè)若1月0|是|FA|與

IFBI的等比中項(xiàng)，求。的最小值，并求出此時(shí)直線/的方程.

【答案】(1)275

(2)a的最小值是7,3x—7y+4=0或3%+7丁-10=。

【解析】

【分析】(1)根據(jù)余弦定理以及橢圓定義得到焦點(diǎn)三角形中滿足的邊角關(guān)系，即可聯(lián)立求解，

(2)根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離可求解|冏,|EB|,由向量的模長可得FM2=^FA+^FB—AB,結(jié)合等比中項(xiàng)即可得

求解.

【小問1詳解】

m+n-2a.

設(shè)|NE|=帆,|NF|=〃，根據(jù)題意得病+，2=4°2=4（/—/），解得〃=20,

mn—40

【小問2詳解】

由于/是線段A3的中點(diǎn)，所以引0=3(，么+用)=府2=；(，么2+必2+2用.用

?22-21/222\

又AB=FB-FA=AB=FB+FA-2FB-FA^FB-FA=-\^FB+FA-AB),

因此

212121121.21/-2-2-2\1-21-212

FM=-FA+-FB+-FAFB=-FA+-FB+-IFB+FA-AB\=-FA+-FB——AB

442444\/224

故|EMF=g(|陽2+陷’—J明2,

又因?yàn)槭莬FA|與|FS|的等比中項(xiàng)，所以

\FM^\FA\-\FB\,所以|A5|2=2(|B1|-|FB|)2,—①

設(shè)人(藥,%),5(%2，％)，記0=力2_20,

|FA|=+eV+=Jxj+2cX]+0?+Z?-1—.——x^~+2cXj+tz"=tzH-x1，

YVa)\aa

同理|FB|=—x+a,

a2

所以|E4|—|m|=一（為一工2），代入①，得（菁―龍2）2+（%一女）2=今（再一龍2）二

。CI

整理,得（/_%）2=。^（七一々）2,一②

由②得°2一40之0，因?yàn)閍eN*，

所以。的最小值為7,

Qy—y3

此時(shí)(％_%)9'=啟(/_々)9，即直線/的斜率為士

3

又點(diǎn)尸(1,1)在橢圓內(nèi)，于是兩條直線y-l=±-(x-l)均滿足要求.

綜上，a的最小值是7,此時(shí)直線/的方程為3x—7y+4=0或3x+7y—10=0.

【點(diǎn)睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系;

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用己知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

22.設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)-依,aeR,曲線y=/(無)在原點(diǎn)處的切線為x軸，

(1)求。的值;

V2

(2)求方程/(%)=--—解;

x+2

(2024V023-5

(3)證明:<6<I2023J

2022

【答案】(1)a=l

(2)x=Q

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可知/(可在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為0,解方程即可；

2x

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+l)———,利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性，再通過觀察法得x=0是g(x)的零點(diǎn),

x+2

從而得解；

202411(11

(3)利用(2)中結(jié)論證明In——>---------,再構(gòu)造函數(shù)〃(x)=lnx-」x——,利用導(dǎo)數(shù)證得

20232023.52(x

20231

，從而賦值證得In<------