四川省高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

一、單選題

1.已知點(diǎn)Z(3,0,-4),點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,則|/例=()

A.25B.12C.10D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)血3,0,-4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為8,所以8(-3,0,4),

因此|/例=J(_3-3)2+(0-0)2+(4+4)2=10)

故選：C

2.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，事件“至少有1名男生”與事

件“至少有1名女生”().

A.是對(duì)立事件B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是對(duì)立事件D.不是互斥事件

【答案】D

【解析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義直接判斷即可.

【詳解】事件“至少有1名男生”與事件"至少有1名女生“能同時(shí)發(fā)生，即兩名學(xué)生正好一名男生，

一名女生，故兩事件既不是對(duì)立事件也不是互斥事件.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.設(shè)直線，：ax+(a-2)y+l=0,l2-.x+ay-3=0.若…,貝匹的值為()

A.0或1B.0或-1C.1D.-1

【答案】A

【分析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的等式，即可解得實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】因?yàn)閯ta+a("2)=a(a-l)=0,解得°=0或1.

故選：A.

4.已知三條不同的直線/,小,〃和兩個(gè)不同的平面a,P，下列四個(gè)命題中正確的是()

A.若則機(jī)〃〃B.若〃/a,機(jī)ua,則〃

C.若a上月」ua,貝！|/J■夕D.若///a,/_!_￡,則al■力

【答案】D

【解析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系及平行垂直性質(zhì)判斷逐一判斷.

【詳解】若可以有或加，”相交,故A錯(cuò);

若IUajnua,可以有"/4或/、加異面，故B錯(cuò)；

若可以有/_!_￡、/與/斜交、/〃力，故C錯(cuò);

過(guò)/作平面/a=n,則〃/〃，又/_L￡,得〃，￡,〃u￡,

所以故D正確.

故選:D

【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知直線1：3x+4y-12=0,若圓上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)P,Q,且它們到直線1的距離都為1,貝U

稱該圓為“完美型''圓，則下列圓中是“完美型”圓的是

A.Y+yJlB.x2+y2=l6

C.(X-4)2+(J；-4)2=1D.(X-4)2+(^-4)2=16

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，算出到直線1距離等于1的兩條平行線方程為3x+4y-7=0或3x+4y47=0,當(dāng)圓

與這兩條直線共有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)滿足該圓為“完美型”圓.由此對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)中的圓分別加以

判斷，可得本題答案.

【詳解】解：設(shè)直線±3x+4y+m=0,嶼1的距離等于1則匚!——^1,解之得tn=.7或」7,即F

的方程為3x+4y.7=0或3x+4y/7=0,可得當(dāng)圓與3x+4y.7=0,3x+4y.l7=0恰好有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，滿足

該圓為“完美型”圓.

對(duì)于A,因?yàn)樵c(diǎn)到直線r的距離d=7(或1號(hào)7，兩條直線都與x2+y2=l相離，故x2+y2=l上不存在

點(diǎn)，使點(diǎn)到直線1：3x+4y/2=0的距離為1,故A不符合題意.

對(duì)于B,因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離d=(或g兩條直線都與x2+y2=16相交，故x2+y2=16上不存在

4個(gè)點(diǎn)，使點(diǎn)到直線1：3x+4y42=0的距離為1,故B不符合題意.

對(duì)于C,因?yàn)辄c(diǎn)(4,4)到直線r的距離d=］或三，兩條直線都與(X.4)2+(y.4)2=4相離，故

(x-4)2+(y-4)2=4上不存在點(diǎn),使點(diǎn)到直線I：3x+4y42=0的距離為1,故C不符合題意.

2111

對(duì)于D,因?yàn)辄c(diǎn)(4,4)到直線1，的距離d=不或所以兩條直線中3x+4y一7=0與(x-4)2+

(y.4)2=16相離，而3x+4y」7=0(x.4)2+(y.4)2=16相交，故(x.4)2+(y.4)2=16上恰好存在兩

個(gè)點(diǎn)P、Q,使點(diǎn)到直線1：3x+4y」2=0的距離為1,故D符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題.

6.中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，如圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸

入x=2,n=2,依次輸入。的值為1,2,3,則輸出的5=()

A.10B.11C.16D.17

【答案】B

【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)，令〃=1，2,3依次進(jìn)入循環(huán)系統(tǒng)，計(jì)算輸出結(jié)果.

【詳解】解：:輸入的x=2,〃=2,

當(dāng)輸入的。為1時(shí)，S=l,k=l,不滿足退出循環(huán)的條件；

當(dāng)再次輸入的。為2時(shí)，S=4,k=2,不滿足退出循環(huán)的條件；

當(dāng)輸入的。為3時(shí)，5=11,笈=3,滿足退出循環(huán)的條件；

故輸出的S值為11.

故選：B

7.如圖，是對(duì)某位同學(xué)一學(xué)期8次體育測(cè)試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到的散點(diǎn)圖，關(guān)于這位

A.該同學(xué)的體育測(cè)試成績(jī)總的趨勢(shì)是在逐步提高，且8次測(cè)試成績(jī)的極差超過(guò)15分

B.該同學(xué)8次測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)是48分

C.該同學(xué)8次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是49分

D.該同學(xué)8次測(cè)試成績(jī)與測(cè)試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的散點(diǎn)圖，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,由散點(diǎn)圖知，8次測(cè)試成績(jī)總體是依次增大，極差為56-38=18>15,A正確；

對(duì)于B,散點(diǎn)圖中8個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是48,B正確；

對(duì)于C,散點(diǎn)圖中的8個(gè)數(shù)由小到大排列，最中間兩個(gè)數(shù)都是48,則8次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是48

分，C不正確；

對(duì)于D,散點(diǎn)圖中8個(gè)點(diǎn)落在某條斜向上的直線附近，貝18次測(cè)試成績(jī)與測(cè)試次數(shù)具有相關(guān)性，且

呈正相關(guān)，D正確.

故選：C

8.平面a過(guò)正方體ABCD—ABGDi的頂點(diǎn)A,a平面CS.2，ac平面/8CQ=〃?，

ac平面則m,n所成角的正弦值為

A.@B.正C.且D.-

2233

【答案】A

【詳解】試題分析：如圖，設(shè)平面C8.n平面/88=加，平面CB.n平面/8耳4=/，因?yàn)?/p>

a〃平面C5Q,所以施〃〃//〃',則也〃所成的角等于“,〃'所成的角.延長(zhǎng)AD,過(guò)?作

D、E〃B、C,連接則CE為川，同理司環(huán)為而8O〃CE,8田〃48,則機(jī)〃'所成的角

即為4S皿所成的角’即為6。。，故〃，，〃所成角的正弦值為孝‘選A.

【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角，求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線

成形、解形求角、得鈍求補(bǔ).

9.曲線y=與直線y=Mx-2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則左的取值范圍是()

151353

A.(§,+8)B.(-,+?))C.D.

【答案】D

【分析】化簡(jiǎn)y=可得為半圓，求出圓心和半徑，再根據(jù)直線＞=%(》-2)+4過(guò)定點(diǎn)(2,4)

,數(shù)形結(jié)合求得臨界條件分析即可

【詳解】曲線可化為一+壯一1)2=4620),是圓心為(0,1),半徑為2的圓的上半部

分，直線、=%^-2)+4過(guò)定點(diǎn)42,4),畫(huà)出圖象如下圖所示.

4-13

由圖可知，直線斜率的取值最大是77n4,設(shè)相切時(shí)斜率為左,則直線方程

y_4=A(x-2),即依一y+4?2斤=0,此時(shí)即(3-24)?=4r+4,解得力=以，

y/k2+l212

53

故取值范圍為

10.甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?個(gè)小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間中隨機(jī)到達(dá)，若兩船

有一艘在停泊位時(shí)，另一艘船就必須等待，則這兩艘輪船停靠泊位時(shí)都不需要等待的概率為（）

11975

A.—B.-C.-D.—

16161616

【答案】B

【分析】先確定這是幾何概型問(wèn)題，可設(shè)甲乙分別先到的時(shí)間，建立他們之間不需要等待的關(guān)系

式，作出符合條件的可行域，并求其面積，根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得答案.

【詳解】設(shè)甲、乙到達(dá)停泊點(diǎn)的時(shí)間分別是x、y點(diǎn)，

則甲先到乙不需要等待須滿足x+6<y,乙先到甲不需要等待須滿足v+6<x,

0<x<24

0<y<24

作出不等式組表示的可行域如圖（陰影部分）：

y>x+6

y<x-6

正方形的面積為24x24=576,陰影部分面積為2x；xl8xl8=324,

故這兩艘輪船?？坎次粫r(shí)都不需要等待的32概4率9言，

57616

故選：B

11.設(shè)4,B,C,。是同一個(gè)球面上四點(diǎn)，口/8C是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，若三棱錐。-Z8C體

9

積的最大值為去則該球的表面積為().

_75475)

A.14乃B.124C.---D.一；“

42

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件做出圖像，結(jié)合勾股定理即可求出球的半徑R,從而得到球的表面積.

【詳解】因%18c是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，故由正弦定理得，

□48C的外接圓半徑廠=6，

又因三棱錐D-ABC體積的最大值為搟,

故此時(shí)點(diǎn)D到平面ABC的距離d=的”=2G,

^[ABC

由4B,C,。是同一個(gè)球面上四點(diǎn)，做出下圖，

D

故圖中，DE-d,OD=OA=R,AE=r,

由勾股定理得：OE2+AE2=OA2,^(d-R)2+r2=R2,

計(jì)算得/?=%叵，該球的表面積=4萬(wàn)公=冬

44

故選：C.

【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和

接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方

體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方

體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.

12.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推

理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：

就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，給出如下結(jié)論：

①曲線C圍成的圖形的面積是2+7；

②曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)2；

③若P（孫〃）是曲線C上任意一點(diǎn)，則即?+4〃-12|的最小值是I，一嚴(yán).

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】結(jié)合已知條件寫(xiě)出曲線C的解析式，進(jìn)而作出圖像，對(duì)于①，通過(guò)圖像可知，所求面積

為四個(gè)半圓和一個(gè)正方形面積之和，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對(duì)于②，根據(jù)圖像求出曲線。上的任意

兩點(diǎn)間的距離的最大值即可判斷；對(duì)于③，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后利用圓上一點(diǎn)到直

線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.

111

2^2

--/=-

【詳解】當(dāng)x20且夕20時(shí)，曲線C的方程可化為:2+(22

11

2

l\=-

當(dāng)x4O且夕20時(shí)，曲線C的方程可化為:2-z2

111

J\-1.-

當(dāng)x±0且y40時(shí)，曲線C的方程可化為:2-/2/2

111

\,-V-

當(dāng)x40且＞40時(shí)，曲線C的方程可化為:2-ZJ2)2

曲線C的圖像如下圖所示：

由上圖可知，曲線C所圍成的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長(zhǎng)為正的正方形的面積之和,

從而曲線C所圍成的面積4xg》xg+（應(yīng)了=2+乃，故①正確；

由曲線C的圖像可知，曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個(gè)半徑與正方形的邊長(zhǎng)之和，即

*x2+收=2應(yīng)>2,故②錯(cuò)誤;

|3w+4/7-12113陽(yáng)+4〃-121

因?yàn)榈街本€3x+4y-12=0的距離為"=

互+。5

所以\3m+4〃-12|=5d,

當(dāng)d最小時(shí)，易知P（孫〃）在曲線C的第一象限內(nèi)的圖像上，

因?yàn)榍€C的第一象限內(nèi)的圖像是圓心為（；,；），半徑為孝的半圓，

所以圓心（；,；）到3X+4尸12=0的距離d=%的"一口=17,

227^7^io

從而4nin="一曰=[:二'即|3機(jī)+4"-121n=5dmM="，故③正確,

故選：C.

二、填空題

13.將某班的60名學(xué)生編號(hào)為01,02，.…60,采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為5的樣本，且隨機(jī)

抽得的第一個(gè)號(hào)碼為03,則抽得的最大號(hào)碼是.

【答案】51

【分析】根據(jù)總體容量和樣本容量，得到抽樣間隔求解.

【詳解】因?yàn)榭傮w容量是60,樣本容量是5,

所以抽樣間隔為12,

又因?yàn)榈谝粋€(gè)號(hào)碼為03,

所以所有號(hào)碼是03,15,27,39,51,

所有最大號(hào)碼是51,

故答案為：51

x>0

14.已知實(shí)數(shù)X、y滿足約束條件=20,則目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值為.

x+y-2W0

【答案】4

【解析】本題首先可根據(jù)約束條件繪出可行域，然后根據(jù)可行域易知過(guò)點(diǎn)8（2,0）時(shí)目標(biāo)函數(shù)

z=2x-y最大.

x>0

【詳解】由題意可知，約束條件為卜20

x+y-2?0

則4(0,2),5(2,0),

結(jié)合可行域易知：

目標(biāo)函數(shù)z=2x-y過(guò)點(diǎn)8(2,0)時(shí)取最大值，最大值為z=2x2-0=4,

故答案為：4.

15.已知直線"zx+"=1(其中白力為非零實(shí)數(shù))與圓/+/=4相交于43兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，且408==,則1的最小值為.

3ab

【答案】8

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得圓心到直線的距離d=l,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得2/+從=1,再

將31+城7變形為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓心。(0,0)到直線/”+如=1的距離為“，圓/+_/=4的圓心為。(0,0),半徑廠=2,

因?yàn)镹/O8=空，所以/048=工，所以d=1r=1x2=l,

3622

所以/2,2=1，即2/+/=1,

yJ2a2+b2

因?yàn)閍,b為非零實(shí)數(shù)，所以g-42>0,

11”212、，11、

12_1=L==2S+—)(/+「)

Ucl

2---------------------------2

=2(1+—^—+^-^-+1)>2(1+2+1)=8,

—1a2a~

2

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，

42

所以點(diǎn)1+本2的最小值為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了基本不等式求最值，屬于中檔

題.

16.在棱長(zhǎng)為1的正方體Z8CQ-48cA中，點(diǎn)用是對(duì)角線/G上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)"與A、G不重

合），則下列結(jié)論正確的是.

①存在點(diǎn)也，使得平面J?平面8G0；

②存在點(diǎn)材，使得//平面8c2；

③口4。河的面積不可能等于??；

④若岳，S?分別是口4。/在平面N4G2與平面B8CC的正投影影的面積，則存在點(diǎn)M,使得

S\=S「

【答案】①②④.

【分析】當(dāng)M是/G中點(diǎn)時(shí)，可證明平面平面8G。：②取/G靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)記

為M,可證明。胡〃平面片CR；③作4"_L/G，則用40“=4x五xj立］一［立］=立；

Vv7X/

④當(dāng)￡=邑.

【詳解】①如圖1

當(dāng)M是/G中點(diǎn)時(shí)，可知M也是4c中點(diǎn)且4CL8G，4與，8G，44nBe=4，所以BGJL

平面44。，所以同理可知8。，4河，且8。1口8。=8,所以42_L平面8CQ,又

平面4DW,所以平面/QMJ_平面8CQ,故①正確；

②如圖2

取"G靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)記為“，記4Gn干2=。，ocn/G=N,

因?yàn)閦c〃4G，所以嗎=曾=:，

ACAN2

所以N為4G靠近C,的一個(gè)三等分點(diǎn)，則N為MG中點(diǎn)，

又。為4G中點(diǎn)，所以4MUN0,且/盧口BC，,

4A/E平面8CQ,4。＜z平面8c2，NOU平面8cQ,8Cu平面AC。,

所以〃平面BCR,4。〃平面8cA，且4Mu平面4Du平面4。旭，

4MD/Q=4

所以平面NQM//平面8c%,且￡）加匚平面4。例，

所以。M//平面8c4,故②正確；

③如圖3

作4/，46,在□//￡中根據(jù)等面積得：==g

733

根據(jù)對(duì)稱性可知：A1M=DM=旦,又AD=6，

3

所以口是等腰三角形，則Syngx及X[4]-jq

=—,故③錯(cuò)誤;

6

④如圖4,圖5

設(shè)=口在平面48C4內(nèi)的正投影為口4。"一口4。"在平面84GC內(nèi)的正投影

為二81cM2，所以I=5口4.％=；x*x"j=^,S2=S0B>CM2=x-^--41ax72=|-y-|>當(dāng)

5=邑時(shí)，解得：a=(，故正確.

故答案為：①②④.

三、解答題

17.平面直角坐標(biāo)系中，己知口/8。三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為血-1,2),6(-3,4),C(-2,6)

(1)求BC邊上的高所在直線的方程；

(2)求口”C的面積.

【答案】(1)x+3y-3=0；(2)3

【分析】(1)求出直線BC的斜率，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)求出高線的斜率即可

(2)求出點(diǎn)到直線的距離，以及底BC的距離，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可

6-41

【詳解】⑴由題意，直線BC的斜率k=_2_(_3)=2,則BC邊上高的斜率k=-；,

則過(guò)A的高的直線方程為y-2=-1(x+1),即X+2y-3=0.,

（2）:8€：的方程為丫-4=2依+3）,.'.2x-y+10=0.

卜2-2+10|_6_6>/5

點(diǎn)A到直線2x-y+10=0的距離d=

6+j=忑==

|BC|=J(-2+3)2+(6-4>=二石,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高線的計(jì)算，以及三角形的面積的求解，其中解答中結(jié)合距離公式

以及直線垂直的斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.某種機(jī)械設(shè)備使用年限x和相應(yīng)維修費(fèi)用N（萬(wàn)元）有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

使用年限23456

維修費(fèi)用2.23.85.56.57.0

已知x和y具有線性相關(guān)關(guān)系.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)求回歸直線方程；

（2）該設(shè)備使用8年時(shí)，估計(jì)所需維修費(fèi).

,工為弘一加?歹

（參考公式：^=—n---------，a=y-hx）

Xxf-nx2

i=l

【答案】⑴?=L23x+0.08；（2）9.92萬(wàn)元.

【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算可得3,&,由此得到回歸直線方程；

（2）將x=8代入回歸直線方程即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：￡＞戊=4.4+11.4+22+32.5+42=112.3,

/=!

_2+3+4+5+6/_2.2+3.8+5.54-6.5+7

x=------------=4,y=-------------------=5r,

fx；=4+9+16+25+36=90,

i=\

?1123-5x4x5

=a=5-1.23x4=0.08,

90-5x16

線性回歸方程為：j>=1.23x+0.08.

(2)將x=8代入回歸直線方程可得：?=1.23x8+0.08=9.92,

即該設(shè)備使用8年時(shí)，估計(jì)所需維修費(fèi)為9.92萬(wàn)元.

19.如圖，在直角梯形ABCP中，AP//BC,APVAB,AB=BC=^AP,。是/P的中點(diǎn)，E、F

分別為PC、尸。的中點(diǎn)，將△產(chǎn)□)沿CD折起得到四棱錐P-ABCD,

(1)G為線段8C上任一點(diǎn)，求證：平面E尸GJ.平面尸Z。；

(2)當(dāng)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：/P〃平面EFG.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先利用線面垂直的判定定理得到CQJ■平面4。，結(jié)合E尸〃可得到E/U平面

PAD,接著利用面面垂直的判定定理即可求證；

(2)先利用線面平行的判定定理得到GE〃平面尸/8,EF//平面PAB,然后利用面面平行的判定

定理得到平面EFG〃平面P/8,即可證明結(jié)論

【詳解】(1)???△POC中，E、尸分別是P。、尸C的中點(diǎn)，.?.￡：&/CD

■■■CDA.PD,CDLAD,PD[\AD=D,PD、/Du平面「力。，

??.CZ)_L平面PAD,

平面PAD,

??,EFu平面EFG,

平面￡■廠GJ■平面PAD

(2)rG為8c的中點(diǎn)，E為尸C的中點(diǎn)，

■■.GE//BP,

??,GE(Z平面尸BPu平面P/B,

；.G￡7/平面尸N8,

由(1)知，EF//DC,

"ABIIDC,.-.EF//AB,

??,EFa平面P/8,N8u平面尸48,

.?.EF〃平面PAB,

■：EF{\GE^E,EF、GEu平面E『G,

平面ER?〃平面PAB,

???P/u平面PAB,

.,?月尸〃平面EFG.

20.某學(xué)校進(jìn)行體驗(yàn)，現(xiàn)得到所有男生的身高數(shù)據(jù)，從中隨機(jī)抽取50人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（已知這50個(gè)身

高介于155cm到195cm之間），現(xiàn)將抽取結(jié)果按如下方式分成八組：第一組［155,160）,第二組

［160,165）,第八組［190,195］,并按此分組繪制如圖所示的頻率分布直方圖，其中第六組

［180/85）和第七組［185,190）還沒(méi)有繪制完成，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組和第七組人

數(shù)的比為5:2.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這50位男生身高的中位數(shù)；

（3）用分層抽樣的方法在身高為口70,180］內(nèi)抽取一個(gè)容量為5的樣本，從樣本中任意抽取2位男

生，求這兩位男生身高都在口75』80］內(nèi)的概率.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）174.5cm；（3）0.3.

【詳解】試題分析：（1）先分別算出第六組和第七組的人數(shù)，進(jìn)而算出其頻率與組距的比，補(bǔ)全

直方圖；（2）利用中位數(shù)兩邊頻率相等，求出中位數(shù)的值；（3）先借助分層抽樣的特征求出第

四、第五組的人數(shù)，再運(yùn)用列舉法列舉出所有可能數(shù)及滿足題設(shè)的條件的數(shù)，運(yùn)用古典概型的計(jì)算

公式求解：

解：(1)第六組與第七組頻率的和為:

l-(0.008x$4-0.016x50.04x5*0.04x540.06x54-0.008x5)=0.14

縱坐標(biāo)為0.008.

0.008x5+0.016x$^0.04x5*0.04<.r-170)=0.5

x=174.5

估計(jì)這50位男生身高的中位數(shù)為174.5

(3)由于第4,5組頻率之比為2：3,按照分層抽樣，故第4組中應(yīng)抽取2人記為1,2,

第5組應(yīng)抽取3人記為3,4,5

則所有可能的情況有：{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},

{3,4},{3,5},{415}共10種

滿足兩位男生身高都在［175,180］內(nèi)的情況有{3,4},{3,5},{415}共3種,

因此所求事件的概率為10.

21.如圖，已知平面四邊形/8CP中，。為/〃的中點(diǎn)，PALAB,CD//AB,且

PA=CD=2AB=4.將此平面四邊形/8C尸沿8折成直二面角P-OC-8,連接P4PB,設(shè)P8

中點(diǎn)為E.

(1)在線段8。上是否存在一點(diǎn)尸，使得平面尸8C?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)尸的位置；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)求直線AB與平面P8C所成角的正弦值.

【答案】(1)點(diǎn)尸存在，且為線段8。上靠近點(diǎn)。的一個(gè)四等分點(diǎn)，即DF:F8=1:3；

⑵B

6

【分析】(1)以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由EF工平面P8C,則

EFPB=O,EFPC=O,列方程即可得出答案.

(2)求出直線的方向向量與平面尸8c的法向量，由線面角的表示方法即可求出答案.

【詳解】(I)由題知，平面/BCD/平面尸DC,平面/8C0C平面P〃C=C。，

因?yàn)槭?1QC,尸。u平面尸。C,所以產(chǎn)平面48C。，

又因?yàn)镼Nu平面/8CZ),所以PD_L￡M,

則,則以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

結(jié)合已知可得42,0,0）,8（2,2,0知C（0,4,0知P（0,0,2知

則尸8中點(diǎn)1,1）.?.?尸e平面08,麗=（2,2,0）,故可設(shè)尸（4幾0）,

則喬=,VEFA.PBC,:.EFPB=0,EFPC=0,

—一2（/l-l）+2（Z-l）+2=0

又尸8=（2,2,-2）,PC=（0,4,-2）,所以+，

解得4=；,即尸（；,；,0）,

故點(diǎn)尸存在，且為線段8。上靠近點(diǎn)3的一個(gè)四等分點(diǎn)，即。尸:尸8=1:3.

一11一

(2)由(1)得■=(—],—于一1)是平面P3C的一個(gè)法向量，又45=(0,2,0),

EFAB_1___V|

則得cos小￡'8

記直線力5與平面P8C所成角為。，貝Usin8=