2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-動(dòng)點(diǎn)最值之瓜豆模型（講+練）（原卷版）

專題16動(dòng)點(diǎn)最值之瓜豆模型

模型一、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線

問(wèn)題1:如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

A

解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線.

理由：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ,

所以QN始終為AM的一半,即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線.

問(wèn)題2：如圖，點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為動(dòng)點(diǎn)，CP=CQ,且NPCQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P

在直線AB上運(yùn)動(dòng)，Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是？

住)(A)

解析：當(dāng)CP與CQ夾角固定，且AP=4。時(shí)，P、。軌跡是同一種圖形，且PP產(chǎn)QQi

理由：易知△CPPgZ\CPP1，則NCPP尸CQQi，故可知Q點(diǎn)軌跡為一條直線.

模型總結(jié)：

條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量；

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量.

結(jié)論：①主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是同樣的圖形；

②主動(dòng)點(diǎn)路徑做在直線與從動(dòng)點(diǎn)路徑所在直線的夾角等于定角

③當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)等于主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)

動(dòng)路徑長(zhǎng)；

例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-3,0),點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、

D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊4ABP,點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求

OP的最小值.

例2.如圖，己知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，ACJ_x軸于點(diǎn)M,

交直線y=—x于點(diǎn)N,若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZAPB=30°,BAJ_PA,

則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.

【變式訓(xùn)練1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1,F為AB邊

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,求CG的最小值是多

少？

D

【變式訓(xùn)練2】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn),

△EDM為等邊三角形.若點(diǎn)E從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,則M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長(zhǎng)為—.

【變式訓(xùn)練3】如圖，在矩形ABCC中，AB=4,NOC4=30。，點(diǎn)F是對(duì)角線4c上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接。F,以DF為斜邊作NDFE=30。的直角三角形QEF,使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于QF

兩側(cè)，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是.

【變式訓(xùn)練4】如圖，已知線段AB=12,點(diǎn)C在線段AB上，且4ACD是邊長(zhǎng)為4的等邊三

角形，以CD為邊的右側(cè)作矩形CDEF,連接DF,點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接MB,則線段MB

的最小值為.

E

模型二、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓

問(wèn)題1.如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：。點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓

理由：Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接A。，取A。中點(diǎn)則M點(diǎn)即為。點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑

M。是0P一半，任意時(shí)刻，均有AAM0s△AOP,0￡=42=1_.

POAP2

問(wèn)題2.如圖，AAPQ是直角三角形，NPAQ=90。且AP=2AQ,當(dāng)P在圓0運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：。點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓

理由：；APL4。，，Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMLAO；

又：NP：AQ=2：1,；.Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足A。：AM=2：1.

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APOSAAQM,且相似比為2.

模型總結(jié)：

條件：兩個(gè)定量

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量(NPAQ是定值)；

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量(AP:AQ是定值).

結(jié)論：(1)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：ZPAQ=ZOAM；

(2)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于

兩圓半徑之比.

例1.如圖，點(diǎn)P(3,4),圓P半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是.

例2.如圖，A是加上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在回B外，已知AB=2,BC=4,I3ACD是等邊三角形,

則△BCD的面積的最大值為（）

C.46+8D.6

例3.如圖，正方形ABCQ中，AB=2用，。是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一

動(dòng)點(diǎn)，0E=2,連接。E,將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得。凡連接4E、CF.求

線段OF長(zhǎng)的最小值.

【變式訓(xùn)練1】如圖,在等腰RSABC中，AC=BC=2&,點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓

上，M為PC的中點(diǎn),當(dāng)半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

【變式訓(xùn)練2】如圖，AB為，。的直徑，C為。上一點(diǎn)，其中Afi=6,NAOC=120。，P

為：。上的動(dòng)點(diǎn)，連AP,取AP中點(diǎn)Q,連CQ,則線段CQ的最大值為（)

o

B

333

A.3幣B.-+2>/7C.2+3不D.=+二行

222

【變式訓(xùn)練3】如圖，ABC中,AB=AC,BC=6,AD1BC于點(diǎn)D,AD=4,P是半徑

為2的.4上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)PC,若E是PC的中點(diǎn)，連結(jié)￡>E,則。E長(zhǎng)的最大值為

C.4D.4.5

課后訓(xùn)練

1.如圖，在^ABC中，ZACB=902,NA=30。，BC=2,D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以DC為斜邊向

右側(cè)作等腰Rt^DCE,使NCED=90。，連接BE,則線段BE的最小值為.

3.如圖，AB=6,點(diǎn)。在線段A8上，AO=2,。的半徑為1,點(diǎn)P是。上一動(dòng)點(diǎn)，以BP

為一邊作等邊VBPQ,則A。的最小值為

Q

4

4.點(diǎn)A是雙曲線y=3在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接A0并延長(zhǎng)交另一交令一分支點(diǎn)B,

以AB為斜邊作等腰Rt/XABC,點(diǎn)C在第二象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也在不斷變

化，但始終在某函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)的解析式為

一

7.如圖，AB為團(tuán)0的直徑，C為國(guó)。上一點(diǎn)，其中AB=2,0AOC=12O°,P為回0上的動(dòng)點(diǎn),

連AP,取AP中點(diǎn)Q,連CQ,則線段CQ的最大值為_(kāi)___

8.如圖，已知點(diǎn)M(0,4),N(4,0),開(kāi)始時(shí),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別與點(diǎn)M、

N、。重合，點(diǎn)

A在y軸上從點(diǎn)M開(kāi)始向點(diǎn)?；瑒?dòng),到