中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)十項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)（師生版）

專題復(fù)習(xí)（一）數(shù)學(xué)思想方法

類型1整體思想

解題策略：整體思想是一種解題思想，它主要滲透在解題步驟當(dāng)中.常見的有：

1?求代數(shù)式的值時(shí)，不是求出代數(shù)式中每個(gè)字母的值，而是求代數(shù)式中整體某一個(gè)部分的值.

2?求零散圖形的面積時(shí)，利用它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或全等變換進(jìn)行整體求出.

這種思想可以應(yīng)用到各種類型的題之中.

（2022?北京）如果a2+2af=0，那么代數(shù)式（a-54士a2的值是（C）

daz

4?一3B.-1C.1D.3

【思路點(diǎn)撥】先化簡所求代數(shù)式，然后把方程變形成a2+2a=l，利用整體代入的方法求代數(shù)式的值.

針對(duì)訓(xùn)練

x+y=3，fx=a‘

1?（2022?舟山）若二元一次方程組的解為V則a-b=（D）

3x-5y=41y=b，

17

Λ?1B.3C--4a4

2,（2022?煙臺(tái)）若Xi，X2是方程X2—2mx+m2-m—1=O的兩個(gè)根，且xι+x2=l-xιx∑，則m的值為（D）

A?一l或2B.1或一2C?-2D.1

3-（2022?襄陽）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦

圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角

邊長為b，若（a+b>=21,大正方形的面積為13,則小正方形的面積為（C）

A-3B-4C?5D-6

4?（2021.荷澤）如圖，ZXOAC和ABAD都是等腰直角三角形，ZACO=ZADB=90o，反比例函數(shù)y=（在第一象

限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則AOAC與ABAD的面積之差SAOAC-SABAD為（D）

A-36B-12C-6D-3

提示：設(shè)B(a>b)，則有ab=6，.*.SΔOAC-SΔBAD=?>C2-∣BD2=∣(0C+BD)(OC-BD)=?OC+BD)(AC-AD)

=Jab=；X6=3.故選D.

5?（2021?河北）若mn=m+3，則2mn+3m-5nm+Io=L

6?（2022?連云港）設(shè)函數(shù)y=（與y=-2χ-6的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b）,則：+看的值是二2?類型2分類思想

解題策略：分類討論思想常見的六種類型：

1?方程：若含有字母系數(shù)的方程有實(shí)數(shù)根，要考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否等于0，進(jìn)行分類討論.

2?等腰三角形：如果等腰三南形給出兩條邊求第三條邊或給出一角求另外兩角時(shí)，要考慮所給的邊是腰還是

底邊，所給出的角是頂角還是底角進(jìn)行分類解決.

3?直角三角形：在直角三角形中給出兩邊的長度，確定第三邊時(shí)，若沒有指明直角邊和斜邊，要注意分情況

進(jìn)行討論（分類討論），然后利用勾股定理即可求解.

4?相似三角形：若題目中出現(xiàn)兩個(gè)三角形相似，則需要討論各邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系；若出現(xiàn)位似，則考慮兩個(gè)圖形

在位似中心的同旁或兩旁兩種情況討論.

5?一次函數(shù)：已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，求k的值，常分直線交坐標(biāo)軸于正半軸和負(fù)半軸

兩種情況討論；確定反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，常分第一、三象限或第二、四象限兩種情況討論.

6?圓：圓的一條弦（直徑除外）對(duì)兩條弧，常分優(yōu)弧和劣弧兩種情況討論：求圓中兩條平行弦的距離，常分兩弦

在圓心的同旁和兩旁兩種情況討論.

N例2（2022?孝感）已知半徑為2的。O中，弦AC=2，弦AD=2√2，則NCC）D的度數(shù)為30°或150°.

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理的逆定理分別求出/OAC和/OAD的度數(shù)，再根

據(jù)點(diǎn)D位置的不確定性進(jìn)行分類討論，求出NCOD的度數(shù).

針對(duì)訓(xùn)練

1?（2022?濟(jì)寧）如圖，A，B是半徑為1的。O上兩點(diǎn)，且OALOA點(diǎn)P從A出發(fā)，在。O上以每秒1個(gè)單位長度

的速度勻速運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)結(jié)束.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X，弦BP的長度為y，那么下面圖象中可能表示y與X的函

數(shù)關(guān)系的是（Z））

2,（2022?濱州）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線AB垂直于X軸于點(diǎn)C（點(diǎn)C在原點(diǎn)的右側(cè)），并分別與直線y=x和雙曲

線y=（相交于點(diǎn)A，B，且AC+BC=4，則AOAB的面積為（A）

A?2√5+3或2小一3B.√2+l^√2-lC-2√3~3D.√2-l

3?（2022?濰坊）點(diǎn)A，C為半徑是3的圓周上兩點(diǎn)，點(diǎn)B為G的中點(diǎn)，以線段BA，BC為鄰邊作菱形ABCD＞頂點(diǎn)

D恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上，則該菱形的邊長為（Q）

A小或2小A小或2小C.#或2巾D#或2小

4?（2022?鶴崗）Z?ABC中，AB=12，AC=√39，ZB=30o，則AABC的面積是21、4或15、石.

512

5?（2022?隨州）在AABC中，AB=6，AC=5，點(diǎn)D在邊AB上，且AD=2，點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE=§軻=時(shí)，

以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似.

6?（2022.蘭州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xθy中，°ABCO的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（3，0），B（0，2），動(dòng)點(diǎn)P在

3

直線y=^x上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心，PB長為半徑的。P隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。P與口ABCo的邊相切時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為

（O,0）或（?,D或（3—仍,9一產(chǎn)）.

類型3化歸思想

解題策略：化歸的思想是指在解決問題的過程中，對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，將“陌生”

轉(zhuǎn)化為“熟悉”，將“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”的解題方法.

化歸思想常見的六種類型：

1?在解方程和方程組中的應(yīng)用：通過消元將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程；通過降次把一元二次方程

轉(zhuǎn)化為一元一次方程；通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.

2?多邊形化為三角形：解決平行四邊形、正多邊形的問題通過添加輔助線轉(zhuǎn)化為全等三角形、等腰三角形、

直角三角形去解決.

3?立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形：立體圖形的展開與折疊、立體圖形的三視圖體現(xiàn)了立體圖形與平面圖形之間的

相互轉(zhuǎn)化.

4?一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形：通過作已知三角形的高，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題.

5?化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形：根據(jù)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等方法將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則

圖形（如三角形、矩形、扇形等）面積的和或差進(jìn)行求解.

6?轉(zhuǎn)化和化歸在圓中的應(yīng)用：圓中圓心角與圓周角、等弧與等弦、等弧與等弧所對(duì)的圓周角都是可以相互轉(zhuǎn)

化的.

例3（2022.貴港）如圖，在扇形OAB中，C是OA的中點(diǎn)，CD，OA，CD與晶交于點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，

X,.._41~

OC的長為半徑作CE交OB于點(diǎn)E，若OA=4，/AoB=I20°，則圖中陰影部分的面積為?e+2√5.（結(jié)果保留〃）

【思路點(diǎn)撥】連接0D，根據(jù)點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)可得∕CDO=30°，繼而可得∕DOC=60°，求出扇形AOD

的面積，最后用Sjw=S用砌AOB—S用陽COE—（S而戲AoD—SAeOD）即可求出陰影部分的面積.

針對(duì)訓(xùn)練

1?（2022山西）如圖是某商品標(biāo)志的圖案，AC與BD是。O的兩條直徑，首尾順次連接點(diǎn)A，B，C，D，得到四邊

形ABCD.若AC=IOCm>∕BAC=36°，則圖中陰影部分的面積為（8）

A?5不c∕n23*B.10π

第1題圖第2題圖

2?（2022?福建）兩個(gè)完全相同的正五邊形都有一邊在直線1上，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，其擺放方式如圖所示，則/AOB

等于108度.

3?（2022?赤峰）王浩同學(xué)用木板制作一個(gè)帶有卡槽的三角形手機(jī)架，如圖所示.已知AC=20cm，BC=18cm，Z

ACB=50o，王浩的手機(jī)長度為17cm>寬為8cm，王浩同學(xué)能否將手機(jī)放入卡槽AB內(nèi)？請(qǐng)說明你的理由.（參考

數(shù)據(jù)：sin50o心0.8，CoS50°心0.6，S“50°s≈=1.2）

解：王浩同學(xué)能將手機(jī)放入卡槽AB內(nèi).

理由：如圖，作ADlBC于點(diǎn)D，

VZC=50°-AC=20cw-

，AD=ACs加50°=20X0.8=16(CTn)，

CD=AC?cos50°=20X0.6=12(?！?.

?.?BC=18α*，.?.DB=BC—CD=18—12=6(C7").

Z.AB=√AD2+BD2=√162+62=√292.

V17=√289<√292>

.?.王浩同學(xué)能將手機(jī)放入卡槽AB內(nèi).

類型4數(shù)形結(jié)合思想

解題策略：數(shù)形結(jié)合思想常見的四種類型：

1?實(shí)數(shù)與數(shù)軸：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此借助數(shù)軸觀察數(shù)的特點(diǎn)，直觀明了.

2?在解方程（組）或不等式（組）中的應(yīng)用：利用函數(shù)圖象解決方程問題時(shí)，常把方程根的問題看作兩個(gè)函數(shù)圖象

的交點(diǎn)問題來解決；利用數(shù)軸或函數(shù)圖象解有關(guān)不等式（組）的問題更直觀、形象，易于找出不等式（組）解的公共部分

或判斷不等式組有無公共解.

3?在函數(shù)中的應(yīng)用：借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法，函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)

合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法.

4?在幾何中的應(yīng)用：對(duì)于幾何問題，我們常通過圖形找出邊、角的數(shù)量關(guān)系，通過邊、角的數(shù)量關(guān)系，得出

圖形的性質(zhì)等.

圜例4（2022?十堰）如圖，直線y=√3χ-6分別交X軸，y軸于A，B，M是反比例函數(shù)y=,（x>0）的圖象

上位于直線上方的一點(diǎn)，MC∕∕×軸交AB于C，MDlMC交AB于D，AC?BD=4√3，則k的值為（A）

A,—3B.-4C.—5D.-6

【思路點(diǎn)撥】分別過點(diǎn)C，D作CE_Lx軸于點(diǎn)E，DF_Ly軸于點(diǎn)F.由已知條件可求出點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)，再

OA

由柩〃NoBA=KQ即可求出Ne）BA的度數(shù).設(shè)M（X，y），在心ZiBDF和即ACEA中，分別用含X，y的代數(shù)式表

UD

示出BD，CA的長，再由ACBD=4√3，可求出xy的值，則k值即可求出.

針對(duì)訓(xùn)練

1?（2022.孝感）如圖，在AABC中，點(diǎn)O是AABC的內(nèi)心，連接OB，OC，過點(diǎn)O作EF〃BC分別交AB，AC于

點(diǎn)E，F(xiàn)，已知aABC的周長為8，BC=x>?AEF的周長為y，則表示y與X的函數(shù)圖象大致是（B）

2.（2022?白銀）如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P以每秒2cm的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB-BC的路徑

運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止.過點(diǎn)P作PQ〃BD，PQ與邊AD（或邊CD）交于點(diǎn)Q，PQ的長度y（αw）與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（秒）

的函數(shù)圖象如圖2所示.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2.5秒時(shí)，PQ的長是（B）

A-2y∣2cmB.3√2cmC?4??∣2cmD.5y∣2cm

3?（2022?河北）在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)A，B，C，其中AB=2>BC=1，如圖所示.設(shè)點(diǎn)A，B，C所

對(duì)應(yīng)數(shù)的和是p.

2

AB

(1)若以B為原點(diǎn)，寫出點(diǎn)A，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)，并計(jì)算P的值；若以C為原點(diǎn)，P又是多少？

(2)若原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊，且CO=28，求p.

解：(1)以B為原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為一2，1，

p=-2÷0÷1=-1；

以C為原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為一3，一1，

p=0÷(-1)+(—3)=-4.

(2)p=(-28-1-2)+(-28-1)+(-28)=-88.

類型5方程、函數(shù)思想

解題策略：方程與函數(shù)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想：

(1)在某些圖形的折疊問題中，求線段長時(shí)，通常利用勾股定理建立方程模型來解決問題；

(2)在運(yùn)動(dòng)中求最大值或最小值時(shí)，通?？梢钥紤]將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值討論問題，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)

或函數(shù)取值范圍解決.

H例5(2022?宿遷)如圖，?Λr?ABC中，ZC=90o，AC=6cm，BC=2C幾點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向

點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在邊CB上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)，若點(diǎn)P，Q均以1Cmk的速度同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)

時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，連接PQ，則線段PQ的最小值是(C)

Λ―APC

A?20cmB-?ScmC?2y∣5cmD?3y∣2cm

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度用含t的式子表示出PC，CQ的長度，進(jìn)而用勾股定理

表示出PQ2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)在0WtW2的范圍內(nèi)求出PQ2的最小值，則PQ的最小值即可求出.

針對(duì)訓(xùn)練

1,(2022.衢州)如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6，將aABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE交AD

于點(diǎn)F>則DF的長等于(8)

2，(2022?泰安)如圖，在aABC中，ZC=90o>AB=IOczn>BC=8α〃，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C以1CmiS的速

度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B以2CMS的速度運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止)，在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形PABQ

的面積最小值為(C)

A-19cm2B.16cm2C?15cm1D.12cm2

專題復(fù)習(xí)(二)規(guī)律與猜想

類型1數(shù)式的變化規(guī)律

解題策略：1.找出等式中“變”與“不變”的部分.

2?分析出“變”的規(guī)律.

3?常用數(shù)字規(guī)律有：(1)正整數(shù)列規(guī)律：1，2，3，n;⑵奇(偶)數(shù)列規(guī)律：1,3,5,???,2n—1(2,4,6,???,

2n);(3)2，4，8，16，…，2?(4)3，9，27，81，…，3n:(5)正整數(shù)和：1+2+3+…+n=0°ζH)?；(6)正奇數(shù)

和：1+3+5H------F2n—1=n2;(7)正偶數(shù)和：2÷4÷6H------l^2n=n(n+l).

WJl(2022?黃石)觀察下列各式:

------——1——

1X22

1I__,_1,1_1_2

1×2+2×3-12+23-3

?÷?÷?

請(qǐng)按上述規(guī)律，寫出第n個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果(n為正整數(shù)H二擊.(寫出最簡計(jì)算結(jié)果即可)

【思路點(diǎn)撥】觀察式子，可發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)可兩兩相消，用n表示其一般規(guī)律即可得到答案.

針對(duì)訓(xùn)練

1?(2022?岳陽)觀察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，則2'+22+23

+24+…+2267的末尾數(shù)字是(B)

A-0B.2C.4D.6

2?(2022?日照)觀察下面“品”字形中各數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出a的值為(B)

j?rmj?r.KL

I21JII4IJJI8113JI*μ

A.23B.75C.77D.139

3Y2022?武漢)按照一定規(guī)律排列的n個(gè)數(shù)：一2，4，一8，16，-32，64，…，若最后三個(gè)數(shù)的和為768，則n為

(B)

A-9B.10C.IID.12

35791117

,

4.(2022?郴州)已知aι=-2a????，a3=一而，a4=y^，a5=-,…，則a8=^?

5?(2021?恩施)觀察下列等式：

1+2+3+4+???+n=^∩(n+1)；

1+3+6+10+…+∣n(n+1)=∣n(n+1)(n+2)；

1+4+10+20+…+/(n+l)(n+2)=五n(n+l)(n+2)(n+3);

則有：1+5+15+35H-----l-?n(n+l)(n+2)(n+3)=吉n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4).

6?(2021.黃石)觀察下列等式：

第1個(gè)等式：al=7?=/τ'

第2個(gè)等式：；小=小一小,

第3個(gè)等式：a3=J^=2一小，

第4個(gè)等式：如=2，巾=小-2，…

按上述規(guī)律，回答以下問題：

(1)第口個(gè)等式：an=5+金再=g∏-F；

(2)a∣+a2+a3+…+an=^?∕n+^i-1.

7?(2021?南寧)觀察下列等式：

第一層1+2=3

第二層4+5+6=7+8

第三層9+10+11+12=13+14+15

第四層16+17+18+19+20=21+22+23+24

在上述的數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，2016在第些層.

8?(2022?內(nèi)江)觀察下列等式：

①_2_11

①山=∣+3×2+2×22=2+l-22+Γ

⑨=_________2：_________11

ua2-l+3×22+2×(22)2-22+l-^23+r

C=________2^__________11

3-4

C?a3≈1+3χ23+2χ(23)2^2+∣2+Γ

/=________2j_________11

0a4-∣+3×24+2×(24)2-24+l25+l'

按上述規(guī)律，回答下列問題：

2611

(1)請(qǐng)寫出第六個(gè)等式：a?=ι+3X26豆X(26)停26不1二百T

2n_______i1

（2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式a』-S乂

1"t-J入ZII-t-N入⑵)2=2'，+1二2皿+1；

（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=石；（得出最簡結(jié)果）

（4）計(jì)算：aι÷a2÷???÷an=?-^π÷7∣?.

類型2圖形的變化規(guī)律

解題策略：（1）標(biāo)序號(hào)：記每組圖形的序號(hào)為“1，2，3，…，n”；⑵數(shù)圖形的個(gè)數(shù)：在圖形數(shù)量變化時(shí)，要記

出每組圖形表示的個(gè)數(shù)；（3）尋找圖形數(shù)量與序號(hào)數(shù)n的關(guān)系：針對(duì)尋找第n個(gè)圖形表示的數(shù)量時(shí)，先將后一個(gè)圖形

的個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，通常作差（商）來觀察是否有恒定量的變化，然后按照定量變化推導(dǎo)出第n個(gè)

圖形的個(gè)數(shù)；（4）驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確.（注：當(dāng)圖形變化規(guī)律不明顯時(shí)，可把序號(hào)數(shù)n作為

自變量，把第n個(gè)圖形的個(gè)數(shù)看作是函數(shù)值，設(shè)函數(shù)解析式為y=an2+bn+c＞再代入三組值進(jìn)行計(jì)算即可，若a

=0，則是一次函數(shù)）

N例2（2022?臨沂）將一些相同的按如圖所示擺放，觀察每個(gè)圖形中的的個(gè)數(shù)，若第n個(gè)圖形

中的個(gè)數(shù)是78，則n的值是（3）

o

OOO

OoOOOO

OOOOOOOOOO

第1圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

A.11B.12C.13D.14

【思路點(diǎn)撥】第1個(gè)圖形有1個(gè)小圓；

第2個(gè)圖形有1+2=3個(gè)小圓；

第3個(gè)圖形有1+2+3=6個(gè)小圓；

第4個(gè)圖形有1+2+3+4=10個(gè)小圓；

第n個(gè)圖形有l(wèi)+2+3+i+n=5個(gè)小圓：

小圓個(gè)數(shù)為78時(shí)，可求出n的值.

針對(duì)訓(xùn)練

1?（2021?荊州）如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案，若第n個(gè)圖案

中有2017個(gè)白色紙片,則n的值為（8）

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案

A-671B.672C-673D.674

2?（2022.重慶改編）下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，

第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第n個(gè)圖形中菱形的個(gè)

數(shù)為91，則n的值為（B）

o

圖1圖2圖3圖4

A.8B.9C.10D.11

3?（2022?隨州）在公園內(nèi)，牡丹按正方形種植，在它的周圍種植芍藥，下圖反映了牡丹的列數(shù)（n）和芍藥的數(shù)量規(guī)律，

那么當(dāng)n=ll時(shí)，芍藥的數(shù)量為（B）

fTTTTfTTT

fTTTTVT年簾3審BY

TfTTT午留9”*￥

T99fττ

午夕午TTτ99審千T￥

十中9TTT午安中審簾午

TTTTTτ999午f￥

TVTTTfV午審中審3午

++干+午￥+干+

A.84株B.88株C?92株D.121株

4?（2022?白銀）下列圖形都是由完全相同的小梯形按一定規(guī)律組成的.如果第1個(gè)圖形的周長為5，那么第2個(gè)圖形

的周長為9，第2017個(gè)圖形的周長為8069.

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形

5.（2022天水）觀察下列的“蜂窩圖”：

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

則第n個(gè)圖案中的”的個(gè)數(shù)是魚土L（用含n的代數(shù)式表示）

6?（2022?濟(jì)寧）如圖，正六邊形A∣B1C∣D∣ElF∣的邊長為1＞它的六條對(duì)角線又圍成一個(gè)正六邊形A2B2C2D2E2F2，如

此繼續(xù)下去，則正六邊形A4B4C4D4E4F4的面積是球.

Ie

7?（2022?威海）某廣場用同一種如圖所示的地磚拼圖案，第一次拼成形如圖1所示的圖案，第二次拼成形如圖2所

示的圖案，第三次拼成形如圖3所示的圖案，第四次拼成形如圖4所示的圖案，…按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第n

次拼成的圖案共有地磚（2∏2+2n）塊.

□

地磚圖案

類型3坐標(biāo)的變化規(guī)律

解題策略：坐標(biāo)的變化規(guī)律探究是數(shù)的探究和圖形的探究的綜合.因?yàn)辄c(diǎn)附在圖形上，圖形在做有規(guī)律的變換

導(dǎo)致圖形的點(diǎn)在做有規(guī)律的變換，所以，在探究時(shí)，先分析圖形的變換規(guī)律，根據(jù)圖形的變換規(guī)律求出前面幾個(gè)點(diǎn)

的坐標(biāo)，然后利用分析數(shù)的變換規(guī)律的方法分析出一般的規(guī)律，再按照一般的規(guī)律寫出任何一個(gè)要求的點(diǎn)的坐標(biāo).

（2022?內(nèi)江）如圖，過點(diǎn)A（2，0）作直線1：y=坐X的垂線，垂足為點(diǎn)A∣`過點(diǎn)A,作A∣A±1軸，

M例3o2

1

垂足為點(diǎn)A2>過點(diǎn)A2作A2A3±1>垂足為A3，…，這樣依次下去，得到一組線段AoAi，AiA2A2A3.........則線段

A20∣6A2017的長為（8）

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件求出A0Al`A1A2，A2A3的線段長，最后分析三條線段的長度，結(jié)合計(jì)算的過

程探究其一般規(guī)律，最后將n值代入即可.

解析：?'k=^^,/.×A∣OAo=30°AoAι=2×?=1；A∣A2=1；A2A3=^^…；以此類

推>An-IAn=（坐）nr.?.A20I6A2017=（點(diǎn)）2016.

針對(duì)訓(xùn)練

1Y2021?岳陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)最小方格的邊長均為1個(gè)單位長度，Pl，P2，P3，…均在格點(diǎn)上，

其順序按圖中"f"方向排列，如：Pi（0，0），P2（0'1），P3（l，1），P4（l，-1），P5（-l--1）'P6（T，2），…，根

據(jù)這個(gè)規(guī)律，點(diǎn)P,o∣6的坐標(biāo)為（504，—504）.

2?（2022?衡陽）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1>A3B3C3C2，…按如圖的方式放置，點(diǎn)A∣，A2，A3，…和點(diǎn)Ci-C2'

C3，…分別在直線y=x+l和X軸上，則點(diǎn)B?o∣8的縱坐標(biāo)是三上組.

3?（2022?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OA∣A2的直角邊OAl在y軸的正半軸上，且OAl

=A∣A2=1，以O(shè)Az為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形OA2A3以O(shè)A3為直角邊作第三個(gè)等腰直角三角形OA3A4-，

依此規(guī)律，得到等腰直角三角形OA20∣7A20∣8，則A20I7的坐標(biāo)為（0，腰一0°8）.

4（2022?東營）如圖在平面直角坐標(biāo)系中直線Ly=坐x—坐與X軸交于點(diǎn)Bi，以O(shè)Bl為邊長作等邊三角形AQBI，

過點(diǎn)A1作A∣B2平行于X軸，交直線1于點(diǎn)B2，以A∣B2為邊長作等邊三角形A2A1B2，過點(diǎn)Az作A2B3平行于X軸，

92017—1

交直線1于點(diǎn)B3，以A2B3為邊長作等邊三角形AAB，…，則點(diǎn)A2OI7的橫坐標(biāo)是?-------

3232

5?（2022?聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線1的函數(shù)表達(dá)式為y=x，點(diǎn)O∣的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)∣為圓心，OQ

為半徑畫圓，交直線1于點(diǎn)P，交X軸正半軸于點(diǎn)02；以02為圓心，02。為半徑畫圓，交直線1于點(diǎn)P2，交X軸

正半軸于點(diǎn)03；…按此做法進(jìn)行下去，其中P2Ol7O2Ol8的長為22015-

A

專題復(fù)習(xí)（三）閱讀理解題

類型1新定義、新概念類型

解題策略：新定義、新概念的閱讀理解題，解題的關(guān)鍵是閱讀、理解定義的外延與內(nèi)涵，即關(guān)于定義成立的條

件和運(yùn)算的新規(guī)則.將一個(gè)新問題按照既定的規(guī)則把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)舊問題.通俗地講就是“照葫蘆畫瓢”.

Ir例1

圖象如圖所示，則方程[x]=%2的解為（A）

-2-1

A?0Wt√23?0或2C?1或一√5D.巾或-Ji

【思路點(diǎn)撥】方程[X]=1x2的解也就是函數(shù)y=[χ]和y=^χ2的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).在函數(shù)丫=因的圖象上

畫出函數(shù)y=%2的圖象，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.

針對(duì)訓(xùn)練

1?（2021?梅州）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算"?"為：a?b="，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算，例如：1@3=號(hào)3

12

=一&.則方程X?（-2）=^--1的解是（B）

oX—4

A.x=4B.x=5C?x=6D.x=7

2?（2021?常德）平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)M（a，b），N（c-d），規(guī)定（a，b）?（c，d）=（a+c，b+d），則稱點(diǎn)Q（a+c-b

+d）為M，N的“和點(diǎn)”.若以坐標(biāo)原點(diǎn)O與任意兩點(diǎn)及它們的“和點(diǎn)”為頂點(diǎn)能構(gòu)成四邊形，則稱這個(gè)四邊形為

”和點(diǎn)四邊形”.現(xiàn)有點(diǎn)A（2，5），B（—1，3），若以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是“和點(diǎn)四邊形”，則點(diǎn)C

的坐標(biāo)是（1，8）.

3?（2022?成都）在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)P（x-y），我們把點(diǎn)P,（∣，$稱為點(diǎn)P的“倒

k

影點(diǎn)”.直線y--χ+l上有兩點(diǎn)A，B，它們的倒影Af-B,均在反比例函數(shù)y=R的圖象上，若AB-2√2，則k

提示：設(shè)點(diǎn)A（a，-a+l），B（b，-b+l）（a<b），則AW，?），B'（（，-?）'由AB=2√^可得出b=a+2，

再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于k，a，b的方程組，解之即可得出k值.

4?（2022?臨沂）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），向量OPuj以用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示為OP=（m，n）.

已知：OA=（XI，y∣），OB=（x2，y2）,如果Xi?X2÷y1,y2=0'那么OA與OB互相垂直.

下列四組向量：

ΦOA=（2，1），δb=（-l>2）；

②6fe=（cos30°`tanA5°）>5F=（1，s%60°）；

（3）OG=（√3-√2，-2），OH=（√3+√2，1）；

@OM=（乃。，2），ON=（2，-1）.

其中互相垂直的是①

5?（2022?郴州）設(shè)a，b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，用mακ{a，b}表示a，b兩數(shù)中較大者，例如：max{-1?-1}=-1?max{1?

2）=2，mcιx[4?3）=4.

參照上面的材料，解答下列問題：

{?）max{5?2}=5，mcιx[Q,3）=3；

（2）AH∕ZΛT{3X÷1?-x÷l}=-x÷l，求X的取值范圍；

（3）求函數(shù)y=χ2-2x—4與y=-x+2和圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).函數(shù)y=x2-2χ-4的圖象如圖所示，請(qǐng)你在圖中作

出函數(shù)y=—x+2的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出max{^x+2，x?—2x—4}的最小值.

解：（2）由題意,得

3x÷l≤-x÷l?Λx≤O.

fy=-x+2，IXl=-2，∣X2=3，

（3）由題意，得V2C）解得

Iy=X2—2x—4，[yι=4；[y2=~∣.

J交點(diǎn)坐標(biāo)為（一2，4）和（3，-1）.作出y=-χ+2的圖象.

由圖象可知：當(dāng)x=3時(shí),max{-χ+2，x?—2x-4}有最小值一1.

6?（2022?棗莊）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=PXq（P，q是正整數(shù)，且PWq），在n的所

有這種分解中，如果P，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱P×q是n的最佳分解.并規(guī)定：F（n）=：.

3

例如12可以分解成1X12，2X6或3X4，因?yàn)?2—1>6—2>4—3，所以3X4是12的最佳分解，所以F（12）=[

（1）如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù).求證：對(duì)任意一個(gè)完全平

方數(shù)m>總有F（m）=l;

⑵如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t=10x+y（l≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新

數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；

（3）在（2）所得“吉祥數(shù)”中，求F（t）的最大值.

解：（1）證明：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，設(shè)m=M（n為正整數(shù)），

V|n—n∣=0，，nXn是m的最佳分解.

，對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F（m）=g=l.

(2)設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為f，則r=10y+x，

Yt是“吉祥數(shù)”，

.?.t'—t=(10y÷x)-(10x÷y)=9(y-x)=36.

Λy-x=4，即y=x÷4.

,.,1≤x≤y≤9，X，y為自然數(shù),

,滿足“吉祥數(shù)”的有：15，26，37，48，59.

321631

(3)F(15)=m，F(xiàn)(26)=F，F(xiàn)(37)=為，F(xiàn)(48)=g=4，F(xiàn)(59)=^，

?.13＞曰3＞2者＞言1＞點(diǎn)1，.?.所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)(t)的最大值就3.類型2學(xué)習(xí)應(yīng)用型

解題策略：學(xué)習(xí)應(yīng)用型閱讀理解題，就是給你一段材料，讓你在理解材料的基礎(chǔ)上，獲得探索解決問題的方法

和知識(shí)，并運(yùn)用這些方法和知識(shí)去解決問題.這類題通常涉及代數(shù)知識(shí)、幾何知識(shí)、函數(shù)與統(tǒng)計(jì)的解題方法和推理

方法，其目的在于考查閱讀理解能力、收集處理信息的能力和運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)I樂問題的能力.解決這類問題的關(guān)鍵

是首先仔細(xì)閱讀材料，從材料中獲取新知識(shí)，并且掌握新知識(shí)的運(yùn)用方法，然后分析要解決的問題，看要解決的問

題中與新知識(shí)有何聯(lián)系，怎樣用材料中例題的方法來解決.

N例2

例如：求點(diǎn)Po(O，0)到直線4x+3y-3=0的距離.

解：由直線4x+3y—3=0知，A=4，B=3，C=—3，

根據(jù)以上材料，解決下列問題:

35

問題1：點(diǎn)P1(3，4)到直線y=一全+拙距離為4；

3

問題2：已知：OC是以點(diǎn)C(2，1)為圓心，1為半徑的圓，。C與直線y=—？+b相切，求實(shí)數(shù)b的值；

問題3：如圖＞設(shè)點(diǎn)P為問題2中。C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A，B為直線3x+4y+5=0上的兩點(diǎn)，且AB=2，請(qǐng)

求出SAABP的最大值和最小值.

3

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)點(diǎn)P到直線Ax+By+C=O的距離公式直接計(jì)算即可；(2)由。C與直線y=-p+b相

3

切，可得圓心C到直線y=-1x+b的距離等于。C的半徑1，再根據(jù)點(diǎn)P到直線Ax+By+C=O的距離公式列式

即可求出b的值；(3)設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，則SAABP=JABh因?yàn)锳B=2，則要求出SAABP的最大值和最小

值，只要求出h的最大值和最小值即可.

?

【自主解答】問題2：:。C與直線y=一水+b相切，

???圓心C到直線y=—3+b的距離等于。C的半徑1，即點(diǎn)C(2，1)到直線y=一水+b的距離為L

3,3

由y=—∕x+b，得甲+y—b=0、即3x+4y-4b=0.

?'?A=3，B=4，C=-4b.

∣2×3+l×4-4b∣απ口5115

-----432+42----=1'即|1°-4b∣=5>解得b=z或b=q-.

問題3：設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，則SAABP=TABh

又：AB=2，.0ABP=h.

∣3×2+4×1+5∣

：點(diǎn)C（2，1）到直線3x+4y+5=0的距離為d=

√32+42

?h的最小值為3—1=2，h的最大值為3+1=4.

二SAABP的最大值為4,最小值為2.

針對(duì)訓(xùn)練

1?（2022?常德）如表是一個(gè)4X4（4行4列共16個(gè)“數(shù)”組成）的奇妙方陣，從這個(gè)方陣中選四個(gè)“數(shù)”，而且這四個(gè)

“數(shù)”中的任何兩個(gè)不在同一行，也不在同一列，有很多選法，把每次選出的四個(gè)“數(shù)”相加.其和各是定值，則

方陣中第三行三列的“數(shù)”是（C）

30y∣42小Si幾60°22

一3-2_-y∣2sin45°0

|-5|6

54√25加

A.5B.6C.7D.8

2?（2022?呼和浩特）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率.隨著時(shí)代發(fā)展，現(xiàn)在人們依據(jù)頻率估計(jì)

概率這一原理，常用隨機(jī)模擬的方法對(duì)圓周率"進(jìn)行估計(jì).用計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生m個(gè)有序?qū)Γ╔，y）（x，y是實(shí)數(shù)，且

OWXW1，OWyWI），它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中全部在某一個(gè)正方形的邊界及其內(nèi)部，如果統(tǒng)計(jì)出這些點(diǎn)中

到原點(diǎn)的距離小于或等于1的點(diǎn)有n個(gè)，那么據(jù)此可估計(jì)“的值為票.（用含m，n的式子表示）

3?（2022?威海）閱讀理解：如圖1，。0與直線a，b都相切.不論。O如何轉(zhuǎn)動(dòng)，直線a，b之間的距離始終保持不

變（等于OO的直徑）.我們把具有這一特性的圖形稱為“等寬曲線”.圖2是利用圓的這一特性的例子.將等直徑

的圓棍放在物體下面，通過圓棍滾動(dòng)，用較小的力就可以推動(dòng)物體前進(jìn).據(jù)說，古埃及就是利用這樣的方法將巨石

推到金字塔頂?shù)?

圖1圖2

拓展應(yīng)用：如圖3所示的弧三角形（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”.如圖4，夾在平行線c，d之間的萊

洛三角形無論怎么滾動(dòng)，平行線間的距離始終不變.若直線C，d之間的距離等于257,則萊洛三角形的周長為2

^cm.

4.（2022?達(dá)州）探究：小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)Pl（X1，yi）Ψ2（x2,

y）