三年(2021-2023)中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編(江蘇專用)專題21相似三角形(解答題)(原卷版+解析)

專題21相似三角形（解答題部分）題型1：相似三角形的證明與計(jì)算6．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在與中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若___________，則．請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），并加以證明．15．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，與交于點(diǎn)O，，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證；（2）若，求的長(zhǎng)．29．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．(1)∠EDC的度數(shù)為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(4)求的最大值．33．（2022·江蘇蘇州·中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點(diǎn)D，//，交BC于點(diǎn)E．①若，，求BC的長(zhǎng)；②試探究是否為定值．如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個(gè)外角，，CD平分，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，//，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．

35．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)．(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上且；②點(diǎn)在線段上且．(2)若．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段長(zhǎng)度的最小值．

50．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點(diǎn)的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對(duì)稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱．例如：如圖①，先將以點(diǎn)為位似中心縮小，得到，再將沿過點(diǎn)的直線翻折，得到，則與成自位似軸對(duì)稱．

(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對(duì)三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對(duì)稱的是________（填寫所有符合條件的序號(hào)）；(2)如圖③，已知經(jīng)過自位似軸對(duì)稱變換得到，是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)，使與是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；(3)如圖④，在中，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，求證：．

51．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；(2)在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.52．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）．請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．（1）將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B1，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C1，畫出△AB1C1；（2）連接CC1，△ACC1的面積為；（3）在線段CC1上畫一點(diǎn)D，使得△ACD的面積是△ACC1面積的．

題型2：相似三角形與四邊形綜合1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實(shí)踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對(duì)角線折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)，.【活動(dòng)猜想】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問題解決】（2）如圖3，當(dāng)，，時(shí)，求證：點(diǎn)，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對(duì)角線平行？請(qǐng)說明理由.（4）在（3）的情形下，設(shè)與，分別交于點(diǎn)，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由.

2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：（1）取，的中點(diǎn)D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點(diǎn)D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置；（4）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：①點(diǎn)Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務(wù)1】請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．【任務(wù)2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點(diǎn)，連接．求證：．【任務(wù)3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點(diǎn)P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長(zhǎng)．

3．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)M，連接相交于點(diǎn)N．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若?AMCN的面積為4，求的面積．4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，點(diǎn)、、、分別在正方形的邊、、、上．(1)如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求證：；(2)如圖2，已知，，當(dāng)、的大小有_________關(guān)系時(shí)，四邊形是矩形；(3)如圖3，，、相交于點(diǎn)，，已知正方形的邊長(zhǎng)為16，長(zhǎng)為20，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，判斷四邊形是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．

5．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，試探究的最小值．16．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在矩形中，線段、分別平行于、，它們相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在線段、上，，，連接、，與交于點(diǎn)．已知．設(shè)，．（1）四邊形的面積______四邊形的面積（填“”、“”或“”）；（2）求證：；（3）設(shè)四邊形的面積為，四邊形的面積為，求的值．20．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點(diǎn)在邊，上運(yùn)動(dòng)（不與正方形頂點(diǎn)重合）．作射線，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交射線于點(diǎn)．

(1)如圖，點(diǎn)在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；(2)過點(diǎn)作，垂足為，連接，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上且時(shí)，求的值．23．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．

26．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形中，，，是上一點(diǎn)，，是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且（為常數(shù)，），分別過點(diǎn)、作、的垂線相交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為．(1)若，，則的值為________；(2)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若線段上存在點(diǎn)，則的值應(yīng)滿足什么條件？直接寫出的取值范圍．27．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關(guān)系是______；(2)【思考表達(dá)】連接，判斷與是否相等，并說明理由；(3)如圖（2），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)，并說明理由；(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．39．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)E在邊上（不與端點(diǎn)A，D重合），點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，設(shè)．（1）求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）過點(diǎn)C作，垂足為G，連接．判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（3）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連接，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．43．（2021·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形，，設(shè)．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，連結(jié)，①當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；②在中，設(shè)邊上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；（2）設(shè)過的中點(diǎn)且垂直于的直線被等腰直角三角形截得的線段長(zhǎng)為y，請(qǐng)直接寫出y與m的關(guān)系式．

45．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫出線段QN掃過的面積．47．（2023·江蘇·中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形和矩形，點(diǎn)、在邊上（），且點(diǎn)、、、在直線的同側(cè)；第二步，設(shè)置，矩形能在邊上左右滑動(dòng)；第三步，畫出邊的中點(diǎn)，射線與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），射線與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），觀測(cè)、的長(zhǎng)度．(1)如圖，小麗取，滑動(dòng)矩形，當(dāng)點(diǎn)、重合時(shí)，______；(2)小麗滑動(dòng)矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的總成立．請(qǐng)說明理由；(3)經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定、的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請(qǐng)說明理由．題型3：相似三角形與圓形綜合7．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，作，垂足為．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．8．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D為AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、C除外），BD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．(1)求證；(2)當(dāng)時(shí)，求CE的長(zhǎng)．9．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，AB是的直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E．F是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．(1)求證：為的切線；(2)連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接AG．若，，求AG的長(zhǎng)．12．（2021·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與交于點(diǎn)E，切于點(diǎn)B．（1）求證：；（2）若，，求證：．10．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)、、、、均為格點(diǎn)．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、，相交于點(diǎn)并給出部分說理過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因?yàn)椤稀?∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)為圓心，為直徑的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在上找出一點(diǎn)P，使=，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)為圓心的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在弦上找出一點(diǎn)P．使=·，寫出作法，不用證明．

11．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點(diǎn)，PA＝1，PB＝m（m為常數(shù)，且m＞0）．過點(diǎn)P的弦CD⊥AB，Q為上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），AH⊥QD，垂足為H．連接AD、BQ．（1）若m＝3．①求證：∠OAD＝60°；②求的值；（2）用含m的代數(shù)式表示，請(qǐng)直接寫出結(jié)果；（3）存在一個(gè)大小確定的⊙O，對(duì)于點(diǎn)Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一個(gè)定值，求此時(shí)∠Q的度數(shù)．13．（2021·江蘇鹽城·中考真題）如圖，為線段上一點(diǎn)，以為圓心長(zhǎng)為半徑的⊙O交于點(diǎn)，點(diǎn)在⊙O上，連接，滿足．（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，求的值．

14．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，中，，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作，D為上一點(diǎn)，連接、，，平分．（1）求證：是的切線；（2）延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)E，若，求的值．18．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．24．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，是的直徑，與相交于點(diǎn)．過點(diǎn)的圓O的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，求的半徑．

37．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE．（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直徑．38．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，⊙O經(jīng)過A，B，P三點(diǎn)．（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．

48．（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉壁，玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無(wú)刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫出內(nèi)孔．

題型4：相似三角形與函數(shù)綜合17．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接、，若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊后，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，線段與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)與、點(diǎn)不重合．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)①求證：；②求；(3)當(dāng)時(shí)，求直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．

19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，．(1)______，______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．(2)點(diǎn)P在x軸上，若以B，O，P為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫出，的值；(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

25．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．點(diǎn)分別在線段上，連接與交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)隨著點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；②線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)線段的中點(diǎn)在該二次函數(shù)的因象的對(duì)稱軸上時(shí)，的面積為．

28．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過、兩點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖（2），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．

31．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)_________，_________；(2)連接并延長(zhǎng)，與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

32．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)A（1，0），圖像與y軸交于點(diǎn)B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，求tan∠CDA的值；(3)點(diǎn)C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．34．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求的度數(shù)；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像上，始終存在一點(diǎn)P，使得，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出m的取值范圍．41．（2021·江蘇常州·中考真題）通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對(duì)線段長(zhǎng)度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用．【理解】（1）如圖1，，垂足分別為C、D，E是的中點(diǎn)，連接．已知，．①分別求線段、的長(zhǎng)（用含a、b的代數(shù)式表示）；②比較大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系．【應(yīng)用】（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M、N在反比例函數(shù)的圖像上，橫坐標(biāo)分別為m、n．設(shè)，記．①當(dāng)時(shí)，__________；當(dāng)時(shí)，________；②通過歸納猜想，可得l的最小值是__________．請(qǐng)利用圖2構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說明你的猜想成立．

42．（2021·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)C，連接．已知點(diǎn)，．（1）求b、k的值；（2）求的面積．44．（2021·江蘇無(wú)錫·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交于點(diǎn)F，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

46．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，二次函數(shù)（是實(shí)數(shù)，且）的圖像與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)位于第一象限，且在對(duì)稱軸上，，點(diǎn)在軸的正半軸上，．連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接．（1）求、、三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含的式子表示）；（2）已知點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)的最小值等于，求的值．

49．（2023·江蘇連云港·中考真題）【問題情境

建構(gòu)函數(shù)】（1）如圖1，在矩形中，是的中點(diǎn)，，垂足為．設(shè)，試用含的代數(shù)式表示．【由數(shù)想形

新知初探】（2）在上述表達(dá)式中，與成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示．若取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)的函數(shù)圖像是否具有對(duì)稱性？若有，請(qǐng)說明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像．

【數(shù)形結(jié)合

深度探究】（3）在“取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對(duì)上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值隨的增大而增大；②函數(shù)值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)；④在圖像上存在四點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【抽象回歸

拓展總結(jié)】（4）若將（1）中的“”改成“”，此時(shí)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是__________；一般地，當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過程，探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫出3條即可）．

題型5：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用問題21．（2023·江蘇宿遷·中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測(cè)量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測(cè)量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測(cè)出；再將鏡子移動(dòng)至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測(cè)出．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個(gè)廣告牌AG的高度．

【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測(cè)量出斜坡上信號(hào)塔AB的高度．他們給出了如下測(cè)量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測(cè)出；③測(cè)出坡長(zhǎng)；④測(cè)出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請(qǐng)你算出信號(hào)塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．

30．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面，坡角．在陽(yáng)光下，小明觀察到在地面上的影長(zhǎng)為，在坡面上的影長(zhǎng)為．同一時(shí)刻，小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60cm的木桿的影長(zhǎng)為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．

36．（2022·江蘇連云港·中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)處測(cè)得阿育王塔最高點(diǎn)的仰角，再沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至處測(cè)得最高點(diǎn)的仰角，；小亮在點(diǎn)處豎立標(biāo)桿，小亮的所在位置點(diǎn)、標(biāo)桿頂、最高點(diǎn)在一條直線上，，．（注：結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．

專題21相似三角形（解答題部分）題型1：相似三角形的證明與計(jì)算6．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在與中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若___________，則．請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），并加以證明．【答案】見解析．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可．【詳解】解：若選①，證明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又，∴．選擇②，不能證明．若選③，證明：∵，∴，∴，又∵，∴．15．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，與交于點(diǎn)O，，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）直接利用“AAS”判定兩三角形全等即可；（2）先分別求出BE和DC的長(zhǎng)，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．29．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．(1)∠EDC的度數(shù)為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(4)求的最大值．【答案】(1)45°(2)9(3)PE=DG，理由見解析(4)【分析】（1）先說明∠B=45°，再說明DE是△CBP的中位線可得DEBP，然后由平行線的性質(zhì)即可解答；（2）先說明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF=、GF=CF=；設(shè)AP=x，則BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通過三角形中位線、勾股定理、線段的和差用x表示出AG，再根據(jù)三角形的面積公式列出表達(dá)式，最后運(yùn)用二次函數(shù)求最值即可；（3）先證明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，進(jìn)而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，進(jìn)而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可說明DG、PE的位置關(guān)系；（4）先說明△CEF∽△CDH得到，進(jìn)而得到，然后將已經(jīng)求得的量代入可得，然后根據(jù)求最值即可．【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12∴∠B=∠ACB=45°∵，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)∴DEBP，DE=∴∠EDC=∠B=45°．（2）解：如圖：連接PG∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形∴DF=EF=，GF=CF=，設(shè)AP=x，則BP=12-x，BP=12-x=2DE∴DE=，EF=∵Rt△APC，∴PC=∴CE=∵Rt△EFC∴FC=FG=∴CG=CF=∴AG=12-CG=12-=∴S△APG=所以當(dāng)x=6時(shí)，S△APG有最大值9．

（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF∴△GFD≌△CFE(SAS)∴DG=CE∵E是PC的中點(diǎn)∴PE=CE∴PE=DG；∵△GFD≌△CFE∴∠ECF=∠DGF∵∠CEF=∠PEG∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．（4）解：∵△GFD≌△CFE∴∠CEF=∠CDH又∵∠ECF=∠DCH∴△CEF∽△CDH∴，即∴∵FC=，CE=，CD=∴∴的最大值為．33．（2022·江蘇蘇州·中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點(diǎn)D，//，交BC于點(diǎn)E．①若，，求BC的長(zhǎng)；②試探究是否為定值．如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個(gè)外角，，CD平分，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，//，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．【答案】（1）①；②是定值，定值為1；（2）【分析】（1）①證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；②由，可得，由①同理可得，計(jì)算；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)可得，又，則，可得，設(shè)，則．證明，可得，過點(diǎn)D作于H．分別求得，進(jìn)而根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值為1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．設(shè)，則．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如圖，過點(diǎn)D作于H．∵，∴．∴．35．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)．(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上且；②點(diǎn)在線段上且．(2)若．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段長(zhǎng)度的最小值．【答案】(1)①②(2)①②4【分析】（1）①算出各個(gè)內(nèi)角，發(fā)現(xiàn)其是等腰三角形即可推出；②算出各內(nèi)角發(fā)現(xiàn)其是30°的直角三角形即可推出；（2）①分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，得到一線三垂直的相似，即，設(shè)，，利用30°直角三角形的三邊關(guān)系，分別表示出，，，，列式求解a即可；②分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，相交于點(diǎn)G，H，證明可得，然后利用完全平方公式變形得出，求出AE的取值范圍即可．【詳解】（1）①∵在中，，∴∵∴，在中，∴∴∴；②如圖：∵∴，∴在中，∴∴；（2）①分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，相交于點(diǎn)H，G，則∠EGD＝∠DHA＝90°，∴∠GED＋∠GDE＝90°，∵∠HDA＋∠GDE＝90°，∴∠GED＝∠HDA，∴，設(shè)，，則，，在中，，AB=6則，在中，，則在中，，∴∴由得，即解得：，（舍）故；②分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，相交于點(diǎn)G，H，則∠EHD＝∠AGD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，∵∠EHD＝∠AGD＝90°，∴，∴，∴，∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B=30°，∴，∴，∴=，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故AE的最小值為4.50．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點(diǎn)的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對(duì)稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱．例如：如圖①，先將以點(diǎn)為位似中心縮小，得到，再將沿過點(diǎn)的直線翻折，得到，則與成自位似軸對(duì)稱．

(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對(duì)三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對(duì)稱的是________（填寫所有符合條件的序號(hào)）；(2)如圖③，已知經(jīng)過自位似軸對(duì)稱變換得到，是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)，使與是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；(3)如圖④，在中，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，求證：．【答案】(1)①②(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題中定義作出圖形，即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)題意和軸對(duì)稱性質(zhì)作出軸對(duì)稱前的，即以點(diǎn)為位似中心縮小的，在作出Q對(duì)應(yīng)的，進(jìn)而作出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P即可；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明和得到，進(jìn)而得到，證明得到，利用平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①與成自位似軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為的角平分線所在的直線，如圖；

②與成自位似軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為平分線所在的直線，如圖，

，③與不成自位似軸對(duì)稱，故答案為：①②；（2）解：如圖，1）分別在和上截取，，2）連接，在上截取，3）連接并延長(zhǎng)交于P，則點(diǎn)即為所求；

（3）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．

51．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；(2)在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)2(2)圖見詳解(3)直線BC與⊙F相切，理由見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解；（2）作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問題可求解．【詳解】（1）解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；（2）解：作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；如圖所示：點(diǎn)F即為所求，（3）解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面積等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．52．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）．請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．（1）將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B1，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C1，畫出△AB1C1；（2）連接CC1，△ACC1的面積為；（3）在線段CC1上畫一點(diǎn)D，使得△ACD的面積是△ACC1面積的．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）將A、B、C三點(diǎn)分別繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°畫出依次連接即可；（2）勾股定理求出AC，由面積公式即可得到答案；（3）利用相似構(gòu)造△CFD∽△C1ED即可．【詳解】解：（1）如圖：圖中△AB1C1即為要求所作三角形；（2）∵AC＝＝，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AC1，∠CAC1＝90°，∴△ACC1的面積為×AC×AC1＝，故答案為：；（3）連接EF交CC1于D，即為所求點(diǎn)D，理由如下：∵CF∥C1E，∴△CFD∽△C1ED，∴＝，∴CD＝CC1，∴△ACD的面積＝△ACC1面積的．題型2：相似三角形與四邊形綜合1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實(shí)踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對(duì)角線折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)，.【活動(dòng)猜想】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問題解決】（2）如圖3，當(dāng)，，時(shí)，求證：點(diǎn)，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對(duì)角線平行？請(qǐng)說明理由.（4）在（3）的情形下，設(shè)與，分別交于點(diǎn)，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）菱形；（2）證明見解答；（3），證明見解析；（4），理由見解析【分析】（1）由折疊可得：，，再證得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，利用勾股定理可得，再證明，可求得，進(jìn)而可得，再由，可求得，，，運(yùn)用勾股定理可得，運(yùn)用勾股定理逆定理可得，進(jìn)而可得，即可證得結(jié)論；（3）設(shè)，則，利用折疊的性質(zhì)和平行線性質(zhì)可得：，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；（4）過點(diǎn)作于，設(shè)交于，設(shè)，，利用解直角三角形可得，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是菱形．理由：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，由折疊得：，，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是菱形．故答案為：菱形．（2）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，由折疊得：，，，，，，，即，，，，，，，即，，，，，，，，，，點(diǎn)，，在同一條直線上．（3）當(dāng)時(shí)，始終有與對(duì)角線平行．理由：如圖，設(shè)、交于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，由折疊得：，，，，，，，，，即，，，，；（4），理由如下：如圖，過點(diǎn)作于，設(shè)交于，由折疊得：，，，設(shè)，，由（3）得：，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，即．2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：（1）取，的中點(diǎn)D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點(diǎn)D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置；（4）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：①點(diǎn)Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務(wù)1】請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．【任務(wù)2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點(diǎn)，連接．求證：．【任務(wù)3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點(diǎn)P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長(zhǎng)．

【答案】[任務(wù)1]見解析；[任務(wù)2]見解析；[任務(wù)3]【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得對(duì)應(yīng)角相等，即，，由三角形內(nèi)角和定理得，從而得，即Q，A，T三點(diǎn)共線；（2）梯形中位線的證明問題常轉(zhuǎn)化為三角形的中位線問題解決，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明，可得，，由三角形中位線定理得；（3）過點(diǎn)D作于點(diǎn)R，由，得，從而得，由【發(fā)現(xiàn)】得，則，，由【任務(wù)2】的結(jié)論得，由勾股定理得．過點(diǎn)Q作，垂足為H．由及得，從而得，證明，得，從而得．【詳解】[任務(wù)1]證法1：由旋轉(zhuǎn)得，，．在中，，∴，∴點(diǎn)Q，A，T在一條直線上．證法2：由旋轉(zhuǎn)得，，．∴，．∴點(diǎn)Q，A，T在一條直線上．[任務(wù)2]證明：如圖1，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．∵，∴．∵Q是的中點(diǎn)，∴．在和中，∴．∴，．又∵P是的中點(diǎn)，∴，∴是的中位線，∴，∴．

[任務(wù)3]的方法畫出示意圖如圖2所示．

由【任務(wù)2】可得，．過點(diǎn)D作，垂足為R．在中，，∴．∴，∴，．在中，由勾股定理得．過點(diǎn)Q作，垂足為H．∵Q是的中點(diǎn)，∴．在中，，∴．又由勾股定理得．由，得．又∵，∴．∴，即，∴．∴．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)M，連接相交于點(diǎn)N．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若?AMCN的面積為4，求的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點(diǎn)平分線段，推出四邊形，四邊形均為平行四邊形，進(jìn)而得到：，即可得證；（2）連接，推出，，進(jìn)而得到，求出，再根據(jù)，即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，同理可得：四邊形為平行四邊形，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：連接，

∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，同理可得：∴，∴，∵，∴．4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，點(diǎn)、、、分別在正方形的邊、、、上．(1)如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求證：；(2)如圖2，已知，，當(dāng)、的大小有_________關(guān)系時(shí)，四邊形是矩形；(3)如圖3，，、相交于點(diǎn)，，已知正方形的邊長(zhǎng)為16，長(zhǎng)為20，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，判斷四邊形是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．

【答案】(1)見解析(2)(3)平行四邊形，證明見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證得，根據(jù)角角邊證明．（2）當(dāng)，證得，是等腰直角三角形，∠HEF=∠EFG=90°，即可證得四邊形EFGH是矩形．（3）利用正方形的性質(zhì)證得為平行四邊形，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，由平行線分線段成比例，設(shè)，，，則可表示出，從而把△OEH的面積用x的代數(shù)式表示出來，根據(jù)二次函數(shù)求出最大值，則可得OE=OG，OF=OH，即可證得平行四邊形．【詳解】（1）∵四邊形為正方形，∴，∴．∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴．在和中，∵，，，∴．∴．∴；（2）；證明如下：∵四邊形為正方形，∴，AB=BC=AD=CD，∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，∴AH=CG，∴，∴EH=FG．∵AE=CF，∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，∴是等腰直角三角形，∴∠BEF=∠BFE=45°，∵AE=AH，CF=CG，∴∠AEH=∠CFG=45°，∴∠HEF=∠EFG=90°，∴EH∥FG，∴四邊形EFGH是矩形．（3）∵四邊形為正方形，∴．∵，，∴四邊形為平行四邊形．∴．∴．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴．∵，設(shè)，，，則，∴．∴．∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，∴，，∴四邊形是平行四邊形．5．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，試探究的最小值．【答案】(1)見詳解(2)或(3)【分析】（1）證明即可得證．（2）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，借助，在中求解；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AC于點(diǎn)H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分別討論當(dāng)點(diǎn)E在BC和CD上時(shí)，點(diǎn)F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比較取最小即可．【詳解】（1）如圖所示，由題意可知，，，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AF，在和中，，，．（2）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，在中，，，則，在中，，，則，由（1）可得，，在中，，，則，當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AC于點(diǎn)H，同（1）可得，，由勾股定理得；故CF的長(zhǎng)為或．（3）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，由（1）知，，故點(diǎn)F在射線MF上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，DH的值最?。谂c中，，，，即，，，，在與中，，，，即，，故的最小值；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，得到線段AR，連接FR，過點(diǎn)D作，，由題意可知，，在與中，，，，故點(diǎn)F在RF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)K重合時(shí)，DF的值最??；由于，，，故四邊形DQRK是矩形；，，，，故此時(shí)DF的最小值為；由于，故DF的最小值為．16．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在矩形中，線段、分別平行于、，它們相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在線段、上，，，連接、，與交于點(diǎn)．已知．設(shè)，．（1）四邊形的面積______四邊形的面積（填“”、“”或“”）；（2）求證：；（3）設(shè)四邊形的面積為，四邊形的面積為，求的值．【答案】（1）=；（2）見解析；（3）【分析】（1）由四邊形為矩形及，，證明四邊形為矩形，四邊形、、均為矩形．再利用矩形的面積公式求解四邊形的面積與四邊形的面積，從而可得答案；（2）由，，結(jié)合，，結(jié)合，證明．可得．從而可得結(jié)論；（3）解法一：連接，，證明．可得．再證明．可得，從而可得答案；解法二：連接、．證明四邊形的四邊形．從而可得答案．【詳解】解：（1）∵四邊形為矩形，∴．∵，∴，．∵，∴．∴四邊形為矩形．同理可得：四邊形、、均為矩形．∵，，，∴，，，．∴四邊形的面積，四邊形的面積．．四邊形的面積四邊形的面積．（2）∵，，由（1）中，，∴，即，∵，∴．∴．∵，∴．（3）解法一：連接，，∵，，∴．∵，∴．∴，．由（2），得，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．解法二：連接、．∵，，∴．∵，∴．∴，，．由（2）中，得，∴．∵，∴．∴，，．∴，，．又，，∴四邊形的四邊形．∴．20．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點(diǎn)在邊，上運(yùn)動(dòng)（不與正方形頂點(diǎn)重合）．作射線，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交射線于點(diǎn)．

(1)如圖，點(diǎn)在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；(2)過點(diǎn)作，垂足為，連接，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上且時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)的度數(shù)為或(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件得到，即可得到答案；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明，得到，推出為等腰直角三角形，得到答案；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則四邊形是矩形，同理得到，得到為等腰直角三角形得到答案；（3）由平行的性質(zhì)得到分線段成比例．【詳解】（1）．正方形，，，，．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)（如圖），過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，四邊形是矩形．．，，，為等腰直角三角形，．．．．，．為等腰直角三角形，．．

②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)（如圖），過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則四邊形是矩形，同理，．．為等腰直角三角形，．．

綜上，的度數(shù)為45°或135°．（3）解：當(dāng)點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)在邊上（如圖），設(shè)，則．．．，．23．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．

【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點(diǎn)，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．26．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形中，，，是上一點(diǎn)，，是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且（為常數(shù)，），分別過點(diǎn)、作、的垂線相交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為．(1)若，，則的值為________；(2)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若線段上存在點(diǎn)，則的值應(yīng)滿足什么條件？直接寫出的取值范圍．【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，得，則，代入計(jì)算即可；（2）利用，得，再由，得，即可證明結(jié)論；（3）根據(jù)點(diǎn)P在上，可得，再由點(diǎn)G在上，可得，進(jìn)而解決問題．【詳解】（1）解：∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：5；（2）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，在中，，，∴，又∵，∴，∴即；（3）解：若點(diǎn)在上，則，由（2）得，∴，∵點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，∴，∴，∴即，又∵是上一點(diǎn)，∴，∴．27．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關(guān)系是______；(2)【思考表達(dá)】連接，判斷與是否相等，并說明理由；(3)如圖（2），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)，并說明理由；(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)，理由見解析；(3)，理由見解析；(4)，理由見解析．【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)判斷即可；（2）連接，，由可知點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，則，由翻折變換的性質(zhì)可得，證明，可得結(jié)論；（3）連接，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，求出，，可得，然后證明，可得，進(jìn)而得到即可解決問題．（4）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例求出，，再根據(jù)勾股定理列式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在菱形中，，∴由翻折的性質(zhì)可知，，故答案為：；（2）解：，理由：如圖，連接，，∵為中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，∴，∴，由翻折變換的性質(zhì)可知，∴，∴；（3）解：結(jié)論：；理由：如圖，連接，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，由翻折的性質(zhì)可知，設(shè)，，∵四邊形是菱形，

∴，，∴，∴，∴，∵，點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）解：結(jié)論：，理由：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，，∵，∴，∴，∴，，在中，則有，∴，∴，，∵，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．39．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)E在邊上（不與端點(diǎn)A，D重合），點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，設(shè)．（1）求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?）過點(diǎn)C作，垂足為G，連接．判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（3）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連接，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．【答案】(1)．(2)DG//CF．理由見解析．(3)．【分析】(1)作輔助線BF，用垂直平分線的性質(zhì)，推導(dǎo)邊相等、角相等．再用三角形內(nèi)角和為算出．(2)作輔助線BF、AC，先導(dǎo)角證明是等腰直角三角形、是等腰直角三角形．再證明、，最后用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，證得DG//CF．(3)為等腰三角形，要分三種情況討論：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根據(jù)題目具體條件，舍掉了②、③種，第①種用正弦函數(shù)定義求出比值即可．【詳解】(1)解：連接BF，設(shè)AF和BE相交于點(diǎn)N．點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)FBE是AF的垂直平分線，AB=BF四邊形ABCD是正方形AB=BC，．(2)位置關(guān)系：平行．理由：連接BF，AC，DG設(shè)DC和FG的交點(diǎn)為點(diǎn)M，AF和BE相交于點(diǎn)N由(1)可知，是等腰直角三角形四邊形ABCD是正方形是等腰直角三角形垂直平分AF在和中，在和中，CF//DG(3)為等腰三角形有三種情況：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三種情況討論：①當(dāng)FH=BH時(shí)，作于點(diǎn)M由(1)可知：AB=BF，四邊形ABCD是正方形設(shè)AB=BF=BC=a將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到FH=BH是等腰三角形，在和中，BM=AE=②當(dāng)BF=FH時(shí)，設(shè)FH與BC交點(diǎn)為O繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到由(1)可知：此時(shí)，與重合，與題目不符，故舍去③當(dāng)BF=BH時(shí)，由(1)可知：AB=BF設(shè)AB=BF=a四邊形ABCD是正方形AB=BC=aBF=BHBF=BH=BC=a而題目中，BC、BH分別為直角三角形BCH的直角邊和斜邊，不能相等，與題目不符，故舍去．故答案為：43．（2021·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形，，設(shè)．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，連結(jié)，①當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；②在中，設(shè)邊上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；（2）設(shè)過的中點(diǎn)且垂直于的直線被等腰直角三角形截得的線段長(zhǎng)為y，請(qǐng)直接寫出y與m的關(guān)系式．

【答案】（1）①；②，h最大值=；（2）【分析】（1）①過點(diǎn)F作FM⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，先證明，可得FM=，CM=，進(jìn)而即可求解；②由，得CP=，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，可得EQ=DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，結(jié)合三角形面積公式，即可得到答案；（2）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則E(m，0)，A(0，1)，F(xiàn)(1+m，m)，從而求出AE的解析式為：y=x+1，AF的解析式為：y=x+1，EF的解析式為：y=mx-m2，再分兩種情況：①當(dāng)0≤m≤時(shí)，②當(dāng)m＞時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：（1）①過點(diǎn)F作FM⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵在等腰直角三角形中，，AE=FE，在正方形中，∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB，∴∠BAE=∠FEM，又∵∠B=∠FME，∴，∴FM=BE=，EM=AB=BC，∴CM=BE=，∴CF=；②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°，∴，∴，即：，∴CP=，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，則AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°，∵∠ABG=∠ABE=90°，∴B、G、E三點(diǎn)共線，又∵AE=AE，∴，∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，∴在中，，即：，∴DQ=，∴EQ=DQ+BE=+m=，QP=1--()=，∴，即：×(1-m)=×h，∴=，即m=時(shí)，h最大值=；（3）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則E(m，0)，A(0，1)，∵直線m過AB的中點(diǎn)且垂直AB，∴直線m的解析式為：x=，過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB，∴F(1+m，m)，設(shè)AE的解析式為：y=kx+b，把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：，∴AE的解析式為：y=x+1，同理：AF的解析式為：y=x+1，EF的解析式為：y=mx-m2，①當(dāng)0≤m≤時(shí)，如圖，G(，)，N(，m-m2)，∴y=-(m-m2)=，②當(dāng)m＞時(shí)，如圖，G(，)，N(，)，∴y=-=，綜上所述：．45．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫出線段QN掃過的面積．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)聯(lián)想到連接，證明即可求解；（2）由M、N分別是CF、BE的中點(diǎn)，聯(lián)想到中位線，故想到連接BM并延長(zhǎng)使BM=MH，連接FH、EH，則可證即可得到，再由四邊形內(nèi)角和為可得，則可證明，即是等腰直角三角形，最后利用中位線的性質(zhì)即可求解；（3）Q、N兩點(diǎn)因旋轉(zhuǎn)位置發(fā)生改變，所以Q、N兩點(diǎn)的軌跡是圓，又Q、N兩點(diǎn)分別是BF、BE中點(diǎn)，所以想到取AB的中點(diǎn)O，結(jié)合三角形中位線和圓環(huán)面積的求解即可解答．【詳解】解：（1）連接四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形分別平分即且都是等腰直角三角形（2）連接BM并延長(zhǎng)使BM=MH，連接FH、EH是CF的中點(diǎn)又在四邊形BEFC中又即即又四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形三角形BEH是等腰直角三角形M、N分別是BH、BE的中點(diǎn)（3）取AB的中點(diǎn)O，連接OQ、ON，連接AF在中，O、Q分別是AB、BF的中點(diǎn)同理可得所以QN掃過的面積是以O(shè)為圓心，和為半徑的圓環(huán)的面積．47．（2023·江蘇·中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形和矩形，點(diǎn)、在邊上（），且點(diǎn)、、、在直線的同側(cè)；第二步，設(shè)置，矩形能在邊上左右滑動(dòng)；第三步，畫出邊的中點(diǎn)，射線與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），射線與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），觀測(cè)、的長(zhǎng)度．(1)如圖，小麗取，滑動(dòng)矩形，當(dāng)點(diǎn)、重合時(shí)，______；(2)小麗滑動(dòng)矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的總成立．請(qǐng)說明理由；(3)經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定、的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)見解析；(3)小麗的猜想正確，理由見解析．【分析】（1）證，利用相似三角形的性質(zhì)即矩形的性質(zhì)即可得解；（2）證得，同理可得，由，，得，進(jìn)而有，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得證；（3）當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接、，由，恰為邊的中點(diǎn)，得，進(jìn)而證，得，于是有，由平行線分線段成比例得，同理可證：，于是有，從而即可得解．【詳解】（1）解：∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，，∴，，∴是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∴即，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如下圖，解：∵小麗滑動(dòng)矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，∴，∴，同理可得，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：小麗的猜想正確，當(dāng)時(shí)，總成立，理由如下：如下圖，取的中點(diǎn)，連接、，

∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，，∴，∵恰為邊的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理可證：，∵，∴，∴，∴小麗的猜想正確．題型3：相似三角形與圓形綜合7．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，作，垂足為．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分別證明，，從而可得結(jié)論；（2）求解，，可得，證明，設(shè)，則，，證明，可得，可得，，，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∵，∴．（2）∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，∴，則，∴，∴，∴．8．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D為AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、C除外），BD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．(1)求證；(2)當(dāng)時(shí)，求CE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等可得，再由對(duì)頂角相等得，故可證明緒論；（2）根據(jù)可得由可得出連接AE，可證明，得出代入相關(guān)數(shù)據(jù)可求出，從而可求出緒論．【詳解】（1）∵所對(duì)的圓周角是，∴，又，∴；（2）∵△是等邊三角形，∴∵，∴∴∵∴，∴∴連接如圖，∵∴∴∠又∠，∴△∴，∴∴，∴（負(fù)值舍去）∴，解得，9．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，AB是的直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E．F是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．(1)求證：為的切線；(2)連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接AG．若，，求AG的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．由，，可得，由是的直徑，D是的中點(diǎn)，，進(jìn)而可得，即可證明CF為的切線；方法二：如圖2，連接OC，BC．設(shè)．同方法一證明，即可證明CF為的切線；（2）方法一：如圖3，過G作，垂足為H．設(shè)的半徑為r，則．在Rt△OCF中，勾股定理求得，證明，得出，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)勾股定理即可求得；方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得．，D是的中點(diǎn)，可得，根據(jù)勾股定理即可求得．【詳解】（1）（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．∵，∴．∵，∴．

∵，∴．∵是的直徑，D是的中點(diǎn)，∴．∴．∴，即．∴．∴CF為的切線．方法二：如圖2，連接OC，BC．設(shè)．∵AB是的直徑，D是的中點(diǎn)，∴．∴．∵，∴．

∴．∵，∴．∴．∵AB是的直徑，∴．∴．∴，即．∴．∴CF為的切線．（2）解：方法一：如圖3，過G作，垂足為H．設(shè)的半徑為r，則．在Rt△OCF中，，解之得．∵，∴．

∵，∴．∴．∴．∵G為BD中點(diǎn)，∴．∴，．∴．∴．方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得．∵AB是的直徑，∴．∵，D是的中點(diǎn)，∴．∵G為BD中點(diǎn)，∴．∴．12．（2021·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與交于點(diǎn)E，切于點(diǎn)B．（1）求證：；（2）若，，求證：．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由圓周角定理的推論，可知∠ABC=90°，由切線的性質(zhì)可知∠OBP=90°，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先推出，從而得∠AOB=40°，繼而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵是的直徑，∴∠ABC=90°，∵切于點(diǎn)B，∴∠OBP=90°，∴，∴；（2）∵，，∴，∵OB=OC，∴，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=∠AOB=20°，∵是的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵，∴，∴．10．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)、、、、均為格點(diǎn)．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、，相交于點(diǎn)并給出部分說理過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因?yàn)椤稀?∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)為圓心，為直徑的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在上找出一點(diǎn)P，使=，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)為圓心的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在弦上找出一點(diǎn)P．使=·，寫出作法，不用證明．【答案】(1)；見解析(2)見解析【分析】（1）取格點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)P，則根據(jù)垂徑定理可知，點(diǎn)P即為所求作；（2）取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．利用正切函數(shù)證得∠FMI=∠MNA，利用圓周角定理證得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：【操作探究】在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因?yàn)椤稀?∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．故答案為：；取格點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；（2）解：取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；證明：作直徑AN，連接BM、MN，在Rt△FMI中，，在Rt△MNA中，，所以．∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴，∴=·．11．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點(diǎn)，PA＝1，PB＝m（m為常數(shù)，且m＞0）．過點(diǎn)P的弦CD⊥AB，Q為上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），AH⊥QD，垂足為H．連接AD、BQ．（1）若m＝3．①求證：∠OAD＝60°；②求的值；（2）用含m的代數(shù)式表示，請(qǐng)直接寫出結(jié)果；（3）存在一個(gè)大小確定的⊙O，對(duì)于點(diǎn)Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一個(gè)定值，求此時(shí)∠Q的度數(shù)．【答案】（1）①見解析；②2；（2）；（3）存在半徑為1的圓，45°【分析】（1）①連接OD，則易得CD垂直平分線段OA，從而OD=AD，由OA=OD，即可得△OAD是等邊三角形，從而可得結(jié)論；②連接AQ，由圓周角定理得：∠ABQ=∠ADH，從而其余弦值相等，因此可得，由①可得AB、AD的值，從而可得結(jié)論；（2）連接AQ、BD，首先與（1）中的②相同，有，由△APD∽△ADB，可求得AD的長(zhǎng)，從而求得結(jié)果；（3）由（2）的結(jié)論可得：，從而BQ2﹣2DH2+PB2當(dāng)m=1時(shí)，即可得是一個(gè)定值，從而可求得∠Q的值．【詳解】（1）①如圖，連接OD，則OA=OD∵AB=PA+PB=1+3=4∴OA=∴OP=AP=1即點(diǎn)P是線段OA的中點(diǎn)∵CD⊥AB∴CD垂直平分線段OA∴OD=AD∴OA=OD=AD即△OAD是等邊三角形∴∠OAD=60°

②連接AQ∵AB是直徑∴AQ⊥BQ根據(jù)圓周角定理得：∠ABQ=∠ADH，∴∵AH⊥DQ在Rt△ABQ和Rt△ADH中∴∵AD=OA=2，AB=4∴（2）連接AQ、BD與（1）中的②相同，有∵AB是直徑∴AD⊥BD∴∠DAB+∠ADP=∠DAB+∠ABD=90°∴∠ADP=∠ABD∴Rt△APD∽R(shí)t△ADB∴∵AB=PA+PB=1+m∴∴（3）由（2）知，∴BQ=即∴BQ2﹣2DH2+PB2=當(dāng)m=1時(shí)，BQ2﹣2DH2+PB2是一個(gè)定值，且這個(gè)定值為1，此時(shí)PA=PB=1，即點(diǎn)P與圓心O重合∵CD⊥AB，OA=OD=1∴△AOD是等腰直角三角形∴∠OAD=45°∵∠OAD與∠Q對(duì)著同一條弧

∴∠Q=∠OAD=45°故存在半徑為1的圓，對(duì)于點(diǎn)Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一個(gè)定值1，此時(shí)∠Q的度數(shù)為45.13．（2021·江蘇鹽城·中考真題）如圖，為線段上一點(diǎn)，以為圓心長(zhǎng)為半徑的⊙O交于點(diǎn)，點(diǎn)在⊙O上，連接，滿足．（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】(1)連接，把轉(zhuǎn)化為比例式，利用三角形相似證明即可；(2)利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：連接∵∴，又∵∠P=∠P，∴∴，∵∴又∵∴∴已知是上的點(diǎn)，AB是直徑，∴，∴∴，∴PC是圓的切線；（2）設(shè)，則，∴在中∵，，∴已知，∴．14．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，中，，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作，D為上一點(diǎn)，連接、，，平分．（1）求證：是的切線；（2）延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)E，若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用SAS證明，可得，即可得證；（2）由已知條件可得，可得出，進(jìn)而得出即可求得；【詳解】（1）∵平分，∴．∵，，∴．∴．∴，∴是的切線．（2）由（1）可知，，又，∴．∵，且，∴，∴．∵，∴．∵∴18．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)的半徑長(zhǎng)為．【分析】（1）連接，證明，即可證得，從而證得是圓的切線；（2）設(shè)，則，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列得比例式，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如下圖所示，

∵是的平分線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，又∵過半徑的外端點(diǎn)B，∴與相切；（2）解：設(shè)，則，∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，即，解得．故的半徑長(zhǎng)為．24．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，是的直徑，與相交于點(diǎn)．過點(diǎn)的圓O的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，求的半徑．

【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)為的切線，則，由，則，根據(jù)圓周角定理可得，又，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接．

為的切線，．，．，．，．（2）如圖，連接，，，．，，且，，，即，，，即半徑為．37．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE．（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直徑．【答案】（1）相切，理由見解析；（2）【分析】（1）連接DO，如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，由∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)得到DE＝CE＝BE，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到DE與⊙O相切；（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解:（1）證明：連接DO，如圖，∵∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE與⊙O相切；（2）由（1）得，∠CDB＝90°，∵CE＝EB，∴DE＝BC，∴BC＝5，∴BD＝＝＝4，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，∴＝，∴AC＝，∴⊙O直徑的長(zhǎng)為．38．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，⊙O經(jīng)過A，B，P三點(diǎn)．（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙