全國通用2023年高考數(shù)學二輪復習13統(tǒng)計

易錯點13統(tǒng)計

易錯分析

易錯點L看不懂圖，分辨不清數(shù)據(jù)的表示方法

(1)常見的統(tǒng)計圖表有柱形圖、折線圖、扇形圖、莖葉圖、頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方

圖等.

(2)頻率分布直方圖

①作頻率分布直方圖的步驟

(i)找出最值，計算極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；

(ii)合理分組，確定區(qū)間：根據(jù)數(shù)據(jù)的多少，一般分5?9組；

(iii)整理數(shù)據(jù)：

逐個檢查原始數(shù)據(jù)，統(tǒng)計每個區(qū)間內(nèi)數(shù)的個數(shù)(稱為區(qū)間對應(yīng)的頻數(shù))，并求出頻數(shù)與數(shù)據(jù)個

數(shù)的比值(稱為區(qū)間對應(yīng)的頻率)，各組均為左閉右開區(qū)間，最后一組是閉區(qū)間；

(iv)作出有關(guān)圖示：

根據(jù)上述整理后的數(shù)據(jù),可以作出頻率分布直方圖，如圖所示.頻率分布直圖的縱坐標是??,

每一組數(shù)對應(yīng)的矩形高度與頻率成正比，而且每個矩形的面積等于這一組數(shù)對應(yīng)的頻莖，從

而可知頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為L

頻率

輛

0.05

0.()4

0.03

0.02

3560657075?0?59095I(M)

②頻率分布折線圖

作圖的方法都是：把每個矩形上面一邊的中點用線段連接起來.為了方便看圖，折線圖都畫

成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左右兩個交點是沒有實際意義的.

不難看出，雖然作頻率分布直方圖過程中，原有數(shù)據(jù)被“壓縮”了，從這兩種圖中也得不到

所有原始數(shù)據(jù).但是，由這兩種圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢，而且也可以得出有

關(guān)數(shù)字特征的大致情況.比如，估計出平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、方差.當然，利用直方圖

估計出的這些數(shù)字特征與利用原始數(shù)據(jù)求出的數(shù)字特征一般會有差異.

易錯點2.數(shù)據(jù)特征的相關(guān)概念沒有理解

1.數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

(1)最值

一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數(shù)最極端的情況.

(2)平均數(shù)

①定義：如果給定的一組數(shù)是為，應(yīng)，…，X.，則這組數(shù)的平均數(shù)為X=1X,+%+…

n

—1"

這一公式在數(shù)學中常簡記為x=L∑x,,

小

②性質(zhì)：一般地，利用平均數(shù)的計算公式可知，如果為，為，…，％,的平均數(shù)為X,且a,6

為常數(shù)，則ax】+?,ax2+b,???,ax.+6的平均數(shù)為ak+Z?.

(3)中位數(shù)

有奇數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為茍，得…，?+,,則稱Kg為這組數(shù)的中位數(shù)；如

果一組數(shù)有偶數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為％,X，，…，XZN則稱芻上顯為這組數(shù)的中

2

位數(shù).

(4)百分位數(shù)

①定義：一組數(shù)的面(PG(O,IOO))分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個數(shù)值：至少有面的數(shù)

據(jù)不大于該值，且至少有(IOO一加％的數(shù)據(jù)不小于該值.

②確定方法：設(shè)一組數(shù)按照從小到大排列后為％,如…，x”,計算，=〃庚的值，如果,不

是整數(shù)，設(shè)力為大于，的最小整數(shù)，取Ai為啰分位數(shù)；如果/是整數(shù)，取專事為威分

位數(shù).

(5)眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)量多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(6)極差、方差與標準差

①極差：-組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差，描述了這組數(shù)的離散程

度.

②方差

1S-1n

定義：如果孫物…，4的平均數(shù)為X,則方差可用求和符號表示為S2=2∑,(XL

/∕≡i〃E

—X2.

性質(zhì)：如果a,。為常數(shù)，則ax∣+b,ax2+bf???,ax,,+b的方差為才s；

③標準差

定義：方差的算術(shù)平方根稱為標準差.一般用S表示,即樣本數(shù)據(jù)孫如…，的的標準差

為S=ΛH∑QXLX)2.

性質(zhì)：如果a,b為常數(shù)，則axi+b,ax2+b,???,a4+b的標準差為∣a∣s.

2

2.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

一般情況下，如果樣本容量恰當，抽樣方法合理，在估計總體的數(shù)字特征時，只需直接算出

樣本對應(yīng)的數(shù)字特征即可.

易錯點3.兩個統(tǒng)計模型理解錯誤

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程

度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負相關(guān).

(3)線性相關(guān)：如果變量X與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來刻畫,則稱X與y

線性相關(guān).

2.相關(guān)系數(shù)

Σ(.χ-X)(y,-y)

i=l

⑴r=

Σ(兄一?)2Σ(匕-y)2

Z=I/=1

∑xiy-nxy

/=1

=In_n

:(Σnx2)(Σ"—n∕)

V/=1/=1

(2)當r>0時，成對樣本數(shù)據(jù)正相差；當HOn寸，成對樣本數(shù)據(jù)負相差.

(3)∣r∣≤l;當Irl越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當Irl越接近0時，成

對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

3.一元線性回歸模型

⑴我們將尸以+a稱為y關(guān)于X的回歸直線方程，其中

ΣCx-X)(y,-y)EXiyLnXy

,i≈l__________________________/?l______________

=

力=n_n_9

22

ΣX〉Y,xj-nx

∕=1/=I

^a=y-bXt

(2)殘差：觀測值減去預測值,稱為殘差.

4.2X2列聯(lián)表和X2

如果隨機事件A與6的樣本數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表如下.

A7總計

3

Baba+b

力cdc+d

總計a+cb+da+6+c+d

記n—a+b+c+d,則

/=________"(a—be),________

(a+?)(c+Λ(a+c)(6+d)

5.獨立性檢驗

統(tǒng)計學中，常用的顯著性水平。以及對應(yīng)的分位數(shù)在如下表所示.

α=P(χ2》階0.10.050.010.0050.001

K2.7063.8416.6357.87910.828

要推斷'”與6有關(guān)系”可按下面的步驟

(1)作2X2列聯(lián)表.

(2)根據(jù)2X2列聯(lián)表計算H的值.

(3)查對分位數(shù)上作出判斷.如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出/的值后，發(fā)現(xiàn)爐》4成立，就稱在

犯錯誤的概率不超過。的前提下，可以認為｛與8不獨立(也稱為力與8有關(guān))；或說有匕

衛(wèi)的把握認為A與6有關(guān).若x2<k成立，就稱不能得到前述結(jié)論.這一過程通常稱為獨立性

檢驗.

錯題糾正

1.從某中學甲、乙兩班各隨機抽取10名同學，測量他們的身高(單位：cm),所得數(shù)據(jù)用

莖葉圖表示如下，由此可估計甲、乙兩班同學的身高情況，則下列結(jié)論正確的是()

甲班乙班

13

1268

257

9

A.甲乙兩班同學身高的極差不相等B.甲班同學身高的平均值較大

C.甲班同學身高的中位數(shù)較大D.甲班同學身高在175Cm以上的人數(shù)較多

4

【答案】A

【詳解】對于A,甲班同學身高的極差為182-157=25,乙班同學身高的極差為183-159=

24,所以甲乙兩班同學身高的極差不相等，故A正確；

對于B,甲班同學身高的平均值為

?(l?l+182+170+172+178+163+165+166+157+158)=169.2,乙班同學身高的平均值為

^(181+183+171+172+176+178+162+165+167+159)=171.4,所以甲班同學身高的平均

值較小，故B錯誤；

對于C,甲班同學身高的中位數(shù)為丁=168,乙班同學身高的中位數(shù)為丐B=

171.5,所以甲班同學身高的中位數(shù)較小，故C錯誤；

對于1),甲班同學身高在175Cm以上的有3人，乙班同學身高在175Cm以上的有4人，所以

甲班同學身高在175cm以上的人數(shù)較少，故D錯誤.

故選：A.

2.2021年某省高考體育百米測試中，成績?nèi)拷橛?2秒與18秒之間，抽取其中100個樣本,

將測試結(jié)果按如下方式分成六組:第一組［12,13),第二組［13,14),…，第六組［17,18］,得

到如下頻率分布直方圖.則該100名考生的成績的平均數(shù)和中位數(shù)(保留一位小數(shù))分別是

()

頻率T

0v12131415161718t/s

A.15.215.3B.15.115.4C.15.115.3D.15.215.3

【答案】C

【詳解】100名考生成績的平均數(shù)

X=12.5×0.10+13.5×0.15+14.5×0.15+15.5×0.30+16.5×0.25+17.5×0.05=15.1,

因為前三組頻率直方圖面積和為0.10+0.15+0.15=0.4,前四組頻率直方圖面積和為

0.10÷0.15+0.15+0.30=0.7，

所以中位數(shù)位于第四組內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為。，則(。-15)x0.30=0.1,

解得：αα15.3,

故選：C.

5

3.某地區(qū)今年夏天迎來近50年來罕見的高溫極端天氣，當?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計了八月份每天的

最高氣溫和最低氣溫，得到如下圖表：

根據(jù)圖表判斷，以下結(jié)論正確的是（）

A.8月每天最高氣溫的平均數(shù)低于35℃

B.8月每天最高氣溫的中位數(shù)高于40°C

C.8月前半月每天最高氣溫的方差大于后半月最高氣溫的方差

D.8月每天最高氣溫的方差大于每天最低氣溫的方差

【答案】D

【詳解】由某地區(qū)2022年8月份每天最高氣溫與最低氣溫的折線圖知，

對于A,8月1日至9日的每天最高氣溫的平均數(shù)大于35℃,25日至28日的每天最高氣溫

的平均數(shù)大于35°C,

29日至31日每天最高氣溫大于20℃小于25℃,與35。C相差總和小于45℃,而每天最高氣

溫不低于40℃的有7天，

大于37℃小于40℃的有8天，它們與35℃相差總和超過45℃,因此8月每天最高氣溫的平

均數(shù)不低于35°C,A不正確；

對于B,8月每天最高氣溫不低于40℃的數(shù)據(jù)有7個，其它都低于40℃,把31個數(shù)據(jù)由小

到大排列，中位數(shù)必小于40,

因此8月每天最高氣溫的中位數(shù)低于4（ΓC,B不正確；

對于C,8月前半月每天最高氣溫的數(shù)據(jù)極差小，波動較小，后半月每天最高氣溫的極差大,

數(shù)據(jù)波動很大，

因此8月前半月每天最高氣溫的方差小于后半月最高氣溫的方差，C不正確；

對于D,8月每天最高氣溫的數(shù)據(jù)極差大，每天最低氣溫的數(shù)據(jù)極差較小，

每天最高氣溫的數(shù)據(jù)波動也比每天最低氣溫的數(shù)據(jù)波動大，因此8月每天最高氣溫的方差大

于每天最低氣溫的方差，D正確.

故選：D

4.兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)（“yJ（X2,必），…，（x〃，”），下列說法錯

6

誤的是（）

A.落在回歸直線方程上的樣本點越多，回歸直線方程擬合效果越好

B.相關(guān)系數(shù)H越接近1，變量X，y相關(guān)性越強

C.相關(guān)指數(shù)心越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差

D.若X表示女大學生的身高，N表示體重，則0.65表示女大學生的身高解釋了65%的

體重變化

【答案】A

【詳解】對于A：回歸直線方程擬合效果的強弱是由相關(guān)指數(shù)爐或相關(guān)系數(shù)H判定，故不

正確；

對于B：根據(jù)相關(guān)系數(shù)M越接近1,變量相關(guān)性越強，故正確；

對于C：相關(guān)指數(shù)K?越小，殘差平方和越大，效果越差，故正確：

對于D：根據(jù)尼的實際意義可得，R2。065表示女大學生的身高解釋了65%的體重變化，

故正確；

故選：A.

5.下列說法正確的序號是（）

①在回歸直線方程我=OsX-12中，當解釋變量X每增加一個單位時，預報變量3平均增加

0.8個單位；

②利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得WB-版,-。）？最小的原理；

Il

③已知X,y是兩個分類變量，若它們的隨機變量K?的觀測值人越大，則“x與丫有關(guān)系”

的把握程度越??；

④在一組樣本數(shù)據(jù)（4，無），（巧，％），…，（X",%）（"≥2,*∣,巧，…，X"不全相等）的

散點圖中，若所有樣本（x,,%）（i=l,2,…〃）都在直線y=-；x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性

相關(guān)系數(shù)為

2

Λ.①@B.①②C.②④D.③④

【答案】B

【詳解】對于①,在回歸直線方程5>=O.8X-12中，當解釋變量X每增加一個單位時，預

報變量分平均增加0.8個單位，故①正確；

對于②，用離差的平方和，即：。=￡（乂-方）2=石仇-。-她》作為總離差，并使之達到

/=11=1

最??；這樣回歸直線就是所有直線中。取最小值的那一條。由于平方又叫二乘方，所以這種

使“離差平方和為最小”的方法叫做最小二乘法；所以利用最小二乘法求回歸直線方程，

7

就是使得云,-02最小的原理；故②正確；

n

對于③,對分類變量X與y,對它們的隨機變量κ2的觀測值k來說，上越小，則“x

與丫有關(guān)系”的把握程度越小，故③錯誤；

對于④，相關(guān)系數(shù)反映的是兩變量之間線性相關(guān)程度的強弱，與回歸直線斜率無關(guān)，題中樣

本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為T,故④錯誤.

故選：B.

舉一反三,

1.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單

位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],將其按從左到右的順序分別

編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第

一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為（）

麗

0.24

().16

1213Il151617舒弓長壓/kPa

【答案】B

【詳解】志愿者的總?cè)藬?shù)為

(0.24+0.16)x1

所以第三組人數(shù)為50×0.36=18,

有療效的人數(shù)為18—6=12.

故選：B.

2.分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學16周的各周課外體育運動時長（單位：h）,得如下莖葉圖:

8

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4

D.乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6

【答案】C

【詳解】對于A選項，甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為串二=7.4,A選項結(jié)

論正確.

對于B選項，乙同學課外體育運動時長的樣本平均數(shù)為：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1

---------------------------------------------------------------------------------------------------------=8.50625>8,

16

B選項結(jié)論正確.

對于C選項，甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值3=0.375<0.4,

C選項結(jié)論錯誤.

13

對于D選項，乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值￡=0.8125>0.6,

D選項結(jié)論正確.

故選:C

3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至

2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該

折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）

9

月接待游客量（萬人）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

【答案】A

【詳解】對于選項A,由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯；

對于選項B,觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；

對于選項3觀察折線圖，各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份，故C正確；

對于D選項，觀察折線圖，各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小,

變化比較平穩(wěn)，故D正確.

故選：A

4.設(shè)（X[,y）,（X2，丫2），…，Yn）是變量X和丫的。個樣本點，直線1是由這些樣本

點通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論正確的是

A.直線1過點（X，y）

B.X和y的相關(guān)系數(shù)為直線1的斜率

C.X和y的相關(guān)系數(shù)在O到1之間

D.當n為偶數(shù)時，分布在1兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同

【答案】A

【詳解】試題分析：回歸直線一定過這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，兩個變量的相關(guān)系數(shù)不是直線

的斜率，兩個變量的相關(guān)系數(shù)的絕對值是小于1的，是在-1與1之間，所有的樣本點集中

IO

在回歸直線附近，沒有特殊的限制.

解：回歸直線一定過這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，故A正確，

兩個變量的相關(guān)系數(shù)不是直線的斜率，而是需要用公式做出，故B不正確，

兩個變量的相關(guān)系數(shù)可能為負，故C不正確，

所有的樣本點集中在回歸直線附近，不一定兩側(cè)一樣多，故D不正確，

故選A.

5.在一組樣本數(shù)據(jù)(xl.y,),(x2,y2),—,(xn,yn)(n?=2,x”x?,…，x”不全相等)的散

點圖中，若所有樣本點(x1,yi)(i=l,2,…,n)都在直線y=gx+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣

本相關(guān)系數(shù)為()

Λ.-1B.OC.yD.1

【答案】D

【詳解】由題設(shè)知，所有樣本點(x?yi)(i=l,2,…，n)都在直線y=；x+l上，

這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1,故選D.

根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義可知，當所有樣本點都在直線上時，相關(guān)系數(shù)為L

易錯題通關(guān)

一、單選題

1.2022年2月4日至2月20日春節(jié)期間，第24屆冬奧會在北京市和張家口市聯(lián)合舉行.

共有3個冬奧村供運動員和代表隊官員入住，其中北京冬奧村的容量約為2250人，延慶冬奧

村的容量約1440人，張家口冬奧村的容量約2610人.為了解各冬奧村服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)共準備了

140份調(diào)查問卷，采用分層抽樣的方法，則需在延慶冬奧村投放的問卷數(shù)量是()

A.58份B.50份C.32份I).19份

【答案】C

1440

【詳解】在延慶冬奧村投放的問卷數(shù)量是I40×-—4∈-—=32份.

2250+1440+2610

故選：C.

2.某校舉辦抗擊新冠疫情科普知識演講活動，如圖是七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉

圖，去掉一個最高分和一個最低分后，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)是()

11

79

844647

93

A.87B.86C.85D.84

【答案】C

【詳解】去掉一個最高分93和一個最低分79后，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

84+84+86+84+87CU

-----------------------=85

5

故選：C.

3.變量XJ之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：

X

34567

y

13111087

己知變量了與X呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為j>=T?5x+a,則〃的值是()A.2.3

B.2.5C.17.1D.17.3

【答案】D

【詳解】由題意可知,U+4+5+6+7=5,還N"］一+?-,

55

則樣本點的中心(5,9.8),代入夕=T.5x+α,即9.8=(-L5)x5+α,解得α=17.3.

所以“的值是17.3.

故選：D.

4.某學校舉行詩歌朗誦比賽，10位評委對甲、乙兩位同學的表現(xiàn)打分，滿分為10分，將

兩位同學的得分制成如下莖葉圖，其中莖葉圖莖部分是得分的個位數(shù),葉部分是得分的小數(shù),

則下列說法錯誤的是()

甲乙

-88555888

432008003355

99

A.甲同學的平均分大于乙同學的平均分

B.甲、乙兩位同學得分的極差分別為2.4和1

C.甲、乙兩位同學得分的中位數(shù)相同

D.甲同學得分的方差更小

12

【答案】D

【詳解】對于甲，XΨ=?(7.8+7.8+7.5+7.5+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.9)=8.14

-1

對于乙，Xi=—(7.5+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5)=8.05

故A正確.

甲的極差9.9-7.5=2.4,乙的極差8.5-7.5=1

故B正確.

QiQQiQ

甲得分的中位數(shù)?=8,乙得分的中位數(shù)學=8,

22

故C正確.

對于甲，

?=-j^[(7.5-8.14)2+(7.5-8.14)2+(7.8-8.14)2+(7.8-8.14)2+(8-8.14)2+(8-8.14)2

(8.2-8.14)2+(8.3-8.14)2+(8.4-8.14?M9.9-8.14]=0.390,

對于乙，

?=j^[(7?5-8.05)2+(7.8-8.05)2+(7.8-8.05)2+(7.8-8.05)2+(8-8.05)2+(8-8.05)2

(8.3-8.05)2+(8.3-8.O5)2+(8.5-8.05)2+(8.5-8,05)2]=0.103

故Z)錯誤.

故選。.

5.如圖是一組實驗數(shù)據(jù)的散點圖，擬合方程y=2+c(χ>0),令/=L,則V關(guān)于，的回歸

XX

直線過點(2,5),(12,25),則當Ve(1.01,1.02)時，X的取值范圍是()

6.

4

2',?.

????...

~O^5WX

-2

A.(0.01,0.02)B.(50,100)C.(0.02,0.04)D.(100,200)

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意可得V=加+c(f>0),

由y關(guān)于f的回歸直線過點(2,5),(12,25)可得:

13

[5=2?+c

L,,?,?>所以b=2,c=l,

[25=?2h+c

所以y=2f+l,

由”(1.01,1.02)可得1.01<2f+l<1.02,

所以0.005<f<0.01,

所以0.005<,<0.01,所以100<x<200,

X

故選：D

6.雨滴在下落過程中，受到的阻力隨速度增大而增大，當速度增大到一定程度時，阻力與

重力達到平衡，雨滴開始勻速下落，此時雨滴的下落速度稱為“末速度”.某學習小組通過

實驗，得到了雨滴的末速度r（單位：m∕s）與直徑d（單位：mm）的一組數(shù)據(jù)，并繪制成如

圖所示的散點圖，則在該實驗條件下,下面四個回歸方程類型中最適宜作為雨滴的末速度V

與直徑d的回歸方程類型的是（）.

v(nι∕s)

io-?

8-???

6-.**

4-/

2

*d(rnni)

______IlllI一

^^1^^2~3~45

A.v=a+b?[dB.V-a+bd

C.v-a+bd2D.V-a+bc,1

【答案】Λ

【詳解】由一次函數(shù)，二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，BCD不符合散點的變化趨勢，

由散點圖分布可知，散點圖分布在一個幕函數(shù)的圖像附近，

因此，最適宜作為雨滴的末速度r與直徑d的回歸方程類型的是v=α+∕√7.

故選：A.

7.下列命題中正確的是（）

A.數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的眾數(shù)大于中位數(shù)

B.對一組數(shù)據(jù)占U=1,2,3,一〃），如果將它們變?yōu)閤,.+C（i=l,2,3,…,〃），其中Cr0,則平

均數(shù)和標準差均發(fā)生改變

C.有甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個體數(shù)為9,則樣

本容量為30

14

D.一般可用相關(guān)指數(shù)F來比較兩個模型的擬合效果，發(fā)越大，模型擬合效果越好

【答案】D

【詳解】對于A,數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的眾數(shù)是3,中位數(shù)是苦^=3,眾數(shù)等于中位數(shù),

故A錯誤；

對于B,數(shù)據(jù)%(i=1,2,3,…,江如果將它們變?yōu)閄j+C(i=l,2,3,…,〃)，其中C≠0,則平均

數(shù)增加G標準差不變，故B錯誤；

對于C,有甲、乙、丙三種個體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個體數(shù)為9,則

Q

樣本容量為］X(3+1+2)=18,故C錯誤；

對于D,由相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)可得可以通過比較相關(guān)指數(shù)R2的大小比較兩個模型的擬合效果，

且尸越大，模型擬合效果越好，故D正確.

故選：D.

8.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段事件內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體

感染的標志是“連續(xù)10日，每天新增疑似病例不超過7人”.過去IO日，甲、乙、丙、丁

四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：

甲地：總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4；

乙地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0；

丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3；

丁地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3.

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是()

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】D

【詳解】對于甲地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,則滿足平均數(shù)為地中位數(shù)

為4,但不符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志，A錯誤：

對于乙地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為o,o,o,o,0,0,0,0,0,10,則滿足平均數(shù)為1,方差大于0,但

不符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志，B錯誤；

對于丙地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,1」,2,2,3,3,3,10,則滿足中位數(shù)為2,眾數(shù)為3,但不

符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志，C錯誤；

對于丁地，若總體平均數(shù)為2,假設(shè)有一天數(shù)據(jù)為8人，則方差s2>gx(8-2)2=4.5>3,不

O

可能總體方差為3,則不可能有?天數(shù)據(jù)超過7人，符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志，

D正確.

故選：D.

15

二、多選題

9.2021年某市教育部門組織該市高中教師在暑假期間進行集中培訓，培訓后統(tǒng)一舉行測

試.現(xiàn)隨機抽取100名教師的測試成績進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布折線圖，已知這

100名教師的成績都在區(qū)間［75,100］內(nèi)，則下列說法正確的是（）

A.這100名教師的測試成績的極差是20分

B.這100名教師的測試成績的眾數(shù)是87.5

C.這100名教師中測試成績不低于90分的人數(shù)約占30%

D.這100名教師的測試成績的中位數(shù)是85分

【答案】BC

【詳解】這100名教師的測試成績的最高分和最低分都無法確定，

則極差不確定，故A錯誤；

由圖可知，這IOO名教師的測試的眾數(shù)為87.5分，故B正確；

這100名教師中測試分數(shù)不低于90分的人數(shù)占（0.03+0.03分5χl00%=30%,故C正確.

設(shè)這100名教師測試成績的中位數(shù)為。，

則（0.02+0.04）×5+（α-85）×0.08=0.5,

解得“=87.5,故D錯誤；

故選：BC.

10.己知由樣本數(shù)據(jù)點集合{（七,%）∣i=l,2,…，〃},求得的回歸直線方程為f=L5x+0.5,

且元=3,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)據(jù)點（L3,2.1）和（4.7,7.9）誤差較大，去除后重新求得的回

歸直線/的斜率為1.2,則（）

A.變量X與V具有正相關(guān)關(guān)系B.去除后的回歸方程為9=1.2x+L6

C.去除后V的估計值增加速度變慢D.去除后相應(yīng)于樣本點（2,3.75）的殘差為0.05

【答案】AC

【詳解】因為重新求得的回歸方程/的斜率為1?2,故變量X與y具有正相關(guān)關(guān)系，故選項A

16

正確；

將斤=3代入回歸直線方程為，=L5x+0.5,解得歹=5,

則樣本中心為(3,5),去掉兩個數(shù)據(jù)點(1.3,21)和(4.7,7.9)后，

由于緊色=3,2=79=5,故樣本中心還是(3,5),

又因為去除后重新求得的回歸直線/的斜率為1.2,

所以5=3x1.2+“，解得α=1.4,

所以去除后的回歸方程為f=L2x+1.4,故選項B不正確；

因為1.5>1.2,所以去除后丁的估計值增加速度變慢，故選項C正確;

因為y=1.2x2+L4=3.8,

所以了一步=3.75-3.8=-0.05,故選項D不正確.

故選：AC.

三、解答題

11.某地區(qū)對高一年級學生進行體質(zhì)健康測試(簡稱體測)，現(xiàn)隨機抽取了900名學生的體

測結(jié)果等級(“良好及以下”或“優(yōu)秀”)進行分析.得到如下列聯(lián)表：

良好及以下優(yōu)秀合計

男450200650

女150100250

合計600300900

(D計算并判斷是否有99%的把握認為本次體測結(jié)果等級與性別有關(guān)系？

(2)將頻率視為概率，用樣本估計總體.若從該地區(qū)高一所有學生中，采取隨機抽樣的方法

每次抽取1名學生成績進行具體指標分析，連續(xù)抽取3次，且各次抽取的結(jié)果相互獨立，記

被抽取到的3名學生的體測等級為“優(yōu)秀”的人數(shù)為2求J的分布列和數(shù)學期望E(J).

附表及公式：

2

P(κ≥ko0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k,2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

其中=______2泗_____,n=a+b+c+d.

(Q+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

17

22

［詳解】(1)依題意，K的觀測值K=900x(450x1吵