信號(hào)與系統(tǒng)課件

第一章緒論1.1基本概念1、信號(hào)與系統(tǒng)2、信號(hào)

信號(hào)是一組數(shù)據(jù)或信息，它是消息的表現(xiàn)形式，通常體現(xiàn)為隨若干變量而變化的某種物理量。在數(shù)學(xué)上，可以描述為一個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)。例如，在電子信息系統(tǒng)中，常用的電壓、電流、電荷或磁通等電信號(hào)可以理解為是時(shí)間t或其他變量的函數(shù)；又如在圖像處理系統(tǒng)中，描述平面黑白圖像像素灰度變化情況的圖像信號(hào)，可以表示為平面坐標(biāo)位置(x,y)的函數(shù)，等等。如果信號(hào)是單個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)，稱這種信號(hào)為一維信號(hào)。一般情況下，信號(hào)為n個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)時(shí)，就稱為n維信號(hào)。本課只討論一維信號(hào)。并且，為了方便起見(jiàn)，一般都將信號(hào)的自變量設(shè)為時(shí)間t或序號(hào)k。3、系統(tǒng)是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。

所謂系統(tǒng)模型是指對(duì)實(shí)際系統(tǒng)基本特性的一種抽象描述。根據(jù)不同需要，系統(tǒng)模型往往具有不同形式。以電系統(tǒng)為例，它可以是由理想元器件互聯(lián)組成的電路圖，由基本運(yùn)算單元(如加法器、乘法器、積分器等)構(gòu)成的模擬框圖，或者由節(jié)點(diǎn)、傳輸支路組成的信號(hào)流圖；也可以是在上述電路圖、模擬框圖或信號(hào)流圖的基礎(chǔ)上，按照一定規(guī)則建立的用于描述系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)方程。這種數(shù)學(xué)方程也稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)（system）：由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的，具有特定功能的整體。如太陽(yáng)系、通信系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等。系統(tǒng)可以看作是變換器、處理器。電系統(tǒng)具有特殊的重要地位，某個(gè)電路的輸入、輸出是完成某種功能，如微分、積分、放大，也可以稱系統(tǒng)。在電子技術(shù)領(lǐng)域中，“系統(tǒng)”、“電路”、“網(wǎng)絡(luò)”三個(gè)名詞在一般情況下可以通用。如果系統(tǒng)只有單個(gè)輸入和單個(gè)輸出信號(hào)，則稱為單輸入單輸出系統(tǒng)，如圖所示。如果含有多個(gè)輸入、輸出信號(hào)，就稱為多輸入多輸出系統(tǒng)。為傳送消息而裝設(shè)的全套技術(shù)設(shè)備（包括傳輸信道）。信號(hào)理論信號(hào)分析：研究信號(hào)的基本性能，如信號(hào)的描述、性質(zhì)等。信號(hào)傳輸：通信的目的是為了實(shí)現(xiàn)消息的傳輸。原始的光通信系統(tǒng)——古代利用烽火傳送邊疆警報(bào)；聲音信號(hào)的傳輸——擊鼓鳴金；GPS(GlobalPositioningSystem)；個(gè)人通信具有美好的發(fā)展前景；光纖通信帶來(lái)了更加寬廣的帶寬；信號(hào)的傳輸離不開(kāi)信號(hào)的交換。信號(hào)處理：對(duì)信號(hào)進(jìn)行某種加工或變換。目的：消除信號(hào)中的多余內(nèi)容；濾除混雜的噪聲和干擾；將信號(hào)變換成容易分析與識(shí)別的形式，便于估計(jì)和選擇它的特征參量。信號(hào)處理的應(yīng)用已遍及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。

系統(tǒng)理論系統(tǒng)分析：給定系統(tǒng)，研究系統(tǒng)對(duì)于輸入激勵(lì)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)綜合：按照給定的需求設(shè)計(jì)（綜合）系統(tǒng)。重點(diǎn)討論信號(hào)的分析、系統(tǒng)的分析，分析是綜合的基礎(chǔ)。4、信號(hào)的分類確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)任一由確定時(shí)間函數(shù)描述的信號(hào)，稱為確定信號(hào)或規(guī)則信號(hào)。對(duì)于這種信號(hào)，給定某一時(shí)刻后，就能確定一個(gè)相應(yīng)的信號(hào)值。如果信號(hào)是時(shí)間的隨機(jī)函數(shù)，事先將無(wú)法預(yù)知它的變化規(guī)律，這種信號(hào)稱為不確定信號(hào)或隨機(jī)信號(hào)。

連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)一個(gè)信號(hào)，如果在某個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)除有限個(gè)間斷點(diǎn)外都有定義，就稱該信號(hào)在此區(qū)間內(nèi)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱連續(xù)信號(hào)。這里“連續(xù)”一詞是指在定義域內(nèi)（除有限個(gè)間斷點(diǎn)外）信號(hào)變量是連續(xù)可變的。至于信號(hào)的取值，在值域內(nèi)可以是連續(xù)的，也可以是跳變的。僅在離散時(shí)刻點(diǎn)上有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)。這里“離散”一詞表示自變量只取離散的數(shù)值，相鄰離散時(shí)刻點(diǎn)的間隔可以是相等的，也可以是不相等的。在這些離散時(shí)刻點(diǎn)以外，信號(hào)無(wú)定義。信號(hào)的值域可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。數(shù)字信號(hào)：時(shí)間和幅值均為離散的信號(hào)。主要討論確定性信號(hào)。先連續(xù)，后離散；先周期，后非周期。模擬信號(hào)：時(shí)間和幅值均為連續(xù)的信號(hào)。抽樣信號(hào)：時(shí)間離散的，幅值連續(xù)的信號(hào)。量化抽樣判斷下列波形是連續(xù)時(shí)間信號(hào)還是離散時(shí)間信號(hào)，若是離散時(shí)間信號(hào)是否為數(shù)字信號(hào)？連續(xù)信號(hào)離散信號(hào)離散信號(hào)數(shù)字信號(hào)周期信號(hào)與非周期信號(hào)周期信號(hào)是每隔一個(gè)固定的時(shí)間間隔重復(fù)變化的信號(hào)。連續(xù)周期信號(hào)與離散周期信號(hào)的數(shù)學(xué)表示分別為f(t)=f(t+nT),n=±1,±2,±3,…,-∞<t<∞f=f(k+nN),n=±1,±2,±3,…,-∞<k<∞,(k取整數(shù))瞬態(tài)信號(hào)：除準(zhǔn)周期信號(hào)外的一切可以用時(shí)間函數(shù)描述的非周期信號(hào)。能量信號(hào)與功率信號(hào)如果把信號(hào)f(t)看作是隨時(shí)間變化的電壓和電流，則當(dāng)信號(hào)f(t)通過(guò)1Ω電阻時(shí)，信號(hào)在時(shí)間間隔-Ｔ≤t≤T內(nèi)所消耗的能量稱為歸一化能量，即為而在上述時(shí)間間隔-Ｔ≤t≤T內(nèi)的平均功率稱為歸一化功率，即為若信號(hào)f(t)的能量有界（即0<W<∞，這時(shí)P=0）則稱其為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。若信號(hào)f(t)的功率有界（即0<P<∞，這時(shí)W是∞）則稱其為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。一維信號(hào)： 只由一個(gè)自變量描述的信號(hào)，如語(yǔ)音信號(hào)。多維信號(hào)： 由多個(gè)自變量描述的信號(hào)，如圖像信號(hào)。5、系統(tǒng)的分類連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散系統(tǒng)若系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，且其內(nèi)部也未轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)，則稱此系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。若系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)，則稱離散時(shí)間系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)經(jīng)常與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)組合運(yùn)用，這種情況稱為混合系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，而離散時(shí)間系統(tǒng)則用差分方程描述。即時(shí)系統(tǒng)與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)如果系統(tǒng)的輸出信號(hào)只決定于同時(shí)刻的激勵(lì)信號(hào)，與它過(guò)去的工作狀態(tài)（歷史）無(wú)關(guān)，則稱此系統(tǒng)為即時(shí)系統(tǒng)（或無(wú)記憶系統(tǒng)）。如果系統(tǒng)的輸出信號(hào)不僅取決于同時(shí)刻的激勵(lì)信號(hào)，而且與它過(guò)去的工作狀態(tài)有關(guān)，這種系統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（或記憶系統(tǒng)）。凡是包含有記憶作用的元件（如電容、電感、磁芯等）或記憶電路（或寄存器）的系統(tǒng)都屬此類。即時(shí)系統(tǒng)可用代數(shù)方程描述，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型則是微分方程或差分方程。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)具有疊加性與均習(xí)性（也稱齊次性）的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。所謂疊加性是指當(dāng)幾個(gè)激勵(lì)信號(hào)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，總的輸出響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和；而均勻性的含義是，當(dāng)輸入信號(hào)乘以某常數(shù)時(shí)，響應(yīng)也倍乘相同的常數(shù)。不滿足疊加性或均勻性的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)如果系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而變化，則稱為系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)（或非時(shí)變系統(tǒng)、定常系統(tǒng)）；如果系統(tǒng)的參量隨時(shí)間改變，則稱其為時(shí)變系統(tǒng)（或參變系統(tǒng)）。

可逆系統(tǒng)與不可逆系統(tǒng)若系統(tǒng)在不同的激勵(lì)信號(hào)作用下產(chǎn)生不同的響應(yīng)，則稱此系統(tǒng)為可逆系統(tǒng)。對(duì)于每個(gè)可逆系統(tǒng)都存在一個(gè)“逆系統(tǒng)”，當(dāng)原系統(tǒng)與此逆系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組合后，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相同。重要特性：其對(duì)時(shí)間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。單邊指數(shù)信號(hào)通常把稱為指數(shù)信號(hào)的時(shí)間常數(shù)，記作

,代表信號(hào)衰減速度，具有時(shí)間的量綱。l

指數(shù)衰減,l

指數(shù)增長(zhǎng)l

直流(常數(shù)),KO1.2常用的連續(xù)時(shí)間信號(hào)1、指數(shù)信號(hào)衰減正弦信號(hào)：

2、正弦信號(hào)

歐拉(Euler)公式復(fù)平面上的一個(gè)單位圓上的點(diǎn)，與實(shí)軸夾角為θ時(shí)，此點(diǎn)可表示為e是自然對(duì)數(shù)的底，此式稱為歐拉(Euler)公式。e可以用計(jì)算方法定義為歐拉公式由泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)三角函數(shù)可表示為同樣若展開(kāi)，可得到歐拉公式與三角函數(shù)的關(guān)系討論3．復(fù)指數(shù)信號(hào)性質(zhì)①②③④⑤⑥

4．抽樣信號(hào)(SamplingSignal)例：

>0，右移(滯后)

<0，左移(超前)宗量相同，函數(shù)值相同，求新坐標(biāo)f(t+1)的波形？1．信號(hào)的平移（或移位）例：以縱軸為軸折疊，把信號(hào)的過(guò)去與未來(lái)對(duì)調(diào)。

2．反褶波形的壓縮與擴(kuò)展，標(biāo)度變換3．信號(hào)的展縮（ScaleChanging）a>1時(shí)，f(at)波形被壓縮為f(t)波形的1/a倍；0<a<1時(shí)，f(at)波形被申展為f(t)波形的1/a倍；注意！先展縮：

a>1，壓縮a倍；a<1，擴(kuò)展1/a倍

后平移：

+，左移b/a單位；－，右移b/a單位

一切變換都是相對(duì)t而言最好用先翻縮后平移的順序

加上倒置：

4．一般情況解:驗(yàn)證：計(jì)算特殊點(diǎn)例題：已知f(t)，求f(3t+5)。宗量t宗量3t+5函數(shù)值t=-13t+5=-1，t=-21t=03t+5=0，t=-5/31t=13t+5=1，t=-4/30時(shí)移標(biāo)度變換標(biāo)度變換時(shí)移沖激信號(hào)二．微分和積分同一瞬時(shí)兩信號(hào)對(duì)應(yīng)值相加（相乘）。三．兩信號(hào)相加和相乘§1.4階躍信號(hào)和沖激信號(hào)

函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)(跳變點(diǎn))或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的一類函數(shù)統(tǒng)稱為奇異信號(hào)或奇異函數(shù)。主要內(nèi)容：?jiǎn)挝恍弊冃盘?hào)單位階躍信號(hào)單位沖激信號(hào)沖激偶信號(hào)1．

定義3．三角形脈沖

由宗量t-t0=0可知起始點(diǎn)為2．有延遲的單位斜變信號(hào)一．單位斜變信號(hào)1.定義宗量<0函數(shù)值為0由宗量，函數(shù)有斷點(diǎn)，跳變點(diǎn)宗量>0函數(shù)值為12.有延遲的單位階躍信號(hào)二．單位階躍信號(hào)其他函數(shù)只要用門函數(shù)處理(乘以門函數(shù))，就只剩下門內(nèi)的部分。

符號(hào)函數(shù)：(Signum)門函數(shù)：也稱窗函數(shù)3．用單位階躍信號(hào)描述其他信號(hào)概念引出定義1定義2沖激函數(shù)的性質(zhì)三．單位沖激（難點(diǎn)）函數(shù)值只在t=0時(shí)不為零；

積分面積為1；

t=0時(shí)，，為無(wú)界函數(shù)。

定義1：狄拉克(Dirac)函數(shù)面積1；脈寬↓；

脈沖高度↑；

則窄脈沖集中于t=0處?！锩娣e為1★寬度為0★三個(gè)特點(diǎn)：定義2若面積為k，則強(qiáng)度為k。三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖、抽樣函數(shù)取

0極限，都可以認(rèn)為是沖激函數(shù)。時(shí)移的沖激函數(shù)描述1．抽樣性2．奇偶性3．沖激偶4．標(biāo)度變換沖激函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于移位情況：如果f(t)在t=0處連續(xù)，且處處有界，則有

1、抽樣性(篩選性)分和討論

積分結(jié)果為0

沖激函數(shù)抽樣性質(zhì)證明證明奇偶性時(shí)，主要考察此函數(shù)的作用，即和其他函數(shù)共同作用的結(jié)果。由定義1，矩形脈沖本身是偶函數(shù)，故極限也是偶函數(shù)。由抽樣性證明奇偶性。沖激函數(shù)奇偶性證明2.

奇偶性3.沖激偶利用分部積分運(yùn)算①②時(shí)移，則：

③④沖激偶的性質(zhì)沖激偶的標(biāo)度變換

4.對(duì)

(t)的標(biāo)度變換從定義看：

p(t)面積為1，強(qiáng)度為1

p(at)面積為，強(qiáng)度為沖激信號(hào)尺度變換的證明分析：用兩邊與f(t)的乘積的積分值相等證明，分a>0、a<0兩種情況

兩邊相等(1)(2)

R(t)

求 ↓↑ 積 (-

<t<)

u(t)導(dǎo) ↓↑ 分

(t)

四.總結(jié)：R(t)，u(t)，

(t)之間的關(guān)系（1）抽樣性（2）奇偶性（3）比例性（4）微積分性質(zhì)（5）沖激偶（6）卷積性質(zhì)

沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)信號(hào)的平均功率=信號(hào)的直流功率+交流功率一．直流分量與交流分量對(duì)任何實(shí)信號(hào)而言：信號(hào)的平均功率=偶分量功率+奇分量功率

二．偶分量與奇分量例求f(t)的奇分量和偶分量1．矩形窄脈沖序列此窄脈沖可表示為三．脈沖分量出現(xiàn)在不同時(shí)刻的，不同強(qiáng)度的沖激函數(shù)的和。2．連續(xù)階躍信號(hào)之和將信號(hào)分解為沖激信號(hào)疊加的方法應(yīng)用很廣，后面的卷積積分中將用到，可利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)的信號(hào)可分解為實(shí)虛部?jī)刹糠种?。即?shí)際中產(chǎn)生的信號(hào)為實(shí)信號(hào)，可以借助于復(fù)信號(hào)來(lái)研究實(shí)信號(hào)。共軛復(fù)函數(shù)四．實(shí)部分量與虛部分量

如果用正交函數(shù)集來(lái)表示一個(gè)信號(hào)，那么，組成信號(hào)的各分量就是相互正交的。把信號(hào)分解為正交函數(shù)分量的研究方法在信號(hào)與系統(tǒng)理論中占有重要地位，這將是本課程討論的主要課題。我們將在第三章中開(kāi)始學(xué)習(xí)。

五．正交函數(shù)分量分形幾何理論簡(jiǎn)稱分形理論或分?jǐn)?shù)維理論；創(chuàng)始人為B.B.Mandelbrot;分形是“其部分與整體有形似性的體系”；在信號(hào)傳輸與處理領(lǐng)域應(yīng)用分形技術(shù)的實(shí)例表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：圖像數(shù)據(jù)壓縮、語(yǔ)音合成、地震信號(hào)或石油探井信號(hào)分析、聲納或雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)、通信網(wǎng)業(yè)務(wù)流量描述等。這些信號(hào)的共同特點(diǎn)都是具有一定的自相似性，借助分性理論可提取信號(hào)特征，并利用一定的數(shù)學(xué)迭代方法大大簡(jiǎn)化信號(hào)的描述，或自動(dòng)生成某些具有自相似特征的信號(hào)。可瀏覽網(wǎng)站：六．利用分形（fractal）理論描述信號(hào)§1.6系統(tǒng)模型及其分類描述系統(tǒng)的基本單元方框圖系統(tǒng)的定義和表示系統(tǒng)的分類1.加法器2.乘法器3.標(biāo)量乘法器（數(shù)乘器，比例器）4.微分器5.積分器6.延時(shí)器一．信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算（基本元件）3.標(biāo)量乘法器（數(shù)乘器，比例器）

2.乘法器

1.加法器

注意:

與公式中的卷積符號(hào)相區(qū)別，沒(méi)有卷積器。

基本元件14.微分器

5.積分器

6.延時(shí)器

基本元件2例請(qǐng)用積分器畫(huà)出如下微分方程所代表的系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖。方程左端只保留輸出的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)積分n=2次，使方程左端只剩下r(t)項(xiàng)系統(tǒng)框圖如下頁(yè)：系統(tǒng)框圖系統(tǒng)：具有特定功能的總體，可以看作信號(hào)的變換器、處理器。系統(tǒng)模型：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。

系統(tǒng)的表示：

數(shù)學(xué)表達(dá)式：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。

系統(tǒng)圖：形象地表示其功能。二．系統(tǒng)的定義和表示三．系統(tǒng)的分類重點(diǎn)研究:

確定性信號(hào)作用下的集總參數(shù)線性時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)非時(shí)變時(shí)變非線性線性

若系統(tǒng)在不同的激勵(lì)信號(hào)作用下產(chǎn)生不同的響應(yīng)，則稱此系統(tǒng)為可逆系統(tǒng)。若系統(tǒng)在t0時(shí)刻的響應(yīng)只與t=t0和t<t0時(shí)刻的輸入有關(guān)，否則，即為非因果系統(tǒng)?！?.7

線性時(shí)不變系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分特性因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)指具有線性特性的系統(tǒng)。

線性系統(tǒng)：線性:指均勻性，疊加性。疊加性：均勻性(齊次性)：1.定義一．線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性特性先線性運(yùn)算，再經(jīng)系統(tǒng)＝先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運(yùn)算若注意：外加激勵(lì)與系統(tǒng)非零狀態(tài)單獨(dú)處理。則系統(tǒng)是線性系統(tǒng),否則是非線性系統(tǒng)。

2.

判斷方法判斷下述微分方程所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)?分析：根據(jù)線性系統(tǒng)的定義，證明此系統(tǒng)是否具有均勻性和疊加性?？梢宰C明：

所以此系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。請(qǐng)看下面證明過(guò)程系統(tǒng)不滿足均勻性系統(tǒng)不具有疊加性例1設(shè)信號(hào)e(t)作用于系統(tǒng)，響應(yīng)為r(t)原方程兩端乘A：

(1),(2)兩式矛盾。故此系統(tǒng)不滿足均勻性當(dāng)Ae(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，若此系統(tǒng)具有線性，則證明均勻性(5)、(6)式矛盾，該系統(tǒng)為不具有疊加性假設(shè)有兩個(gè)輸入信號(hào)分別激勵(lì)系統(tǒng)，則由所給微分方程式分別有：

當(dāng)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，若該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，應(yīng)有(3)+(4)得證明疊加性一個(gè)系統(tǒng)，在零初始條件下，其輸出響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，稱為非時(shí)變系統(tǒng)，否則稱為時(shí)變系統(tǒng)。認(rèn)識(shí):電路分析上看:元件的參數(shù)值是否隨時(shí)間而變

從方程看:系數(shù)是否隨時(shí)間而變從輸入輸出關(guān)系看:時(shí)不變性1.定義二．時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變性先時(shí)移，再經(jīng)系統(tǒng)＝先經(jīng)系統(tǒng)，再時(shí)移若則系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng),否則是時(shí)變系統(tǒng)。2.

判斷方法例2判斷下列兩個(gè)系統(tǒng)是否為非時(shí)變系統(tǒng)。1.系統(tǒng)的作用是對(duì)輸入信號(hào)作余弦運(yùn)算。所以此系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)1：系統(tǒng)2：此系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。系統(tǒng)作用:輸入信號(hào)乘cost系統(tǒng)2：

判斷系統(tǒng)是否為線性非時(shí)變系統(tǒng)。是否為線性系統(tǒng)？是否為時(shí)不變系統(tǒng)？可見(jiàn),先線性運(yùn)算，再經(jīng)系統(tǒng)＝先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運(yùn)算,所以此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。

例3可見(jiàn)，時(shí)移、再經(jīng)系統(tǒng)經(jīng)系統(tǒng)、再時(shí)移，所以此系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。是否為時(shí)不變系統(tǒng)呢？線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微分特性、積分特性利用線性證明，可推廣至高階。三．線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分特性1.

定義因果系統(tǒng)是指當(dāng)且僅當(dāng)輸入信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)輸出（響應(yīng)）的系統(tǒng)。也就是說(shuō)，因果系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）不會(huì)出現(xiàn)在輸入信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)以前的時(shí)刻。系統(tǒng)的這種特性稱為因果特性。符合因果性的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)(非超前系統(tǒng))。輸出不超前于輸入2.判斷方法四.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)表示為：非因果系統(tǒng)的概念與特性也有實(shí)際的意義，如信號(hào)的壓縮、擴(kuò)展，語(yǔ)音信號(hào)處理等。

若信號(hào)的自變量不是時(shí)間，如位移、距離、亮度等為變量的物理系統(tǒng)中研究因果性顯得不很重要。t=0接入系統(tǒng)的信號(hào)稱為因果信號(hào)。3.實(shí)際的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)4.因果信號(hào)現(xiàn)在的響應(yīng)=現(xiàn)在的激勵(lì)+以前的激勵(lì)

所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。未來(lái)的激勵(lì)所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。例4著眼于激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系，而不考慮系統(tǒng)內(nèi)部變量情況；單輸入/單輸出系統(tǒng)；列寫(xiě)一元n階微分方程。輸入

輸出描述法：狀態(tài)變量分析法：不僅可以給出系統(tǒng)的響應(yīng)，還可以描述內(nèi)部變量，如電容電壓或電感電流的變化情況。研究多輸入/多輸出系統(tǒng)；列寫(xiě)多個(gè)一階微分方程。一.建立系統(tǒng)模型的兩種方法§1.8

系統(tǒng)分析方法例題例題1：畫(huà)函數(shù)波形例題2：沖激函數(shù)的性質(zhì)例題3：信號(hào)的運(yùn)算例題4：列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程例題5：系統(tǒng)的線性特性例題6：系統(tǒng)的時(shí)不變特性例題7：系統(tǒng)的因果性粗略繪出下列各函數(shù)式的波形圖

描繪信號(hào)波形是本課程的一項(xiàng)基本訓(xùn)練，在繪圖時(shí)應(yīng)注意信號(hào)的基本特征，對(duì)所繪出的波形，應(yīng)標(biāo)出信號(hào)的初值、終值及一些關(guān)鍵的值，如極大值和極小值等，同時(shí)應(yīng)注意階躍、沖激信號(hào)的特點(diǎn)。例1從而求得波形圖為此題應(yīng)注意沖激信號(hào)的性質(zhì)波形如下圖求下列函數(shù)值本例目的在于熟悉并正確應(yīng)用沖激函數(shù)的性質(zhì)。例2方法一：方法二：方法二沒(méi)有注意利用沖激函數(shù)的性質(zhì)，求解過(guò)程較繁。另外，對(duì)沖激偶信號(hào)的性質(zhì)往往被錯(cuò)誤寫(xiě)成從而得出錯(cuò)誤結(jié)論。在描繪某些信號(hào)的波形時(shí)，有時(shí)不必求出函數(shù)的表達(dá)式，而可直接利用信號(hào)運(yùn)算及相應(yīng)的波形變換圖解。畫(huà)(2)的波形時(shí)，應(yīng)先畫(huà)出(1)的波形。需要注意，對(duì)信號(hào)的基本運(yùn)算都是對(duì)獨(dú)立的、單一的變量t而言的，而不是對(duì)變量at或at+b進(jìn)行變換。已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，請(qǐng)畫(huà)出下列函數(shù)的波形。例3對(duì)信號(hào)的波形進(jìn)行微分變換時(shí)，應(yīng)注意在函數(shù)的跳變點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)沖激信號(hào)。例4某連續(xù)系統(tǒng)的框圖如圖(a)所示，寫(xiě)出該系統(tǒng)的微分方程。系統(tǒng)框圖有兩個(gè)積分器。故描述該系統(tǒng)的是二階微分方程。由于積分器的輸出是其輸入信號(hào)的積分，因而積分器的輸入信號(hào)是輸出信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)。左方積分器的輸入信號(hào)為從加法器入手，找其入出關(guān)系。則其輸入信號(hào)為圖中設(shè)右方積分器的輸出信號(hào)為將上式除f(t)以外的各項(xiàng)移到等號(hào)左端，得由加法器的輸出，得連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)除用數(shù)學(xué)方程描述外，還可用框圖表示系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系，一個(gè)方框圖可以表示一個(gè)具有某種功能的部件，也可以表示一個(gè)子系統(tǒng)。每個(gè)方框內(nèi)部的具體結(jié)構(gòu)并非是考察重點(diǎn)，只注重其輸入輸出之間的關(guān)系。如果已知系統(tǒng)的微分或差分方程，也可以畫(huà)出相應(yīng)的框圖。但解不是惟一的。由系統(tǒng)框圖列寫(xiě)微分（或差分）方程的步驟選中間變量x(·)。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，設(shè)其最右端積分器的輸出為x(t)；對(duì)于離散系統(tǒng)，設(shè)其最左端遲延單元的輸入為x(n)；寫(xiě)出各加法器輸出信號(hào)的方程；消去中間變量x(·)。在檢驗(yàn)一個(gè)系統(tǒng)的線性時(shí)，重要的是要牢記：系統(tǒng)必須同時(shí)滿足可加性和齊次性。先經(jīng)系統(tǒng)再線性運(yùn)算例5先經(jīng)系統(tǒng)再線性運(yùn)算與先線性運(yùn)算再經(jīng)系統(tǒng)結(jié)果不等，所以系統(tǒng)是非線性的。,先線性運(yùn)算再經(jīng)系統(tǒng)此系統(tǒng)的作用是展寬輸入系統(tǒng)的信號(hào)，一切變換都是對(duì)t而言例6經(jīng)系統(tǒng)右移1右移1經(jīng)系統(tǒng)圖解說(shuō)明系統(tǒng)的輸入為x(t)，輸出為y(t)，系統(tǒng)關(guān)系如下,判斷系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)。在檢驗(yàn)一個(gè)系統(tǒng)的因果性時(shí)，重要的是要考查系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系，同時(shí)要把輸入信號(hào)的影響仔細(xì)地從在系統(tǒng)定義中所用到的其他函數(shù)的的影響區(qū)分開(kāi)來(lái)。例7經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過(guò)卷積積分法:

任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過(guò)沖激響應(yīng)來(lái)求。(新方法)系統(tǒng)分析過(guò)程線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解；沖激響應(yīng)h(t)的求解；卷積的圖解說(shuō)明；卷積的性質(zhì)；零狀態(tài)響應(yīng)：。本章主要內(nèi)容許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來(lái)模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來(lái)描述?！?.2微分方程的式的建立與求解一．物理系統(tǒng)的模型本節(jié)復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法：物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫(xiě)n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。二．微分方程的列寫(xiě)電感電阻電容根據(jù)KCL代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡(jiǎn)有這是一個(gè)代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。

求并聯(lián)電路的端電壓與激勵(lì)間的關(guān)系。()tisRRiLLiCciab+-()tv例2-2-1

一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來(lái)描述若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。三．n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述分析系統(tǒng)的方法：列寫(xiě)方程，求解方程。

求解方程時(shí)域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。四．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法

我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0，響應(yīng)為時(shí)的方程的解，初始條件齊次解：由特征方程→求出特征根→寫(xiě)出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。

初始條件的確定是此課程要解決的問(wèn)題。全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。經(jīng)典法系統(tǒng)的特征方程為

特征根因而對(duì)應(yīng)的齊次解為例2-2-3如果已知：

分別求兩種情況下此方程的特解。給定微分方程式為使等式兩端平衡，試選特解函數(shù)式

將此式代入方程得到

例2-2-4等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有聯(lián)解得到所以，特解為

這里，B是待定系數(shù)。代入方程后有：(2)例2-2-5根據(jù)電路形式，列回路方程列結(jié)點(diǎn)電壓方程(1)（1）列寫(xiě)電路的微分方程系統(tǒng)的特征方程特征根齊次解方程右端自由項(xiàng)為代入式(1)要求系統(tǒng)的完全響應(yīng)為特解(2)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)換路前(3)因而有由于電容兩端電壓和電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變,求得要求的完全響應(yīng)為(4)激勵(lì)函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解電容電壓的突變電感電流的突變沖激函數(shù)匹配法確定初始條件§2.3起始點(diǎn)的跳變我們來(lái)進(jìn)一步討論的條件。

一．起始點(diǎn)的跳變當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從到狀態(tài)有沒(méi)有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。

一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過(guò)電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況;但是當(dāng)有沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫作用于電感，狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。說(shuō)明配平的原理：t=0時(shí)刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡(其他項(xiàng)也應(yīng)該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項(xiàng)）例：

該過(guò)程可借助數(shù)學(xué)描述三．沖激函數(shù)匹配法確定初始條件在中時(shí)刻有

中的表示到的相對(duì)跳變函數(shù)，所以，分析設(shè)則代入方程得出所以得即即數(shù)學(xué)描述（1）將e(t)代入微分方程，t≥0得例2-3-3方程右端的沖激函數(shù)項(xiàng)最高階次是，因而有

代入微分方程(2)在一定條件下，激勵(lì)源與起始狀態(tài)之間可以等效轉(zhuǎn)換。即可以將原始儲(chǔ)能看作是激勵(lì)源。電容的等效電路電感的等效電路一．起始狀態(tài)與激勵(lì)源的等效轉(zhuǎn)換電路等效為起始狀態(tài)為零的電容與電壓源的串聯(lián)等效電路中的電容器的起始狀態(tài)為零電容器的等效電路故電路等效為起始狀態(tài)為零的電感L和電流源

的并聯(lián)。電感的等效電路自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng) (Natural+forced)零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng) (Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng) (Transient+Steady-state)二．系統(tǒng)響應(yīng)劃分也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。

形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t增加，它將消失。

由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。

沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。

不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。

(1)自由響應(yīng)：(2)暫態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：(3)零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：各種系統(tǒng)響應(yīng)定義

系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數(shù)。

系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)=激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，即求解由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)在下述意義上是線性的。(1)響應(yīng)可分解為：零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)。(2)零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于各激勵(lì)信號(hào)呈線性。(3)零輸入線性：當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性。

三．對(duì)系統(tǒng)線性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)例2-4-1解得系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。

1．定義2．一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)一．沖激響應(yīng)§2.5沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)列系統(tǒng)微分方程：求下圖RC電路的沖激響應(yīng)。（條件：）沖激在時(shí)轉(zhuǎn)為系統(tǒng)的儲(chǔ)能（由體現(xiàn)），t>0時(shí)，在非零初始條件下齊次方程的解，即為原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。齊次方程例2-5-1一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)特征方程特征根下面的問(wèn)題是確定系數(shù)A,求A有兩種方法：方法2：奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法，定系數(shù)A。方法1：沖激函數(shù)匹配法求出，定系數(shù)A。即:電容器的電流在t=0時(shí)有一沖激，這就是電容電壓突變的原因。注意！據(jù)方程設(shè)代入方程得得出所以代入原方程整理，方程左右奇異函數(shù)項(xiàng)系數(shù)相平衡

已知方程沖激響應(yīng)求導(dǎo)注意！利用奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡原理求解響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n次)(1)沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng),可以用一高階微分方程表示

激勵(lì)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為m次)令e(t)=

(t)則r(t)=h(t) 3．n階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)設(shè)特征根為簡(jiǎn)單根（無(wú)重根的單根）

由于及其導(dǎo)數(shù)在時(shí)都為零，因而方程式右端的自由項(xiàng)恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。

②與n,

m相對(duì)大小有關(guān)①與特征根有關(guān)(2)h(t)解答的形式系統(tǒng)是零狀態(tài)的，故由系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性，原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為積分為1有界函數(shù)，在無(wú)窮小區(qū)間積分為0含

(t)項(xiàng)積分不為0定初始條件解：求特征根沖激響應(yīng)求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。將e(t)→

(t)， r(t)→h(t)帶u(t)求待定系數(shù)求0+法,奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法例2-5-2代入h(t),得求0+定系數(shù)根據(jù)系數(shù)平衡，得用奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法求待定系數(shù)

系統(tǒng)的輸入，其響應(yīng)為。系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數(shù)，所以除了齊次解外，還有特解項(xiàng)。我們也可以根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)特性，利用沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)關(guān)系求階躍響應(yīng)。

系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)。1．定義二．階躍響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微、積分特性2．階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系方法1：沖激函數(shù)匹配法求出躍變值，定系數(shù)A。方法2：奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法，定系數(shù)A。

方法3:齊次解法求沖激響應(yīng)。求沖激響應(yīng)的幾種方法利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。一．卷積（Convolution）任意信號(hào)e(t)可表示為沖激序列之和這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。二．利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)由于系統(tǒng)的因果性或激勵(lì)信號(hào)存在時(shí)間的局限性，卷積的積分限會(huì)有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關(guān)鍵的。三．卷積的計(jì)算用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復(fù)雜時(shí)，用圖形分段求出定積分限尤為方便準(zhǔn)確，用解析式作容易出錯(cuò)，最好將兩種方法結(jié)合起來(lái)。

卷積的圖解說(shuō)明1．列寫(xiě)KVL方程2．沖激響應(yīng)為例2-6-1借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限4.定積分限（關(guān)鍵）波形例2-6-2浮動(dòng)坐標(biāo)：下限上限t-3t-0t：移動(dòng)的距離t=0f2(t-

)未移動(dòng)t>0f2(t-

)右移t<0f2(t-

)左移-11浮動(dòng)坐標(biāo)兩波形沒(méi)有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

-1

時(shí)兩波形有公共部分，積分開(kāi)始不為0，積分下限-1，上限t，t為移動(dòng)時(shí)間;-1t

1即1

t

21t

2即2

t

42

t

4即t

4t-3

1t

4卷積結(jié)果[A,B][C,D][A+C,B+D]一般規(guī)律：上限下限當(dāng)或?yàn)榉沁B續(xù)函數(shù)時(shí)，卷積需分段，積分限分段定。

上限取小，下限取大(1)積分上下限(2)卷積結(jié)果區(qū)間-1+1積分上下限和卷積結(jié)果區(qū)間的確定(1)t：觀察響應(yīng)的時(shí)刻，是積分的參變量；

:信號(hào)作用的時(shí)刻，積分變量從因果關(guān)系看，必定有(2)分析信號(hào)是手段，卷積中沒(méi)有沖激形式，但有其內(nèi)容；即de(

)是h(t-)的加權(quán)，積分e(

)是h(t-)的加權(quán)，求和

(t-

)的響應(yīng)四．對(duì)卷積積分的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)(3)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過(guò)沖激響應(yīng)h(t)建立了響應(yīng)r(t)與激勵(lì)e(t)之間的關(guān)系。(4)卷積是數(shù)學(xué)方法，也可運(yùn)用于其他學(xué)科。信號(hào)無(wú)起因時(shí)：一般數(shù)學(xué)表示：(5)積分限由存在的區(qū)間決定，即由的范圍決定。例2-6-3求解響應(yīng)的方法：時(shí)域經(jīng)典法：雙零法：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：完全解=齊次解+特解解齊次方程，用初（起）始條件求系數(shù)；總結(jié)§2.7卷積的性質(zhì)代數(shù)性質(zhì)微分積分性質(zhì)與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積1．交換律2．分配律3．結(jié)合律一．代數(shù)性質(zhì)系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：時(shí)域中，子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。

系統(tǒng)級(jí)聯(lián)推廣：微分性質(zhì)積分性質(zhì)聯(lián)合實(shí)用對(duì)于卷積很方便。g(t)的積分微分n次，積分m次m=n,微分次數(shù)＝積分次數(shù)二．微分積分性質(zhì)兩端對(duì)t求導(dǎo)

即已知交換律微積分性質(zhì)的證明推廣：三.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積例2-7-1

用微積分性質(zhì)直接注意發(fā)展歷史1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。主要內(nèi)容本章從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)問(wèn)題開(kāi)始討論，引出傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。通過(guò)典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。本章最后研究抽樣信號(hào)的傅里葉變換，引入抽樣定理?！?.2周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分析三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系頻譜圖函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系周期信號(hào)的功率傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差主要內(nèi)容：一．三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集t在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,...

由積分可知1.三角函數(shù)集在滿足狄氏條件時(shí)，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)2．級(jí)數(shù)形式狄利克雷（Dirichlet）條件條件3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。條件2：在一周期內(nèi)，有有限個(gè)極大值和極小值。條件1：在一周期內(nèi)，有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的左、右極限都存在，即下列三種情況均稱之為第一類間斷點(diǎn)。1、f(x0-0)和f(x0+0)都存在，但f(x0-0)≠f(x0+0)；2、f(x0-0)=f(x0+0)≠f(x0)；3、f(x0-0)=f(x0+0)，而f(x0)不確定。例3-2-1求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為直流基波諧波其他形式余弦形式正弦形式關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性。

幅度頻率特性和相位頻率特性二．指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)1．復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集2．級(jí)數(shù)形式3．系數(shù)利用復(fù)變函數(shù)的正交特性說(shuō)明三．兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖利用歐拉公式相頻特性幅頻特性和相頻特性幅頻特性頻譜圖幅度頻譜相位頻譜離散譜，譜線請(qǐng)畫(huà)出其幅度譜和相位譜。例3-2-2化為余弦形式三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的譜系數(shù)

化為指數(shù)形式整理指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)譜線指數(shù)形式的頻譜圖三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對(duì)比三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖四．小結(jié)（1）周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式（3）周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負(fù)頻率(1)周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式三角形式指數(shù)形式(2)兩種頻譜圖的關(guān)系單邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系●●●(3)三個(gè)性質(zhì)(4)引入負(fù)頻率注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性（見(jiàn)下頁(yè)）周期單位沖激序列的頻譜分析：狄氏條件是傅里葉級(jí)數(shù)存在的充分條件。根據(jù)沖激信號(hào)的定義和特性，其積分有確定值，傅里葉級(jí)數(shù)存在。即滿足離散性，諧波性，不滿足收斂性，頻帶無(wú)限寬。五．函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)注：指交流分量關(guān)系偶函數(shù)*偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)*奇函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)*偶函數(shù)=奇函數(shù)1、偶函數(shù)：2、奇函數(shù)：則f(t)為偶函數(shù)時(shí)，f(t)cosnΩt為偶函數(shù)f(t)sinnΩt為奇函數(shù)取積分后，bn=0則f(t)為奇函數(shù)時(shí)，f(t)cosnΩt為奇函數(shù)f(t)sinnΩt為偶函數(shù)取積分后，a0=an=01．偶函數(shù)信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的2．奇函數(shù)3．奇諧函數(shù)f(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化：4．偶諧函數(shù)f(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量5．結(jié)論偶無(wú)正，奇缺余奇諧偶諧奇偶行指奇次諧波分量和偶次諧波分量正弦分量余弦分量對(duì)于非正弦周期信號(hào)分解成三角付里葉級(jí)數(shù)形式時(shí)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)六．周期信號(hào)的功率這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn);表明：周期信號(hào)平均功率=直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；也就是說(shuō)，時(shí)域和頻域的能量是守恒的。繪成的線狀圖形，表示各次諧波的平均功率隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)。周期信號(hào)的功率證明對(duì)于三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)平均功率

對(duì)于指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)總平均功率=各次諧波的平均功率之和七．傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差誤差函數(shù)方均誤差主要內(nèi)容本節(jié)以周期矩形脈沖信號(hào)為例進(jìn)行分析主要討論：頻譜的特點(diǎn)，頻譜結(jié)構(gòu)，頻帶寬度，能量分布。其他信號(hào)，如周期鋸齒脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)周期半波余弦信號(hào)周期全波余弦信號(hào)請(qǐng)自學(xué)?！?.3典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)一．頻譜結(jié)構(gòu)三角函數(shù)形式的譜系數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的譜系數(shù)頻譜特點(diǎn)1．三角形式的譜系數(shù)是個(gè)偶函數(shù)2．指數(shù)形式的譜系數(shù)3．頻譜及其特點(diǎn)(1)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)(3)離散譜（諧波性）4．小結(jié)矩形脈沖的頻譜說(shuō)明了周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性。1.問(wèn)題提出二．頻帶寬度第一個(gè)零點(diǎn)集中了信號(hào)絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號(hào)的功率集中在低頻段。而總功率周期矩形脈沖信號(hào)的功率二者比值在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)來(lái)表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。2．頻帶寬度對(duì)于一般周期信號(hào)，將幅度下降為的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的頻帶寬度。記為：

語(yǔ)音信號(hào) 頻率大約為 300~3400Hz，音樂(lè)信號(hào) 50~15,000Hz，擴(kuò)音器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為15~20,000Hz。3．系統(tǒng)的通頻帶>信號(hào)的帶寬，才能不失真§3.4傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換的表示傅里葉變換的物理意義傅里葉變換存在的條件一．傅里葉變換：周期信號(hào)非周期信號(hào)連續(xù)譜，幅度無(wú)限?。浑x散譜1.引出0再用表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無(wú)限小，但相對(duì)大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。0（1）頻譜密度函數(shù)簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)單位頻帶上的頻譜值w1nw-j)(tdtetf頻譜密度函數(shù)的表示2．反變換由復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)3．傅里葉變換對(duì)歐拉公式二．傅里葉變換的表示實(shí)部虛部實(shí)部虛部模實(shí)信號(hào)偶分量奇分量相位偶函數(shù)（奇分量為零）為實(shí)函數(shù)，只有，相位

奇函數(shù)（偶分量為零）

為虛函數(shù)，只有，相位三．傅里葉變換的物理意義實(shí)函數(shù)歐拉公式積分為0

求和振幅正弦信號(hào)解釋四．傅里葉變換存在的條件所有能量信號(hào)均滿足此條件。§3.5典型非周期信號(hào)的

傅里葉變換矩形脈沖單邊指數(shù)信號(hào)直流信號(hào)符號(hào)函數(shù)升余弦脈沖信號(hào)一．單邊指數(shù)信號(hào)頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：二．矩形脈沖信號(hào)幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：三．直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接用定義求推導(dǎo)時(shí)域無(wú)限寬，頻帶無(wú)限窄證明wO四．符號(hào)函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個(gè)雙邊函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件頻譜圖五．升余弦脈沖信號(hào)頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中?！?.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換沖激函數(shù)沖激偶單位階躍函數(shù)一．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對(duì)可積條件，不能用定義求。比較二．沖激偶的傅里葉變換三．單位階躍函數(shù)§3.7傅里葉變換的基本性質(zhì)對(duì)稱性質(zhì)線性性質(zhì)奇偶虛實(shí)性尺度變換性質(zhì)時(shí)移特性頻移特性微分性質(zhì)時(shí)域積分性質(zhì)主要內(nèi)容：意義：傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；用性質(zhì)求F(ω)；了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。一．對(duì)稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡(luò)例3-7-3二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例三．奇偶虛實(shí)性在§3.4的“傅里葉變換的表示”中曾介紹過(guò)。由定義可以得到證明：奇偶虛實(shí)性證明設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）顯然四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。(2)a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。證明見(jiàn)下頁(yè)尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因?yàn)?1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時(shí)間增加a倍，變化慢了，信號(hào)在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說(shuō)明：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有頻帶成反比（證明見(jiàn)下頁(yè)），有時(shí)為加速信號(hào)的傳遞，要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮，則要以展開(kāi)頻帶為代價(jià)。（2）a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。等效脈沖寬度與等效頻帶寬度等效脈沖寬度與占有的等效帶寬成反比。五．時(shí)移特性幅度頻譜無(wú)變化，只影響相位頻譜，時(shí)移加尺度變換時(shí)移加尺度變換證明例3-7-4（時(shí)移性質(zhì)，教材3-2）求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的頻譜。解：

因?yàn)槊}沖個(gè)數(shù)增多，頻譜包絡(luò)不變，帶寬不變。例3-7-5方法一：先標(biāo)度變換，再時(shí)延方法二：先時(shí)延再標(biāo)度變換相同2．證明

1．性質(zhì)

六．頻移特性3．說(shuō)明4．應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。例3-7-6（教材例3-4）已知矩形調(diào)幅信號(hào)

解：因?yàn)轭l譜圖七．微分性質(zhì)時(shí)域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)或1．時(shí)域微分時(shí)域微分性質(zhì)證明即求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例3-7-7分析解注意如果f(t)中有確定的直流分量，應(yīng)先取出單獨(dú)求傅里葉變換，余下部分再用微分性質(zhì)。2．頻域微分性質(zhì)或推廣例3-7-8解：例3-7-9解：八．時(shí)域積分性質(zhì)也可以記作：時(shí)域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時(shí)移的單位階躍的無(wú)限積分表示，成為交換積分順序，即先求時(shí)移的單位階躍信號(hào)的傅里葉變換時(shí)域積分性質(zhì)證明（續(xù)）例3-7-10

1.求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換。解：解：§3.8卷積特性（卷積定理）卷積定理卷積定理的應(yīng)用一．卷積定理時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。頻域卷積定理卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。證明在下頁(yè)時(shí)域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時(shí)移性質(zhì)

求系統(tǒng)的響應(yīng)。

將時(shí)域求響應(yīng)，轉(zhuǎn)化為頻域求響應(yīng)。二．應(yīng)用

用時(shí)域卷積定理求頻譜密度函數(shù)。例3-8-1§3.9周期信號(hào)的傅里葉變換正弦信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換如何由F0(ω)求F(nω1)單位沖激序列的傅氏變換周期矩形脈沖序列的傅氏變換周期信號(hào)：非周期信號(hào)：周期信號(hào)的傅里葉變換如何求？與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系？引言由歐拉公式由頻移性質(zhì)一．正弦信號(hào)的傅里葉變換同理已知頻譜圖由傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：其傅氏變換(用定義)二．一般周期信號(hào)的傅里葉變換幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)三．如何由求比較式(1),(2)四．周期單位沖激序列的傅里葉變換頻譜五．周期矩形脈沖序列的傅氏變換方法1方法2利用時(shí)域卷積定理，周期T1利用沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)§3.10抽樣信號(hào)的傅里葉變換抽樣理想抽樣矩形脈沖抽樣從連續(xù)信號(hào)到離散信號(hào)的橋梁，也是對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理的第一個(gè)環(huán)節(jié)。周期信號(hào)抽樣原理圖：一．抽樣二．理想抽樣（周期單位沖激抽樣）2．沖激抽樣信號(hào)的頻譜3．討論1．抽樣信號(hào)三．矩形脈沖抽樣

關(guān)系限帶信號(hào)數(shù)學(xué)表示頻譜結(jié)構(gòu)2．舉例說(shuō)明抽樣信號(hào)與原信號(hào)頻譜的關(guān)系

3．討論的影響§3.11抽樣定理重建原信號(hào)的必要條件：不滿足此條件，就會(huì)發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。奈奎斯特(Nyquist)抽樣率和抽樣間隔例3-11-1例如音頻信號(hào)：0～3.4kHz，狄利克雷（Dirichlet）條件例1不滿足條件1的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為8，它是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的一半?？梢?jiàn)在一個(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過(guò)8，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。狄利克雷（Dirichlet）條件例2不滿足條件2的一個(gè)函數(shù)是對(duì)此函數(shù)，其周期為1，有在一周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的(T1為周期)

狄利克雷（Dirichlet）條件說(shuō)明與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)Fn都是有限值，因?yàn)闉榱私鉀Q對(duì)不符合狄氏條件信號(hào)的分析，第三章中引入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時(shí)，還可利用本章要討論的拉氏變換法擴(kuò)大信號(hào)變換的范圍。優(yōu)點(diǎn)：求解比較簡(jiǎn)單，特別是對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時(shí)，初始條件被自動(dòng)計(jì)入，因此應(yīng)用更為普遍。缺點(diǎn)：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。本章內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對(duì)拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。本章重點(diǎn)在于，以拉氏變換為工具對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析。最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點(diǎn)概念，并根據(jù)他們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應(yīng)，還要簡(jiǎn)略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題。注意與傅氏變換的對(duì)比，便于理解與記憶。從傅里葉變換到拉普拉斯變換拉氏變換的收斂一些常用函數(shù)的拉氏變換§4.2拉普拉斯變換的定義、

收斂域主要內(nèi)容一．從傅里葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換2．拉氏逆變換3．拉氏變換對(duì)二．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件；例題及說(shuō)明6.一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。三．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全s域平面收斂3.單位沖激信號(hào)4．tnu(t)§4.3拉普拉斯變換的基本

性質(zhì)主要內(nèi)容線性原函數(shù)微分原函數(shù)積分 延時(shí)（時(shí)域平移）s域平移 尺度變換初值 終值卷積 對(duì)s域微分對(duì)s域積分一．線性已知?jiǎng)t同理例題：二．原函數(shù)微分推廣：證明：電感元件的s域模型電感元件的s模型應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)設(shè)三．原函數(shù)的積分證明：①②①②電容元件的s域模型電容元件的s模型四．延時(shí)（時(shí)域平移）證明：時(shí)移特性、例題【例4-3-1】已知【例4-3-2】用時(shí)移性質(zhì)求單邊信號(hào)抽樣后的拉氏變換五．s域平移證明：例4-3-3六．尺度變換時(shí)移和標(biāo)度變換都有時(shí):證明：七．初值初值定理證明由原函數(shù)微分定理可知例4-3-4

即單位階躍信號(hào)的初始值為1。例4-3-2終值存在的條件:八．終值證明：根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式九．卷積證明：交換積分次序十．對(duì)s微分十一．對(duì)s積分兩邊對(duì)s積分：交換積分次序:證明：§4.4拉普拉斯逆變換主要內(nèi)容由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法部分分式法求拉氏逆變換兩種特殊情況一．由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法(1)部分分式法(2)利用留數(shù)定理——圍線積分法(3)數(shù)值計(jì)算方法——利用計(jì)算機(jī)二．F(s)的一般形式ai,bi為實(shí)數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點(diǎn)極點(diǎn)三．拉氏逆變換的過(guò)程四．部分分式展開(kāi)法(m<n)1.第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)2.第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)3.第三種情況：有重根存在第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)(1)找極點(diǎn)(2)展成部分分式(3)逆變換求系數(shù)如何求系數(shù)k1,k2,k3``````？第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在

求f(t)例題F(s)具有共軛極點(diǎn)，不必用部分分式展開(kāi)法求下示函數(shù)F(s)的逆變換f(t)：解：求得另一種方法3.第三種情況：有重根存在如何求k2?如何求k2?設(shè)法使部分分式只保留k2，其他分式為0逆變換一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式五．F(s)兩種特殊情況非真分式——化為真分式＋多項(xiàng)式1.非真分式——真分式＋多項(xiàng)式作長(zhǎng)除法一.用拉氏變換法分析電路的步驟列s域方程（可以從兩方面入手）

列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時(shí)域解答。二．微分方程的拉氏變換我們采用0-系統(tǒng)求解瞬態(tài)電路，簡(jiǎn)便起見(jiàn)，只要知道起始狀態(tài)，就可以利用元件值和元件的起始狀態(tài)，求出元件的s域模型。例4-5-1（4）求反變換求采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)兩種方法結(jié)果一致。使用0-系統(tǒng)使分析各過(guò)程簡(jiǎn)化。(3)對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)(4)原方程取拉氏變換三．利用元件的s域模型分析電路1.電路元件的s域模型2.電路定理的推廣線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。3.求響應(yīng)的步驟畫(huà)0-等效電路，求起始狀態(tài)；畫(huà)s域等效模型；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換V(s)或I(s)；拉氏反變換求v(t)或i(t)。電阻元件的s域模型電感元件的s域模型利用電源轉(zhuǎn)換可以得到電流源形式的s域模型：

電容元件的s域模型電流源形式：求響應(yīng)的步驟

畫(huà)0-等效電路，求起始狀態(tài)；畫(huà)s域等效模型；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換V(s)或I(s)；拉氏反變換求v(t)或i(t)。例4-5-2列s域方程:結(jié)果同例4-5-1例4-5-3(1)(2)(3)列方程解：極點(diǎn)故

逆變換設(shè)則第一種情況：階躍信號(hào)對(duì)回路作用的結(jié)果產(chǎn)生不衰減的正弦振蕩。第二種情況：引入符號(hào)所以第三種情況：第四種情況：波形§4.6系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)系統(tǒng)函數(shù)LTI互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)并聯(lián)級(jí)聯(lián)反饋連接1.定義一．系統(tǒng)函數(shù)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉氏變換之比2.H(s)的幾種情況策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)：激勵(lì)與響應(yīng)在同一端口時(shí)策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納策動(dòng)點(diǎn)阻抗轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗電壓比電流比轉(zhuǎn)移函數(shù)：激勵(lì)和響應(yīng)不在同一端口4.應(yīng)用：求系統(tǒng)的響應(yīng)3．求H(s)的方法利用網(wǎng)絡(luò)的s域元件模型圖，列s域方程→微分方程兩端取拉氏變換→二．LTIS互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)1．LTI系統(tǒng)的并聯(lián)2．LTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)3．LTI系統(tǒng)的反饋連接4．結(jié)論在s域可進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算：例4-6-1(1)在零起始狀態(tài)下，對(duì)原方程兩端取拉氏變換(2)因?yàn)樗运运岳?-6-2已知系統(tǒng)的框圖如下，請(qǐng)寫(xiě)出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和描述此系統(tǒng)的微分方程。例4-6-3解：一．序言沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)從時(shí)域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點(diǎn)與極點(diǎn)分布的研究，可以簡(jiǎn)明、直觀地給出系統(tǒng)響應(yīng)的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時(shí)域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來(lái)。

主要優(yōu)點(diǎn)：1．可以預(yù)言系統(tǒng)的時(shí)域特性；2．便于劃分系統(tǒng)的各個(gè)分量（自由／強(qiáng)迫，瞬態(tài)／穩(wěn)態(tài)）；3．可以用來(lái)說(shuō)明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性。二．H(s)零、極點(diǎn)與h(t)波形特征的對(duì)應(yīng)在s平面上，畫(huà)出H(s)的零極點(diǎn)圖：極點(diǎn)：用×表示，零點(diǎn)：用○表示1．系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)2．H(s)極點(diǎn)分布與原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系幾種典型情況一階極點(diǎn)當(dāng)，極點(diǎn)在左半平面，衰減振蕩當(dāng)，極點(diǎn)在右半平面，增幅振蕩二階極點(diǎn)有實(shí)際物理意義的物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，即隨，這表明的極點(diǎn)位于左半平面，由此可知，收斂域包括虛軸，均存在，兩者可通用，只需將即可。三．H(s)、E(s)的極點(diǎn)分布與自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)特性的對(duì)應(yīng)激勵(lì)：系統(tǒng)函數(shù)：響應(yīng)：自由響應(yīng)分量＋強(qiáng)制響應(yīng)分量討論自由響應(yīng)的極點(diǎn)只由系統(tǒng)本身的特性所決定，與激勵(lì)函數(shù)的形式無(wú)關(guān)，然而系數(shù)都有關(guān)。響應(yīng)函數(shù)r(t)由兩部分組成：系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)

自由響應(yīng)分量；激勵(lì)函數(shù)的極點(diǎn)

強(qiáng)迫響應(yīng)分量。定義系統(tǒng)行列式（特征方程）的根為系統(tǒng)的固有頻率（或稱“自然頻率”、“自由頻率”）。H(s)的極點(diǎn)都是系統(tǒng)的固有頻率；H(s)零、極點(diǎn)相消時(shí)，某些固有頻率將丟失。暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)是指激勵(lì)信號(hào)接入以后，完全響應(yīng)中瞬時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著t增大，將消失。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)＝完全響應(yīng)－瞬態(tài)響應(yīng)左半平面的極點(diǎn)產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)和瞬態(tài)響應(yīng)對(duì)應(yīng)。例4-7-1極點(diǎn)：零點(diǎn)：畫(huà)出零極點(diǎn)圖：例4-7-2，教材習(xí)題2-6(1)給定系統(tǒng)微分方程試分別求它們的完全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)，強(qiáng)迫響應(yīng)各分量，暫態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。解：方程兩端取拉氏變換零輸入響應(yīng)／零狀態(tài)響應(yīng)則

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)／暫態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)／強(qiáng)迫響應(yīng)極點(diǎn)位于s左半平面極點(diǎn)位于虛軸暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)H(s)的極點(diǎn)E(s)的極點(diǎn)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)§4.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布

決定頻響特性

定義幾種常見(jiàn)的濾波器根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線一．定義所謂“頻響特性”是指系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率的變化情況。前提：穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。

有實(shí)際意義的物理系統(tǒng)都是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。時(shí)域：頻域：H(s)的全部極點(diǎn)落在s左半平面。

其收斂域包括虛軸：拉氏變換存在傅里葉變換存在H(s)和頻響特性的關(guān)系頻響特性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)——幅頻特性——相頻特性（相移特性）二．幾種常見(jiàn)的濾波器margins三．根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線令分子中每一項(xiàng)分母中每一項(xiàng)畫(huà)零極點(diǎn)圖當(dāng)沿虛軸移動(dòng)時(shí)，各復(fù)數(shù)因子(矢量)的模和輻角都隨之改變，于是得出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。由矢量圖確定頻率響應(yīng)特性例4-8-1確定圖示系統(tǒng)的頻響特性。頻響特性分析例4-8-2研究下圖所示RC低通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性。寫(xiě)出網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移函數(shù)表達(dá)式解:頻響特性例4-8-3其轉(zhuǎn)移函數(shù)為相當(dāng)于低通與高通級(jí)聯(lián)構(gòu)成的帶通系統(tǒng)。解：低通濾波器高通濾波器頻響特性§4.9全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點(diǎn)分布

全通網(wǎng)絡(luò)最小相移網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)一．全通網(wǎng)絡(luò)所謂全通是指它的幅頻特性為常數(shù)，對(duì)于全部頻率的正弦信號(hào)都能按同樣的幅度傳輸系數(shù)通過(guò)。零、極點(diǎn)分布極點(diǎn)位于左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于虛軸互為鏡像頻率特性幅頻特性——常數(shù)相頻特性——不受約束全通網(wǎng)絡(luò)可以保證不影響待傳送信號(hào)的幅度頻譜特性，只改變信號(hào)的相位頻譜特性，在傳輸系統(tǒng)中常用來(lái)進(jìn)行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。由于N1N2N3與M1M2M3相消，幅頻特性等于常數(shù)K，即二．最小相移網(wǎng)絡(luò)●若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在右半平面有一個(gè)或多個(gè)零點(diǎn)，就稱為“非最小相移函數(shù)”，這類網(wǎng)絡(luò)稱為“非最小相移網(wǎng)絡(luò)”。三．級(jí)聯(lián)非最小相移網(wǎng)絡(luò)可代之以最小相移網(wǎng)絡(luò)與全通網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)。非最小相移網(wǎng)絡(luò)最小相移網(wǎng)絡(luò)全通網(wǎng)絡(luò)§4.10線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

引言定義（BIBO）證明由H(s)的極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性一．引言某連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)輸入為u(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為但t很大時(shí)，這個(gè)正指數(shù)項(xiàng)超過(guò)其他項(xiàng)并隨著t的增大而不斷增大

……續(xù)實(shí)際的系統(tǒng)不會(huì)是完全線性的，這樣，很大的信號(hào)將使設(shè)備工作在非線性部分，放大器的晶體管會(huì)飽和或截止，一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)可能停車或發(fā)生故障等。這不僅使系統(tǒng)不能正常工作，有時(shí)還會(huì)發(fā)生損壞危險(xiǎn)，如燒毀設(shè)備等。穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵(lì)信號(hào)的情況無(wú)關(guān)。沖激響應(yīng)和h(t)、H(s)系統(tǒng)函數(shù)從兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性，所以能從兩個(gè)方面確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。二．定義（BIBO）

一個(gè)系統(tǒng)，如果對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)所有的激勵(lì)信號(hào)e(t)其響應(yīng)r(t)滿足

則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中，穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是（絕對(duì)可積條件）：三．證明對(duì)任意有界輸入e(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：充分性充分性得證必要性必要性得證。四．由H(s)的極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性1．穩(wěn)定系統(tǒng)若H(s)的全部極點(diǎn)位于s平面的左半平面（不包括虛軸），則可滿足系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例如系統(tǒng)穩(wěn)定；系統(tǒng)穩(wěn)定。2．不穩(wěn)定系統(tǒng)如果H(s)的極點(diǎn)位于s右半平面，或在虛軸上有二階（或以上）極點(diǎn)系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。3．臨界穩(wěn)定系統(tǒng)如果H(s)極點(diǎn)位于s平面虛軸上，且只