線性代數(shù)（財經(jīng)類） 課件 3.3向量組的線性相關(guān)性

§3.3向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

定義：給定向量組A：a1,a2,…,am

，如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1

+k2a2

+…+kmam

=0（零向量）則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的．

向量組

線性相關(guān)例如：

線性無關(guān)備注

給定向量組A，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居其一．若向量組只包含一個向量：當

a

是零向量時，線性相關(guān)；當

a不是零向量時，線性無關(guān)．說明：

備注

a,b

線性相關(guān)當且僅當a,b

的分量對應(yīng)成比例，其幾何意義是兩向量共線．說明：a,b

,c線性相關(guān)的幾何意義是這三個向量共面．說明：向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，通常是指m≥2的情形.向量組線性相關(guān)性的判定向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性表示．向量組線性無關(guān)性的判定向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)

如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m

元齊次線性方程組Ax=0只有零解．

矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)

m．

向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線性表示．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．例題

解：

可見R(a1,a2,a3

)=2<3，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)；

同時，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關(guān)．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解題思路：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題；轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．例題

解法1：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題．已知，記作B=AK．設(shè)Bx=0，則(AK)x=A(Kx)=0．因為向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，所以Kx=0．又|K|=2≠0，那么Kx=0只有零解

xi

=0，從而向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．例題

解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．已知，記作B=AK．因為|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，R(A)=3，從而R(B)=3，向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．例題

定理

向量組

1

2

s(s

2)線性相關(guān)的充分必要條件是

其中至少有一個向量是其余s

1個向量的線性組合

證明：必要性

因為

1

2

s線性相關(guān)

故存在一組不全為零的數(shù)k1

k2

ks使

k1

1

k2

2

ks

s

0成立

不妨設(shè)k1

0

于是即

1為

2

3

s的線性組合

充分性如果

1

2

s中至少有一個向量是其余s

1個向量的線性組合

不妨設(shè)

1

k2

2

k3

3

ks

s因此存在一組不全為零的數(shù)

1

k2

k3

ks使(

1)

1

k2

2

k3

3

ks

s

0成立

即

1

2

s線性相關(guān)

相關(guān)定理

舉例

設(shè)有向量組

1

(1

1

1

0)

2

(1

0

1

0)

3

(0

1

0

0)

因為

1

2

3

0

故

1

2

3線性相關(guān)

由

1

2

3

0可得

1

2

3

2

1

3

3

1

2相關(guān)定理

定理：

如果向量組

1

2

s

線性相關(guān)

而

1

2

s線性無關(guān)

則向量

可由向量組

1

2

s線性表示且表示法唯一

證

因為

1

2

s

線性相關(guān)因而存在一組不全為零的數(shù)k1

k2

ks及k

使k1

1

k2

2

ks

s

k0成立其中必有k0否則上式成為

k1

1

k2

2

ks

s0且k1

k2

ks不全為零這與

1

2

s線性無關(guān)矛盾因此k0

故即

可由向量組

1

2

s線性表示

先證明

可由

1

2

s線性表示相關(guān)定理

證

再證表示法唯一如果

h1

1

h2

2

hs

s

且

l1

1

l2

2

ls

s則有

(h1

l1)

1

(h2

l2)

2

(hs

ls)

s

0成立

由

1

2

s線性無關(guān)可知

h1

l1

h2

l2

hs

ls

0即h1

l1

h2

l2

hs

ls

所以表示法是唯一的

相關(guān)定理

舉例

任何一個向量

(a1

a2

an)都可由初始單位向量組

1

(1

0

0)

2

(0

1

0)

n

(0

0

1)唯一地線性表示

即

a1

1

a2

2

an

n相關(guān)定理

定理設(shè)有兩個向量組

1

2

s(A)及

1

2

t

(B)向量組(B)可由向量組(A)線性表示

如果s

t

則向量組(B)線性相關(guān)按已知

存在s

t矩陣A使

(

1

2

t)

(

1

2

s)A

因為s

t

所以齊次線性方程組Ax

0有非零解

設(shè)它的一個非零解為

(k1

k2

kt)T

則

A

0從而

(

1

2

t)

(

1

2

s)A

0即

k1

1

k2

2

kt

t

0這說明向量組(B)線性相關(guān)

證明

相關(guān)定理

推論2

設(shè)向量組(A)與向量組(B)等價

如果(A)

(B)都是線性無關(guān)的

則s

t