2021年常微分方程試題庫

常微分方程一、填空題1．微分方程階數(shù)是____________答：12．若和在矩形區(qū)域內(nèi)是持續(xù)函數(shù),且有持續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則方程有只與關(guān)于積分因子充要條件是_________________________答：3．_________________________________________稱為齊次方程.答：形如方程4．如果___________________________________________,則存在唯一解,定義于區(qū)間上,持續(xù)且滿足初始條件,其中 _______________________.答：在上持續(xù)且關(guān)于滿足利普希茲條件5．對于任意，(為某一矩形區(qū)域),若存在常數(shù)使______________________,則稱在上關(guān)于滿足利普希茲條件.答：6．方程定義在矩形區(qū)域:上,則通過點(diǎn)解存在區(qū)間是___________________答：7．若是齊次線性方程個解,為其伏朗斯基行列式,則滿足一階線性方程___________________________________答：8．若為齊次線性方程一種基本解組，為非齊次線性方程一種特解,則非齊次線性方程所有解可表為_____________________答：9．若為畢卡逼近序列極限，則有__________________答：10．______________________稱為黎卡提方程，若它有一種特解，則通過變換___________________，可化為伯努利方程．答：形如方程11．一種不可延展解存在區(qū)間一定是區(qū)間．答：開12．方程滿足解存在唯一性定理條件區(qū)域是．答：，（或不含x軸上半平面）13．方程所有常數(shù)解是．答：14．函數(shù)組在區(qū)間I上線性無關(guān)條件是它們朗斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零．答：充分15．二階線性齊次微分方程兩個解為方程基本解組充分必要條件是．答：線性無關(guān)（或：它們朗斯基行列式不等于零）16．方程基本解組是．答：17．若在上持續(xù)，則方程任一非零解與軸相交．答：不能18．在方程中，如果，在上持續(xù)，那么它任一非零解在平面上與軸相切．答：不能19．若是二階線性齊次微分方程基本解組，則它們共同零點(diǎn)．答：沒有20．方程常數(shù)解是．答：21．向量函數(shù)組在其定義區(qū)間上線性有關(guān)條件是它們朗斯基行列式，．答：必要22．方程滿足解存在唯一性定理條件區(qū)域是．答：平面23．方程所有常數(shù)解是．答：24．方程基本解組是．答：25．一階微分方程通解圖像是維空間上一族曲線．答：2二、單項選取題1．階線性齊次微分方程基本解組中解個數(shù)正好是（A）個．（A）（B）-1（C）+1（D）+22．如果，都在平面上持續(xù)，那么方程任一解存在區(qū)間（D）．（A）必為（B）必為（C）必為（D）將因解而定3．方程滿足初值問題解存在且唯一定理條件區(qū)域是（D）．（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y軸外全平面4．一階線性非齊次微分方程組任兩個非零解之差（C）．（A）不是其相應(yīng)齊次微分方程組解（B）是非齊次微分方程組解（C）是其相應(yīng)齊次微分方程組解（D）是非齊次微分方程組通解5.方程過點(diǎn)共有（B）個解．（A）一（B）無數(shù)（C）兩（D）三6.方程（B）奇解．（A）有三個（B）無（C）有一種（D）有兩個7．階線性齊次方程所有解構(gòu)成一種（A）線性空間．（A）維（B）維（C）維（D）維8．方程過點(diǎn)（A）．（A）有無數(shù)個解（B）只有三個解（C）只有解（D）只有兩個解9.持續(xù)是保證對滿足李普希茲條件（B）條件．（A）充分（B）充分必要（C）必要（D）必要非充分10．二階線性非齊次微分方程所有解（C）．（A）構(gòu)成一種2維線性空間（B）構(gòu)成一種3維線性空間（C）不能構(gòu)成一種線性空間（D）構(gòu)成一種無限維線性空間11．方程奇解是（D）．（A）（B）（C）（D）12．若，是一階線性非齊次微分方程兩個不同特解，則該方程通解可用這兩個解表達(dá)為（C）．（A）（B）（C）（D）13．持續(xù)是方程初值解唯一（D）條件．（A）必要（B）必要非充分（C）充分必要（D）充分14.方程（C）奇解．（A）有一種（B）有兩個（C）無（D）有無數(shù)個15．方程過點(diǎn)(0，0)有（A）．(A)無數(shù)個解(B)只有一種解(C)只有兩個解(D)只有三個解三、求下列方程通解或通積分1．解：，則因此此外也是方程解2．求方程通過第三次近似解解：3．討論方程，解存在區(qū)間解：兩邊積分因此方程通解為故過解為通過點(diǎn)解向左可以延拓到，但向右只能延拓到２，因此解存在區(qū)間為4．求方程奇解解：運(yùn)用鑒別曲線得消去得即因此方程通解為，因此是方程奇解5．解：=，=，=，因此方程是恰當(dāng)方程.得因此故原方程解為6．解：故方程為黎卡提方程.它一種特解為,令，則方程可化為，即，故7．解：兩邊同除以得因此，此外也是方程解8．解當(dāng)時，分離變量得等式兩端積分得即通解為9.解齊次方程通解為令非齊次方程特解為代入原方程，擬定出原方程通解為+10.解方程兩端同乘以，得令，則，代入上式，得通解為原方程通解為11．解由于，因此原方程是全微分方程．取，原方程通積分為即12．解：當(dāng)，時，分離變量取不定積分，得通積分為13．解原方程可化為于是積分得通積分為14．解：令，則，代入原方程，得分離變量，取不定積分，得（）通積分為：15．解令，則，代入原方程，得，當(dāng)時，分離變量，再積分，得即通積分為：16．解：齊次方程通解為令非齊次方程特解為代入原方程，擬定出原方程通解為+17.解積分因子為原方程通積分為即18．解：原方程為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程，可改寫為即分離變量得積分得通積分19．解令，則原方程參數(shù)形式為由基本關(guān)系式，有積分得得原方程參數(shù)形式通解為20．解原方程可化為于是積分得通積分為21．解：由于，因此原方程是全微分方程．取，原方程通積分為即四、計算題1．求方程通解．解相應(yīng)齊次方程特性方程為：特性根為：故齊次方程通解為：由于是單特性根．因此，設(shè)非齊次方程特解為代入原方程，有，可解出．故原方程通解為2．求下列方程組通解．解方程組特性方程為即特性根為，相應(yīng)解為其中是相應(yīng)特性向量分量，滿足可解得．同樣可算出相應(yīng)特性向量分量為．因此，原方程組通解為3．求方程通解．解：方程特性根為，齊次方程通解為由于不是特性根。因此，設(shè)非齊次方程特解為代入原方程，比較系數(shù)得擬定出，原方程通解為4．求方程通解．解相應(yīng)齊次方程特性方程為，特性根為，，齊次方程通解為由于是特性根。因此，設(shè)非齊次方程特解為代入原方程，比較系數(shù)擬定出，，原方程通解為五、證明題1．在方程中，已知，在上持續(xù)，且．求證：對任意和，滿足初值條件解存在區(qū)間必為．證明:由已知條件，該方程在整個平面上滿足解存在唯一及解延展定理條件．顯然是方程兩個常數(shù)解．任取初值，其中,．記過該點(diǎn)解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾．故該解存在區(qū)間必為．2．設(shè)和是方程任意兩個解，求證：它們朗斯基行列式，其中為常數(shù)．證明:如果和是二階線性齊次方程解，那么由劉維爾公式有當(dāng)前，故有