湖南省長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

湖南省長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列命題中，一定正確的是（）A．若，則a＞0，b＜0 B．若a＞b，b≠0，則C．若a＞b，a+c＞b+d，則c＞d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd參考答案：A【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【分析】A．由a＞b，=＞0，可得ab＜0，因此a＞0＞b，即可判斷出正誤．B．b＜0時(shí)不成立．C．取a=6，b=1，c=1，d=2，即可判斷出正誤．D．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，即可判斷出正誤．【解答】解：A．∵a＞b，=＞0，∴ab＜0，因此a＞0＞b，正確．B．b＜0時(shí)不成立．C．取a=6，b=1，c=1，d=2，滿足a＞b，a+c＞b+d，而c＜d，因此不正確．D．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，滿足a＞b，c＞d，則ac＜bd，不正確．故選：A．2.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是（1，﹣），則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（）A．（2，） B．（2，﹣） C．（2，） D．（2，2kπ+）（k∈Z）參考答案：B【考點(diǎn)】極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置．【分析】利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式即可得出．【解答】解：點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是（1，﹣），則點(diǎn)M的極坐標(biāo)=2，tan=﹣，可得θ=﹣．∴極坐標(biāo)為．故選：B．3.設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A.

B．[－2,2]

C．[－4,4]

D．[－1,1]參考答案：D4.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù),且函數(shù)在處取得極小值,則函數(shù)的圖象可能是 （

）

參考答案：A5.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最小值為(

)

A、

B、

C、2

D、1參考答案：A6.已知命題p:3≥3,q:3>4，則下列判斷正確的是(

)A．pq為真，pq為真，p為假

B．pq為真，pq為假，p為真C．pq為假，pq為假，p為假

D．pq為真，pq為假，p為假參考答案：D略7.下列命題：①“若a2＜b2，則a＜b”的否命題；②“全等三角形面積相等”的逆命題；③“若a＞1，則ax2﹣2ax+a+3＞0的解集為R”的逆否命題；④“若x（x≠0）為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”的逆否命題．其中正確的命題是（）A．③④ B．①③ C．①② D．②④參考答案：A【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】結(jié)合四種命題的定義，及互為逆否的兩個(gè)命題，真假性相同，分別判斷各個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，則a＜b”的否命題為“若a2≥b2，則a≥b”為假命題，故錯(cuò)誤；②“全等三角形面積相等”的逆命題“面積相等的三角形全等”為假命題，故錯(cuò)誤；③若a＞1，則△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此時(shí)ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，則ax2﹣2ax+a+3＞0的解集為R”為真命題，故其逆否命題為真命題，故正確；④“若x（x≠0）為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”為真命題，故其的逆否命題，故正確．故選：A8.已知雙曲線與拋物線y2=4x的交點(diǎn)為A，B，且直線AB過雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)F，則雙曲線的實(shí)軸長為（）A．+1 B． C．﹣1 D．2﹣2參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)相同，可得c=1，利用直線AB，過兩曲線的公共焦點(diǎn)建立方程關(guān)系即可求出a．【解答】解：∵與拋物線y2=4x，∴c=1，∵直線AB過兩曲線的公共焦點(diǎn)F，∴（1，2）為雙曲線上的一個(gè)點(diǎn)，∴﹣=1，∵a2+b2=1，∴a=﹣1，∴2a=2﹣2．故選：D．9.如果10N的力能使彈簧壓縮10cm，為在彈簧限度內(nèi)將彈簧拉長6cm，則力所做的功為（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J參考答案：D【考點(diǎn)】69：定積分的簡單應(yīng)用．【分析】根據(jù)胡克定律F=kx，得：k=，即W=Fdx═100xdx，解得答案．【解答】解：根據(jù)胡克定律F=kx，得：k===100N/m，∴W=Fdx═100xdx=0.18J，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是定積分的簡單應(yīng)用，其中得到功的表達(dá)式是解答的關(guān)鍵．10.對(duì)于分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k，下列說法正確的是

()A．k越大，推斷“X與Y有關(guān)系”，犯錯(cuò)誤的概率越大B．k越小，推斷“X與Y有關(guān)系”，犯錯(cuò)誤的概率越大C．k越接近于0，推斷“X與Y無關(guān)”，犯錯(cuò)誤的概率越大D．k越大，推斷“X與Y無關(guān)”，犯錯(cuò)誤的概率越小參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.代數(shù)式（1﹣x）（1+x）5的展開式中x3的系數(shù)為_____．參考答案：0【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出（1+x）5的展開式，即可得到x3的系數(shù).【詳解】∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（?x?x2?x3?x4?x5），∴（1﹣x）（1+x）5展開式中x3的系數(shù)為110．故答案為：0．【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式定理，關(guān)鍵在于熟練掌握定理的展開式，根據(jù)多項(xiàng)式乘積關(guān)系求得指定項(xiàng)的系數(shù).12.．已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝，b＝，若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，則k的值為________．參考答案：略13.已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若a2?a3=2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S6=．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)．

【專題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知可得q=，a1=16，代入等比數(shù)列的求和公式可得．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則可得a1q?a1q2=2a1，即a4==2又a4與2a7的等差中項(xiàng)為，所以a4+2a7=，即2+2×2q3=，解之可得q=，故a1=16故S6==故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬中檔題．14.已知，且，則

▲

.參考答案：2

略15.f(x)＝2x4－3x2＋1在上的最大值、最小值分別是

參考答案：21，.16.從編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)球中任取2個(gè)球，使它們的編號(hào)之和為奇數(shù)的概率是________

參考答案：略17.已知橢圓內(nèi)部的一點(diǎn)為，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

▲

．參考答案：右準(zhǔn)線方程為，設(shè)M到右準(zhǔn)線的距離為d，由圓錐曲線定義知，∴d＝MF.∴MA＋MF＝MA＋d.由A向右準(zhǔn)線作垂線，垂線段長即為MA＋d的最小值．MA＋d≥2－1.答案：2－1點(diǎn)睛：本題利用橢圓的第二定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即，所以d＝MF.即MA＋MF＝MA＋d，由A向右準(zhǔn)線作垂線，垂線段長即為MA＋d的最小值．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F（1）求證：PC⊥面AEF；（2）設(shè)平面AEF交PD于G，求證：AG⊥PD.

參考答案：（Ⅰ）∵平面，面∴，又，∴面,面，∴∴面,面，∴，又∵,∴面.

（Ⅱ）設(shè)平面交于，由（Ⅰ）知面∴,由（Ⅰ）同理面,面，∴∴面,面，∴，19.（12分）等差數(shù)列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.20.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其外接圓為圓H．（1）若直線l過點(diǎn)C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程；（2）對(duì)于線段BH（包括端點(diǎn)）上的任意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求圓C的半徑r的取值范圍．參考答案：（1）線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，所以外接圓圓心，半徑，圓的方程為．設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，所以．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，顯然符合題意，即為所求；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，綜上，直線的方程為或．

…………6分

（2）解法一：直線的方程為，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，又都在半徑為的圓上，所以即因?yàn)樵撽P(guān)于的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以,又，所以對(duì)成立．而在[0,1]上的值域?yàn)閇,10]，所以且．又點(diǎn)在圓外，所以對(duì)成立，即．故圓的半徑的取值范圍為．

…………15分解法二：過點(diǎn)作交弦于點(diǎn)，則點(diǎn)為弦的中點(diǎn)．設(shè)，則有，．由勾股定理知，整理可得，所以對(duì)恒成立．令，由，可得，所以且，又，所以圓的半徑的取值范圍是．

…………15分21.在等差數(shù)列{an}中，．?dāng)?shù)列{bn}滿足，且為等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意可得：，所以；，所以因此；┄┈┈

6分（2）由（1）知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為22.設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）求f(x)的極值點(diǎn)；（2）如果曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-------------------------------------------------（1分）令,解得或,------------