湖南省長郡中學2023-2024學年高二下學期寒假檢測（開學考試）數學 含解析

湖南長郡中學2024年高二寒假作業(yè)檢測數學時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設集合，，則（）A． B．C． D．2．若，則的最小值是（）A．2 B．C． D．33．已知3、4、5、7、五個數據，均值，若再增加2、8兩個數后，這七個數據的均值和方差應該是（）A．5，2 B．5，3C．5，4 D．6，24．已知，則（）A． B．C． D．★5．設，且，若能被13整除，則的可能取值為（）A．0 B．1C．11 D．12★6．甲、乙兩人要在一排7個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有（）A．6種 B．12種C．15種 D．30種7．已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，點在上．若，，則到的距離等于（）A．1 B．2C．3 D．48．已知函數及其導函數定義域均為，滿足，且為奇函數，記，其導函數為，則（）A．0 B．1C． D．2二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9．且，則實數的值為（）A． B．C． D．★10．關于曲線，下列敘述正確的是（）A．當時，曲線表示的圖形是一個焦點在軸上的橢圓B．當時，曲線表示的圖形是一個焦點在軸上的雙曲線，且焦距為4C．當時，曲線表示的圖形是一個橢圓D．當或時，曲線表示的圖形是雙曲線11．下列命題中正確的是（）A．若，，則B．若復數滿足，則C．若復數為純虛數，則D．若復數滿足，則的最大值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）★12．已知等差數列中，，，若在數列每相鄰兩項之間插入三個數，使得新數列也是一個等差數列，則新數列的第41項為______．13．古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數學的重要成果其中有這樣一個結論：平面內與兩點距離的比為常數的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，已知點，，，動點滿足，則點的軌跡與圓的公切線的條數為______．14．已知函數若方程恰有四個不同的實數解，分別記為，則的取值范圍是______．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（本題滿分13分）在中，內角所對的邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面積為，求的周長．16．（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，為的中點．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值．17．（本題滿分15分）已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求證：．18．（本題滿分17分）設分別是雙曲線的左、右兩焦點，過點的直線與的右支交于，兩點，過點，且它的虛軸的端點與焦點的距離為．（1）求雙曲線的方程．（2）當時，求實數的值；（3）設點關于坐標原點的對稱點為，當時，求面積的值．19．（本題滿分17分）某商場擬在周末進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：該游戲進行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結束；否則繼續(xù)游戲，直至10輪結束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費者甲第一次獲勝的概率為，數列的前項和，且的實際意義為前次游戲中平均獲勝的次數．（1）求消費者甲第2次獲勝的概率；（2）證明：為等比數列；并估計要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎．長郡中學2024年高二寒假作業(yè)檢測數學參考答案題號1234567891011答案BDCDDBBDACDADAD一、二、選擇題1．B【解析】，，，故選B．2．D【解析】由題意，得，當且僅當時，取等號，故的最小值為3．故選D．3．C【解析】因為3、4、5、7、五個數據，均值，所以，故，則七個數據的均值為，七個數據的方差為．故選C．4．D【解析】設，則，，從而．故選D．5．D【解析】當能被13整除時，，能被13整除，且能被13整除，也能被13整除，因此能被整除時可取值12，故選D．6．B【解析】一排共有7個座位，現有兩人就坐，故有5個空座．要求每人左右均有空座，在5個空座的中間4個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有種坐法．故選B．7．B【解析】取的中點，連結．過作于點，則，又因為，所以，所以．依題意，所以為等邊三角形．由拋物線的定義，得，所以．所以，所以．即到的距離為2．故選B．8．D【解析】因為，兩邊同時求導可得：，即，關于對稱，同時，則關于對稱．為奇函數，則，即，關于對稱，同時，則關于對稱，由關于對稱得，，由關于對稱得故，故周期為6；同理的周期也為6，．故選D．9．ACD【解析】當時，，解得；當時，，解得；當時，，解得或舍去．綜上可知，實數的值為或或．故選：ACD．10.AD【解析】對A，當時，曲線方程為，所以曲線表示的圖形是一個焦點在軸上的橢圓，故A正確；對B，當時，曲線方程為，所以曲線表示的圖形是一個焦點在軸上的雙曲線，且焦距為，故B錯誤；對C，當時，曲線表示的圖形是一個方程為的圓，故C錯誤；對D，當或時，，所以曲線表示的圖形為雙曲線，故D正確．11．AD【解析】由復數相等知：，有，A正確；若，，有，B錯誤；若時，，C錯誤；令，則為圓，而表示圓上的點到的最大距離，所以，正確．故答案選：AD．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．4113．2【解析】設，由題意可知，，，整理得，點的軌跡方程為，其圖形是以為圓心，以2為半徑的圓，而圓的圓心坐標為，半徑為1，可得兩圓的圓心距為2，大于，小于，則動點的軌跡與圓的位置關系是相交．故公切線的條數為2．14．【解析】由題意知當時，，時，，令，則；當時，．當時，，令，則或4；令，則或2；由此可作出函數的圖象如圖：由于方程恰有四個不同的實數解，分別記為，故的圖象與直線有4個不同的交點，由圖象可知，不妨設，則，且關于對稱，所，又即，則，，故，由于在上單調遞增，故，所以，故的取值范圍是．故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．【解析】（1），由正弦定理得，，，，；（2），①，又，②，由①，②可得，而，所以的周長為．16．【解析】（1）由題意，因為四邊形為菱形，所以．連接．因為，所以為等邊三角形，從而．在中，是的中點，所以．因為平面，平面，所以．，平面，平面，平面，平面．又平面，平面平面（2）法一：幾何法：由題意及（1）得，在平面中，過點作，垂足為，連接．因為平面，平面，所以．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以，從而是二面角的平面角．在中，，，所以．在中，，，所以．在中，，，所以二面角的平面角的正弦值為．法二：向量法建系．17．【解析】（1），所以，所以，又因為，即切點的坐標為，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）證明：解法1：隱零點解法．要證明，只需證明，設，則，設，則，所以函數在上單調遞增，因為，，所以函數在上有唯一零點，且，因為，所以，即，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增，所以當時，取得最小值，故，．綜上可知，．解法2：切線不等式放縮．18．【解析】（1）由過點，且它的虛軸的端點與焦點的距離為，所以即則所求的雙曲線的方程為．（2）因為直線過點，所以，由，，得：等腰三角形底邊上的高的大小為，又到直線的距離等于等腰三角形底邊上的高，則，即，則．（3）設，，由得：，恒成立，則，，又，即，則，，即