2023年高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案第4章4-5三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

4.5三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【考試要求】

1.能畫出三角函數(shù)的圖象.

2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（小）值.

3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在［0,2π］上，正切函數(shù)在（一去F）上的性質(zhì).

【知識(shí)梳理】

1.用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

⑴在正弦函數(shù)y=sinx,χC［0,2π］的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,（|，1），（π,0）,（當(dāng)，-1）,

（2π,0）.

（2）在余弦函數(shù)y=cosx,χd［0,2π］的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,原，。），（兀，T），（苧。），

（2π,1）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中JtCZ）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanX

Vy

_豆1_jr1π

圖象20回???譽(yù)n學(xué)一2

定義域RR{x∣x≠?π

值域LLIl[-1,11R

周期性2π2ππ

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

Ttπ伍冶,kπ+v

遞增區(qū)間2?π-2?2?π÷2[2?兀-兀,2kπ]

,.π,.3π

遞減區(qū)間2λE+/,λ2kπ+-[2?π,2?π+兀]

「十去0）

口。）

對(duì)稱中心(?π,0)

對(duì)稱軸方程x=kπ+^X=kπ

【常用結(jié)論】

1.對(duì)稱性與周期性

(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是;個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱

中心與對(duì)稱軸之間的距離是1個(gè)周期.

(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.

2.奇偶性

若yU)=Asin(cυx+3)(4,ω≠0),則

(1求力為偶函數(shù)的充要條件是9=^+kπ(k∈Z).

(2)/U)為奇函數(shù)的充要條件是9=E(Z∈Z).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)正切函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù).(X)

⑵已知y=Zsinx+l,x∈R,則y的最大值為k+l.(X)

(3)y=sin園是偶函數(shù).(√)

(4)若非零實(shí)數(shù)T是函數(shù)y(x)的周期，則ZT(Z是非零整數(shù))也是函數(shù)段)的周期.(√)

【教材題改編】

1.若函數(shù)y=2sin2x—1的最小正周期為T,最大值為A,貝∣J()

A.T=ZTtfΛr~1B.7=2Jr,Λ1

C.T=HfA=2D.T=2兀,A=2

答案A

2.函數(shù)段)=-2tan(2x+*)的定義域是()

A.lx∈R}

B.jx∈Rx≠-I

C.∣xeRx≠?π+∣(?∈Z)}

D.jx∈Rx≠γ+^(?∈Z)[

答案D

JTTT

解析由2X+Z≠E+5,&∈Z,

0Z

,kιtτι,?

仔zptx≠τ7+i2Zc∈Z.

Z0

3.函數(shù)y=3cos(2x—的單調(diào)遞減區(qū)間是.

■JI

令2EW2χ-g<2E+兀，?≡Z,

求得與，?∈Z,

O?

-?-

可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為［*π+畜E+制，?∈Z.

題型一三角函數(shù)的定義域和值域

例1(1)函數(shù)y="I的定義域?yàn)開_______

IanX1

答案∣.v∣x≠^+?π,且x≠^+E,fceZ\

解析要使函數(shù)有意義，

tanχ-1≠0,

π

{x≠2÷?π,?∈Z,

'Tl

x≠^÷?π,fc∈Z,

即《

Tr

x≠τ÷?π,Λ∈Z.

故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

jx∣x≠^+?π,且工吟+E,?∈Z}.

（2）函數(shù)y=sinχ-cosx+sinxcosX的值域?yàn)?

1+2也?

答案

1-t2

角星析設(shè)I=SinX—cos”，則Z2=si∏2χ+cos2χ-2SinX?cosx,SinXeOSX=

2，

且一√5W∕W√5.

i211

.?.y=—?÷∕÷2=-2（LI）2+1，

t^[-y∣2,y∣2],

當(dāng)￡=1時(shí),ymax=l;

當(dāng)，=一也時(shí)，）'min=_1+*

.?.函數(shù)的值域?yàn)橐簧咸?hào)亞，1.

【備選】

1.函數(shù)y=?χ∕SinX-COSX的定義域?yàn)?

答案2?π+^,2Λπ+y(?∈Z)

解析要使函數(shù)有意義，必須使sinx—cosx20.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出［0,2π］上y=

sinX和y=cosX的圖象，

y=COSX

如圖所示.1尸

2ττ.

π5π。手X

在［兀］內(nèi)，滿足的為不彳，再結(jié)合正弦、余弦卜

0,2SinX=COSXX-14v=sιnX

函數(shù)的周期是2π,所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?2E+m≤xW2E+中，

2.函數(shù)yζr)=si∏2χ+小COSX—?(χe［θ,)的最大值是.

答案1

解析由題意可得

2

4∕(x)=-cosx÷√3cosx+(

.?cosx∈［0,l］.

.?.當(dāng)cos?=2,即X=5時(shí)，段)取最大值為1-

思維升華(1)三角函數(shù)定義域的求法

求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)的圖象來求解.

(2)三角函數(shù)值域的不同求法

①把所給的三角函數(shù)式變換成y=Asin(ox+°)的形式求值域.

②把sinX或Cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

③利用SinXicosx和SinXCOSX的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

跟蹤訓(xùn)練1(l)(2021?北京)函數(shù)yU)=cosx—cos2x,試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值()

A.奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為2

99

C.奇函數(shù)，最大值為^D.偶函數(shù)，最大值為五

OO

答案D

解析由題意,

/(-x)=CoS(—?)-cos(-2x)

=cosχ-cos2x="x),

所以該函數(shù)為偶函數(shù)，

又/(x)=COSX

I9

所以當(dāng)COSX=Z時(shí)，y(x)取最大值Q.

4O

(2)函數(shù)y=lg(sin2%)+留9一%2的定義域?yàn)?

答案［-3,-飄(0,?)

解析,/函數(shù)y=lg(sin2x)+√9-χ2,

sin2x>0,

應(yīng)滿足

9-χ2≥0,

π

kπ<x<2+kπ,

解得1其中?∈Z,

,-3≤x≤3,

兀、71

/.-3Wx<—5或O<χv∕,

函數(shù)的定義域?yàn)?3,一習(xí)U(O&

題型二三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性

例2(1)(2019?全國∏)下列函數(shù)中，以］為周期且在區(qū)間仔，號(hào)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=∣cos2x∣B./(x)=∣sin2x∣

C.於)=COSlxlD.於)=sin∣x∣

答案A

解析A中，函數(shù)於)=∣cos2x∣的周期為冬當(dāng)XG仔，3時(shí)，2x∈(f,π),函數(shù)外)單調(diào)遞增,

故A正確；B中，函數(shù)/(x)=kin2Λ∣的周期為會(huì)當(dāng)XG值方)時(shí)，2x∈^,π),函數(shù)KX)單調(diào)

遞減，故B不正確；C中，函數(shù)√U)=cos∣Λ∣=cosX的周期為2兀，故C不正確；D中，八%)=

fsinx,x≥0,

SinR=I由正弦函數(shù)圖象知，在XNO和x<0時(shí)，y(x)均以2兀為周期，但在整

Lsinx,x<0,

個(gè)定義域上式對(duì)不是周期函數(shù)，故D不正確.

(2)函數(shù)/)=3Sin(ZV—生+，+1,eG(0,π),且於)為偶函數(shù)，則9=,段)圖象的

對(duì)稱中心為

...5πfπ,kπA

答案y<4+T,√,kQz

解析若y(x)=3sin(2x—鼻+，+1為偶函數(shù)，則一會(huì)+叱也+宏?∈Z,

Sir

即(P=《+kτt,?∈Z,

又??3∈(O,π),

??9=不.

?9?fix)=3sin^2x÷^+1=3cos2x+1,

兀兀kτc

由2x=]+E,左WZ得X=^+了，?≡Z,

.,孫)圖象的對(duì)稱中心為(；+竽，1),z∈z.

【備選】

1.下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的為()

A.y=sin∣x∣B.y=cos∣x∣

C.y=tan∣x∣D.y=(χ-1)0

答案B

解析TcosH=COSX,.?.y=CoSlXl是周期函數(shù).其余函數(shù)均不是周期函數(shù).

2.函數(shù)y(x)=3sin(2x—三+，，^∈(0,π),若HX)為奇函數(shù)，則勿=.

答案≡

解析若Ar)=3sin(2x—J為奇函數(shù)，

則一1+(p=k‰fc≡Z,

TT

即9=g+Aπ,?∈Z,

又?.?9∈(0,π),

.π

,?(P=W

思維升華(1)奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=Asinωx或y=Atanωx

的形式，而偶函數(shù)一般可化為J=Acosωx的形式.

2TT

(2)周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y=Asin(ωx+^),y=Acos(0λx+p)(m>0)的周期為無^,函數(shù)y=

Atan(CoX+3)(cu>O)的周期為擊求解.

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2021?全國乙卷涵數(shù)段）=sin耒+cos］最小正周期和最大值分別是（）

A.3π^∏√2B.3π和2

C.6兀和√5D.6π和2

答案C

YY

解析因?yàn)楹瘮?shù)4r)=sin3+cos,

=λ∕2^^sin]+乎COS§

???∕2^sin^cos；+COS^sin:

=Vising+；）,

所以函數(shù)yω的最小正周期T=竿2ιr=6兀，最大值為√1

3

(2)已知y(x)=Acos(5+9)(A>O,加>0,0<8<元)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x=3時(shí)，<x)取得

最小值一3,當(dāng)G取得最小正數(shù)時(shí)，#1)+/2)+八3)+…+負(fù)2022)的值為()

A.,∣B.—6—34

C.1D.-1

答案B

解析,?,∕x)=Acos(ωx+^)(A>0,ω>0,0<夕VTr)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

兀Tl

:?φ='+kκ,kRZ,貝∣JS=/,

則TW=-Asinωx.

當(dāng)x=3時(shí)，7U)取得最小值一3,

故A~35sin3(Z)Z=1,

兀

Λ3ω=2÷2?π,?∈Z.

.?.3的最小正數(shù)為會(huì)

π

.J(X)=-3sin?r,

.?√(x)的周期為12,

.?.Λ1)+Λ2)+Λ3)+???+Λ12)=O,

ΛΛD+Λ2)+Λ3)+-+Λ2022)

=168×0+ΛD+∕2)+???+Λ6)

———6—3Λ∕3.

（3）（2022?鄭州模擬）設(shè)函數(shù)於）=2sin（2x—：）+*則下列敘述正確的是（）

A.y（x）的最小正周期為2兀

B.於）的圖象關(guān)于直線X=會(huì)對(duì)稱

C.於）在?？缮系淖钚≈禐橐会?/p>

答案C

解析對(duì)于A,y（x）的最小正周期為7=π,

故A錯(cuò)誤;

ππ

對(duì)于B,,/sinl2X

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)XG去兀］時(shí)，2x—y,y,

；.sin（2jc——1,坐］,

Λ2sin（2χ-∣）+∣∈-∣,√3+∣,

在［與，兀上的最小值為一q,故C正確；

對(duì)于D,Y周=2sin（2X號(hào)一9+1=3

；.兀0的圖象關(guān)于點(diǎn)傳，§對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

題型三三角函數(shù)的單調(diào)性

命題點(diǎn)1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例3函數(shù)式X）=Sin（—2%+；）的單調(diào)遞減區(qū)間為

A-ArJ7C.571

答案儼l(fā)兀一符Aπ+-j^J（?∈Z）

解析於）=sin（-2r+1）

由2人兀一,W2χ-?∈Z,

得"π一名WXWAπ+居，?≡z.

故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

「，π,5π-l,

—石，E+l司(%∈Z).

延伸探究府)=§m(一2￥十?在［0,兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為

π

答案[°-SH?]

71571

[E一行，^π÷?，kGZ,

B=［0,π］,

.?.ACB=［θ,間UH,π］,

.?√U)在［0,兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為［o,哥和［巖，兀］

命題點(diǎn)2根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)

例4⑴若函數(shù)/)=Sins(SO)在區(qū)間［θ,T上單調(diào)遞增，在區(qū)間［$T上單調(diào)遞減，則3

3

答案2

解析TyU)=Sin①x(①>0)過原點(diǎn)，

Tl

當(dāng)OWs≤/,

TT

即OWXWK時(shí)，y=sin①X單調(diào)遞增；

當(dāng)畀①XW當(dāng)，

即/WxW羽時(shí)，y=sins單調(diào)遞減.

Jl

由yU)=sin3r(m>0)在O,?上單調(diào)遞增，

在后，外上單調(diào)遞減，知券=*

.,_3

??CO-?.

(2)已知加>0,函數(shù)段)=sin(3r+j)在4Tr)上單調(diào)遞減，則口的取值范圍是

Mgr?5］

答案2,4

Tt

解析由2<χVπ,ω>0,

COTlI兀I兀I兀

付彳+^〈5+爐①兀+不

因?yàn)閥=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2E+，，2E+引，?∈Z,

fv+∑≥5+2?π,

所以V2Jt∈Z,

,π,3π.c,

[ft)7t+aW5+2fat,

解得4k+gw(υW2A+ak∈Z.

又由必+3—(2A+Jwo,?∈Z,

?2?+∣>O,A∈Z,

解得k=O,

所以s∈.

【備選】

(2022?定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校月考)已知函數(shù)?x)=Sin3zr+9)(o>0,I夕∣W^),x=一;為段)的零點(diǎn)，X

=；為y=∕2圖象的對(duì)稱軸，且左)在(?工)上單調(diào)，則。的最大值為()

A.IlB.9C.7D.1

答案B

TT

解析因?yàn)閄=-W為yu)的零點(diǎn)，

Tr

X=W為y=>(χ)圖象的對(duì)稱軸，

”-2〃+1π

所以4°T=/eN)，

2”+12ππ

t即jrf丁』5∈N),

所以ω=2n÷l(n∈N),即ω為正奇數(shù).

EsI(Tt5τC?..,E

因?yàn)?*x)在院，拓J上單調(diào)，

則冷金咔§

即T=同，

解得ω≤12.

當(dāng)口=11時(shí)，一?^+°=?π,?∈Z,

因?yàn)楱Od≤冬

所以9=_今此時(shí)於）=sin（ll?r-*富

當(dāng)x≡（??時(shí)，

江仲46πλ

???4<36,36，

所以yu）在（??,If）上不單調(diào)，不滿足題意;

9Ti

當(dāng)ω=9時(shí)，一彳+3=也，fc∈Z,

因?yàn)閮z音,

TT

所以3=?

此時(shí)/（x）=Sin（91+彳）.

當(dāng)x≡（??時(shí)，

9x+；G仔?）,

此時(shí)7U）在信，箱上單調(diào)遞減，符合題意.

故。的最大值為9.

思維升華（1）已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間

求形如y=Asin（<ox+p）或y=4cos（3x+°）（其中s>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視"3x+φ”為一個(gè)整

體，通過解不等式求解.但如果。<0,可借助誘導(dǎo)公式將?；癁檎龜?shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

（2）已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2021?新高考全國I）下列區(qū)間中，函數(shù)7U）=7sinG-∣）的單調(diào)遞增區(qū)間是

)

C.(τr,半)Dc，2ττ)

答案A

解析令一?∈Z,得一與+2EWXW母+2Zπ,%￡Z.取k=0,則一日

ZOZ???

4W竽因?yàn)椋?,習(xí)[―$y],所以區(qū)間（0,9是函數(shù)段）的單調(diào)遞增區(qū)間.

（2）（2022?開封模擬）己知函數(shù)y=sin（Gx+§

（G>0）在區(qū)間（一/§上單調(diào)遞增，則①的取值范圍是（）

/I-IΓl

A.（0,2jB.[],1

CG|]D.修2_

答案A

解析當(dāng)一點(diǎn)<x<?時(shí)，

O?

πω.π.ππcυ.兀

-τ-+3<ωx÷3<-+?,

兀71

當(dāng)X=O時(shí)，ωx+^=y

因?yàn)楹瘮?shù)y=sin（5+§（cD>0）在區(qū)間（一去上單調(diào)遞增，

πω,π.π

~T+3^~2'

πω.π.π

{~+3^2'

解得ω≤∣,

因?yàn)閒y>0,所以3的取值范圍是（0,I.

課時(shí)精練

1.y=∣cosx∣的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）

答案D

解析將y=cosx的圖象位于X軸下方的部分關(guān)于X軸對(duì)稱向上翻折，X軸上方（或X軸上）的

圖象不變，即得y=∣cosx∣的圖象（如圖）.

故選D.

B.∣+4?,∣+4ΛBeZ)

-冗5兀-

C.^+4?π,-^^+4kπ(?∈Z)

D.∣+4?,∣+4?(fc∈Z)

答案B

解析由題意，得2sin會(huì)一120,

π兀

∈[d+2E,∈

2x(?Z),

則x∈[;+4Z,∣+4?(?∈Z).

函數(shù)式X)=Sin(X+居)cosg-fθ是(

3.)

A.最小正周期為兀的奇函數(shù)

B.最小正周期為兀的偶函數(shù)

C.最小正周期為2π的非奇非偶函數(shù)

D.最小正周期為π的非奇非偶函數(shù)

答案D

解析由題意可得

√(x)=sin

=SinG+1

=sin2%

??Ax)=AECOS

故yω的最小正周期τ=^=π,由函數(shù)奇偶性的定義易知，yω為非奇非偶函數(shù).

?inγ+Y

4.函數(shù)段）=+??Lτr,句的圖象大致為（）

COSXIX

答案D

sin(-x)+(—x)

解析`?X)cos(-x)÷(-x)2

--T=-Λx）,得火X）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A；

COSXIX

Tr

_］不排除

Hπ)=πp>0,B,C.

5.關(guān)于函數(shù)y（x）=sin2χ-cos2x,下列命題中為假命題的是（）

A.函數(shù)y=∕（x）的周期為π

Ir

B.直線X=W是y=√U）圖象的一條對(duì)稱軸

C.點(diǎn)你0）是y=∕（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中，I

D.y=∕（x）的最大值為限

答案B

解析因?yàn)殪?=sin2χ-cosZr

所以人X）的最大值為媳，故D為真命題；

2TT

因?yàn)镚=2,故T=E=兀，故A為真命題;

當(dāng)X=彳時(shí)，2工一彳=今終邊不在y軸上，故直線X=；不是＞=?￥）圖象的一條對(duì)稱軸,

故B為假命題;

TTTT

當(dāng)冗=6時(shí)，2χ-τ=0終邊落在X軸上,

O49

故點(diǎn)（I，0）是y=Λx）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C為真命題.

6.（2022?廣州市培正中學(xué)月考）關(guān)于函數(shù)＜X）=Sink∣+∣SinX下列敘述正確的是（）

A.左)是奇函數(shù)

B../U)在區(qū)間e，兀)上單調(diào)遞增

C.T(X)的最大值為2

D.y(x)在［一π,用上有4個(gè)零點(diǎn)

答案C

解析Λ-χ)=sin∣—M+∣sin(-χ)?

=sin∣x∣÷∣sinx?=J(x)9

AC)是偶函數(shù),A錯(cuò)誤；

當(dāng)兀)時(shí)，7U)=sinx+sinx=2sinx,

單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；

Xx)=sin∣x∣÷∣sinXlW1÷1=2,

且/(D=2,C正確；

在［―兀，兀］上，當(dāng)一兀VX<0時(shí)，

fix)=sin(—x)÷(-sinx)=_2sinx>0,

當(dāng)0<x<π時(shí),=SinX+sinx=2SinX>0,

“r)的零點(diǎn)只有π,0,一π共三個(gè)，D錯(cuò)誤.

7.寫出一個(gè)周期為兀的偶函數(shù)TU)=.(答案不唯一)

答案cos2x

8.(2022?上外浦東附中檢測(cè))若在0,5內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足等式CoS2x+√5sin2x=A

+1，則實(shí)數(shù)大的取值范圍是.

答案OWKl

解析函數(shù)√(x)=cos2x+小sin2%

=2sin(2x+§,

當(dāng)Xeo,會(huì)時(shí)，

fix)=2sin(2%+單調(diào)遞增；

當(dāng)XeL不5」時(shí)，

氏X)=2sin(zx+單調(diào)遞減，

π

√(0)=2sin4=1,

∕?(π?r2sinπ5=2,

所以在O,5內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足等式cos2x+45sin2x=Z+l,

則l≤Jt+l<2,

所以O(shè)WkL

9.已知函數(shù)7U)=4sin5sin(Gx+§—l(m>0)的最小正周期為π.

⑴求口及7U)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵求7U)圖象的對(duì)稱中心.

解(1次r)=4SinSɑsin(υx+坐COSS?)—1

=2sin2ωx+2√3sinωxcosωχ-1

=1-cos2ωx÷√3sin2ωχ-1

=√3sin2ωχ-cos2ωx

=2sin(2cox一到

???最小正周期為π,

.2n

?\/(x)=2sin(2x-襲),

??①=1,

TtTtJU

令-尹2EW2x-臚/2kπ,?∈Z,

TTTT

解得一5+?π≤x≤2÷kπ,?∈Z,

，段)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一季+E,∣+Λπ

(?∈Z).

Tl

(2)令2χ-d=ht,)t∈Z,

解得χ=?^+”,%ez,

；.左)圖象的對(duì)稱中心為信+苧，0),?∈Z.

10.(2021?浙江)設(shè)函數(shù)y(x)=sinx÷cosX(Λ∈R).

⑴求函數(shù)y=[∕(x+圳2的最小正周期；

(2)求函數(shù)3在[θ,手上的最大值.

解⑴因?yàn)楱Mx)=sinx+cosx,

所以/G+∕)=sin(x+舒+cosQ+習(xí)

=cosχ-sinx,

所以y=[∕Q+圳2=(CoSX-SinX)2

=1-sin2x.

所以函數(shù)》=匕(冗+到2的最小正周期T=苧=兀

=√2sinx(sinx+cosx)

=也(Sinxcosx÷sin2x)

當(dāng)x∈[θ,U時(shí),2χ-J∈[-J用,

所以當(dāng)2^-4~2,即》=爭(zhēng)時(shí)，

函數(shù)y=∕w(x-分在[θ,外上取得最大值，且ymax=l+#.

11.(2022.蘇州模擬)已知函數(shù)兀V)=SinQ+知，則下列結(jié)論不正確的是()

TT

A.尤=一%是函數(shù)大無)的一個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)大外在區(qū)間[一招，制上單調(diào)遞增

C.函數(shù)y(x)的圖象關(guān)于直線x=??對(duì)稱

D.函數(shù)/(T)是偶函數(shù)

答案D

解析對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?（Y）=SinO=O,

TT

故X=—%是函數(shù)yu）的一個(gè)零點(diǎn)，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)一品≤x≤*時(shí),

兀ZCI兀.兀

-尹2x+產(chǎn)子

可上單調(diào)遞增，B對(duì);

ITIT

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閷?duì)稱軸滿足2r+g=］+?π,?∈Z,

解得X=強(qiáng)+與，％≡Z,當(dāng)Z=O時(shí)，X=專，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，

則庶）=0,

g（T=si∏（一?）≠0,

故函數(shù)"不是偶函數(shù)，D錯(cuò).

12.（2022?廈門模擬）已知函數(shù)y（x）=CosG一京）一cos則下列結(jié)論正確的是（

)

A.y（x）的最大值為￡I

B.?。┑膱D象關(guān)于點(diǎn)傳，（?對(duì)稱

C.段）的圖象的對(duì)稱軸方程為X=駕+果%∈Z）

D.?r）在［0,2π］上有2個(gè)零點(diǎn)

答案C

1÷cos

解析段)=2cos2x

坐?sin^2χ-≡)+∣,

則y（x）的最大值為'+?,A錯(cuò)誤;

易知./U）圖象的對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為右

B錯(cuò)誤；

Tl-Ji

令2x—G=,+E（ZWZ）,

得X=相+飄k∈Z）,

此即AV）圖象的對(duì)稱軸方程，C正確；

由?Λx）=坐Sin（2%-：）+^=0,

得sin（2x_：）=—半，

當(dāng)x∈［0,2τr］時(shí)，2x—卜［一號(hào)，??

作出函數(shù)y=sinx（x∈［一小半。的圖象，如圖所示.

所以方程sin(2x—§=一坐在[0,2n]上有4個(gè)不同的實(shí)根，

即.大力在[0,2π]上有4個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

13.(2022?綿陽中學(xué)實(shí)臉學(xué)校模擬)已知Sinx+cosy=；,則SinX—sin2y的最大值為

答案?

解析??sinx+cosy=1,sinx∈[-1,1],

.β.sinX=I-COSγ∈[-I,1J,

O-35]

??cos4,

即COSy∈[-χ,1J,

VsinJV-sin2y=^-cosy-(1—cos2y)

2

=COSy-COS>-I

=(COSy