線性代數(shù)（財經(jīng)類） 課件 第四章 其它矩陣

§4.1

矩陣的特征值與特征向量特征值與特征向量特征值與特征向量的性質(zhì)目錄Part1

特征值與特征向量特征值與特征向量注：1.階方陣

的特征值，就是使齊次線性方程組定義1設

是

階矩陣，如果數(shù)

和

維非零向量

使等式成立，則稱數(shù)

為矩陣

的特征值，非零向量

稱為矩陣

對應于特征值的特征向量.有非零解的值，滿足方程的

都是

矩陣的特征值.特征值與特征向量2.稱關(guān)于

的一元

次方程

為

的特征方程，稱

的一元

次多項式

為

的特征多項式.特征值與特征向量特征向量的定義：設

為方陣

的一個特征值，則由齊次線性方程組

可求得非零解

，那么

就是

的對應于

的特征向量.若

是方程組

的基礎解系，則

的對應于特征值

的特征向量的全體可以表示為

（

不同時為0）.特征值與特征向量綜上所述，可給出求解n階方陣A的特征值和特征向量的步驟：(1)求矩陣A的特征方程

的全部特征根(有重根)；(2)對每一個特征值

，求出齊次線性方程組的一個基礎解系

，則屬于特征值

的全部特征向量為其中

不同時為零

特征值與特征向量例1求矩陣

的特征值和特征向量.解矩陣的特征方程為

即

所以的特征值為

，

特征值與特征向量當

時，由齊次線性方程組

，即得基礎解系

當

時，由齊次線性方程組

，即故

是矩陣

對應于

的全部特征向量.

得基礎解系

故

是矩陣

對應于

的全部特征向量.

特征值與特征向量練習1求矩陣

的特征值和特征向量.答案：參照課本例2.

特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1

階矩陣

與它的轉(zhuǎn)置矩陣

有相同的特征值.

性質(zhì)2設

是

階矩陣，則

其中

是

的全體

k階子式的和.設

是

的

個特征值，則由

次代數(shù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系知，有，

特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)3*設

是

階矩陣，如果

或

有一個成立，則矩陣

的所有特征值

的模小于1，即

.

證用數(shù)學歸納法時，因為特征向量是非零向量，結(jié)論成立.設前個特征值對應得特征向量線性無關(guān)，欲證線性無關(guān).定理1若

是

階矩陣

的

個互不相等的特征值，并且

是與之對應的特征向量，則

線性無關(guān).

特征值與特征向量的性質(zhì)設有常數(shù)

，使得成立，用矩陣

左乘

式兩端，由

整理得

由

式消去

得

由于

線性無關(guān)，

故

因為

特征值與特征向量的性質(zhì)所以

于是

式化為

又因為

所以

，故

線性無關(guān).

例2設

是方陣

的特征值，證明(1)是

的特征值；(2)當

可逆時，

是

的特征值；證

因為

是

的特征值，所以有

使得

，

(1)有

，因

，知

，故

，

是

的特征值；(2)有

，因

，知

，故

，

是

的特征值.特征值與特征向量的性質(zhì)練習2設3階矩陣

的特征值為1，-1，2，求

.答案：參照課本例4.

§4.2相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣的概念相似矩陣的性質(zhì)矩陣與對角矩陣相似的條件目錄相似矩陣的概念對

進行運算

稱為對

進行相似變換，稱可逆矩陣

為相似變換矩陣.例1設矩陣

，

，試驗證存在可逆矩陣

使得

與

相似.定義2

設,都是

階矩陣，若存在可逆矩陣

，使則稱

是

的相似矩陣，并稱矩陣

與矩陣

相似，記為

.相似矩陣的概念證

易見

可逆，且

，由故

與

相似.由于矩陣的相似關(guān)系是一種等價關(guān)系，所以滿足

(1)反身性：對任意

階矩陣

，有

；

(2)對稱性：若

，則

；

(3)傳遞性：若

，

，則.

相似矩陣的概念兩個常用運算表達式：

相似矩陣的性質(zhì)定理2

若矩陣

與

相似，則

與

的特征多項式相同，從而

與

的特征值亦相同.證

設

與

相似，則存在可逆矩陣

使得

，又

因此，矩陣

與

有相同的多項式，從而矩陣

與

有相同的特征值.相似矩陣的其它性質(zhì)：(1)相似矩陣的秩相等；

(2)相似矩陣的行列式相等；(3)相似矩陣具有相同的可逆性，當它們可逆時，則它們的逆矩陣也相似.

相似矩陣的概念例

設A與B相似，且

，B的特征值為

，求

的值.例

設

與

相似，求

的值.矩陣與對角矩陣相似的條件下面討論矩陣對角化的相關(guān)定理以及推論對于

階方陣

，若存在可逆矩陣

，使得

為對角矩陣，則稱方陣

可對角化.

定理3

階矩陣

與對角矩陣

相似的充分必要條件為

矩陣

有

個線性無關(guān)的特征向量.矩陣與對角矩陣相似的條件設

，則由上式可得

證

必要性.設

階矩陣

與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣

使得上式等式兩端同時左乘矩陣

，得

矩陣與對角矩陣相似的條件

由上式可得即

因為

是可逆矩陣，所以

是非零向量，并且是線性無關(guān)的，

矩陣與對角矩陣相似的條件故

是矩陣

的

個線性無關(guān)特征向量.

充分性.設

是矩陣

的特征值

對應的

個線性無關(guān)特征向量，則有構(gòu)造矩陣

，則

矩陣與對角矩陣相似的條件

即

上式等式兩端同時左乘

，得

即矩陣

與對角矩陣

相似（

可對角化）.注:上述定理的證明過程實際上已經(jīng)給出了把方陣對角化的方法.推論1若

階矩陣

有

個相異的特征值

，則

與對角矩陣

相似.矩陣與對角矩陣相似的條件定理4

階矩陣

可對角化的充分必要條件是矩陣

的每個特征值

（重數(shù)為

）對應的線性無關(guān)的特征向量

的個數(shù)恰好等于該特征值的重數(shù).矩陣與對角矩陣相似的條件例2試對矩陣

驗證前述定理3的結(jié)論.解由上一節(jié)例1可知，題設矩陣

有兩個互不相同的特征值

其對應的特征向量分別為

，如果取

，

，

則有

，即.矩陣與對角矩陣相似的條件如果取

，

，

則有

，即.注

中列向量的次序與矩陣對角線上的特征值的次序相對應.練習1判斷矩陣

能否化為對角矩陣.答案：參照課本例7.

§4.3實對稱矩陣的

特征值和特征向量規(guī)范正交基及其求法內(nèi)積及其性質(zhì)正交向量組目錄向量的長度與性質(zhì)實對稱矩陣的特征值與特征向量正交矩陣與正交變換內(nèi)積及其性質(zhì)定義3

設有

維向量，令稱

為向量

與

的內(nèi)積.內(nèi)積是兩個向量之間的一種運算，其結(jié)果是一個實數(shù)，按矩陣記法可表示為內(nèi)積及其性質(zhì)內(nèi)積的運算性質(zhì)(其中

，，，為

維向量，):(1);

(2);

(3);

(4)，當且僅當

時，.

向量的長度與性質(zhì)定義4

設

，稱

為

維向量

的長度（或范數(shù)）.向量的長度具有下述性質(zhì)：(3)三角不等式

;

(1)非負性

；當且僅當

時，;

(2)齊次性;

(4)對任意

維向量

，

有

.

向量的長度與性質(zhì)當

時，稱

為單位向量.對

中任一非零向量

，向量

是

一個單位向量，因為注：用非零向量

的長度去除向量

，得到一個單位向量，這一過程通常稱為把向量

單位化.當

，

，定義

，稱

為

維向量

與

的夾角.正交向量組定義5

若兩向量

與

的內(nèi)積等于零，即

則稱

與

相互正交，記作.顯然，若

，則

與任何向量都正交;

定義6

若

維向量組

是一個非零向量組，且

中的

向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組.

正交向量組證

設有

，使得

以

左乘上式兩端，得

，因

，從而

類似可以證明

，于是向量組

線性無關(guān).定理5

若

維向量組

是一組正交向量組，則

線性

無關(guān).規(guī)范正交基及其求法*定義7

設

是一個向量空間，

(1)若

是向量空間

的一個基，且是兩兩正交的向量組，則

稱

是向量空間

的正交基.

(2)若

是向量空間

的一個基，

兩兩正交，且都是單

位向量，則稱

是向量空間

的一個規(guī)范正交基.

若

是

的一個規(guī)范正交基，則

中任一向量

能由

線性表示，設表示式為規(guī)范正交基及其求法為求其中系數(shù),可用

左乘上式，有

即

這就是向量在規(guī)范正交基中的坐標計算公式.利用這個公式能方便地

求得向量

在規(guī)范正交基

下的坐標.因此，我們在給出向量

空間的基時常常取規(guī)范正交基，下面介紹一種求規(guī)范正交基的方法.

規(guī)范正交基及其求法規(guī)范正交基的求法：

設

是向量空間

的一個基，要求

的一個規(guī)范正交基，也就是

要找一組兩兩正交的單位向量

，使

與

等價.

這樣一個問題，稱為把

規(guī)范正交化，可按如下兩個步驟進行：

(1)

正交化（Schimidt施密特正交化）

規(guī)范正交基及其求法(2)

單位化

容易驗證

兩兩正交，且

與

等價.取

，

，

，.則

是

的一個規(guī)范正交基.

注：Schimidt正交化過程可將

中任一組線性無關(guān)向量組

化

為與之等價的正交組

，再經(jīng)過單位化，得到一組與等價的規(guī)范正交組.

規(guī)范正交基及其求法例1用Schimidt正交化方法，將向量組規(guī)范正交化解顯然

是線性無關(guān)的，先正交化，取不難驗證

為正交向量組，接下來將

單位化：規(guī)范正交基及其求法可以驗證

為單位正交向量組，并且和

等價.正交矩陣與正交變換定義8

若

階方陣

滿足

（即

）

則稱

為正交矩陣，簡稱正交陣.定理6

為正交矩陣的充分必要條件是

的列（行）向量組都是單位

正交向量組.

證

設

，其中

是

的列向量組.

是正交矩陣等價于

，而

正交矩陣與正交變換

由此可見

等價于即

為正交矩陣的充分必要條件是其列向量組是單位正交向量組.

正交矩陣與正交變換類似可證，由

與

等價，

為正交矩陣的充分必要條件是

行向量組是單位正交向量組.

實對稱矩陣的特征值與特征向量定理7實對稱矩陣的特征值都為實數(shù).

證

設復數(shù)

為實對稱矩陣

的特征值，復向量

為對應的特征向量，即

記

表示

的共軛復數(shù)，

表示

的共軛復向量，則

由于以及以上兩式作差因為

，所以

，從而有

，即

，這說明

為實數(shù).實對稱矩陣的特征值與特征向量定理8設

是實對稱矩陣

的兩個特征值，

是對應的特征向量.

若

，則

與

正交.證

設

是實對稱矩陣

的兩個相異的特征值，

是與之對應的特征向量，即

，

因為

是實對稱矩陣，于是有

上式兩端同時右乘

得

即

由于

，故

即

與

正交.

實對稱矩陣的特征值與特征向量定理9

設

為

階