中考數(shù)學幾何模型專項復(fù)習 模型12 全等三角形-手拉手模型-（原卷版+解析）

全等三角形模型（十二）——手拉手模型◎結(jié)論1：如圖所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，則⑴△ABD≌△ACE;⑵BD和CE的夾角∠P=∠BAC=∠DAE.等腰三角形的手拉手⑴【證明】∵∠BAC＝∠DAE∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC,即∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，BA＝CA∠BAD＝∠CAEAD＝AE∴△ABD≌△ACE（SAS）(2)△ABD≌△ACE,可看成△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置,BA和CA的夾角為∠BAC,AD和AE的夾角為∠DAE,BD和CE的夾角為∠P,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)容易得到對應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,故∠P=∠BAC=∠DAE.找全等三角形的方法eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)頂左左，頂右右【相同圖形的左手拉左手，右手拉右手】◎結(jié)論2：如圖所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90o，則⑴△ABD≌△ACE;⑵BD⊥CE等腰直角三角形手拉手◎結(jié)論3：如圖所示，△ABC與△DCE是等邊三角形⑴△BCD≌△ACE;⑵∠AOB=∠DOE=60o等邊三角形手拉手◎結(jié)論4：如圖所示，△ABC與△DCE是等邊三角形，當點B、C、E共線時重要結(jié)論：△BCD≌△ACE∠1＝∠2?∠3＝60°∠DOE＝∠AOB＝60°△BCG≌△ACF,△GCD≌△FCEGC＝FC,∠GCF＝60°?△CGF為等邊三角形?∠CGF＝60°?GF∥BEOC平分∠BOE1．(2023·江蘇·八年級專題練習）如圖，C為線段AE上一動點（不與點，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯誤的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP2．(2023·江蘇·八年級專題練習）如圖，在中，，分別以，為邊作等邊和等邊，連結(jié)，若，，則（

）A． B． C．4 D．3．(2023·甘肅省蘭州市教育局八年級期中）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接CE交AD于點F，連接BD交CE于點G，連接BE．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四邊形BCDE＝BD?CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個1．(2023·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置，連接BC'，BC'的延長線交AB'于點D，則BD的長為_____．2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，點B、C、E在同一條直線上，與都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=BD；②；③線段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是______．（填序號）3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠CHE=_______．1．（1）如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并證明：線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．如圖1，B、C、D三點在一條直線上，AD與BE交于點O，△ABC和△ECD是等邊三角形．(1)求證：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度數(shù)；(3)如圖2，若B、C、D三點不在一條直線上，∠BOD的度數(shù)是否發(fā)生改變？（填“改變”或“不改變”）全等三角形模型（十二）——手拉手模型◎結(jié)論1：如圖所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，則⑴△ABD≌△ACE;⑵BD和CE的夾角∠P=∠BAC=∠DAE.等腰三角形的手拉手⑴【證明】∵∠BAC＝∠DAE∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC,即∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，BA＝CA∠BAD＝∠CAEAD＝AE∴△ABD≌△ACE（SAS）(2)△ABD≌△ACE,可看成△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置,BA和CA的夾角為∠BAC,AD和AE的夾角為∠DAE,BD和CE的夾角為∠P,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)容易得到對應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,故∠P=∠BAC=∠DAE.找全等三角形的方法eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)頂左左，頂右右【相同圖形的左手拉左手，右手拉右手】◎結(jié)論2：如圖所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90o，則⑴△ABD≌△ACE;⑵BD⊥CE等腰直角三角形手拉手◎結(jié)論3：如圖所示，△ABC與△DCE是等邊三角形⑴△BCD≌△ACE;⑵∠AOB=∠DOE=60o等邊三角形手拉手◎結(jié)論4：如圖所示，△ABC與△DCE是等邊三角形，當點B、C、E共線時重要結(jié)論：△BCD≌△ACE∠1＝∠2?∠3＝60°∠DOE＝∠AOB＝60°△BCG≌△ACF,△GCD≌△FCEGC＝FC,∠GCF＝60°?△CGF為等邊三角形?∠CGF＝60°?GF∥BEOC平分∠BOE1．(2023·江蘇·八年級專題練習）如圖，C為線段AE上一動點（不與點，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯誤的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP答案:D分析利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正確；根據(jù)△CQB≌△CPA（ASA），得出B正確；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出C正確；根據(jù)∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D錯誤．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB與△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正確，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D錯誤；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正確．故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是找到不變量．2．(2023·江蘇·八年級專題練習）如圖，在中，，分別以，為邊作等邊和等邊，連結(jié)，若，，則（

）A． B． C．4 D．答案:C分析在Rt△ABC中可直接運用勾股定理求出BC，然后結(jié)合“手拉手”模型證得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，從而求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，∴由勾股定理得：BC=4，∵和均為等邊三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，即：∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴DE=BC=4，故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運用勾股定理解三角形是解題關(guān)鍵．3．(2023·甘肅省蘭州市教育局八年級期中）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接CE交AD于點F，連接BD交CE于點G，連接BE．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四邊形BCDE＝BD?CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案:C分析根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=BD，判斷①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABD=∠ACE，從而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，從而得到BD⊥CE，根據(jù)四邊形的面積等于兩個三角形的面積之和可判斷出④正確；根據(jù)勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正確；再求出時，∠ADC=90°，判斷出②錯誤；∠AEC與∠BAE不一定相等判斷出③錯誤．【詳解】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE=BD，∠ABD=∠ACE，故①正確；∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，在△BCG中，∠BGC=180°-（∠BCG+∠CBG）=180°-90°=90°，∴BD⊥CE，∴S四邊形BCDE=BD?CE，故④正確；由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正確；從題干信息沒有給出所以只有時，=90°，無法說明，更不能說明故②錯誤；∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，條件不足以證明∠AEC與∠AEB相等無法證明，∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論有①④⑤共3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．(2023·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置，連接BC'，BC'的延長線交AB'于點D，則BD的長為_____．答案:分析連接BB′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AB′，判斷出△ABB′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB＝BB′，然后利用“邊邊邊”證明△ABC′和△B′BC′全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABC′＝∠B′BC′，延長BC′交AB′于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求出BD．【詳解】解：如圖，連接BB′，∵△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等邊三角形，∴AB＝BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′＝∠B′BC′，延長BC′交AB′于D，則BD⊥AB′，∵∠C＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝＝2=AB’，∴AD=∴BD＝，故答案為：【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出BC′在等邊三角形的高上是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，點B、C、E在同一條直線上，與都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=BD；②；③線段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是______．（填序號）答案:①②④分析利用等邊三角形的性質(zhì)證明可判斷①，利用，可得利用三角形的外角的性質(zhì)可得從而可判斷③，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證明可判斷②，由可得：，結(jié)合可得，從而可判斷④．【詳解】解：如圖，記與的交點為，∵與都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∵點B、C、E在同一條直線上，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=∠ACE=120°在和中，∴，所以結(jié)論①正確；∵，∴∠BDC=∠CEA，∵∠AHB=∠DBE+∠BEA=∠DBE+∠BDC=180°∠BCD=60°，所以③錯誤；在和中，，∴，∴所以②正確；，∵CG=CF，∠ACD=60°，∴∠GFC=60，又∵∠DCE=60°，∴∠GFC=∠DCE，∴GF∥BC，所以④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是找到判定三角形全等的條件．3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠CHE=_______．答案:65°分析先判斷出，再判斷出即可得到平分，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，，，在和中，；過點作于，于，，，在和中，，，在與中，，平分；，，，，，，故答案為：．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．1．（1）如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并證明：線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:（1）AE=BD，AE⊥BD，證明見解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．證明見解析分析（1）延長AE交BD于點H，AH交BC于點O．只要證明△ACE≌△BCD（SAS），即可解決問題；（2）由△ACE≌△BCD，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長AE交BD于點H，AH交BC于點O，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案為AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如圖2中，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由（2）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【點