湖南省株洲市火田中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

湖南省株洲市火田中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+12﹣3an+1an﹣4an2=0，則{an}的通項(xiàng)an=(

)A．a(chǎn)n=22n﹣1 B．a(chǎn)n=2n C．a(chǎn)n=22n+1 D．a(chǎn)n=22n﹣3參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題．【分析】先考慮an+12﹣3an+1an﹣4an2=0分解轉(zhuǎn)化，能得出（an+1﹣4an）（an+1+an）=0，繼而，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解得．【解答】解：由an+12﹣3an+1an﹣4an2=0得（（an+1﹣4an）（an+1+an）=0{an}是正項(xiàng)數(shù)列∴an+1﹣4an=0，，由等比數(shù)列定義，數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列．由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，an=2×4n﹣1=22n﹣1．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題首先將給出的遞推公式進(jìn)行分解轉(zhuǎn)化，數(shù)列{an}的屬性豁然而出．解決不再是難事．2.下列命題中正確的是（）A．若p：?x∈R，x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，x2+x+1＜0B．若p∨q為真命題，則p∧q也為真命題C．“函數(shù)f（x）為奇函數(shù)”是“f（0）=0”的充分不必要條件D．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的否命題為真命題參考答案：D【考點(diǎn)】四種命題．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題來判斷A是否正確；根據(jù)復(fù)合命題真值表判斷B的正確性；利用函數(shù)是否在0上有定義來判斷C是否正確；寫出命題的否命題，判斷真假，可得D是正確的．【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，￢P為：?x∈R，x2+x+1≥0，故A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，若p∨q為真命題，則命題p、q至少一個(gè)為真命題；而p∧q為真命題，則命題p、q都為真命題，故B錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，∵奇函數(shù)f（x）的定義域不包括0，則f（0）=0不成立，∴不滿足充分性，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，∵命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的否命題是：“若x2﹣3x+2≠0，則x≠1”，又x2﹣3x+2≠0?x≠1且x≠2，故D正確．故選：D．3.一條直線的傾斜角的正弦值為，則此直線的斜率是A．

B．

C．

D．參考答案：D4.下列各數(shù)中最小的一個(gè)是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B5.將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同}，B={至少出現(xiàn)一個(gè)3點(diǎn)}，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.已知直線互相平行，則的值是（

）A.

B.

C.或

D.或參考答案：A7.從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．300 B．216 C．180 D．162參考答案：C【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)原理，從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；取0此時(shí)2和4只能取一個(gè)，0不可能排在首位，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為C32C21[A44﹣A33]，根據(jù)加法原理得到結(jié)果．【解答】解：由題意知，本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)原理，第一類：從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為C32A44=72第二類：取0，此時(shí)2和4只能取一個(gè)，0不能排在首位，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為C32C21[A44﹣A33]=108∴組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為108+72=180故選C．8.已知集合，，則A∩B=（

）A.{－1,0,1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{－1,1}參考答案：B【分析】先求集合，然后求.【詳解】因?yàn)?，所以，選B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集.9.設(shè)直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為，若與橢圓的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B10.已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則z=x+3y的最小值是（

） A． B． C．12 D．－12參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將函數(shù)f（x）=sin（2x+）的圖象向右平移m個(gè)單位（m＞0），若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值是

．參考答案：利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的奇偶性，求得m的最小正值．解：將函數(shù)f（x）=sin（2x+）的圖象向右平移m個(gè)單位（m＞0），可得y=sin[2（x﹣m）+]=sin（2x﹣2m+），若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則﹣2m+=kπ+，k∈Z，即m=﹣﹣，則m的最小正值為，故答案為：．12.命題“若a，b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的否命題是．參考答案：若a，b不都是奇數(shù)，則a+b不是偶數(shù)【考點(diǎn)】四種命題．【分析】欲寫出它的否命題，須同時(shí)對(duì)條件和結(jié)論同時(shí)進(jìn)行否定即可．【解答】解：條件和結(jié)論同時(shí)進(jìn)行否定，則否命題為：若a，b不都是奇數(shù)，則a+b不是偶數(shù)．故答案為：若a，b不都是奇數(shù)，則a+b不是偶數(shù)13.若行列式中第一行第二列元素的代數(shù)余子式的值為4，則a=

．參考答案：2【考點(diǎn)】二階行列式的定義．【分析】本題直接根據(jù)行列式的代數(shù)余子式的定義進(jìn)行計(jì)算，即可得到本題結(jié)論．【解答】解：∵行列式中第一行第二列元素的代數(shù)余子式的值為4，∴﹣=4，∴﹣（a﹣3a）=4，∴a=2．故答案為：2．14.

▲

.參考答案：略15.已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D，且，則C的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】由橢圓的性質(zhì)求出|BF|的值，利用已知的向量間的關(guān)系、三角形相似求出D的橫坐標(biāo)，再由橢圓的第二定義求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立關(guān)于a、c的方程，解方程求出的值．【解答】解：如圖，，作DD1⊥y軸于點(diǎn)D1，則由，得，所以，，即，由橢圓的第二定義得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問題的捷徑．16.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，其中線段平面，E，F(xiàn)分別是線段AD和BC的中點(diǎn)，當(dāng)正四面體繞以AB為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段EF在平面上的射影長(zhǎng)的范圍是

▲

．

參考答案：[，]．略17.在正方體ABCD-A1B1C1D1各個(gè)表面的對(duì)角線中，與AD1所成角為的有

▲條（填數(shù)字）.參考答案：8三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.橢圓C：+=1（a＞b＞0）．（1）若橢圓C過點(diǎn)（﹣3，0）和（2，）．①求橢圓C的方程；②若過橢圓C的下頂點(diǎn)D點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與橢圓C相交于點(diǎn)P，M，求證：直線PM經(jīng)過一定點(diǎn)；（2）若橢圓C過點(diǎn)（1，2），求橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）①由橢圓過兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法能求出橢圓C的方程．②由題意得PD、MD的斜率存在且不為0，設(shè)直線PD的斜率為k，則PD：y=kx﹣1，與橢圓方程聯(lián)立求出P點(diǎn)坐標(biāo)，用﹣代k，得M點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出直線PM，從而能證明直線PM經(jīng)過定點(diǎn)T（0，）．（2）橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離d=，由此利用換元法及基本不等式性質(zhì)能求出橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值．【解答】解：（1）①∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（﹣3，0）和（2，），∴，解得a=3，b=1，∴橢圓C的方程為．證明：②由題意得PD、MD的斜率存在且不為0，設(shè)直線PD的斜率為k，則PD：y=kx﹣1，由，得P（，），用﹣代k，得M（，），∴=，∴直線PM：y﹣=，即y=，∴直線PM經(jīng)過定點(diǎn)T（0，）．解：（2）橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離d=，由=1，得，∴==，令t=a2﹣5，t＞0，則=t++9≥2+9=4+9，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，時(shí)，等號(hào)成立，∴橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，考查橢圓中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、均值定理的合理運(yùn)用．19.如圖所示，已知橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F2（1，0），點(diǎn)A（1，）在橢圓上．（1）求橢圓方程；（2）點(diǎn)M（x0，y0）在圓x2+y2=b2上，點(diǎn)M在第一象限，過點(diǎn)M作圓x2+y2=b2的切線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問||+||+||是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（I）由已知中橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F2（1，0），可得c值，點(diǎn)H（1，）在橢圓上，可得a值，進(jìn)而求出b值后，可得橢圓方程；（II）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），分別求出|F2P|，|F2Q|，結(jié)合相切的條件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2求出|PQ|，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵右焦點(diǎn)為F2（1，0），∴c=1∴左焦點(diǎn)為F1（1，0），點(diǎn)H（1，）在橢圓上，∴2a=|HF1|+|HF2|=4，∴a=2，∴b==∴橢圓方程為﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），（|x1|≤2）∴|PF2|2=（x1﹣1）2+y12=（x1﹣4）2，∴|PF2|=2﹣x1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣連接OM，OP，由相切條件知：|PM|2=|OP|2﹣|OM|2=x12+y12﹣3=x12，∴|PM|=x1，∴|PF2|+|PM|=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理可求|QF2|+|QM|=2∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=4為定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握橢圓的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20.傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火爆熒屏。將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)人數(shù)的條形圖.若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí)，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95﹪的把握認(rèn)為選手成績(jī)“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)？

優(yōu)秀合格合計(jì)大學(xué)組

中學(xué)組

合計(jì)

注：，其中.0.100.050.0052.70638417.879

（2）若江西參賽選手共80人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù)；參考答案：（1）沒有95﹪的把握認(rèn)為優(yōu)秀與文化程度有關(guān)；（2）60人【分析】（1）根據(jù)條形圖即可完成2×2列聯(lián)表，把數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算出，與臨界值比較，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)條形圖計(jì)算出所抽取的100人中的優(yōu)秀率，即可得到80人中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù)?！驹斀狻浚?）由條形圖可知2×2列聯(lián)表如下

優(yōu)秀合格合計(jì)大學(xué)組451055中學(xué)組301545合計(jì)7525100

沒有95﹪的把握認(rèn)為優(yōu)秀與文化程度有關(guān).（2）由條形圖知，所抽取的100人中，優(yōu)秀等級(jí)有75人，故優(yōu)秀率為.所有參賽選手中優(yōu)秀等級(jí)人數(shù)約為人.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的運(yùn)用，考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生讀圖能力，屬于基礎(chǔ)題。21.為了了解九年級(jí)學(xué)生中女生的身高(單位：cm)情況．某中學(xué)對(duì)九年級(jí)女生身高進(jìn)行了一次測(cè)量，所得數(shù)據(jù)整理后列出了頻率分布表如下：(1)求出表中m，n，M，N所表示的數(shù)分別是多少？(2)畫出頻率分布直方圖；(3)全體女生中身高在哪組范圍內(nèi)的人數(shù)最多？估計(jì)九年級(jí)學(xué)生中女生的身高在161.5以上的概率？

參考答案：略22.某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)中，數(shù)學(xué)學(xué)院志愿者有8人，其中含5名男生，3名女生；外語(yǔ)學(xué)院志愿者有4人，其中含1名男生，3名女生．現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從兩個(gè)學(xué)院中共抽取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)．（1）求從數(shù)學(xué)學(xué)院抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率；（2）記ξ為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）由已知得理科組抽取2人，文科組抽取1人，從理科組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的情況有：一男一女、兩女，由此能求出從數(shù)學(xué)學(xué)院抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率．（2）由題意可知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的