山東大學(xué)《數(shù)學(xué)物理方法基礎(chǔ)》課件-第4章

第4章留數(shù)定理2數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理2考慮回路積分(2)若所圍區(qū)域只有f(z)的一個(gè)奇點(diǎn)z,則可在以為圓心在洛朗級數(shù)的收斂環(huán)中，任取一個(gè)緊緊將洛朗展開代入右端，逐項(xiàng)積分，得3根據(jù)不定積分的重要結(jié)果：上式右邊除去k=-1的一項(xiàng)之外全為零，數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理5留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(z)在回路所圍區(qū)域B上除去有限個(gè)孤立奇點(diǎn)b?,b?,b?,,b,,以外解析，在閉區(qū)域B上除去b,函數(shù)f(z)的回路積分歸結(jié)為回路內(nèi)所圍各奇點(diǎn)的留數(shù)之和。留數(shù)的計(jì)算：若能在以奇點(diǎn)為圓心的圓環(huán)域上將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)，取它的-1次冪的系數(shù)即可。但是求展開式比較麻煩。能否不展開而直接求留數(shù)?對于極點(diǎn)，是可以的。如何求a?=Resf(z?)?數(shù)學(xué)物理方法6第4章留數(shù)定理數(shù)學(xué)物理方法6洛必達(dá)法則7第4章留數(shù)定理7數(shù)學(xué)物理方法lim[(z-z?)”f(z)]=2.計(jì)算極點(diǎn)的留數(shù)第4章留數(shù)定理8非零有限值→z,為一階極點(diǎn)非零有限值→z,為m階極點(diǎn)Resf(z)=lim[(z-z)f(2)]數(shù)學(xué)物理方法9數(shù)學(xué)物理方法9數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理數(shù)學(xué)物理方法●∴=1是f(2)的極點(diǎn)。數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理第4章留數(shù)定理第4章留數(shù)定理數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理數(shù)學(xué)物理方法例5:計(jì)算回路積分·該極點(diǎn)在單位圓外第4章留數(shù)定理數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理基本要求1.理解留數(shù)的概念，理解留數(shù)定理中回路積分和留數(shù)2.會(huì)確定給定函數(shù)的極點(diǎn)，并求出函數(shù)在各極點(diǎn)的留1第4章留數(shù)定理1WangChengyou@ShandongUnivers第4章留數(shù)定理2數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理2實(shí)變函數(shù)定積分→復(fù)變函數(shù)回路積分定積d.的積分區(qū)間[a.b]可以看作是復(fù)數(shù)平面上實(shí)軸上的一段l,方法1:利用自變數(shù)的變換把l,變換為某個(gè)新的復(fù)數(shù)平面上的回路，然后應(yīng)用留數(shù)定理；方法2:另外補(bǔ)上一段曲線l?,使得t和l?組成回路l,l包圍著區(qū)域B。將f(x)解析延拓到閉區(qū)域B,并沿著l積分，數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理4當(dāng)實(shí)變數(shù)x從0變到2π時(shí)，復(fù)變數(shù)z=e從z=1出發(fā)沿單位圓|z|=1逆時(shí)針轉(zhuǎn)一圈又回到z=1實(shí)變定積分化為復(fù)變回路積分，即可應(yīng)用留數(shù)定理。實(shí)變定積分里的cosx,sinx和dx,按如下作變換：數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理5例1:計(jì)算積分例2:計(jì)算積分7第4章留數(shù)定理7例3:計(jì)算積分 數(shù)學(xué)物理方法8第4章留數(shù)定理數(shù)學(xué)物理方法8WangChengyouOShandongUniversit9第4章留數(shù)定理9例4:計(jì)算積分?jǐn)?shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理11若f(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)b?如果f(x)是有理分式，即f(x)=φ(x)/y(x),上述條件意味著y(x)沒有實(shí)的零點(diǎn)，y(x)的次數(shù)至少比φ(x)高兩次，則f(x)dx=數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理12P23積分不等式P24積分不等式2數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法上半平面有一個(gè)奇點(diǎn)?=i,為一階極點(diǎn)。數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理17(3)含三角函數(shù)的無窮積分若F(a)、G(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)孤立=πi{F(2)e"在上半平面所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和}=π{G(z)e”"在上半平面所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和}數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理19由約當(dāng)引理第4章留數(shù)定理WangChengyou@ShandongUnivers則數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理21有兩個(gè)奇點(diǎn)z=±ai,均為單極點(diǎn)，上半平面極點(diǎn)z=ai數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理22例9:計(jì)算積分?jǐn)?shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理23實(shí)軸上有單極點(diǎn)的情形足類型(2)或(3)(f(z)應(yīng)理解為F(z)e或G(z)e1)的條件。第4章留數(shù)定理數(shù)學(xué)物理方法第4章留數(shù)定理解：將原積分改寫為被積函數(shù)除了實(shí)軸上有單極點(diǎn)x=0外，滿足類型(3)的適用條件。由于被積函數(shù)在上半平面無奇點(diǎn)，因此數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法