河北省邯鄲市2024屆高三第三次調(diào)研考試考試數(shù)學(xué)試題

邯鄲市2024屆高三年級(jí)第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．23．已知向量與共線，則（）A． B． C． D．4．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A． B． C．6 D．1925．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)互不相等，且，，成等差數(shù)列，則（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）A．13 B．14 C．15 D．167．已知是定義在上的偶函數(shù)，，且在上單調(diào)遞減，若，，，則（）A． B． C． D．8．已知在四面體中，，二面角的大小為，且點(diǎn)A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．若，則（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知雙曲線，則（）A．的取值范圍是 B．的焦點(diǎn)可在軸上也可在軸上C．的焦距為6 D．的離心率的取值范圍為10．“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個(gè)面都是正多邊形，并且所有棱長(zhǎng)也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相同．有幾種阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到如圖，正八面體的棱長(zhǎng)為3，取各條棱的三等分點(diǎn)，截去六個(gè)角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（）A．共有18個(gè)頂點(diǎn) B．共有36條棱C．表面積為 D．體積為11．已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，面積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．的取值范圍是B．若為邊的中點(diǎn)，且，則的面積的最大值為C．若是銳角三角形，則的取值范圍是D．若角的平分線與邊相交于點(diǎn)，且，則的最小值為10三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．寫(xiě)出一個(gè)，使得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則可以為_(kāi)_________．13．從分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，5，9的5張卡片中任取2張，設(shè)這2張卡片上的數(shù)字之和為，則__________．14．記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為的等差數(shù)列．（I）求的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．（15分）某民營(yíng)學(xué)校為增強(qiáng)實(shí)力與影響力，大力招攬名師、建設(shè)校園硬件設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：年份序號(hào)x12345招生人數(shù)y/千人0.811.31.72.2（I）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；（II）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點(diǎn)，且．（I）求四棱錐的高；（II）求二面角的正弦值．18．（17分）已知橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．（I）求的方程；（II）若圓的兩條相互垂直的切線均不與坐標(biāo)軸垂直，且直線分別與相交于點(diǎn)A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．19．（17分）已知函數(shù)，．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．（II）已知關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，其中，．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．邯鄲市2024屆高三年級(jí)第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)·答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．答案C命題意圖本題考查集合的表示與運(yùn)算．解析，，所以．2．答案C命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和運(yùn)算．解析，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以解得．3．答案B命題意圖本題考查平面向量的性質(zhì)．解析因?yàn)?，所以，解得，所以?．答案A命題意圖本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．解析的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以的系數(shù)為．5．答案D命題意圖本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)．解析設(shè)的公比為．因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，解得舍去），從而．6．答案A命題意圖本題考查拋物線的性質(zhì)．解析由題知，準(zhǔn)線方程為．如圖，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以的周長(zhǎng)，當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即周長(zhǎng)的最小值為13．7．答案B命題意圖本題考查函數(shù)的綜合性質(zhì)．解析因?yàn)槭桥己瘮?shù)，，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減．，，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，故?．答案C命題意圖本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征．解析由題意知與均為等邊三角形，連接，，則，，是二面角的平面角，所以，又易知，所以是等邊三角形．設(shè)為的外心，為的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)O，P，Q都在平面內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖．設(shè)，則，，所以．又，所以，因?yàn)?，所以，則可得，，從而，．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．答案AC命題意圖本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)．解析對(duì)于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；對(duì)于B，由，可知，的焦點(diǎn)只能在軸上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)的半焦距為，則，，焦距為，故C正確；對(duì)于D，離心率，，，的取值范圍是，故D錯(cuò)誤．10．答案BD命題意圖本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及相關(guān)計(jì)算．解析由圖可知該多面體有24個(gè)頂點(diǎn)，36條棱，故A錯(cuò)誤，B正確；該多面體的棱長(zhǎng)為1，且表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正六邊形組成，故該多面體的表面積為，故C錯(cuò)誤；正八面體的體積為，切割掉6個(gè)棱長(zhǎng)均為1的正四棱錐，減少的體積為，所以該阿基米德多面體的體積為，故D正確．11．答案ABC命題意圖本題考查正弦定理、余弦定理和三角恒等變換的綜合應(yīng)用．解析由題意知，整理得，由余弦定理知，，，．對(duì)于A，，，，，的取值范圍為，故A正確；對(duì)于B，為邊的中點(diǎn)，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，故B正確；對(duì)于C，，是銳角三角形，，，，故C正確；對(duì)于D，由題意得，即，整理得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．答案（答案不唯一，，等也正確）命題意圖本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)．解析由題意知，所以，又，所以，，，…．13．答案8命題意圖本題考查隨機(jī)變量的分布列與期望．解析任取2張卡片的所有10種結(jié)果中，每個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)了4次，故．14．答案2命題意圖本題考查不等式的性質(zhì)．解析若，則，此時(shí)，因?yàn)?，所以和中至少有一個(gè)小于等于2，所以，又當(dāng)，時(shí)，，所以的最大值為2．若，則，此時(shí)，因?yàn)?，所以和中至少有一個(gè)小于2，所以．綜上，的最大值為2．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．命題意圖本題考查數(shù)列的性質(zhì)與數(shù)列求和．解析（I）因?yàn)椋?，所以，即．?dāng)時(shí)，，又適合上式，所以．（II），故．16．命題意圖本題考查線性回歸分析的應(yīng)用．解析（I）由題意知，，所以，因?yàn)榕c1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（II），，所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，由此預(yù)測(cè)當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)為2.8千人．17．命題意圖本題考查空間垂直關(guān)系以及空間向量的應(yīng)用．解析（I）如圖，過(guò)作的平行線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，．由已知得，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．由已知可得四邊形為矩形，所以，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，從而．又因?yàn)?，，所以平面，從而．因?yàn)?，所以平面．所以四棱錐的高即．（II）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)是平面的法向量，則可取設(shè)是平面的法向量，則可?。?，所以二面角的正弦值為．18．命題意圖本題考查橢圓的方程、橢圓與直線的位置關(guān)系．解析（I）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，所以解得故的方程為．（II）由題知的斜率存在且不為0．設(shè)．因?yàn)榕c圓相切，所以，得．聯(lián)立與的方程，可得，設(shè)，，則，．所以，將代入，可得．用替換，可得．四邊形的面積．令，則，可得，再令，，則，可得，即四邊形面積的最小值為．19．命題意圖本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)．解析（I），所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（II）（i）由，得，該方程有一根為，且，所以即有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且這3個(gè)實(shí)數(shù)根均不為．令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，且當(dāng)無(wú)限趨近于時(shí)，且趨近于0，當(dāng)從0的