數(shù)值分析教教案9

牛頓-柯特斯求積公式的誤差估計(jì)1.牛頓-柯特斯求積公式的截?cái)嗾`差牛頓-柯特斯公式是一個(gè)插值型數(shù)值求積公式，當(dāng)用插值多項(xiàng)式代替進(jìn)行積分時(shí)，其截?cái)嗾`差，即積分真值和近似值之差可推導(dǎo)如下。由插值多項(xiàng)的誤差估計(jì)可知，用次Lagrange多項(xiàng)式逼近函數(shù)時(shí)產(chǎn)生誤差為：其中。。對(duì)上式兩邊從到作定積分，便可得出它的截?cái)嗾`差：〔2-12〕2.數(shù)值求積公式的代數(shù)精度由式〔2-12〕可知，截?cái)嗾`差與被積函數(shù)、積分限密切相關(guān)，如果被積函數(shù)是一個(gè)次多項(xiàng)式，由于，那么，就會(huì)使。所以，被積函數(shù)為高次多項(xiàng)式時(shí)，能使求積公式〔2-11〕成為精確的等式，便成為衡量數(shù)值求積公式精確程度的一個(gè)指標(biāo)。據(jù)此，提出數(shù)值求積公式代數(shù)精度這一概念。如果被積函數(shù)為任意一個(gè)次數(shù)不高于次的多項(xiàng)式時(shí)，數(shù)值求積公式一般形式的截?cái)嗾`差；而當(dāng)它是次多項(xiàng)式時(shí)，，那么說明數(shù)值求積公式具有次代數(shù)精度。一個(gè)數(shù)值求積公式的代數(shù)精度越高，表示用它求數(shù)值積分時(shí)所需逼近被積函數(shù)的多項(xiàng)式次數(shù)越高。3牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度等于如果被積函數(shù)是一個(gè)不大于次的多項(xiàng)式，那么，即；而當(dāng)是任意一個(gè)次多項(xiàng)式時(shí)，，故。所以，按照代數(shù)精度的定義可知，一般情況下，牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度等于；但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，其代數(shù)精度為。下面對(duì)此加以證明。定理2當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為。證明當(dāng)為次多項(xiàng)式時(shí)，〔〕牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度至少等于。假設(shè)設(shè)是一個(gè)次多項(xiàng)式，這時(shí)為一常數(shù)，而：因此，只要證明在為偶數(shù)時(shí)，，上述定理2就得證。為此，設(shè)，令于是：由于為偶數(shù)，不妨設(shè)，為正整數(shù)，那么。于是：再引進(jìn)變換，那么，，代入上式右側(cè)，得出：最后的積分中被積函數(shù)是奇函數(shù)，所以積分結(jié)果等于零，定理2得證。2.3幾個(gè)低次牛頓-柯特斯求積公式從上面的討論可知，用多項(xiàng)式近似代替被積函數(shù)進(jìn)行數(shù)值積分時(shí)，雖然最高次數(shù)可是8，但是8次多項(xiàng)式的計(jì)算是非常繁雜的，一般常用的是下邊介紹的低次多項(xiàng)式。.矩形求積公式在牛頓-柯特斯求積公式中，如果取，用零次多項(xiàng)式〔即常數(shù)〕代替被積函數(shù)，即用矩形面積代替曲邊梯形的面積，那么有：=(2-13)根據(jù)牛頓-柯特斯求積公式的誤差理論式(2-12)，矩形求積公式的誤差估計(jì)為：梯形求積公式在牛頓-柯特斯求積公式中，如果取，用一次多項(xiàng)式代替被積函數(shù)，即用梯形面積代替曲邊梯形的面積，那么有：=其中，，查表可得，代入上式得出=(2-14)由于用一次多項(xiàng)式近似代替被積函數(shù)，所以它的精度是1，也就是說，只有當(dāng)被積函數(shù)是一次多項(xiàng)式時(shí)，梯形求積公式才是準(zhǔn)確的。根據(jù)牛頓-柯特斯求積公式的誤差理論式(2-12)，梯形求積公式的誤差估計(jì)為(2-15)是被積函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的取值，。拋物線求積公式1.拋物線求積公式的推導(dǎo)在牛頓-柯特斯求積公式中，如果取，用二次多項(xiàng)式代替被積函數(shù)，即曲邊用拋物線代替，那么有：=其中，查表可得，代入上式得出：=(2-16)這就是拋物線求積公式。它的幾何意義是：用過三個(gè)點(diǎn),的拋物線和構(gòu)成的曲邊梯形面積，近似地代替了被積函數(shù)形成的曲邊和構(gòu)成的曲線梯形面積。2.拋物線求積分公式的誤差下面對(duì)拋物線求積公式誤差進(jìn)行估計(jì)。由于拋物線求積公式是用二次多項(xiàng)式逼近被積函數(shù)推得的，原那么上它的代數(shù)精度為2。但因多項(xiàng)式次數(shù)是偶數(shù)，據(jù)前面的定理知道，它的代數(shù)精度為3。過和三點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)的三次Lagrange插值多項(xiàng)式，且使。根據(jù)埃爾米特插值余項(xiàng)定理得：。對(duì)上式兩邊從到進(jìn)行定積分，即可得到：(2-17)根據(jù)定積分中值定理可知，在上總有一點(diǎn)滿足下述關(guān)系：通過變量代換，很容易求得：把這個(gè)結(jié)果代入式(2-17)，便得出拋物線求積公式的誤差估計(jì)式：(2-18)數(shù)值積分實(shí)例【例2-1】試檢驗(yàn)以下求積公式的代數(shù)精度。解記因?yàn)楫?dāng)時(shí)左右兩端不等，故所給求積公式僅有三階精度?！纠?-2】試構(gòu)造以下求積公式，使其代數(shù)精度盡量地高，并證明所造出的求積公式是插值型的：解令原式對(duì)于準(zhǔn)確，可列出方程解之得這樣構(gòu)造出的求積公式是注意到節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)直接計(jì)算知故所構(gòu)造出的求積公式是插值型。【例2-3】判別以下求積公式是否是插值型的，并指明其代數(shù)精度：解這里關(guān)于拉格朗日插值基函數(shù)直接求積知,因此所給求積公式是插值型的。按定理1，含有2個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式至少有1階精度。再考察，原式左端，而右端，左右兩端不相等。因此所給求積公式僅有1階精度?！纠?-4】構(gòu)造以下形式的插值型求積公式，并指明該求積公式所具有的代數(shù)精度：解按題設(shè)原式是插值型的，故有考慮到對(duì)稱性，顯然有，于是有求積公式由于原式含有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，按定理1它至少有2階精度。考慮到其對(duì)稱性，可以猜到它可能有3階精度。事實(shí)上，對(duì)于原式左右兩端相等。此外，容易驗(yàn)證原式對(duì)不準(zhǔn)確，故所構(gòu)造的求積公式確實(shí)有3階精度。值得指出的