2023-2024學(xué)年湖北省孝感市數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末考試試題含解析

2023-2024學(xué)年湖北省孝感市數(shù)學(xué)高二上期末考試試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如果命題為真命題，。人q為假命題，那么（）

A.命題〃，q都是真命題B.命題q都是假命題

C.命題P,q至少有一個(gè)是真命題D.命題P,q只有一個(gè)是真命題

2.已知雙曲線C的離心率為6,片，工是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，|P用=3w6|,若鳥的面積為4夜，

則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為（）

A.lB.2

C.4D.6

3.由倫敦著名建筑事務(wù)所&沖"5優(yōu)山。設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)

22

品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線會(huì)-1r=1（。＞0力〉0）下支的一部分，離心率為2,則

該雙曲線的漸近線方程為（）

C.y=±xD.y=±2x

2

4.若1,m,9三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線x2+上=1的離心率是。

m

A.巫或屈02亞卡、

B.二—或2

33

C.亞或廂D.逅或2

3

2

5.已知函數(shù)/(乃=亍-若數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S“，且滿足S"=/(a〃+J,a2=an,則%的最大值為()

A.9B.12

63

C.20D.—

4

22

6.已知橢圓C:=+鼻=1(?！?〉0)的右焦點(diǎn)為尸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線/:J3x-y=0與橢圓相交于A、3兩

ab

點(diǎn).若14^+15^1=4,點(diǎn)尸到直線/的距離不小于|,則橢圓C離心率的取值范圍為()

A-H]B-H

7.命題：“Vx>0,都有x2—x+lWO”的否定是()

A.3x>0,使得好一x+lSOB.3x>0,使得丫2—*+1>0

C.Vx>0,都有/一萬+1>0D.Vx<0,都有x2—x+l>0

8.已知命題P：拋物線y=4/的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)；命題q：等軸雙曲線的離心率為則下列命題是真命題的是

()

A.P人4B.(^?)A(-,^)

C.pv(->q)D.(rp)/\q

9.某同學(xué)為了調(diào)查支付寶中的75名好友的螞蟻森林種樹情況，對(duì)75名好友進(jìn)行編號(hào)，分別為1,2,75,采用

系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本，已知11號(hào)，26號(hào)，56號(hào)，71號(hào)好友在樣本中，則樣本中還有一名好友的

編號(hào)是()

A.40B.41

C.42D.39

10.若C：=c：,貝！I"的值為()

A.7B.8

C.9D.10

11.已知隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布N（l,b2）,且?（，＜2）=0.6,則P（O＜二＜1）=（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

12.設(shè)點(diǎn)A（l,-1,0）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是3,貝！等于（）

A.4B,2^

C.2V2D.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，拋物線y=五上的點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形。耳0,。曲。2,…。1匕2,?■■其中點(diǎn)匕在拋物線上,

點(diǎn)?！钡淖鴺?biāo)為區(qū)，0）,猜測(cè)數(shù)列｛X?）的通項(xiàng)公式為

14.在（l+x+y）4的展開式中，含Vy項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）

15.已知拋物線C：y2=2〃x過點(diǎn)p（i,1）：

3

①點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為不

②過點(diǎn)P作過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q,則△。尸。的面積為點(diǎn)

③過點(diǎn)尸與拋物線相切的直線方程為x-2j+l=0

④過點(diǎn)尸作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M,N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值

其中正確的是.

16.直線y-2=。與直線＞=無-1的夾角大小等于

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）證明：、舊是無理數(shù).（我們知道任意一個(gè)有理數(shù)都可以寫成形如（加，"互質(zhì),mGz,nez）的形式）

n

18.（12分）已知/（x）=（xT）e*+加，iieR

（1）當(dāng)a=—1時(shí)，求函數(shù)/（%）的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)當(dāng)尤21時(shí)，/(x)-a>0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍

19.(12分)在正方體ABC。—44G〃中，M,N,E分別是A3,DD1,A41的中點(diǎn).

(1)證明：平面"NE〃平面BCR；

(2)求直線MN與2C所成角的正切值.

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，它的前“項(xiàng)和為S”且%,%，%成等比數(shù)列.

(1)求｛&｝的通項(xiàng)公式；

’4

(2)求數(shù)列-----的前n項(xiàng)和Tn.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=三+0?+桁+1,記/⑴的導(dǎo)數(shù)為了(X).若曲線/⑴在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線

斜率為-3,且x=2時(shí)y=/(x)有極值，

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；

(II)求函數(shù)/(x)在［-1,1］上的最大值和最小值

22

22.(10分)(1)已知等軸雙曲線為-白=1(?！?,?！?)的上頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為1,求此雙曲線的方程；

(2)已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為設(shè)過焦點(diǎn)R且傾斜角為45。的直線1交拋物線于A,3兩點(diǎn)，求線段A3的長(zhǎng)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】由命題"vq為真命題,可判斷二者至少有一個(gè)為真命題，由〃入4為假命題，可判斷二者至少有一個(gè)為假命題,

由此可得答案.

【詳解】命題2V4為真命題，說明二者至少有一個(gè)為真命題，

。入4為假命題,說明二者至少有一個(gè)為假命題，

綜合上述，可知命題P,q只有一個(gè)是真命題，

故選：D

2、C

【解析】由已知條件可得耳|=3a,|P閭=。，閨同=2氐，再由余弦定理得cosN耳P耳=-g,進(jìn)而求其正弦

值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)”，即可知雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng).

【詳解】由題意知，點(diǎn)P在右支上，則尸閭=2a,又|P盟=3|P閭，

/.\PF11=,|PF21=,又e=9=A/3,

.,.寓M|=2c=26a,則在鳥中，cosNEPq=^￡+?二126r

2-3a-a3

...sin"附=￥，故S4PF??手=WL解得a=2,

.?.實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4,

故選：C.

3、B

b

【解析】求出一的值，可得出雙曲線的漸近線方程.

a

22_______

【詳解】由已知可得2

aa

因此，該雙曲線的漸近線方程為y=±Ex=±*x=±1fx.

故選:B.

4、D

【解析】運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可得加，再討論m=3,相=-3,求出曲線的。，c,由離心率公式計(jì)算即可得到

【詳解】三個(gè)數(shù)1,m,9成等比數(shù)列,

則m2=9，解得，加=±3,

當(dāng)加=3時(shí)，曲線必+工=1為橢圓,

3

2

當(dāng)m=-3時(shí)，曲線為必—匕=1為雙曲線，

3

則離心率e=2

故選：D

5、C

2

【解析】先得到會(huì)-年及遞推公式(4+1+4)(4用—4—2)=0,要想%最大，則分兩種情況，的負(fù)數(shù)且最

小或的為正數(shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.

【詳解】①，當(dāng)〃=1時(shí)，6=苧一［,當(dāng)“22時(shí)，S“_i=%—；4②,所以①一②得：

a

n=；4+1—；4+1一；片+；%，整理得：(%+1+??)(??+1-2)=0,所以an+l=-an,或an+l-an=2,

當(dāng)外，?，囚0是公差為2的等差數(shù)列，且時(shí)，見最小，為最大，此時(shí)為)=g+8><2=-41=-出，所以

(“2L=—8，此時(shí)％=20；

當(dāng)q=-%且生，?嗎1是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，%最大，片最大，此時(shí)%=%+8乂2=-。2+16=出，所以

(02)max=8，此時(shí)4=12

綜上：力的最大值為20

故選：c

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列相關(guān)的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.

6、D

【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為由題可得|4耳+忸尸|=忸尸|+忸尸|=2。=4,由點(diǎn)P到直線/的距離不小于《可得

!<Z^<2,進(jìn)而可求c的范圍，即可得出離心率范圍.

【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為尸'，尸為短軸的上端點(diǎn)，連接Ab',BF',

如圖所示：由橢圓的對(duì)稱性可知，A,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則0A=03,又OF=OF,

二四邊形A/W為平行四邊形，二AF=5尸，

又|AF|+忸同=忸尸|+忸/[=2a=4,解得：a=2,

點(diǎn)尸到直線/距離：J=HI>2,解得：_<b<2,即戛J"c2<2,

2555

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵是由橢圓定義得出a=2,再根據(jù)已知條件得出g〈b<2.

7、B

【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.

【詳解】“V”。,都有x2—x+lWO”的否定是a3x>0,使得x2—x+l>0”.

故選:B

8、D

【解析】求出必=!丫的焦點(diǎn)坐標(biāo)，及等軸雙曲線的離心率，判斷出。為假命題，g為真命題，進(jìn)而判斷出答案.

【詳解】拋物線必=’>的焦點(diǎn)坐標(biāo)為I。,4],故命題P為假命題；命題處等軸雙曲線中，a=b,所以離心率為

4I16；

亞,故命題0為真命題，所以（「。）入4為真命題，其他選項(xiàng)均為假命題.

故選：D

9、B

【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性即可確定結(jié)果.

【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性得：11號(hào)，26號(hào)，56號(hào)，71號(hào)以及還有一名好友的編號(hào)應(yīng)該按大小排列后成等差數(shù)列,

Q26—11=15,56—26=30,71—56=15.?.樣本中還有一名好友的編號(hào)為26號(hào)與56號(hào)的等差中項(xiàng)，即41號(hào),

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】根據(jù)給定條件利用組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算作答

【詳解】因?yàn)镃：=c:,則由組合數(shù)性質(zhì)有3+7=〃，即”=10,

所以n的值為10.

故選：D

11、A

【解析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性和概率的性質(zhì)即可

【詳解】由？?且尸(？<2)=0.6

則有：P(l<,<2)=0.6—0.5=01

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知：P(0<?<1)=尸(1<?<2)=0.1

故選：A

12、A

【解析】求出點(diǎn)A(L-關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是5,再利用兩點(diǎn)之間的距離即可求得結(jié)果.

【詳解】點(diǎn)A(l,-1,拒)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是B(-1』,-④)

\AB\=^[1-(-1)]2+[(-1)-1]2+[V2-(-V2)]2=,2+22+(2夜4=4

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】求出片鳥[*孚|巴卜，君)，IOQI=|，1221=3，Iae3l=r可猜測(cè)|07?！皘=與，利用

累加法，即可求解

【詳解】0片的方程為了=氐，代入拋物線y=可得德T，10^1=1

同理可得29手，舄(3,6),19^1=1，IQ2Q3I=J,

可猜測(cè)IQiQ“l(fā)=丁，

證明：記三角形的邊長(zhǎng)為明,

由題意可知，當(dāng)2時(shí)，P〃4+。2++?！?1在拋物線y=4上,

31

可得工52=4+4++an-\+5。〃，

31

當(dāng)"N3時(shí)，W"3"q+"2++an-2+~an-\^

3311

兩式相減得：=3%+2^

2

化簡(jiǎn)得：an-an_x=—,

則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，%=4+(〃-l)xg=g,

IQn-lQnl=y，

2n

?二Xn~Xn-\-，

462n

xn-xl=-+-+-9

2八八、n(n+1)

Xn=§(1+2+...+〃)=———

故答案為：王=四黃

14、12

【解析】通過二次展開式就可以得到.

【詳解】(1+x+y)4的展開式中含《(x+y)3

??.含/丁項(xiàng)的系數(shù)為C；C；=12

故答案為：12

15、②③④

【解析】由拋物線過P點(diǎn)可得拋物線的方程，求出焦點(diǎn)口的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)可判斷①；

求出直線PR的方程與拋物線聯(lián)立切線Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形OPQ的面積，判斷②；

設(shè)直線方程為》-1=左(*-1),與產(chǎn)=%聯(lián)立求得斜率，進(jìn)而可得在P處的切線方程，從而判斷③；

設(shè)直線的方程為拋物線聯(lián)立求出”的坐標(biāo)，同理求出N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線"N的斜率，從而可判斷④

【詳解】解：由拋物線過點(diǎn)尸(1」)，所以12=2。？，所以2P=1,

所以拋物線的方程為：r=x；

可得拋物線的焦點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(：，0),準(zhǔn)線方程為：x=--,

對(duì)于①，由拋物線的性質(zhì)可得P到焦點(diǎn)的距離為d=i+!=3,故①錯(cuò)誤；

44

1

對(duì)于②，可得直線PF的斜率[1-3,所以直線PR的方程為：x=-3y+-,

4-4

4

311

代入拋物線的方程可得：y2--y--=0,解得丁。=一7，

所以SAOPQ==gx；xi+；=或，故②正確；

對(duì)于③，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為7-1=?(*—1),與爐=》聯(lián)立，

得：ky2—y+l—k=0,

/=1-4左(1一4)=0,4左2—4左+1=0,解得左=g,

所以切線方程為x—2y+l=0,故③正確；

對(duì)于④，設(shè)直線VP的方程為：x=m(y-l)+l,

與拋物線聯(lián)立可得/一〃°+m―1=0,所以環(huán)儲(chǔ)=機(jī)—，

所以加=加一1,代入直線"P中可得4=加(加—2)+1=(m—I)?,即〃((m—1)2,m-Y),

直線NF的方程為：x=—m(y—1)+1,代入拋物線的方程V+my—m—1=0,可得，'=一加―1,

代入直線NF的方程可得.卬=根？+2m+1=(相+1)2,所以N((m+1)2,-m-1),

7(m-l)-(-m-l)1

所以L⑺+1)產(chǎn).5為定值'故④正確

故答案為：②③④.

71

16、45##—

4

【解析】根據(jù)直線的傾斜角可得答案.

【詳解】直線2=0是與x軸平行的直線，

直線y=x-1的斜率為1,即與X軸的夾角為45角，

故直線y-2=。與直線y=x-1的夾角大小等于45.

故答案為：45.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、詳見解析

【解析】利用反證法，即可推得矛盾.

【詳解】假設(shè)應(yīng)有理數(shù)，則0=生，則蘇=2",

n

機(jī)為整數(shù)，療的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9,n2的尾數(shù)只能是034,5,6,9,

則2療的尾數(shù)是0,2,8,由*=2加2得，尾數(shù)為0,則/的尾數(shù)是o,而病的尾數(shù)為0或5,

rrj

這與一為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，加，〃的最大公約數(shù)是1,相矛盾，

n

所以假設(shè)不正確，0是無理數(shù).

18、(1)(0,ln2)

'e)

(2)--,+coI

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)依題意可得當(dāng)尤21時(shí)(尤一1)[1+。(尤+1)]之0,當(dāng)x=l時(shí)，顯然成立，當(dāng)尤>1時(shí)只需e*+a(%+l)20,參

變分離得到。之-工，令=-工，(x>l),利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；

x+lX+1

【小問1詳解】

解：當(dāng)a=—1時(shí)〃x)=(x—l)e'—/定義域?yàn)槌撸?/p>

所以f\x)-xex—2x=x(e*-2),

令/''(x)=0,解得x=0或％=ln2,

令/<x)<0,解得0<x<ln2,

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,In2)；

【小問2詳解】

解：由/(x)-a?0,即(x-l)e*+ox2-a20,即+a(x+l)]20,

當(dāng)％=1時(shí)顯然成立，

當(dāng)％>1時(shí)，只需e'+a(x+l)20,即。之―工，

X+1

/、e%/、7"、e*(x+l)—e%%ex

令"(x)=----(x>l)，貝!|/z(x)=z~7^~=~(~

x+1-(x+1)-(x+1)

所以M%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以/z(x)<Mi)=-5，

所以。

2

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為一|■，+°0)

19、(1)證明見解析

(2)yj2

【解析】(1)分別證明BC〃平面ACVE,D[C〃平面MNE,最后利用面面平行的判定定理證明平面ACVE〃平面

BCD1即可;

(2)由加石〃RC得N￡MN即為直線與2c所成角，在直角△肱VE即可求解.

【小問1詳解】

,/BC〃EN且ENu平面MNE平面MNE,

."C〃平面MNE,

又；D]C//EM且EMU平面MNE,D〔C4平面MNE,

DXC〃平面MNE

又；DCBC=C,平面ACVE〃平面BC。,

【小問2詳解】

由(1)得ME〃De,

：.NEMN為直線MN與所成的角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,

在Rt^MEN中，EN=a,EM=

EN=—^=拒

:.tanNEMN=——^

EM-a

2

n

20、(1)a=2n+2,(2)T=

nn2(〃+2)

【解析】(1)由題意可得4=q+2(〃-1),從而可求出%,進(jìn)而可求得｛4｝的通項(xiàng)公式;

44111

(2)由(1)可得---(-2-〃+23+1)+2］=正gTETM'然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)

44+1

果

【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列｛q｝是公差為2的等差數(shù)列，且%,%，%成等比數(shù)列，

所以?3=aiai即(勾+4)~=%(4+12),解得％=4,

所以a”=2〃+2

,4_4_1_1_____1_

⑵由(1)得什］(2〃+2)(2〃+4)++n+1n+