2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-動點最值之瓜豆模型（講+練）（原卷版）

專題16動點最值之瓜豆模型

模型一、運動軌跡為直線

問題1:如圖，P是直線BC上一動點，連接AP,取AP中點Q,當(dāng)點P在BC上運

動時，Q點軌跡是？

A

解析：當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線.

理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為AP=2AQ,

所以QN始終為AM的一半,即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線.

問題2：如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ,且NPCQ為定值，當(dāng)點P

在直線AB上運動，Q的運動軌跡是？

住)(A)

解析：當(dāng)CP與CQ夾角固定，且AP=4。時，P、。軌跡是同一種圖形，且PP產(chǎn)QQi

理由：易知△CPPgZ\CPP1，則NCPP尸CQQi，故可知Q點軌跡為一條直線.

模型總結(jié)：

條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量.

結(jié)論：①主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形；

②主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角

③當(dāng)主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運

動路徑長；

例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-3,0),點B是y軸正半軸上一動點，點C、

D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊4ABP,點B在y軸上運動時，求

OP的最小值.

例2.如圖，己知點A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個定點，ACJ_x軸于點M,

交直線y=—x于點N,若點P是線段ON上的一個動點，ZAPB=30°,BAJ_PA,

則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求當(dāng)點P從點。運動到點

N時，點B運動的路徑長是.

【變式訓(xùn)練1】如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點，且BE=1,F為AB邊

上的一個動點，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,求CG的最小值是多

少？

D

【變式訓(xùn)練2】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E在AB上，點。為BC的中點,

△EDM為等邊三角形.若點E從點8運動到點A,則M點所經(jīng)歷的路徑長為—.

【變式訓(xùn)練3】如圖，在矩形ABCC中，AB=4,NOC4=30。，點F是對角線4c上的一個

動點，連接。F,以DF為斜邊作NDFE=30。的直角三角形QEF,使點E和點A位于QF

兩側(cè)，點F從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長是.

【變式訓(xùn)練4】如圖，已知線段AB=12,點C在線段AB上，且4ACD是邊長為4的等邊三

角形，以CD為邊的右側(cè)作矩形CDEF,連接DF,點M是DF的中點，連接MB,則線段MB

的最小值為.

E

模型二、運動軌跡為圓

問題1.如圖，P是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點.當(dāng)點P在圓。上運

動時，Q點軌跡是？

解析：。點軌跡是一個圓

理由：Q點始終為AP中點，連接A。，取A。中點則M點即為。點軌跡圓圓心，半徑

M。是0P一半，任意時刻，均有AAM0s△AOP,0￡=42=1_.

POAP2

問題2.如圖，AAPQ是直角三角形，NPAQ=90。且AP=2AQ,當(dāng)P在圓0運動時，Q點軌跡是？

解析：。點軌跡是一個圓

理由：；APL4。，，Q點軌跡圓圓心M滿足AMLAO；

又：NP：AQ=2：1,；.Q點軌跡圓圓心M滿足A。：AM=2：1.

即可確定圓M位置，任意時刻均有△APOSAAQM,且相似比為2.

模型總結(jié)：

條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量(NPAQ是定值)；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量(AP:AQ是定值).

結(jié)論：(1)主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：ZPAQ=ZOAM；

(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于

兩圓半徑之比.

例1.如圖，點P(3,4),圓P半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),點M是圓P上的動點，

點C是MB的中點，則AC的最小值是.

例2.如圖，A是加上任意一點，點C在回B外，已知AB=2,BC=4,I3ACD是等邊三角形,

則△BCD的面積的最大值為（）

C.46+8D.6

例3.如圖，正方形ABCQ中，AB=2用，。是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一

動點，0E=2,連接。E,將線段OE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得。凡連接4E、CF.求

線段OF長的最小值.

【變式訓(xùn)練1】如圖,在等腰RSABC中，AC=BC=2&,點P在以斜邊AB為直徑的半圓

上，M為PC的中點,當(dāng)半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為.

【變式訓(xùn)練2】如圖，AB為，。的直徑，C為。上一點，其中Afi=6,NAOC=120。，P

為：。上的動點，連AP,取AP中點Q,連CQ,則線段CQ的最大值為（)

o

B

333

A.3幣B.-+2>/7C.2+3不D.=+二行

222

【變式訓(xùn)練3】如圖，ABC中,AB=AC,BC=6,AD1BC于點D,AD=4,P是半徑

為2的.4上一動點,連結(jié)PC,若E是PC的中點，連結(jié)￡>E,則。E長的最大值為

C.4D.4.5

課后訓(xùn)練

1.如圖，在^ABC中，ZACB=902,NA=30。，BC=2,D是AB上一動點，以DC為斜邊向

右側(cè)作等腰Rt^DCE,使NCED=90。，連接BE,則線段BE的最小值為.

3.如圖，AB=6,點。在線段A8上，AO=2,。的半徑為1,點P是。上一動點，以BP

為一邊作等邊VBPQ,則A。的最小值為

Q

4

4.點A是雙曲線y=3在第一象限上的一個動點,連接A0并延長交另一交令一分支點B,

以AB為斜邊作等腰Rt/XABC,點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變

化，但始終在某函數(shù)圖像上運動，則這個函數(shù)的解析式為

一

7.如圖，AB為團0的直徑，C為國。上一點，其中AB=2,0AOC=12O°,P為回0上的動點,

連AP,取AP中點Q,連CQ,則線段CQ的最大值為____

8.如圖，已知點M(0,4),N(4,0),開始時,△ABC的三個頂點A、B、C分別與點M、

N、。重合，點

A在y軸上從點M開始向點?；瑒?到