北京市海淀區(qū)【中考數(shù)學(xué)】2022-2023學(xué)年提升訓(xùn)練-相似三角形綜合解答題（含解析）

北京市海淀區(qū)【中考數(shù)學(xué)】2022-2023學(xué)年專題提升訓(xùn)練

一相似三角形綜合解答題

1.如圖在矩形HBc。中，/8=12,尸是邊上一點，把APBC沿直線Pe折疊，頂點8的對

應(yīng)點是點G,過點B作BELCG,垂足為點E且點E在/。上，BE交PC于點F.

(1)求證：XABEsXDECt

(2)當(dāng)/。=25時，且∕E<OE時，求tan/PCB的值；

(3)當(dāng)BP=9時，求8E?EF的值.

2.如圖，在△力BC中，BA=BC,AB=kAC.點尸在ZC上，點E在BF上,BE=IEF.點、D

在BC延長線上，連接AE,NNa>+ND4E=180°.

(1)求證：NCAD=NE4B;

(2)求他的值(用含左的式子表示)；

AE

(3)如圖2,若DH=LH,求處的值(用含左的式子表示).

2CH

3.己知在RtC中，Cf)J于點D

(1)在圖1中，寫出其中兩對相似三角形.

(2)已知B￡)=1,DC=2,將ACBO繞著點。按順時針方向進行旋轉(zhuǎn)得到aC8O,連接

AC,BC.

①如圖2,判斷“。與8C之間的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點/,B,。在同一直線時，求BC的長.

第1頁/總53頁

備用圖

4.如圖，在正方形力BCD中，點E是邊CQ上的一點(不與點C,。重合)，點尸在邊C8的

延長線上，且XE=NR連接切交Aff于點例，交AC于點、N.

(1)求證：AELAF-,

(2)若NB4C=2NBAF,求證：A產(chǎn)=AM?如AB；

(3)若CE="DE,求理?的值(用含〃的式子表示).

EN

5.如圖，點E是矩形/8C。中C。邊上一點，ABCE沿BE折疊為ABFE,點F落在AD上.

(1)求證：LABFsADFE;

(2)若sin/DFE=」-,求tan∕E8C的值；

3

(3)在445尸中，AF=5cm,BF=IOcm,動點〃從點8出發(fā)，在8尸邊上以每秒2cw的速

度向點尸勻速運動，同時動點N從點/出發(fā)，在18邊上以每秒√ScτH的速度向點B勻速運

動，設(shè)運動時間為fs(OWfW5),連接MN,若AABF與以點B,N,M為頂點的三角形相似,

6.【基礎(chǔ)探究】

如圖1,四邊形/8C。中，NADC=NACB,ZC為對角線，AD'CB=DC?AC.

(1)求證：/C平分ND48.

(2)若∕C=8,23=12,則4。=.

【應(yīng)用拓展】如圖2,四邊形力8。中，NADC=NACB=90：4C為對角線，AD?CB=

DC-AC,E為/8的中點，連結(jié)CE、DE,DE與4C交于點E若CB=6,CE=5,請直接

第2頁/總53頁

寫出】2的值.

EF

Si

7.已知：NZeB=90°,CD是N/C8的平分線，點尸在CD上，CP=√2?將三角板的直角

頂點放置在點P處，繞著點P旋轉(zhuǎn)，三角板的一條直角邊與射線CB交于點E,另一條直角

邊與直線C4,直線CB分別交于點凡點G.

(1)如圖1,當(dāng)點尸在射線C/上時,

①求證：PF=PE;

②設(shè)CF=α(0<?<1),試求CG的值(用含”的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,點尸在“C延長線上，連接E凡當(dāng)與AEGP相似時，求EG的長.

8.(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1,Z?Z8C和△"￡>￡'都是等邊三角形，連接8。，CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,A43C和△相>E都是等腰直角三角形，AABC=ZADE=Wa.連

接5。，CE.請直接寫出現(xiàn)的值.

CE

(3)【拓展提升】如圖3,A48C和449E都是直角三角形，ΛASC=ZADE=90°,且上當(dāng)

BC

=AD=3,連接8。，CE.①求坨的值；②延長CE交5。于點R交4B于點、G.求Sin

DE4CE

NBFC的值.

第3頁/總53頁

D

圖1圖2圖3

9.如圖1,在4/BC中，ZA=90°,AB=3,∕C=4,點M是邊力8上的動點(不與/,B重

合)，MQ_L8C于點0,MN//BC,交.AC于點、N,連接N0.

(1)求證：AQBMSA4MN；

(2)若點M為48的中點(如圖2),求。8的長；

(3)若四邊形BMAQ為平行四邊形(如圖3),求08的長.

1().如圖，已知A∕3C是邊長為12cτπ的等邊三角形，動點P,0同時從48兩點出發(fā)，分別沿

AB、BC勻速運動，其中點尸運動的速度是2CM∕S,點0運動的速度是4CM∕S,當(dāng)點。到達

點C時，P、。兩點都停止運動，設(shè)運動時間為f(s),解答下列問題：

(1)當(dāng)t=2時，判斷4BP0的形狀，并說明理由；

(2)設(shè)4BP0的面積為S(Cwr2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)作QR〃B4交4C于點、R,連接PR,當(dāng)，為何值時，∕?APR^∕?PRQ.

第4頁/總53頁

11.問題初探：數(shù)學(xué)興趣小組在研究四邊形的旋轉(zhuǎn)時，遇到了這樣的一個問題.如圖1,四邊

形ZBC。和BMG都是正方形，BHUE于H,延長”8交CG于點A/.通過測量發(fā)現(xiàn)CM

=MG.為了證明他們的發(fā)現(xiàn)，小亮想到了這樣的證明方法：過點C作CNLBM于點N.他

已經(jīng)證明了aZ8“經(jīng)ABCN,但接下來的證明過程，他有些迷茫了.

(1)請同學(xué)們幫小亮將剩余的證明過程補充完整；

(2)深入研究：若將原題中的“正方形”改為“矩形”(如圖2所示)，且組里=k(其

BCBE

中4>0),請直接寫出線段CM、MG的數(shù)量關(guān)系為；

(3)拓展應(yīng)用：在圖3中，在RtZ?43C和RtZiADE中，ZBAC=ZDAE=90°,ZACB=

NZEO=30°,連接8。、CE,F為BD中點,則力尸與CE的數(shù)量關(guān)系為.

圖1圖2圖3

12.如圖1,RtZ?∕8C中，N4=90°,D為AB上一點,NACD=NB.

(1)求證：AC2=AD9AB;

(2)如圖2,過點“作NAn_CD于"，交BC于點E,若生』，求幽的值；

BC2ME

(3)如圖3,N為CD延長線上一點，連接NN、BN,若CD孌,NNBD=2NACD,則

BN3

tanNACN的值為.

13.如圖(1),點E為正方形4BCD內(nèi)一動點,連接CE,DE,且NOEC=90°,以CE為邊

向右側(cè)作等腰直角三角形EC尸，NECF=90°,連接/F,BF.

(1)求NBES的度數(shù)；

第5頁/總53頁

(2)如圖(2),連接∕E,若N4EF=90;

①求證:AE=BF.

CFAE,

②求tan/AFE的值.

圖(1)圖(2)

14.(1)閱讀解決

華羅庚是我國著名的數(shù)學(xué)家，他推廣的優(yōu)選法，就是以黃金分割法為指導(dǎo)，用最可能少的試

驗次數(shù)，盡快找到生產(chǎn)和科學(xué)實驗中最優(yōu)方案的一種科學(xué)試驗方法.

黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值,

這個比例被公認(rèn)為最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.

如圖①，點8把線段/C分成兩部分，如果納=絲■,那么稱點5為線段NC的黃金分割點，

ABAC

它們的比值為近二

2

在圖①中，若X5=12w,則8C的長為cm；

(2)問題解決

如圖②，用邊長為40加的正方形紙片進行如下操作：對折正方形N58得折痕EF,連接

CE,將CB折疊到CE上，點8對應(yīng)點為H,折痕為CG.

證明：G是的黃金分割點；

(3)拓展探究

如圖③在邊長為m的正方形ABCD的邊AD上任取點ECAE>DE),連接BE,作CFLBE,

交ZB于點尸，延長E尸，CB交于點、P.發(fā)現(xiàn)當(dāng)尸B與BC滿足某種關(guān)系時，E、尸恰好分別

第6頁/總53頁

是/。、/B的黃金分割點.請猜想這一發(fā)現(xiàn)，并說明理由,

15.定義：兩個相似等腰三角形，如果它們的底角有一個公共的頂點，那么把這兩個三角形稱

為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”.如圖，在ANBC與△"灰)中，BA=BC,E4=ED,且A4BC~AED,

所以稱4/BC與4/ED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，設(shè)它們的頂角為α,連接E8,DC,則稱匹?為

BD

“關(guān)聯(lián)比”.

下面是小穎探究“關(guān)聯(lián)比”與a之間的關(guān)系的思維過程，請閱讀后，解答下列問題：

(1)當(dāng)448C與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形“，且a=90°時，

①在圖2中，若點E落在/8上，則“關(guān)聯(lián)比"里=；

EB

②在圖3中，探究4/8E與4/CD的關(guān)系，并求出“關(guān)聯(lián)比”遠(yuǎn)的值.

EB

(2)如圖4,當(dāng)4/8C與4/ED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形“，且a=120°,

①“關(guān)聯(lián)比"DC=

EB-

(2)AB=2時，將4/8C繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,線段BC掃過的面積是.

［遷移運用］

(3)如圖5,△ZBC與ANED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”.若NABC=NAED=90°,AC=4,

點尸為月C邊上一點，且E4=I,點E為PB上一動點，當(dāng)點E自點8運動至點尸時，點。

所經(jīng)過的路徑長為.

第7頁/總53頁

16.【教材呈現(xiàn)】華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容：

如圖，在C中，點。、E分別是43,Nef的中點，可以猜想：DE〃BC旦DE=LBC.

2

對此，我們可以用演繹推理給出證明.

證明：在4/8C中，

;點。、E分別是43與ZC的中點，

?.?-A-DΣΣ-A-E-=1"'，

ABAC2

請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖1,寫出完整證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】

如圖2,在448C中/。垂直于N48C的平分線8E于點E,且交BC邊于點。，點廣為/C

的中點.若N8=6,BC=IO,求呼'的長.

【拓展延伸】

如圖3,在Rt?Δ48C中，ZzlSC=90°,AB=2>,BC=4,。為/C中點，將/。繞點/逆時

針旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0o<a<360°),得到線段月。，連結(jié)C￡>”取Si的中點E,連結(jié)

BE.則48EC面積的最大值為.

第8頁/總53頁

17.【觀察與猜想】

(1)如圖1,在正方形488中，點E,尸分別是/8,4。上的兩點，連接。E,CF,若

DELCF,則述的值為；

CF

(2)如圖2,在矩形/3。中，AD=I,CD=4,點E是力。上的一點，連接CE,BD,若

CELBD,則鵑的值為

BD

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形/8CQ中，N4=NB=90°,點E為上一點，連接。E,過點C

作。E的垂線交友)的延長線于點G,交4。的延長線于點尸，求證：DE?AB=CF?AD;

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtZUBD中，ZBAD=90Q,/0=18,將α/BO沿BD翻折，點4落在點

C處,得到△■?￡),點尸為線段40上一動點，連接CR作DE_LC尸交/8于點E,垂足為

點G,連接/G.設(shè)些求ZG的最小值.

CF3

圖1圖2圖3圖4

18.類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象在一系列屬性上相同或相似，從而推出它們在其他屬性上

也相同或相似的推理.借助類比推理可以發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.

第9頁/總53頁

如圖(1),在a∕5C中，NC=90°，空?="，點Q、F分別是邊48、ZC上的點，/5=2

BC

ZADF,過點力作尸交DF的延長線于點E,求處的值.

DF

為了獲取解決問題的方法，小敏先假設(shè)"?=1,點。與點8重合(圖(2)),此時她發(fā)現(xiàn)8E

是N/BC的角平分線，因為BE又與NE垂直,所以她想到將/E與8C延長，于是她求出了

嶇的值.

DF

(1)圖(2)中，ACAE=°,小敏求出的坐=；

DF

(2)接著在m=1的條件下，她讓點。與點B不重合，如圖(3),請嘗試探究此時逆的值；

DF

(3)最后她類比特例中采用的方法，成功地解決的原題.請結(jié)合特例探究的經(jīng)驗，嘗試求

出原題圖(1)中S殳的值.

DF

(4)如圖(4),NC=90°,點。、尸分別在8C、/C邊上，連接4。、BF交于點、M,過點

Z作/E_L8F,BC=InAF,CF=,"80.請直接寫出處的值.

EM

19.如圖，ZU8C中，D,E分別為4?，Ne上的點，DE//BC,將△“￡>E繞點/逆時針旋轉(zhuǎn),

連接8。，且8,D,E三點恰好在一條直線上.

(1)如圖①，連接CE,求證：“BDS"CE；

(2)如圖②，若△月BC為直角三角形，NBAC=9Q°,^ABC=30Q,延長ZE,BC交于

點凡若期?=&,求此的值；

BDVZEF

第10頁/總53頁

(3)如圖③，若C為等腰三角形，4B="C=6,點G為C內(nèi)一點，連接∕G,BG,

CG,且NA4G=ZG8C,ZfiGC=90°,BG=2GC,請直接寫出/G的長.

圖①

20.幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人們對土地測量的需要，后來由實際問題抽象成為數(shù)學(xué)問題.初中數(shù)

學(xué)常見的幾何模型有很多，通過整理歸納，可以從這些基本模型中找到其所藻蘊含的規(guī)律.

圖1

【提出問題】如圖1,ZX∕8C和△/￡>E均為等腰直角三角形，NABC=NADE=90°,∕?ADE

繞點4旋轉(zhuǎn)，連結(jié)8。、EC,小明通過探究得到NZ8。與NBCE的大小存在某種數(shù)量關(guān)系,

具體探究過程如下.

【探究問題】小明先將上述問題'‘特值化"，如圖1,令A(yù)B=T,AD=QZABD=WOo,

則可證明AHBQ和4/CE相似，進而可求得NBCE的度數(shù).請你幫助小明完成解答過程.

第11頁/總53頁

【解決問題】將問題“一般化”，如圖2,在AzlOE繞點/旋轉(zhuǎn)過程中，NABD與NBCE滿

足的數(shù)量關(guān)系為.

【拓展應(yīng)用】如圖3,過線段48的端點B作射線8〃Rt△/￡>E的直角頂點。在射線

上運動，連結(jié)5E,若48=4,坦=且，則8E的最小值為.

DE3

答案

1.(1)證明：：四邊形48CZ)是矩形,

第12頁/總53頁

ΛZA=ZD=Wo,

9CBELCG,

.t.ZBEC=90o,

：?NAEB=W-NCED=NDCE,

：.AABEs∕?DEC;

(2)解:當(dāng)40=25時,如圖：

.AB=DE

**AEDC,

設(shè)4E=m,則。E=25-加，

-

???—12_25m~~,

m12

解得：m=9或〃Z=16,

經(jīng)檢驗，m=9或〃?=16是原分式方程的解，

?：AE<DE,

.?AE=9,Z)E=I6,

：.CE=20,BE=15,

?：XBPC沿PC折疊得到AGPC,

ΛZPGC=ZPBC=90o,ZBPC=ZGPC,BP=PG,

?：BELCG,

：,BE〃PG,

：.ZGPF=/PFB,

：.ZBPF=ZBFPf

：,BP=BF；

第13頁/總53頁

'BP=BF=PG,

`:BE//PG,

：.XECFsXGCP,

.EF=CE

",PG^CG^'

設(shè)BP=BF=PG=",

???1--5--n—-—^2―0，

n25

?.?_n-25--,

3

經(jīng)檢驗，〃=生是原分式方程的解,

3

.?.5P=-,

3

25

,tan/PC8=比?=二—=工：

BC253

(3)解：連接尸G,如圖：

G

A

P

B

:NGEF=NPGC=90",

:,BF//PG,

由(2)知BF=PG=BP=9,

二四邊形8PG尸是菱形，GF=9,

J.BP//GF,

.?ZGFE=ZABE,

JAGEFs∕?EAB,

.EF=AB

'^GFBE'

Λ5E?EF=Jβ?GF=12×9=108.

第14頁/總53頁

,

2.(1)證明：?BA=BC9

：.ZBAC=ZBCA,

VZACD+ZDAE=?S0o,ZACD+ZACB=?S0o

：.ZDAE=ZACB,

：.ZDAE=ZBACf

：.ZDAE-NCAE=NBAC-NCAE,即NC4D=N8ZE;

(2)解：如圖1,過點。作NZCW=NZ5E,交49于點〃，

β

.?ZDAC=ZBAEf

：.AAEBs∕?AMC,

.AC=AM=CM

"ABAEBE,

?.?AB=kAC,

JZM=LE,CM=工BE,

kk

?.?BE=2EF,

：.CM=2EF,

k

?：NAEF=NEAB+NABE,ZDMC=ZMAC+ZACM,

：.NDMC=ZAEFf

λ

:ZACB=ZD+ZDACfZDAE=ZDAC+ZEAEtZDAE=ZACB,

：.∕D=∕FAE,

,∕?DCMs∕?AFE,

.DM?CM

*eAEEF,

：?DM=ZAE,

k

：?AD=AM+DM=3AE,

k

-.AD-—3—;

AEk

(3)解：如圖2,過點8作BN〃4C交XE延長線于點N,

?：ZD=NC4H,4AHC=NDHA,

第15頁/總53頁

,.△4HCSADHA,

.AH=DHAH=AC=2_

**CHAH（DHAD7,

.?AH2=CH?DH,AD=-AC,

2

?"AB=kAC,

：.AD=三4B,

2k

..AD=3

'AEk'

.?AE=^ΛB,

2

設(shè)力∕7=24,AB=BC=b,

則。H=3",AE=-b,

2

?"BN∕∕AC,BE=2EF,

：.NE=2AE=b,

,CEH=AH-AE=EN-NH,

：.NH=3b-la,

2

,JAH1=HC?DH,

.".CH=-a,

3

.?CD=^-a,

3

由（2）知，BN=^-ak,

3

,.?ZXADHs∕?NBH,

?AD=DH

"NBBH,

?b

,2kd3a

-?5一-§，

yakyb-2a

整理得：9b2-?2ah-20aΨ=0,

第16頁/總53頁

解得：（舍去），歷=*L

3.解：⑴?'CDLAB,

：.ZADC=ZBDC=ZACB=90°,

:ZBCsAACD,XBCDsXBAC:

(2)①_±八，ACLBC,理由如下：

C7A2

由(1)知，在圖1中，XABCs∕?CBDsAACD,

.BD_CD_1

,^CD????

如圖2,'：ZBDC=ZCDA=90i,,

：.2BDC=NCDA,

：.ADBCsADCA,

=^5-=A,ZDCA=ZDBC,

CzAAD2

第17頁/總53頁

B

CA

圖2

'：ZDEB=ZCEC,

：.NCFE=NBDeI=90°,

：.AC±BC,

??,AC'±BC;

C7A2

②如圖，當(dāng)點/、B、。在同一直線上時，

X

C’------------------、A

由①知，ACA.BC,

CyA2

設(shè)BC=X,AC,=2x,

在RtCB中，由勾股定理得，X2+(2χ-√5)2=(2√5)

解得X=2遙±7函(負(fù)值舍去)，

5

如圖，當(dāng)4、C、S在同一直線上時，

D

同理可得，X2+(2x+√5)2=(2√5)2,

解得X=包踣返_(負(fù)值舍去)，

5

綜上：BC=.2由小屈-或二樂...

55

4.(1)證明：四邊形45。是正方形，

第18頁/總53頁

：.AB=AD,ZD=ZABC=90o,

；.ND=NABF=90°,

在Rt?JSF與Rt∕?ADE中，

[AB=AD,

IAF=AE,

：.Rt/\ABF^Rt/\ADE(HL),

：.NFAB=NEAD,

YNEAD+NB4E=90°,

；.NE4B+NBAE=90°,

.".ZFAE=90a,

.,.AE±AF;

(2)證明：'：ZBAC=45o,NBAC=2NBAF,

NBZF=22.5°,

由(1)知，ZDAE=ZBAF=22.5a,

"：ZDAC=45o,

ΛZCAE=22.5°,

：.NBAF=NCAE,

'CAE^AF,AELAF,

：./AFE=NAEF=45°,

.,.ZAFM=NACE,

AAFMSAACE,

.AF一AM

"ACAE'

.?AF2=AC?AM,

?：AC=近AB,

：.AF2=AM,&AB；

(3)解：,；CE=HDE,

二設(shè)。E=l,CE=n,

由(1)知，RtAABF絲RtAADE,

第19頁/總53頁

：.BF=DE=?,

：.BC=AB=CD=\+n,

Λ∕7C=w÷2,

22

'FE=VCF-K：E=V(n+2)2+n2=V2n2+4n+4'

'：BM//CE,

：.ABFMsACFE,

.FM=BF

"FECF'

.?.FN=6n2+4n區(qū),

n+2

YNAEN=NACE=45°,

ZEAN=ZCAE,

：.AAENs"CE,

.AE=EN

,,而CE,

7^=√AD2+DE2=√(n+l)2+l2-AC=?CD=?("+1),

.EN(n+1)2+J*n-^?~∏n?^7∏2+2n+2_n?{2∏2+4n+4

'、√2(n+1)2(n+1)2(n+1)

Y2∏2+4n+4

...FK=n+2_2n+2

EN∏W2∏2+4n+4n2+2n

2(n+1)~~

5.(1)證明：：四邊形Z8CD是矩形,

.?.NZ=NO=NC=90°,

,.?XBCE沿BE折疊為Z?BFE,

第20頁/總53頁

：.NBFE=NC=9Q°，

；.NAFB+NDFE=180°-NBFE=90°,

又；NAFB+N4BF=90°，

：.NABF=aDFE,

：.AABFsADFE;

(2)解：在Rt△￡)￡■/中，SinNOFE=邁

EF3

設(shè)。E=α,EF=3。，則。尸=2&a,

,."∕?BCE沿BE折疊為ABFE,

：.CE=EF=3a,CD^DE+CE=4a,∕8=4α,NEBC=NEBF,

由(1)得：XABFSXDFE,

.EF_DF,2√2a-√2

"BF"AB=4a~,

'tanNEBC=M嗡零；

DCDΓΔ

(3)解：`：AF=Scm,BF=IOCM,

.?.AB=5yf^cm,

*：ZABF=/NBM,

①當(dāng)AZB尸SAJVBM時，如圖，

??Z=2.5；

②當(dāng)BFSAMBN時,如圖,

第21頁/總53頁

綜上，f=2.5或/?.

7

6.(1)證明：；NADC=NACB,蛙,

ACCB

二AADCsAACB,

.".ZDAC=ZCAB,

.?.4C平分/D4&

(2)解：MADCSAACB,

.ACAD

??=，

ABAC

.?AC2^AB×AD,

?.ZC=8,43=12,

.?.64=12皿

：.AD=^~,

3

故里；

3

(3)解：?.?N∕CB=90°,點E為48的中點,

.".AB=2CE=?0,

.'.ΛC=8,

?：XADCSI?ACB,

2

AC64

=6.4,

^AB^10

第22頁/總53頁

由(1)知NO/C=NEIC,

?；CE=AE,

：.ZECA=ZEAC,

.?.NDAC=NECA,

：.∕?AFDsXCFE,

.DFAD_6.4,32

??而F=5=25,

7.(1)①證明：過點尸作PΛM4C,PNLBC,垂足分別為M、N.

(1)①

;CD是乙4C5的平分線，

IPM=PN.

由NPMC=NMCN=NCNP=90°,

得/MPN=90°,

Nl+NF尸N=90°,

：N2+NFPN=90°,

ΛZ1=Z2.

:ZM%XPNE(AAS).

：.PF=PE.

②解：

：.CN=CM=

?：XPMFQXPNE,

：.NE=MF=↑-a.

?*?CE=2-a.

uJCF//PN,

：.AGCFsAGNP,

第23頁/總53頁

.CFCG

,,PN?

ΛCG=-2-(O<a<l).

l-a

(2)解：當(dāng)aCEF與aEGP相似時，點F的位置有兩種情況:

①當(dāng)點尸在射線。上時，

(2)①

:NGPE=NFCE=90°,Z?≠ZPEG,

ΛZG=Zl.

.?.FG=FE.

：.CG=CE.

在RtZXEGP中，EG=2CP=2√2?

②當(dāng)點尸在XC延長線上時，

D

(2)②

?：NGPE=NFCE=9Q°,Z1≠Z2,

ΛZ3=Z2.

VZl=450+Z5,Zl=45o+N3,Z2=Z3,

ΛZ5=Z2.

易證N3=N4,可得N5=N4.

ΛFC=CP=√2?

：.FM=I+如.

第24頁/總53頁

易證APMFmAPNE,

可得EN=IT

?：CF//PN,

.CFCG

,^PN'GN"

ΛGΛΓ=√2-1.

ΛfG=2√2?

8.(1)證明：：4/8C和AZDE都是等邊三角形，

：.AD=AE,AB=AC,ZDAE=NBAC=60°,

：.ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

：.ΛBAD=ZCAE,

：./\BAD^/\CAE(SAS),

：.BD=CEi

(2)解：?.?∕L48C和△”￡>E都是等腰直角三角形，

?AD=AB∕D4E=NBAC=45°,

AEAC√2

?ZDAE-NBAE=NBAC-NBAE,

：.NBAD=NCAE,

：.ABADsACAE,

?BD_AB,1,√2.

^'CEAC√Γ~2~,

(3)解：①?.?膽=迫=&，ZABC=ZADE=90°,

BCDE4

.,.△ABCsAADE,

第25頁/總53頁

：.NBAC=NDAE,膽=毀=3

ACAE5

."CAE=NBAD,

.,.∕?CAE^∕?BAD,

?BD=AD=?.

^'CEAE5^"

②由①得：ACAEs∕?BAD,

：.ZACE=NABD,

■：ZAGC=ZBGF,

：.ZBFC=ZBAC,

SinNBFC=型=生

AC5

9.解：(1)".,MQlBC,

：.ZBQM=90°=ZA,

?"MN∕∕BC,

："B=NAMN,

：.叢QBMSXAMN；

(2)在RtZvlBC中，∕B=3,AC=A,

根據(jù)勾股定理得，BC=5,

;點M為的中點，且H8=3,

.'.AM=BM=-kP,=—,

22

?：NB=NB,ZBQM=ZBAC=90o,

:AQBMs/XABC,

.QBBM

??-----------,

ABBC

3_

.QB^2^

??---二-----,

35

第26頁/總53頁

（3）：四邊形8MN0為平行四邊形，

JBQ=MN,

,JMN//BC,

：AAMNsAABC,

.AMMN

,,瓦記

.AMMN

??----二,

35

設(shè)/M=3”，則Λ∕N=5α,

?/四邊形BMNQ為平行四邊形，

JBQ=MN,：,BQ=MN=5a,

由（1）知，AQBMS"MN,

.QB.BH

"AM"MN'

.5a3-3a

??----=---------,

3a5a

：.a=—,

34

34

10.解：（1）結(jié)論：△尸80是等邊三角形.

理由：?.?Z?∕8C是等邊三角形，

：.AB=BC=AC=U,ZA=ZB=ZC=60o,

..）=2,

：.AP=4,30=8,

：.PB=AB-AP=8,

：.BP=BQ,VZB=60°,

.?.△P8。是等邊三角形.

第27頁/總53頁

(2)過。作。E_L43,垂足為E

由QB=4t,得0E=4f?sin6O°=2√3?

由｛P=2f,得PB=I2-2f

2

SABPQ=λ.×BP×QE=l-(12-2/)×2√3/=-2√3∕+12√3∕?

(3)?'QR∕∕BA

.,.ZQRC=Z∕4=60o,NRQC=ZB=60°

?,?XQRC是等邊三角形

：.QR=RC=QC=Xl-4/

?：BE=BQ?c0s60θ=A×4Z=2?

：.EP=AB-AP-BE=12-2z-2/=12-4/

.?EP∕∕QR,EP=QR

.?.四邊形EPRQ是平行四邊形

：.PR=EQ=2%

又,；NPEQ=90°,

.?.四邊形9次。是矩形，

.?.NAPR=ZPRQ=9Q°

,：AAPRSAPRQ,

：.NQPR=∕A=60°

Λtan60o=雪即與出1=日

PR2√3t

解得/=旦

5

.?.當(dāng)t=2s時，AAPRSAPRQ.

第28頁/總53頁

B

11.解：（1）過G作GQ_L8M于點Q,

?：BH2AE,

：?/GQB=/BHE=90°,NHBE+/BEH=90°,

???正方形G,

：.BE=BGfNGBE=90°,

：?/HBE+/QBG=90°,

LNQBG=NBEH,

：AEBH經(jīng)ABGQ(AAS)f

：.BH=GQ,

YAABHQ∕?BCN,

：?BH=CN,

：.CN=GQf

又?：4CMN=4QMG,

：ACMNW/\GMQ(44S),

：.CM=MG,

???〃為CG的中點.

(2)過點C作CMLBM于點N,過G作G0J_8M于點0.

第29頁/總53頁

Q

D

B

A

H

圖2

VZABC=90o,

ΛZABH+ZCBN=90o,

VZABH+ZBAH=90o，

：?NCBN=/BAH,

/.AABHsABCN,

同理可得：XBEHsXBGQ.

..ABBG

?=-----=L1r,

BCBE

.BHGQ,

CNBHκ

?GQ,2

CDK

,.?NAMN=NGMQ,

:ACMNsAGMQ,

?.M?-G--G--Q二I,T2，

CMCD

：.MG=PCM.

故MG=PC

(3)延長/尸至點G,使ZF=尸G,

"：AF=FG,BF=DF,

第30頁/總53頁

.?.四邊形力BG廠為平行四邊形,

：.AD//BG,AD=BG,

：.ZABG+ZBAD=,

'：ZBAC=ZDAE=90°,

.".ΛCAE+ΛBAD=?W，

：.ZABG=ZBAD,

"：ZACB=ZAED=30o,

：.AC=MAB,AE=MAD=MBG,

：.也星用,

ABBGv0

.'.△CAEsAABG,

.?.或星√ξ,

AGAB7'

?ECG

,'2AF增’

.^.CE=2-∕3AF.

故Cf=2√3^F.

12.(1)證明：YNACD=NB,ZJ=ZJ=90o,

.".∕?ABC^∕?ACD,

?.?AC?-A--B-,

ADAC

.,.AC2=AD?AB;

（2）解：過點E作ERL/8交于點尸,

圖2

"JAMLCD,

：.ZAMD=ZDAC=90o,

ΛZDAM+ZADM=ZADM+ZACD^90o,

第31頁/總53頁

ΛZDAM=ZACD,

??NABC=NACD,

：.ZDAM=NABC,

...△ZEB為等腰三角形，

：.AE=BE,AF=BF=LB,

2

又：BCS“CD,

.CDACAD

,^^BCΞAB?

..CD=1

,BC2,

令CZ>=a,則8C=2",AB=2AC,

在RtZUBC中，BC2=AB2+AC2,

.?AC=^^-a,AB=^^-a,

55_

.".AF=-AB=^-^-a,AD=-AC=^-a,

2525

?.?ZACD=ZABC,

β

?.sinZACD=sinZABCf

即幽2,

ACBC

....=%=聲

又YNBAE=NACD,NEFA=NDCA=90",

.?.RtA4EFsRtZ?∕oc,

?.?-A--F----A-E->

ACCD

.JE=AF"CD=a,

AC

2_

.AMTa_2

??--------,

AEa5

??AH=2—;

ME3

第32頁/總53頁

(3)解：作ZNB。的角平分線8尸交ON于點P,過點4作/凡LCN于F,

ZNBP=NPBD=工NNBD,

2

'：ZNBD=2ZACD,

：.4NBP=NPBD=NNC。，且NPDB=NADC,

：.NBPD=NBAC=90°,

.".BPLDN,

在ABNP和ABDP中，

'NNBP=NDBP

-BP=BP，

,ZNPB=ZDPB

.,.∕?BNP^∕?BDP(ASA),

：.BN=BD,NP=DP,

'：ZPBD=ZACD,ZPDB=ZADC,

：.APDBSAADC,

.CDADAC

"BO=PD?

由(1)知，ACλ=AD?AB,

在Rt△//)C中，AC1=CD--AD2,AB=AD+BD,

/.CD1-AD2=AD(AD+BD),

VCZ)=√5>BN=3,BD=BN=3,

即(遍)2-心=Z￡12+3Z。，

解得AD-\或AD--S(舍去)，

2

..CD_AD_AC_CD_<5

'BD'PD"BPBN~,

.?.ΛD==,

√55

?：NP=DP,

.?.DN=2PD=^^~,AC=2,

5

第33頁/總53頁

'∕AF?DC=AD?AC,

2√5

.".AF=

5

,1A

在RtZXXO尸中，〃尸=〃D2-AF2=

^5^,

.?NF=ND+DF=+^^-=7立

555

在Rt△/NF中，tanNNNC=空=2.

NF7

故多

圖3

13.(1)解：在正方形“88中，BC=CD,NBCQ=90°,

又?.?Z?EC尸是等腰直角三角形，

：.CE=CF,NEC尸=90°,NCFE=45°,

ZECF-ZECB=NBCD-NECB,

：.ZDCE=NBCF,

：.∕?DEC^∕?BFC(SZS),

：.NBFC=NDEC=90°,

；.NBFE=NEFC=45°；

(2)①證法1：如圖2中，將。E邊沿著。點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到。“邊，連接C4,EH,

則DE=DH.

第34頁/總53頁

B

圖2

：.NEDH=NADC=90°,NDHE=NDEH=45°,

ΛZADE=ZCDH,NHEC=45°,

又YAD=CD,

:.XADEQ[\CDH(SZS),

：.AE=CH,

又?：NAEF=NDEC=90°,NCEF=45°,

.,.ZAED=?35o=ZDHC,

：.NEHC=90°,

即EH=CH,

.BF_DE_√2AE_CH-√2

"AE'EH~'CF'CE

.AEBF

??----=-----;

CFAE

證法2：如圖3中，連接Nc

圖3

?.?NAEC=NZEF+NFEC=135°,

Λ^AED=2,60°-NAEC-NDEC=I35°,

第35頁/總53頁

.*.NAEC=NAED,

又?.?NO∕E+NE4C=45°,

ZACE+ZEAC=45o,

/DAE=NACE,

：.AADEsACAE,

?

??—AE——DE?

CEAE

,：EC=CF,ED=BF,

?.?-A--E-=--B--F-;

CFAE

②解法1：如圖2中，VAE=CH,

...AEr√2-j即CE=MAE,