中考數(shù)學壓軸題練習 3對角互補模型（教師版）

【壓軸必刷】中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題3對角互補模型

典例題

1,1)"J?J.l?ZVtocl-∣j,ABAC=90o,AB-AC,Ao_LBC于點O,

(1)如圖1,點N分別在A。，ABl.,S.ZBMN=90°,當Z4MV=30。，AB=2時,

求線段AM的長；

(2)如圖2,點E,尸分別在A3,AC±,S.ZEDF=QOo,求證：BE=AF;

(3)如圖3,點M在AD的延長線上，點N在AC上，且NBMN=90。，求證：

AB+AN=6AM；

【答案】（1）AM=√Σ-23；（2）見解析；（3）見解析.

3

【分析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到4）=8。=QC=√2,求出NMBD

=30。，根據(jù)勾股定理計算即可；

（2）證明ABOE絲AAOF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

（3）過點M作ME〃BC交AB的延長線于E,證明48ME絲AAMN,根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)得到BE=AN,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論.

【詳解】

（1）解：Zfi4C=90o,AB=AC,ADLBC,

.-.AD=BD=DC,NABC=NAC8=45°,ZBAD=ACAD=45°,

AB=2,

AD=BD=DC=y∣2.,,

ZAMN=30°,

:.NBMD=180o-90°-30°=60°,

:.ZBMD=30°,

:.BM=IrDM,

由勾股定理得，BM2-DM?=BD2,即（2OM）2-OM2=（0）2,

解得，DM=工,

3

.?.ΛM=ΛD-DM=√2--；

3

(2)證明：ADA.BC,NEDF=90。,

?.ABDE=ΛADF,

在ABoE:和ΔAOF中，

ZB=ZDAF

[DB=DA,

ZBDE=ZADF

:.ABDE^ΛADF(ASA).?.BE=AF；

(3)證明：過點"作ME〃3。交AB的延長線于巴

.?.ZAME=900,

則AE=√∑M,"=45。，

:.ME=MA,

?.?ZAME=90°,ZBMN=90°,

.?.ZBME=ZAMN,

在NBME和AAMN中，

ZE=NMAN

{MEMA,

ZBME=ZAMN

:.ABME沿MMN(ASA),

.-.BE=AN,

AB+AN=AB+BE=AE=y∕2AM.

圖3

【點睛】

本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形

的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.

【例2】.問題背景

如圖(I),在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180o,AB=AD,NBAD=α,以點A為頂點作

一個角，角的兩邊分別交BC,CD于點E,F,且NEAF=,α,連接EF,試探究：線段BE,

DF,EF之間的數(shù)量關系.

(1)特殊情景

在上述條件下，小明增加條件“當NBAD=/B=ND=90。時”如圖(2),小明很快寫出了：

BE,DF,EF之間的數(shù)量關系為.

(2)類比猜想

類比特殊情景，小明猜想：在如圖(1)的條件下線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關系是否仍

然成立？若成立，請你幫助小明完成證明；若不成立，請說明理由.

(3)解決問題

如圖(3),在AABC中，ZBAC=90o,AB=AC=4,點D,E均在邊BC上，且/DAE=

45°,若BD=√∑,請直接寫出DE的長.

【答案】U)BE+DF=EF:(2)成立；(3)DE=整

3

【分析】

(1)將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AADG,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AG,BE=DG,

NBAE=NDAG,根據(jù)NEAF=^■NBAD可得NBAE+NDAF=45t),即可得出/NEAF=N

FAG,利用SAS可證明AAFE且AAFG,可得EF=FG,進而可得EF=BE+FD;(2)將AABE

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到AADH,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NABE=NADH,ZBAE-ZDAH,

AE=AH,BE=DH,根據(jù)∕BAD=a,/EAF=ga可得NBAE+NFAD=；a,進而可證明

ZFAH=ZEAF,利用SAS可證明AAEF絲Z?AHF,可得EF=FH=BE+FD；(3)將AAEC繞

點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得至IJAAEB,連接DEl由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE，=EC,AE,=AE,Z

C=ZABE,,ZEAC=ZE,AB,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NABC=NACB=45。，BC

=4后，即可求出NEBD=90。，利用SAS可證明AAEF且AAHF,可得DE=DE'利用勾

股定理求出DE的長即可的答案.

【詳解】

(1)BE+DF=EF,

如圖1,將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得至IJAADG,

?.'ZADC=NB=NADG=90。，

ΛZFDG=180°,即點F,D,G共線.

由旋轉(zhuǎn)可得AE=AG,BE=DG,ZBAE=ZDAG.

VZBAE+ZDAF=ZBAD-NEAF=90。-?ZBAD=90o-45o=45o,

???ZDAG+ZDAF=45o,即ZFAG=45o,

ΛZEΛF=ZFAG,

ΛΔAFE^ΔAFG(SAS),

,EF=FG.

又?/FG=DG+DF=BE+DF,

.?.BE+DF=EF,

故答案為BE+DF=EF.

(2)成立.

如圖2,將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到AADH,

可得NABE=NADH,ZBAE=ZDAH,AE=AH,BE=DH.

VZB+ZADC=180o,

???NADH+/ADC=180°,

???點C,D,H在同一直線上.

VZBAD=α,ZEAF=?a,

2

.?.NBAE+NFAD=1a,

2

.?.NDAH+NFAD='a,

2

ΛZFAH=ZEAF,

又TAF=AF,

ΛΔAEF^ΔAHF(SAS),

JEF=FH=DF+DH=DF+BE;

B

H

圖2

E

(3)DE=土s

3

如圖3,將ZkAEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AAEB,連接DEl

可得BE'=EC,AE,=AE,ZC=ZABE1,ZEAC=ZE,AB,

在RtAABC中，VAB=AC=4,NBAC=90°,

,/ABC=NACB=45。，BC=4√2,

ΛCD=BC=BD=3√2，

ΛZABC+ZABE,=90o,即∕E'BD=90°,

ΛE'B2+BD2=E,D2.

易證AAED咨Z?AED,

/.DE=DE'

.?.DE2=BD2+EC2,即DE2=(√5)2+(30?-OE)2,

解得DE=述.

3

【點睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，旋轉(zhuǎn)后不改變圖形的大小和形

狀，并且對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，熟練

掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定定理是解題關鍵.

【例3】一位同學拿了兩塊45。三角尺ΔΛWK,A4CB做了一個探究活動：將ΔM∕VK的直角

頂點M放在ΔAC8的斜邊A3的中點處，設AC=8C=4.

D

圖1圖2圖3

(1)如圖1所示，兩三角尺的重疊部分為AACM,則重疊部分的面積為，周長為

(2)將如圖1所示中的ΔMNK繞頂點M逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得到如圖2所示，此時重疊部分

的面積為,周長為.

(3)如果將ΔMNK繞用旋轉(zhuǎn)到不同于如圖1所示和如圖2所示的圖形，如圖3所示，請你

猜想此時重疊部分的面積為.

(4)在如圖3所示情況下，若AD=I,求出重疊部分圖形的周長.

【答案】(1)4,4+4√2;(2)4,8；(3)4；(4)4+2√5

【分析】

⑴根據(jù)AC=3C=4,ZACB=90,得出AB的值,再根據(jù)M是AB的中點,得出4W=MC,

求出重疊部分的面積，再根據(jù)AM,MC,AC的值即可求出周長；

(2)易得重疊部分是正方形，邊長為;AC,面積為;AC?,周長為24C.

⑶過點M分別作AC、8C的垂線MA、ME,垂足為”、E求得RfMH。絲RrMEG,則

陰影部分的面積等于正方形CEMH的面積?

(4)先過點M作MEJLBC丁點E,Ma_LAC于點H,根據(jù)上=/EM〃，MH=ME,

得出RfDHMgRfEMG,從而得出HC)=GE,CE=AD,最后根據(jù)AZ)和。F的值，算

出Z)M=JL即可得出答案?

【詳解】

解：(1)AC=BC=4,ZACB=90，

.?.AB=y∣AC2+BC2=√42+42=4√2，

”是A8的中點，

.?.AM=2√2，

./AGW=45,

..AM=MCi

重疊部分的面積是2運2立=4,

2

「?周長為：AΛ∕÷Λ∕C÷AC=2√2+2√2+4=4+4√2;

故答案為4,4+4√2;

（2）?重疊部分是正方形，

二邊長為gx4=2,面積為Jx4χ4=4,

周長為2x4=8.

故答案為4,8.

⑶過點M分別作AC、3C的垂線AW、ME,垂足為“、E,

“是aABC斜邊AB的中點，AC=BC=A,

.-.MH=-BC,

2

ME=-AC,

2

.-.MH=ME,

又?一NNMK=NHME=9Q,

：.NNMH+NHMK=90,NEMG+/HMK=90,

NHMD=NEMG,

在“Λ∕"D和AMEG中，

ZHMD=ZGME

<MH=ME,

ZDHM=ZMEG

.-.MHDaMEG（ASA）,

,陰影部分的面積等于正方形CEMH的面積，

「正方形CEMH的面枳是ME-MH=-×4×-×4=4;

22

，陰影部分的面積是4；

故答案為4.

（4）如圖所示，過點M作腔_LBC于點E,MHLAC于點H,

.?.四邊形MECH是矩形,

:.MH=CE.

.∕A=45,

Λ^AMH=45，

..AH=MH,

：,AH=CE,

在RtDHM和RtGEM中，

ZDMH=/EMG

MH=ME,

ZDHM=ZGEM

:.RtDHM出RfGEM.

..GE=DH,

..AH-DH=CE-GE,

:.CG=AD9

AD=I,

.?DH=?.

DM=√T÷4=√5.

???四邊形DMGC的周長為：

CE+CD+DM+ME

=AD+CD+2DM

=4+2√5.

【點睛】

此題考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的面積公式，正

方形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)求解.

【例4】如圖1,在正方形ABcD中，尸是對角線8。上一點，PE±ABfPFA.BC,垂足分

別為點E,F

(1)求證：四邊形尸破尸是正方形；

(2)連結(jié)AP,過點尸作4尸的垂線交直線BC于點G：

①當點G在BC邊上時(如圖2),若AB=7,BG=I,求AP的長；

②請直接寫出線段P3,PD,BG之間的數(shù)量關系.

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可.

(2)①如圖2-1中，連接AG,取AG的中點K,連接PK,BK.證明P,A,8G四點

共圓，利用圓周角定理即可解決問題.

②PB-PD=五BG.利用全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【解析】(1)證明：如圖1中，

四邊形ABCD是正方形，

ΛZΛBC=90o,NDBC=NABD=45°,

'：PElAB,PFLBC,

：.ZPEB=NPFB=NEBF=90°,

.?.四邊形PEBP是矩形，

?：NFBP=NFPB=45°,

LFB=FP,

四邊形PEBF是正方形.

(2)①解：如圖2-1中，連接AG,取AG的中點K,連接PK,BK.

圖2

VZAHG=ZAPG=90o,

：.KP=KB=KA=KG,

.?.A,B,G,P四點共圓,

：.NGAP=NGBP=45°,

二NGAP=NAGP=45°,

：.PA=PG,

VAG=y∣AB2+BG2=5√2,

：.PA=PG=5.

②結(jié)論：①當點G在線段BC上時，PB-PD=√2BG.

理由：VZAPG=ZEPF=Wa,

NAPE=NGPF,

"：PA=PG,NPEA=NPFG=90°,

二△PEA學∕?PFG(AAS),

.?.AE=GF,

：四邊形PEB尸是正方形，

：*BE=BF=*BP,

.".BG+AB=BF-FG+BE+AE=2BE,

.?.8G+?QPB+PD）=√2PB,

，五BG=PB+PD=2PB,

：.PB-PD=√2BG.

②當點G在C8的延長線上時，同法可證：PD-PB=√2BG.

【例5】已知，矩形ABC。中，BC=2AB,點M為AO邊的中點，連接8。，點P在對角線

BD上,連接AP,以點P為頂點作NEPF=90°,PE交AB邊于點、E,PF交AQ邊于點

（1）當NPBA與/∕?B互余（如圖α）時，求證：BE-^MF=

（2）當/PBA與/∕?B相等（如圖b）時，求證：BE、MF、AB間的數(shù)量關系為.

（3）在（2）的條件下，連接E尸并延長ER交直線BD于點G,若BE：AF=I,3,

【分析】（1）取48的中點N,連接尸MPM,由/PBA與/RlB互余可以得出乙4P8=

90°,由直角三角形的性質(zhì)就可以得出PN=BN=AN=%6,AM=DM=PM=^AD,就

1

可以得出NNPE=NMPF,ZNEP=ZMFP,就有LPNESAPMF,得出NE=2MF,就

可以得出結(jié)論；

1

(2)取AB的中點N,連接PN,PM,由條件可以得出APNESAPMF,得出NE=^MF,

就可以得出結(jié)論BE-2MF=%B；

(3)延長CD交FG于點H,設BE=2a,則AF=3a.由BE-2MF=^AB就可以求出

AB=進而得出A。=%,AE=|?,FD=^a,在RtA4EF中，由勾股定理可以求出

a的值，再由EFS尸和4GO"S由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.

【解析】(1)如圖”,取AB的中點N,連接PMPM.

；NPBA與互余，

ΛZPBA+ZB4B=90o,

ΛZAPB=90°,

ΛZAPD=90°.

「N是AB的中點，M是AO的中點，

.,.PN=BN=AN=∣AB,AM^DM=PM=^AD.

：.ZNAP=ZNPA,ZMAP=ZMPA.

?.?四邊形ABCO是矩形，

；.NBAD=90°,AB=CD,AD=BC.

<BC=IAB,

.?AD=2AB,

.AB1

??,

AD2

,NNAP+NMAP=90°,

ΛZNPA+ZMPA=9Qo,

即NN尸M=90°.

TNEP尸=90°,

???ZNPM=ZEPF1

：.ZNPM-NEPM=NEPF-NEPM,

：.ZNPE=ZMPF.

VZPBA+ZPAB=90o,ZBAP+ZDAP=90o,

.?.NABP=NDAP.

?：PN=BN,AM=PM9

."ABP=NPBA,ZDAP=ZMPA9

：./NEP=NMFP.

：?APNEs/XPMF,

,NEPNIAB

""MF~PM~-AD'

2

..NE_1

?MF-2’

.1

：.NE=^MF.

*：BE-NE=BN,

是A。的中點，

,AM=∣AZ),

：.AM=AB.

是AB的中點，

：.BN=^AB,

：.BE-^MF=∣AB.

(2)BE-2MF=^AB

理由：如圖6,取AB的中點M連接PMPM,

：四邊形ABe。是矩形，

ΛZBAD=ZABC=90o,AB=CD,AD=BC,AD//BC,

：.NADB=NCBD.

；NPBA=N∕?B,

：.PA=PB.

是AB的中點，

：.PNlAB,

：.ZANP=90o.

VZ∕?B+Z∕?D=90o,∕PBA+∕PBC=9O°,

：.ZPAD=ZPBC,

：.ZPAD^ZPDA,

：.PA=PD.

是Ao的中點，

：.PMA.AD.

ΛZPMA=90°.

二四邊形PMAV是矩形，

：./NPM=90°.AN=PM,PN=AM.

VNEPF=90°

/.ZNPM=ZEPFf

：./NPM-ZEPM=ZEPF-∕EPM,

：./NPE=ZMPF.

VZPNE=ZPMF=90°,

：ZNESXPMF,

NEPN力0

??——.

MFPM-AB

2

VΛD=2ΛB,

：.NE=2MF.

YBE-NE=BN,

LBE-2MF=BN,

TN是AB的中點，

.?.BN=%B,

：.BE-2MF=^AB.

故答案為：BE-2MF=∣AB;

(3)如圖3,延長CO交尸G于點“，設BE=2〃，則4尸=3。.

*：BE-IMF=^AB

J.BE-2(AF-AM)=∣AB.

?*AM=ABf

2a-2(3。-AB)=

??AB=當。，

..16AL2e、7

..ADγλ=?iz,AE=可。，F(xiàn)D=?tz.

"：AE1+AF2=EF2,

2

/.(一〃)2+(3α)2=(√85)2,

3

解得：4i=3,42=-3(舍去).

ΛAE=2,BE=6,AF=9,DF=JBD=8√5.

?：HD〃AB,

：.XAEFsXDHF,

,DHDF

??,

QEAF

.DH7

??=一,

29

14

：?DH=g.

?.,四邊形ABCO是矩形,

：.AB//CD,

即HD//BE.

：?XGDHsRGBE,

DGDH

??—,

BGBE

14

.DG=?

"DG+8√5-6'

.M14√5

..DG=-?—.

G

優(yōu)訓練

1.(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD,NB=ZX>=90。，E,尸分別是邊BC,CD

上的點，EZE4F=∣ZBAD.請直接寫出線段EF,BE,尸。之間的數(shù)量關系：;

上的點，且NE4F=；/BA。，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；

(3)在四邊形A88中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E,F分別是邊BC,C￡＞所在直線

上的點，S.ZEAF=^BAD.請畫出圖形(除圖②外)，并直接寫出線段EF,BE,FO之

間的數(shù)量關系.

【答案】(1)EF=BE+FD；(2)成立，理由見解析；(3)圖形見解析，EF=BE-FD

【分析】

(1)延長￡8至IJG,使BG=DF,連接AG.證明AAGE和EF全等,則EF=GE,則EF=BE+DF,

證明AABE和尸中全等，那么AG=AENl=N2,Z1+Z3=Z2+Z3=ZEAF=?ZBAD.從

而得出EF=GE;

(2)思路和作輔助線的方法同(1)；

(3)根據(jù)⑴的證法，我們可得出DF=8G,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

【詳解】

(1)延長￡B至G,使8G=。"，連接AG,

：ZABG=ZABC=ND=90°,AB=AD,

：.ABG也ADF,

ΛAG=AF,Z1=Z2,

.?.Zl+Z3=Z2+Z3=ZfiAF=-!-ZBAD,

ΛGAE=ΛEAF,

在/G4E和一E4E中,

AG=AF

?；?ZGAE=ZEAF,

AE=AE

Λ,.GAE^,.FAE(SAS)9

：.EG=EF、

'：EG=BE+BG,

EF=BE+FD.

故答案為：EF=BE+FD

(2)(1)中的結(jié)論仍成立，

證明：延長CB至M,使BW=。尸,

VZABC+ZD=180o,Z1+ZABC=180°,

Z7=ZD,

在，ABM和..AO尸中，

AB=AD

<Zl=ZD,

BM=DF

，ABMgδAPF(SAS),

：.AF=AM,∕2=NZ3,

?.?ΛEΛF=-ZBAD,

2

：.N2+∕4=LZBAD=ZEAF,

2

Z3+Z4=ZEAF即ZMAE=ZEAF,

在和ZW石中，

AM=AF

NMAE=NEAF,

AB=AE

：.∕?AMEa.AFE(5AS),

ΛEF=ME,EF=BE+BM.

(3)EF=BE-FD,

證明：在BE上截取3G使3G=OF,

連接AG,

VZB÷ZΛDC=180o,ZADF÷ZAZ>C=180°,

ZB=ZADF,

???在A5G和AAD戶中,

AB=AD

<ZABG=ZADFF

BG=DF

??..ABGgAADF(SAS),

；?/BAG=NDAF,AG=AFf

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=-ZBAD,

2

：?NG4E=ZE4F,

在4人或；和4"尸中，

AG=AF

</GAE=NEAF,

AE=AE

.?AAEG絲aA^F(5ΛS),

.,.EG=EF,

,JEG=BE-BG,

：.EF=BE-FD.

【點睛】

此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關鍵,

沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構建與已知和所求條件相關聯(lián)的全等三角形.

2.四邊形A8CZ)是由等邊ZUBC和頂角為120。的等腰ΔA3D排成，將一個60。角頂點放在。

處，將60。角繞。點旋轉(zhuǎn)，該60。交兩邊分別交直線BC、AC于M、N,交直線AB于E、

F兩點.

(1)當E、尸都在線段AB上時(如圖1),請證明：BM+AN=MN-

(2)當點E在邊54的延長線上時(如圖2),請你寫出線段MB,AN和MN之間的數(shù)量關

系，并證明你的結(jié)論；

(3)在(1)的條件下，若AC=7,AE=2Λ,請直接寫出MB的長為.

【答案】(1)證明見解析；(2)MB=MN+4V?證明見解析；(3)2.8.

【分析】

(1)把繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到AZMQ,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DM=DQ,AQ=BM,

NADQ=NBDM,然后求出/QDN=/例。M利用“邊角邊"證明和AQND全等，根據(jù)

全等三角形對應邊相等可得MN=QM再根據(jù)4。+AN=QN整理即可得證；

(2)把zkD4∕V繞點。順時針旋轉(zhuǎn)120。得到根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CW=OP,AN=BP,

根據(jù)ND4N=∕Z58P=90?？芍c尸在5M上，然后求出/M￡)P=60。，然后利用“邊角邊'’證明

△MND和^MPD全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MN=MP,從而得證；

(3)過點M作/〃AC交AB于G,交DN于H,可以證明ABMG是等邊三角形，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)可得BM=MG=8G,根據(jù)全等三角形對應角相等可得/QND=NMND,再根

據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NQNZ>∕M"M然后求出NMND=∕Λ∕"M根據(jù)等角對等

邊可彳導MN=MH,然后求出4V=G"，再利用“角角邊”證明△?!NE和ZkG"E全等，根據(jù)全等

三角形對應邊相等可得AE=GE再根據(jù)BG=4‰46GE代入數(shù)據(jù)進行計算即可求出8G,從

而得到的長.

【詳解】

解：（1）證明：把ADBM繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到AD4Q,

則。M=QQ,AQ=BM1NADQ=NBDM,NQw=NC80=90。，

???點。在直線C4上，

?/ZQDN=ZADQ+ZADN=ZBDM+ZADN=NABD-ZMDN=120o-60o=60o,

???/QDN=/MDN=6。。,

?:在AMND和AQND中，

DM=DQ

</QDN=/MDN,

DN=DN

：?AMNDQ4QND(SAS),

,MN=QN,

丁QN=AQ+AN=BM+AN,

：.BM+AN=MN;

(2)：MB=MN+AN.

理由如下：如圖，把ZkQAN繞點。順時針旋轉(zhuǎn)120。得到AfWP,

則DN=DP,AN=BP,

M

o

?.'ZDAN=ZDBP=90f

???點?在上，

ZMDP=ZADB-ZADM-ZBDP=120o-ZADM-ZADN=120o-ZMDN=120o-60o=60o,

.?NMDP=/MDN=60。,

??,在AMNQ和AMPO中，

DN=DP

<ZMDP=NMDN,

DM=DM

:AMNDQAMPD(SAS)f

LMN=MP,

?：BM=MP+BP,

,MN+AN=BM:

(3)如圖，過點M作M”〃AC交A8于G,交DN于H,

YZVlBC是等邊三角形，

：△BMG是等邊三角形，

IBM=MG=BG,

根據(jù)（1）AMND4AQND可得/QND=NMND,

根據(jù)MH〃AC可彳導NQND=NMHN,

.?NMND=NMHN,

：.MN=MH,

：.GH=MH-MG=MN-BM=AN,

B∣JAN=GH,

；在44VE和AGbE中，

AQND=AMHN

<乙AEN=乙GEH,

AN=GH

JXMiEOGHECAAS),

：.AE=EG=2.1,

?：AC=1,

.?.AB=AC=7,

.?.BG=AB-AE-EG=J-2.1-2.1=2.8,

.?.8M=8G=2.8.

故答案為：2.8

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變

換的性質(zhì)作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵，(3)作平行線并求出AN=GH是解題的關

鍵，也是本題的難點.

3.問題探究

((1)如圖①，已知NA=45。，NABC=30。，ZADC=40°,則/BCO的大小為；

(2)如圖②，在四邊形ABC。中，AB=BC,ZABC=ZADC=WO,對角線BQ=6.求四邊形

ABC￡>的面積；小明這樣來計算.延長。C,使得CE=A￡>,連接BE,通過證明

CBE,從而可以計算四邊形ABCC的面積.請你將小明的方法完善.并計算四邊形ABCD

的面積；

問題解決

(3)如圖③，四邊形ABCZ)是正在建設的城市花園，其中AB=BC,ZAδC=60o,∕AOC=30t5,

OC=40米，AD=30米.請計算出對角線8。的長度.

【答案】(1)115°；(2)5四娜ABCD=I8；(3)對角線BD的長度為50米.

【分析】

(1)利用外角的性質(zhì)可求解；

(2)延長DC,使得CE=AD,連接BE,通過證明AAB/)出4C8E,從而可以計算四邊形ABCD

的面積；

(2)將ZkBCQ繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到ZkBAF,連接尸￡>,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8尸=8。,

A尸=Co=40,ZBDC=ZBFA,由三角形內(nèi)角和定理可求NMD=90。，由勾股定理可求解.

【詳解】

解：(1)如圖1,延長BC交AO于E,

圖1

?：ZBCD=ZBED+ZD,ZBED=ZA+ZABC,

：.ZBCD=ZA+ZABC+ZD=45o+30o+40o=l15°,

故答案為：115。；

(2)延長OC,使得CE=A。，連接BE,

在四邊形ABCDNABC=NAoC=90。,

.,.∕A+NBCQ=I80°,

■：ZBCE+ZBCD=ISOo,

：.NA=NBCE,

??ABD??CBEΦ,

AB=BC

NA=NBCE,

AD=CE

：.AABD烏ACBE,

:?BE=BD,NABD=NCBE,S&ABD=S&CBE，

?/ZΛBC=90o,即ZΛBD÷ZDBC=90o,

ΛZCBE+ZDBC=90o,即NO5E=90°,

?；BD=BE=6,ZDBE=90o,

.*.S^BDK=—×BE×BD=18，

2

:?SABD尸SKB卜苴ADBC=SAABl）+S&DBC=S四邊形ABC￡>=18;

（4）如圖，將C。繞點B逝忖針旋轉(zhuǎn)60。，得到AR連接

ΛΔBCD^ΔBAF,ZFBD=60o,

：?BF=BD,AF=CD=40,ZBDC=ZBFAt

尸。是等邊三角形，

IBF=BD=DF,

?：NADC=30。，

ZΛDB+ZBDC=30o,

/.NB必+NADB=30°,

???ZFBD+ZfiM+ZBDA+ZAFD+ZADF=180°,

.?.60o+30°+ZAFD+NAOF=180°,

.?.ZAFD+ZADF=90°,

：.ZFAD=90o,

.?.DF=AF-+ADr=√402+302=50-

ΛBD=50(X).

答：對角線8。的長度為50米.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等

知識，添加輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.

4.(初步探索)

(1)如圖1：在四邊ABC中，AB=AD,NB=ZADC=90。，E、尸分別是8C、C￡＞上的

點，SLEF=BE+FD,探究圖中NS4E、AFAD.NEA尸之間的數(shù)量關系.

小明同學探究此問題的方法是：延長尸￡1到點G,使DG=BE.連接AG,先證明

?ASE=?ADG,再證明△/!￡尸=AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是

(靈活運用)

(2)如圖2,若在四邊形ABa)中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E、尸分別是3C、CD

上的點，且EF=3E+RD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

(拓展延伸)

(3)如圖3,已知在四邊形ABCD中，NABC+ZADC=180°,AB=AD,若點E在CB的延

長線上，點尸在CZ)的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD,請寫出NE4戶與

NZMB的數(shù)量關系，給出證明過程.

【答案】(1)NBAE+NFAD=NEAF；(2)ZEAF=ZBAE+ΛDAF-(3)ZEΛF=180o-∣

NDAB.

【分析】

(1)延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,可判定AABE也ZkADG,進而得出/BAE=

ZDAG,AE=AG,再判定AAE尸好ZXAGF,可得出NEAF=NGA尸=∕OAG+NOA尸=NBAE

+ZDAF,據(jù)此得出結(jié)論；

(2)延長Fz)到點G,使DG=BE,連接4G,先判定A48EgZ∑AOG,進而得出/2AE=

ZDAG,AE=AG,再判定ZkAE尸絲ZiAGF,可得出NEAF=/GAF=NZMG+/OAF=NBAE

+ZPAF；

(3)在Z)C延長線上取一點G,使得。G=BE,連接4G,先判定A4Z)G絲Z?ABE,再判定

?AfF^ΔAGF,得出NEIE=N必G,最后根據(jù)/∕?E+NEG+∕GAE=36(Γ,推導得到

2ZME+ZDΛB=360o,即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)ZBAE+ΛFAD^ZEAF.理由：

如圖1,延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,

"：NS=NADC=90。，

.?.ZADG=NB=90°,

DG=BE,AB=AD,

.,.∕?ABE^ΛADG,.".ZBAE=ZDAG,AE=AG,

"：EF=BE+FD,DG=BE,

：.EF=DG+FD=GF,h.AE=AG,AF=AF,

：.ΛAEF^ΛAGF,

：.NEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF.

故答案為：ZBAE+AFAD=AEAF；

圖1

(2)仍成立，理由：

如圖2,延長尸。到點G,使。G=BE,連接AG,

VZfi+ZADF=180o,NAOG+/月力尸=180°,

,NB=NADG,

又：AB=AO,

ΛΔABE^ΔADG(SAS),

.?ZBAE=ZDAG,AE=AG,

；EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

ΛΔΛEF^ΔAGF(SSS),

.?ZEAF=ZGΛF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

圖2

(3)ZEAF=↑SOQ-^ZDAB.

證明：如圖3,在。C延長線上取一點G,使得。G=8E,連接AG,

?/ZABC+NADC=180o,ZABC+ZABE=180°,

.??ZADC=NABE,

又?.?A8=AO,

ΛΔADG^AABE(SAS)f

：.AG=AE,ZDAG=ZBAEf

??EF=BE+FD=DG^FD=GF,AF=AFf

：.ΛAEF^∕?AGF(SSS),

：.ZFAE=AFAG,

?/ZFAE+ZFAG+NGAE=360。，

FAE+(ZGAB+ZBAE)=360°,

Λ2ZME+(NGA8+NZMG)=360°,

即2/7?LE+/￡>AB=360。，

ZEΛF=180o-?^?ZDAB.

G

圖3

【點睛】

本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應用,

解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應角相等進行推導變

形.解題時注意：同角的補角相等.

5.在NM4N內(nèi)有一點Q,過點D分別作D3LAΛ∕,DCLAN,垂足分別為B,C.且

BD=CD,點、E,尸分別在邊AM和AN上.

(I)如圖1,若？BED2CFD,請說明班=D尸：

(2)如圖2,若NBQC=I20。，NfDF=60。，猜想E尸，BE,CF具有的數(shù)量關系，并說

明你的結(jié)論成立的理由.

【答案】(1)見解析；(2)EF=FC+BE,見解析

【分析】

(1)根據(jù)題目中的條件和？BED?CFD,可以證明ΔSQE=ACDF,從而可以得到

DE=DF;

(2)作輔助線，過點。作NCDG=NBZJE,交ATV于點G,從而可以得到ΔBDE=ACDG,

然后即可得到。E=DG,BE=CG,再根據(jù)題目中的條件可以得到ΔEDFwAGQF,即可得

至I]E尸=GF,然后即可得到EF,BE,C尸具有的數(shù)量關系.

【詳解】

解：(1)DBA-AM,DCi.AN,

:.ZDBE=ZDCF=90°,

在ΔBZ)E和ACO尸中，

ZBED=ZCFD,

<ZDBE=NDCF,

BD=CD,

.-.?BDE=ACDF(AAS).

：.DE=DF;

(2)EF=FC+BE,

理由：過點。作NCDG=NBDE,交AN于點G,

在ABDE和ACDG中，

'ZEBD=NGCD

BD=CD,

NBDE=NCDG

?BDE=ACDG(ASA),

:.DE=DG,BE=CG.

ZBDC=I20°,NEDF=60。,

ZBDE+NCDF=60。.

:.ZFDG=ZCDG+NCDF=60o,

:.NEDF=NGDF.

在AEDF和AGDF中，

DE=DG

-NEDF=NGDF,

DF=DF

AEDF=SGDF(SAS).

..EF=GF,

EF=FC+CG=FC+BE.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定、解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

6.問題背景:如圖1,在四邊形ABCD中，ZBAD=9（）°,ZBCD=90o,BA=BC,ZABC=UOo,

ZMBN=W,ZMBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AO、OC于E、F.探究圖中線段AE,

CF,EF之間的數(shù)量關系.小李同學探究此問題的方法是：延長FC到G,使CG=AE,

連接8G,先證明CG絲Z?8M,再證明ABFgABFE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是

探究延伸1：如圖2,在四邊形ABC。中，ZBAD=90o,々8=90。，BA=BC,

ZABC=2AMBN,NMBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交A￡>、￡>C于E、F.上述結(jié)論是否

仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者"不成立”），不要說明理由.

探究延伸2：如圖3,在四邊形ABCD中，54=BC,ZBAD+NBCD=180o,ZABC=2AMBN,

NMBN繞B點、旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AD、OC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？并說明

理由.

實際應用：如圖4,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30°的A處艦艇

乙在指揮中心南偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇

甲向正東方向以75海里〃J、時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50。的方向以IOO海里/小時

的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀

測兩艦艇視線之間的夾角為70。，試求此時兩艦艇之間的距離.

B

【答案】EF=AE+CF.探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立.探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF

仍然成立.實際應用：210海里.

【分析】

延長FC到G,使CG=AE,連接BG,先證明ZXBCG慫Z?BAE,可得BG=BE,ZCBG=Z

ABE,再證明48G尸經(jīng).跳尸，可得GF=EF,即可解題；

探究延伸1：延長FC至∣JG,使CG=AE,連接BG,先證明ZXBCG慫Z?54E,可得BG=BE,

ZCBG=ZABE,再證明‘8GF"8EF,可得GF=EF,即可解題；

探究延伸2：延長FC到G,使CG=AE,連接3G,先證明Z?3CG絲Z?8AE,可得BG=BE,

ZCBG=ZABE,SffiBJl.BGF^BEF,可得GF=EF,即可解題；

實際應用：連接EF,延長AE,BF相交于點C,然后與探究延伸2同理可得EF=AE+CF,

將AE和CF的長代入即可.

【詳解】

解：EF=AE+CF

理由：延長尸。到G,使CG=AE,連接BG,

G：

N

圖1

在ABCG和ABAE中,

BC=BA

NBCG=NBAE=9。。,

CG=AE

ABCGTABAE(SAS),

ΛBG=BE,ZCBG=ZABE,

VZABC=120o,ZMBN=60o,

.?.ZABE+ZCBF=60o,

.?.ZCBG+ZCBF=60o,

即NGBF=60。，

??BGF和aBEF中，

BG=BE

</GBF=NEBF,

BF=BF

.,.ΔBGF^ΔBEF(SAS),

ΛGF=EF,

?.βGF=CG+CF=AE÷CF,

.?EF=AE÷CF.

探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立.

理由：延長/C到G,使CG=AE,連接3G,

圖2

??BCGff?BAE中，

BC=BA

<NBCG=NBAE=90。，

CG=AE

JABCGdBAE(SAS),

ΛBG=BE,ZCBG=ZABE,

丁ZABC=2ZMBN,

工NABE+NCBF=gZABC,

??.NCBG+NCBF=gZABC,

即NGBF二g/ABC,

在ABGF^Π?BEFψ,

BG=BE

<NGBF=NEBF,

BF=BF

.,.ΔBGF^ΔBEF(SAS),

ΛGF=EF,

VGF=CG+CF=AE+CF,

.*.EF=AE÷CF.

探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立.

理由：延長bC到G,使CG=AE,連接BG,

VZBAD+ZBC￡>=180o,ZBCG+ZBCD=180o,

ΛZBCG=ZBAD

??BCG??BAEφ,

BC=BA

</BCG=NBAE,

CG=AE

：.∕?BCG^∕?BAE(SAS),

ΛBG=BE,ZCBG=ZABE,

VZABC=2ZMBN,

NABE+NCBF=gZABC,

:、NCBG+NCBF=gZABC,

即NGBF=gNABC,

在ABGF和^BEF中，

BG=BE

<NGBF=NEBF,

BF=BF

ΛΔBGF^ΔBEF(SAS),

ΛGF=EF,

?.'GF=CG+CF=AE+CF,

.?.EF=AE+CF.

實際應用：連接EF,延長AE,BF相交于點C,

,/NAoB=30°+90°+(90°-70°)=140°,NEOF=70°,

ΛZEOF=?-ZAOB

：OA=OB,NOAC+NOBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

符合探索延伸中的條件

/.結(jié)論EF=AE+CF仍然成立

B∣JEF=75×1.2+100×1.2=210(海里)

答：此時兩艦艇之間的距離為210海里.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

7.如圖1,四邊形ABCD中，BD±AD,E為BD上一點，AE=BC,CE±BD,CE=ED

(1)已知AB=I0,AD=6,求CD；

(2)如圖2,F為AD上一點，AF=DE,連接BF,交BF交AE于G,過G作GH_LAB

于H,ZBGH=75o.求證：BF=2√2GH+√2EG.

【答案】(1)20；(2)證明見解析

【分析】

(1)由勾股定理得出BD=y∣AB--AD-=8,山HL證得RtZkADEgRsBEC,得出BE=AD,

則CE=ED=BD-BE=BD-AD=2,由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果；

(2)連接CF,易證AF=CE,AD〃CE,得出四邊形AECF是平行四邊形，則AE=CF,

AE〃CF,得出NCFD=NEAD,ZCFB=ZAGF,由RtZkADE絲RtZkBEC,得出NCBE=/

EAD,推出NCBE=NCFD,證得^BCF是等腰直角三角形，則BF=&BC=應CF=&

AE,ZFBC=ZBFC=45o,推出∕AGF=45°,ZAGH=60o,∕GAH=30°,則AG=2GH,

得出BF=&AE=&(AG+EG),即可得出結(jié)論.

【詳解】

⑴解：VBD±AD,

?'?BD=√4B2-AD2=√102-62=8，

VCE±BD,

.?ZCEB=ZEDA=90o,

?AE^BC

在RtAADE和RtABEC中，\,

1ED