2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知集合4={x∣-1≤X<2},B=(x?x>0},則集合4nB=()

A.(-∞,2)B.[-l,+∞)C.(0,2)D.[-1,2)

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,1),且滿足(l-i)?z=2,則a=()

A.1B.-1C.2D.-2

3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是()

A.y=?B.y=—x3C.y=x?x?D.丫=Iogvc

4.若a<b<0,c>d>0,則一定有()

A.≡>?B.D?那

cacajd；C

5.已知二項(xiàng)式(X+65的展開式中1的系數(shù)是10,則實(shí)數(shù)a=()

A.-1B.1C.-2D.2

6.若Sin(Tr-a)=-∣,cosa>0,則tcma=()

3344

CD

-----

A.4433

7.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，角α與角3均以O(shè)X為始邊，則“角α與角0的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱”

是usina=sinβn的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.圖1：在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適

當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到

小木釘后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在圖2中，將小球放入容器中

從頂部下落，則小球落入D區(qū)的路線數(shù)有()

力BTCTDTETFTG

圖2

C.20D.22

9.設(shè)拋物線C：y2=2pχ(p>o)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為，.斜率為四的直線經(jīng)過焦點(diǎn)F,交拋物

線C于點(diǎn)4交準(zhǔn)線I于點(diǎn)B(4B在X軸的兩側(cè)).若∣4B∣=6,則拋物線的方程為()

A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x

10.已知向量落石,二滿足I五I=Y∑,IBI=1,位,％)=%(c—a)?(c—b)=0?則Iml的

最大值是()

A.√2-lB.與iC.等D.√2+l

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.已知數(shù)列｛αn｝中，α1=2,αn+1-2an=0(n∈∕V*),則數(shù)列｛αn｝的通項(xiàng)公式為.

12.己知雙曲線3一1=1的焦點(diǎn)為a,F2,點(diǎn)P在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為

;若IPFll=4,則∣PF2∣=.

13.在AABC中，a=8,c=7,cosA=—?,貝IJb=,NC=.

14.若直線y=kx+2與圓(X-I)2+y2=α有公共點(diǎn)，貝IJa的最小值為.

15.已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為α,O是底面△力BC的中心，用一個(gè)平行于底面的

2

平面截三棱錐，分別交PA,PB,PCPA1,B1,CI點(diǎn)(不與頂點(diǎn)P,A,B,C重合).

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①三棱錐。-AlBlCI為正三棱錐；

②三棱錐P-ABC的高為學(xué)a；

③三棱錐。-ABlG的體積既有最大值，又有最小值；

④當(dāng)繆=I時(shí)，鋁a=/

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題13.0分)

已知函數(shù)/^(x)=√5sin23x-cos23x(0<3<2),再從條件①、條件②、條件③中選擇一

個(gè)作為已知，

(I)求f(x)的解析式；

(∏)當(dāng)xe[0,自時(shí)，關(guān)于X的不等式/(x)≤τn恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

條件①：函數(shù)/'(X)的圖象經(jīng)過點(diǎn)?,2)；

條件貳：函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=2s譏2x的圖象平移得到；

條件③：函數(shù)/'(X)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為宏

注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.(本小題13.0分)

不粘鍋是家庭常用的廚房用具，近期，某市消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)委員會(huì)從市場上購買了12款不粘

鍋商品，并委托第三方檢測機(jī)構(gòu)進(jìn)行檢測.本次選取了食物接觸材料安全項(xiàng)目中與消費(fèi)者使

用密切相關(guān)的6項(xiàng)性能項(xiàng)目進(jìn)行比較試驗(yàn)，性能檢測項(xiàng)目包含不粘性、耐磨性、耐堿性、手柄

溫度、溫度均勻性和使用體驗(yàn)等6個(gè)指標(biāo).其中消費(fèi)者最關(guān)注的兩個(gè)指標(biāo)“不沾性、耐磨性”

檢測結(jié)果的數(shù)據(jù)如下：

檢測結(jié)果

序號(hào)品牌名稱不粘性耐磨性

1品牌1I級(jí)I級(jí)

2品牌2II級(jí)I級(jí)

3品牌3I級(jí)I級(jí)

4品牌4II級(jí)II級(jí)

5品牌5I級(jí)I級(jí)

6品牌6II級(jí)I級(jí)

7品牌7I級(jí)I級(jí)

8品牌8I級(jí)I級(jí)

9品牌9II級(jí)II級(jí)

10品牌10R級(jí)II級(jí)

11品牌11II級(jí)II級(jí)

12品牌12II級(jí)II級(jí)

(用I級(jí)代表性能優(yōu)秀，∏級(jí)代表性能較好)

(I)從這12個(gè)品牌的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù)，求這兩個(gè)品牌的“不粘性”性能

都是I級(jí)的概率；

(∏)從前六個(gè)品牌中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù)，設(shè)X為性能都是I級(jí)的品牌個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量

X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(In)從后六個(gè)品牌中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù)，設(shè)Y為性能都是I級(jí)的品牌個(gè)數(shù)，比較隨機(jī)變

量X和隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望的大小(結(jié)論不要求證明).

18.(本小題14.0分)

如圖，在多面體力BCBIG中，側(cè)面ABBIal為矩形，。4_L平面ABB14,CCl_L平面ABC,

AA1=AC=4,CC1=2,AB=3.

(I)求證：CCl〃平面4BB14；

(∏)求直線4G與平面ABC1所成角的正弦值；

(III)求直線4祖到平面ZBG的距離.

Ai

19.(本小題15.0分)

已知橢圓C：盤+A=l(α>b>0)過點(diǎn)(2,0),且離心率是爭

(I)求橢圓C的方程和短軸長；

(∏)已知點(diǎn)P(1,0),直線1過點(diǎn)(0,3)且與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4B,問：是否存在直線

使得aPAB是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，若存在，求出直線，的方程；若不存在，說明理由.

20.(本小題15.0分)

已知函數(shù)/(x)=ex+me~x+(m—I)x,m<0.

(I)當(dāng)Tn=0時(shí),求曲線y=f(%)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(∏)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(In)當(dāng)一e≤m<-l時(shí)，證明：對(duì)任意的尤∈(0,+8),/(x)≥-2恒成立.

21.(本小題15.0分)

已知數(shù)列{an}滿足：ɑi∈N*,α1≤24,且c?+ι=(∏=1,2,…).記集合M=

(kZUn-Z4?,UnhIZ

{αjl∣n∈N*}.

(I)若%=2,寫出集合M的所有元素；

(∏)若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；

(Iil)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解:V?=(χ∣-1≤X<2},B=(x?x>0],

??AΓ?B={x∣0<%<2}=(0,2),

故選：C.

根據(jù)交集的定義直接寫出4∩B即可.

此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.【答案】A

【解析】解：??,復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(α,l),

?z=ɑ+i,

又???(1-i)?z=2,

2

?'?Q+i=-—：=1+i,

IT

故Q=1；

故選：A.

利用復(fù)數(shù)的幾何意義寫出Z=α+i,再利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡即可求a?

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：y=；在定義域{x∣XH0}不單調(diào)，不符合題意；

了=-爐為奇函數(shù)且在定義域R上單調(diào)遞減，符合題意；

y=χ∣χ∣=儼2,產(chǎn)°在定義域R上單調(diào)遞增，不符合題意；

y=Iogp為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：B.

由已知結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：由于：c>d>0,

K1J：?>?>0,

dc

又：a<b<0,

所以：—a>—b>0,

故：一^>一2>0,

dc

所以：?d<-c,

故選：D.

直接利用不等式的基本性質(zhì)求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題

型.

5.【答案】B

【解析】解：二項(xiàng)式(x+》5的展開式中的通項(xiàng)公式為圖+]=Cj?αr?χ5-2r,

令5—2r=—1,可得r=3,故工的系數(shù)是牖?a，=10,故α=1,

X0

故選：B.

先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令X的幕指數(shù)等于-1,求得r的值，即可求得展開式中的工的

X

系數(shù)，從而求得α的值.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：TSin(Tr-■α)=Sina=-g,cosa>0,

__________3

?cosa=AZl-sin2α=?

則tcma==—?

cosa3

故選：D.

由題意，利用誘導(dǎo)公式求得S譏a的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得CoSa的值，可得Ccma

的值.

本題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：①若角α與角夕的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則Sina=S譏充分性成立，

②當(dāng)a=30。，β—390oH'J',滿足Sina=S譏0,但不滿足角α與角/?的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，；.必要性

不成立，

???角α與角0的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱是Sina=sin/?的充分不必要條件，

故選：A.

根據(jù)三角函數(shù)的定義判斷充分性，利用舉實(shí)例判斷必要性即可求解.

本題考查三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：小球落入底部的格子中，共碰到小木釘6次，

要使小球落入D區(qū)，則需在6次碰撞中有3次向右落下，有3次向左落下，

所以小球落入D區(qū)的路線數(shù)有a=20.

故選：C.

由題意可知，要使小球落入。區(qū)，則需在6次碰撞中有3次向右落下，有3次向左落下，再結(jié)合組合

數(shù)定義求解即可.

本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】B

【解析】解：如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線/與X軸交于點(diǎn)K,拋物線與4B

直線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，

分別過4。作準(zhǔn)線［的垂線，垂足點(diǎn)分別為M,N,

設(shè)用=m,?DF?=n,則MMl=m,IDNl=n,

又AB直線的斜率為舊，.?.乙4Fx=60°,

4MAB=?NDB=Z.AFx=60°,

.?.∣BDI=2?DN?=2n,?AB?=2?AM?,

又MBl=?BD?+?DF?+?AF?=3n+m=6,

??3n+m=2m,2m—6,

τn=3,n=1,.??∣P∕V∣=TI=1,

又易知4BDN"BFK,

.?DN??BD?__2

“∣FK∣^IBFl—3,

.?,p=?FK?=^3?DN?=3i,

二拋物線的方程為y2=3x.

故選:B.

根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，相似三角形，數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，即可求解.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，相似三角形，數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，屬中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：已知向量五，b<下滿足IaI-V∑>IBl=I，b>=,,

則蒼?7=∣α∣∣h∣cos<a,b>=1.∣H+e∣=J32+2α?K+K2=√5,

又=。，

則*-0+B)?"dj=0，

即|研2+1=位+&7≤I2+l∣m∣=遙|小,

當(dāng)且僅當(dāng)Z+E與下同向共線時(shí)取等號(hào)，

≡P∣c∣2+1≤√5∣c∣.

即空wC≤等，

即I列的最大值是粵，

故選：C.

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合平面向量的模的運(yùn)算求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

n

IL【答案】an=2

【解析】解：1■,an+1-2an=0

i

???ɑn+1=2αn,即野=2,

又%=2,則數(shù)列｛即｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

n1n

.?.an=2-2^=2,

n

故答案為：an=2.

根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得出答案.

本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

12.【答案】y=±亨X8

【解析】解：已知雙曲線3_?=1的焦點(diǎn)為F1，尸2,點(diǎn)P在雙曲線上，

則該雙曲線的漸近線方程為y=土鳧；

又IIPFll-∣PF2∣∣=4,且IPal=4,

則叫=8,

故答案為：y=+^x:8.

由雙曲線的性質(zhì)求解即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

13.【答案】3號(hào)

【解析】解：Ta=8,c=7,cosA=-?,

由余弦定理得64=+49-2X6X7X(-；)，

即爐+2b-15=0,

b>0,?b=3,

VcosA=-；,A∈(0,7T),???sinA=

由正弦定理得SinC=也四=7x隼X：=鳥

a782

Vα=8,c=7,.??Λ>C,

"c---3?

故答案為：3；

利用余弦定理求出b,利用正弦定理求出C即可.

本題考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】5

【解析】解：由題意知直線y=kx+2過定點(diǎn)(0,2),

當(dāng)點(diǎn)(0,2)在圓上或圓內(nèi)時(shí)，直線y=kx+2與圓總有公共點(diǎn)，

即(0,1)2+22≤a,

解得α≥5,

即ɑ的最小值為5,

故答案為：5.

求出直線y=kx+2所過的定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)(0,2)在圓上或圓內(nèi)時(shí)，直線y=kκ+2與圓總有公共點(diǎn),

列出不等式，即可求得答案.

本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

15.【答案】①②④

【解析】解：如圖所示:

...用一個(gè)平行于底面的平面截三棱錐，

且P-ABC為正三棱錐，。是底面AABC的中心

???三棱錐。-4IBlCl為正三棱錐，故①正確；

???正三棱錐P-4BC的六條棱長均為α,。是底面4ABC的中心,

.?.三棱錐P-4BC的高為PO,

△4BC的高為CD,且CD=苧α,OC=,CD=苧a，

：,PO=Ja2—(?ɑ)2=BoP故②正確；

???4,B1,Cl點(diǎn)不與頂點(diǎn)P,AfB,C重合，

γ—ɑ—flΓ7

-

?A1B1=xE(0,a),設(shè)。一ABICl的∣?為∕ι,則一="?，得∕ι=g(a-%)，

aTa3

,,χ2,sinχχ2aχj

???/(%)=V0-A1B1C1=∣5?Λ1β1c1Λ=jIry(-ɑ)=τ∣(^)

f(x)=ax—??2=τ∣x(2a—3%)?在(0,金上/'(%)>0,(0,a)上/(%)<0,

O4IZ35

所以/(x)在(0,芻上遞增，育,a)上遞減，故體積在(0,a)上有最大值，無最小值，故③錯(cuò)誤;

當(dāng)?shù)?￡時(shí)，點(diǎn)4,B,Cl分別為線段PA,PB,PC的三等分點(diǎn)，

rA?1

221

?A1B1=-ΛB=-a,且ho=]%,

.-0→l]8]C]_.S44]8]C]hθ_4

Yp-ABC拈AABCflP27

故④正確；

故答案為：①②④?

建立正四面體模型，數(shù)形結(jié)合分析.

本題主要考查幾何體的體積，屬于中檔題.

16.【答案】解：(I)函數(shù)/(久)=√3sin2ωx-cos2ωx=2sin(2ωx-^)f

若選條件①：函數(shù)/(%)的圖象經(jīng)過點(diǎn)2),

則2sin,3一芯=2,

**?-3-不=5+2fcττ(fcEZ),

???3=1+3fc(∕c∈Z),

又0<3<2,.??當(dāng)攵=0時(shí)，ω=1,

???f(x)=2sin(2x-^)；

若選條件②：函數(shù)/(%)的圖象可由函數(shù)g(x)=2s譏2%的圖象平移得到,

則2a)=2,?ω=1,

：,f(x)=2sm(2x—

若選條件③：函數(shù)/(%)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為*

：?2ω=-=2,?ω=1?

：./(x)=2sin(2x—,

(∏)由⑴可知/(%)=2sm(2x-≡),

當(dāng)xe[0,芻時(shí)，一.≤2xV≤m

乙OOO

.?.-j≤sin(2x-≡)≤1,即/(x)的最大值為2,

?.?當(dāng)％∈[0,胃時(shí)，關(guān)于X的不等式f(%)≤Tn恒成立，

??m≥2,

即實(shí)數(shù)小的取值范圍[2,+8).

【解析】(I)先利用輔助角公式化簡"X)的解析式得/(X)=2sin(25-,若選條件①，由/g)=

2可得3=l+3∕c(k6Z),再結(jié)合0<α><2,即可求出3的值，從而得到f(x)的解析式：若選條

件②，則2“=2,所以3=1,從而得到/(x)的解析式；若選條件③，則六最所以7=兀，進(jìn)

而求出3的值，得到f(x)的解析式.

(II)由X的取值范圍求出2x-卷的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求出/(x)的最大值,從而求出m的

取值范圍.

本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】解：(I)“不粘性”性能都是I級(jí)的品牌有5個(gè)，

記事件A為兩個(gè)品牌的“不粘性”性能都是I級(jí)，

則P。)=昌=盤.

c128

(2)前六個(gè)品牌中性能都是I級(jí)的品牌有3個(gè)，X可能取值為0,1,2,

P(X=。)*/

P(X=I)=等=冬

c6?

P(X=2)=g=/

c6?

???X分布列為

X012

131

P

555

E(X)=0×∣1+l3×∣÷2×∣1=l.

(Iil)后六個(gè)品牌性能都是I級(jí)的品有2個(gè)，y可能取值為0,1,2,

P(Y=I)=誓=4；

^=2)=∣=?

???y數(shù)學(xué)期望為

F(υ=0×∣+l×?+2x?=∣<E(X).

【解析】(I)直接計(jì)算事件發(fā)生概率；

(Il)X可能取值為0,1,2,分別計(jì)算出概率，再列分布列，計(jì)算期望值;

(IlI)y可能取值為0,1,2,分別計(jì)算出概率，計(jì)算期望值，再比較大小.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和分布列，屬于中檔題.

18.【答案】證明：(I)因?yàn)椤?L平面ABBIA1，所以CAL441，

又因?yàn)锳BBMi為矩形，所以力必_148,

又因?yàn)锳B,ACU面4BC,所以AAlIlSiABC,

因?yàn)镃Gl平面4BC,所以CC"∕44,

又因?yàn)?4ιU面B4&B1，

所以CCl〃平面

解：(H)如圖，作&C垂直AI于點(diǎn)D,

Ai

又因?yàn)锳lOU面44C1,所以41。_1_48,

又因?yàn)?ιD?L4Cll,AB,AC1aW?ABC1,ABnAC1=A,

所以AIDIlSABC1,

所以心乙的力即為直線4的與平面ABG所成的角，

2222

由題意易知A&=4,AC1=√4+2=2√5.A1C1=√4+(4-2)=2√5.

在4A&G中根據(jù)余弦定理可得COSNAlCIa=釜=|(

所以直線AQ與平面ABC1所成角的正弦值為Ji-(∣)2=1,

(IIl)由(II)知必。JJffiABCr又易知必當(dāng)〃面4BCll,

所以4。即為直線4Bi到平面ABCl的距離，

根據(jù)CoSZTlICι?4=|,可得Sin乙4ιC[4=

則SAACI4="G-A1D=TAlC1?AC1-sin?AC1A1,解得必。=竿?

【解析】(I)先證明1面4BC,再根據(jù)CCι∕∕4?,AA1c^BAA1B1,即可證明；

(II)作40垂直久于點(diǎn)D,先證明&。_L面ABC1，即可得到NAlClA即為直線&G與平面4BG所成

的角，在^力久口中根據(jù)余弦定理可得COSN4ICM,進(jìn)而求解即可；

(In)由AID_L面〃面ABCl,得到AlD即為直線到平面ABC1的距離,再根據(jù)SAAC通=

^AC1■A1D=^A1C1-AC1-SinNACIA]，求解即可.

本題主要考查直線與平面所成的角，屬于中檔題.

19.【答案】解：(I)橢圓C：捻+，=l(α>b>0)過點(diǎn)(2,0),所以今=1,解得α=2；

離心率是e=￡=5=%解得c=√∑,所以〃=。2一￠2=4-2=2,

a22

所以橢圓C的方程為胃+t=1，短軸長為2b=2√∑;

42

(U)設(shè)存在過點(diǎn)(0,3)的直線[滿足題意，當(dāng)直線/斜率Ar存在時(shí)，則直線，的方程為y=依+3,

設(shè)直線1與橢圓C交于4(%1/1)、B(X2，丫2)，

y=kx+3

由/y2消去y,整理得(2/+1)/+12/^+14=0,

(τ+τ=1

則ZI=144∕C2-4×14(2∕c2+1)>0,解得k<一曰或k>y>

由根與系數(shù)的關(guān)系知，χ1+χ2=XlX2=/?;

所以乃+)z2=k(X[+X2)+6=—?+6=2//所以4B的中點(diǎn)為M(XO,y°),

IjJlIX-Ξl±≡2-__V_紅藝

則&_2-2必+1'犯一2一2必+1'

所以AB的中垂線為y-急?=-∕(x+∕1),由題意點(diǎn)P(LO)在AB的中垂線上，

所以一急=—―島’所以2^+3k+l=0,解得k=T或"=一1,由k<一篁k>爭

所以無符合條件的k值；

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí),直線/的方程為X=0,與橢圓交點(diǎn)為4(0,&)，β(0,-√2).

由P(L0)，貝IJlPal=?PB?=√3,△PaB是以P為頂點(diǎn)的等腰三角形；

綜上，存在直線，為x=0,使得APHB是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形.

【解析】(I)根據(jù)橢圓過點(diǎn)(2,0)求出α,再根據(jù)離心率求出C和b,即可求出橢圓C的方程；

(∏)設(shè)存在過點(diǎn)(0,3)的直線，滿足題意，討論直線，斜率k存在時(shí)和直線，的斜率不存在時(shí)，求出滿足

題意的直線方程即可.

本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化思想，是難題.

20.【答案】解：(1)由771=0得/(乃=/一尤，fXx~)=ex-l,

故∕?(0)=l,/'(0)=0,故切線方程為y=l；

(H)由已知得/^'(x)—ex—me~x+(m—1)=一*m<0,

令/'(X)=0得X=0或ln(-τn),

①當(dāng)m=OHt√,(x)=ex-l,則X∈(一8,0)時(shí),[(X)<0,/(尤)單調(diào)遞減,xe(O,+∞)0'f√,(x)>

O,f(%)單調(diào)遞增;

②當(dāng)—1<m<。時(shí)，ln(—τn)<0?%∈(―8,ln(—m))和X∈(0,+8)時(shí)，∕,(χ)>O.f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)Xe(In(-m),0)時(shí),f(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；

③當(dāng)Tn=-I時(shí)，∕^'(x)≥O恒成立，f(X)是增函數(shù)，

④當(dāng)m<-1時(shí)，ln(一τn)>O,x6(—8,0)和Xe(In(—m),+8)時(shí)，f'(x)>O,/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)Xe(O,ln(-Tn))時(shí),f'(x)<O,f(x)單調(diào)遞減;

(Ill)證明：-e≤m<-?1時(shí)，1<—m≤e,可得O<ln(—m)≤1,

由(U)可知,f(x)在(0,ln(-m))遞減,在(In(-m),+8)遞增，

所以f(x)≥/(ln(-m))=eln(-m)+m×e~lnf?~m^+(τn—I)In(—m)

=-Tn—1+(m-1)×?n(-m)≥-m—1+(τn—1)×1=—2>

故對(duì)任意的Xe(O,+8),f(x)≥-2恒成立.

【解析】(I)求出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，即可求得切線方程.

(Il)求得/(x),對(duì)Jn分類討論，由此來確定f'(x)的符號(hào)，求得f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(IIl)結(jié)合(2)求得f(x)在區(qū)間(0,+8)上的最小值，證明最小值大于等于-2,即可證得結(jié)論.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，證明不等式恒成立問題的解

題思路，屬于較難的題目.

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21.【答案】解：(I)若的=2,由