2023高三數(shù)學(xué)二模試卷（附參考答案）

2023高三數(shù)學(xué)(二模)試卷(附參考答案)

一、單選題

1.已知集合A={x\y=VXT3},B={xI瀉<0}，則4UB=(

A.(—3,+oo)B.[-3,+oo)C.(—3,3)D.[-3,3)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(遮-i)=23其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為()

總；D.一旦

A.6-B.-LJC-21

3.在△ABC中，AB1AC,AB=2,AC=1,則瓦5在近上的投影向量的模為()

A.1B.2C等D.警

4.已知函數(shù)/(%)=4sm(@c+w),{A>0,3>0)在區(qū)間(0,6)內(nèi)取得一個(gè)最大值3和一個(gè)最小值

-3,且f(2)=3,/(5)=-3,則3=()

AB衛(wèi)C-D―

A.予a.2L.3u.6

5.牟合方蓋是由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)并采用的，一種用于計(jì)算球體體積的方法，類似于現(xiàn)在的

微元法.由于其采用的模型像一個(gè)牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋.本質(zhì)上來說，牟合方蓋是兩個(gè)半

徑相等并且軸心互相垂直的圓柱體相交而成的三維圖形，如圖1所示.劉徽發(fā)現(xiàn)牟合方蓋后200多

年，祖沖之及他的兒子祖曬，推導(dǎo)出牟合方蓋八分之一部分的體積計(jì)算公式為V=|r3(「為構(gòu)成牟

合方蓋的圓柱底面半徑).圖2為某牟合方蓋的］部分，且圖2正方體的棱長(zhǎng)為1,則該牟合方蓋的體

O

6.已知直線久+y=a(a>0)與圓/+y=4交于A、B兩點(diǎn)，若才+而|=|萬？一赤其中。為原

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.1B.V2C.V3D.2

7.已知正數(shù)a,b,c滿足ea=b=lnc,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）

A.a+c<2bB.a+c>2bC.ac<b2D.ac>b2

8.如圖，/BCD為直角梯形，AB||CD,AD1DC,AD=3,CD=V3,4B=2百.連AC,將△ACC

沿AC翻折成三棱錐。-4BC,當(dāng)三棱錐。-ABC外接球表面積的最小值時(shí)，二面角D-4C-B的余

弦值為（）

A.-1B.0C.JD.|

二、多選題

9.記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為配,則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有（）

a

A。{即+1+n]B.{an+1a?}C.{滯}D.{SnSn+i）

10.某學(xué)校一同學(xué)研究溫差x（0C）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)y（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的

數(shù)據(jù)：

X568912

y1720252835

經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=2.6%+2,則（）

A.樣本中心點(diǎn)為（8,25）

B.3=4.2

C.x=5時(shí)，殘差為一0.2

D.若去掉樣本點(diǎn)（8,25），則樣本的相關(guān)系數(shù)r增大

11.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asint",我們聽到的聲音是由純音

合成的，稱之為復(fù)合音.我們聽到的聲音函數(shù)是y=s譏％+/sin2x+考sin3x+…，記/?Q）=sinx+

isin2x++-sinnx>neN*則下列結(jié)論中正確的為（）

Ln

A.A（x）在I。，月上是增函數(shù)B.八。）的最大值為等

C.7n(%)的最小正周期為27rD.|/^(%)|<\nx\

12.已知點(diǎn)Fi，92是橢圓E：^|+3=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓￡上一點(diǎn)，點(diǎn)Fi關(guān)于

“泌尸2平分線的對(duì)稱點(diǎn)N也在橢圓E上，若COSNFIMF2=9則()

A.AFiMN的周長(zhǎng)為4aB..廣：|=T

C.NaMF2平分線的斜率為一挈D.橢圓E的離心率為噂

三、填空題

13.設(shè)雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則此雙曲線的離心率為.

14.已知(2/+；產(chǎn)的展開式的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)，則n=.

15.已知函數(shù)y=/(2x+l)為偶函數(shù)，且/。)+/(-X)=2,貝仔(2022)+/(2024)=.

16.已知函數(shù)/(%)=歷%+a/+。，若/(%)在區(qū)間［2,3］上有零點(diǎn)，則ab的最大值為.

四、解答題

17.設(shè)數(shù)列的前zi項(xiàng)和為％,數(shù)列｛J2S：-n｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

(1)求數(shù)列國(guó)"的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)垢=。2"，求數(shù)列｛(一l)>n｝的前幾項(xiàng)和

18.如圖，在多面體2BCDE中，DE1平面BCD,△ABC為正三角形，ABCD為等腰RtA,乙BDC=

90°,AB=2,DE=V2.

(1)求證：AE1BC；

(2)若4E〃平面BCD,求直線BE與平面ABC所成的線面角的正弦值.

19.在△ABC中，內(nèi)角力，B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且2(川一a2)+c?=0.

sinAcosB的值;

cosAsinB

(2)求/一B的最大值.

20.某手機(jī)APP公司對(duì)喜歡使用該APP的用戶年齡情況進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名喜歡使用該

APP的用戶，年齡均在［15,65］周歲內(nèi)，按照年齡分組得到如下所示的樣本頻率分布直方圖:

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃，M),貝ij：P(〃一er<X<〃+er)20.6827,P(〃—2<r<

X<〃+2<T)*0,9545,P(〃-3<T<X<〃+3c)Z0.9973

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)使用該視頻APP用戶的平均年齡的第85%分位數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后保

留2位)；

(2)若所有用戶年齡X近似服從正態(tài)分布N(〃，a2),其中〃為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，a?10.5,

試估計(jì)喜歡使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的比例；

(3)用樣本的頻率估計(jì)概率，從所有喜歡使用該APP的用戶中隨機(jī)抽取8名用戶，用P(X=k)

表示這8名用戶中恰有k名用戶的年齡在區(qū)間［25,35)歲的概率，求P(X=k)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的k的

值；

21.已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F斜率為1的直線與拋物線相交所截得的弦長(zhǎng)

為2.

(1)求p的值并寫出拋物線焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)P是拋物線外任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的切線，切點(diǎn)分別為Q.R,探究：是否存在以

點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形PQR.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.設(shè)函數(shù)f(%)=ln(x+1)--^ax2,g(x)=qax?—axex>其中aER.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)/(%)的值域；

(2)設(shè)F(x)=/(x)+g(x),當(dāng)0<a<l時(shí)，

①證明：函數(shù)FQ)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

②若％)為函數(shù)尸(%)的極值點(diǎn)，”1為函數(shù)/(%)的零點(diǎn)，且％i>Xo，證明：

參考答案

L【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A,B

10.【答案】A,B.C

11.【答案】C,D

12.【答案】A,B,D

13.【答案】V2

14.【答案】8

15.【答案】2

16.【答案】3

17.【答案】（1）解：???j2Sn—n是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，二回—n=n.

_71（71+1）

.,0二-2

?“22時(shí)，an=Sn-Sn_i=嗎由一嗎也=71,電=1也符合

：?an=n

(2)解：顯然與=。2'=2n

于是71n——bi++…+(―1)"%=(—2)+(―2)2+…+(—2)”

-2[l-(-2)n]2

=^[(-2)--1]

1-(-2)

18.【答案】（1）證明：設(shè)F為BC中點(diǎn)，連接ZF,EF,則由AABC為正三角形，得AF1BC；

DE_L平面BCD,且△BCD為等腰直角三角形，計(jì)算可得：BE=CE=2,AEF1BC.

EFC\AF=F,EF,AFu面4EF,于是BC1面4EF,AEu面4EF,

從而BC14E.

(2)解：法一：由(1)可知，過點(diǎn)E作EHJ.AF,垂足為H,則NEBH就是直線BE與平面ABC所成

的線面角.

當(dāng)4E〃平面BCD時(shí)，可得4到平面BCD的距離為在.

設(shè)乙4FD=a,所以AF-sina=&，可得sina=苧，

當(dāng)a<90。時(shí)，cosaT，不妨設(shè)A在底面BCD射影為0,貝UFO=1,此時(shí)。與。重合，可得4,E兩

點(diǎn)重合，不符合題意，舍去；

當(dāng)a>90。時(shí)，F(xiàn)O=1,此時(shí)。在DF的延長(zhǎng)線上，作EH1AF,由于AODE為矩形，可得AE=DO=

2,AE||OD,可得sinz_E4H=磬，可得EH=

于是sin/EBH==尊

法二：建立如圖坐標(biāo)系，

可得F(0,0,0),S(l,0,0),C(-l,0,0),D(0,1,0),E(0,1,V2),4(0,a,b)

由AF=V3.解得a2+必=3.

又???ZE〃平面BCD,令五=(0,0,1),

可得?元=0，解得b=&,a=±1,

當(dāng)a=l時(shí)aE重合，所以。=一1,此時(shí)4（0,-1,V2）.

不妨設(shè)平面的法向量為沅=(%,y,z),則

像1:二代入得仔一馬：當(dāng)=°,令z=l,則y=&,所以訪=(0,V2,1).

由于麗=(一1,1,V2),不妨設(shè)所成角為。，貝Lin。=|cos(說，記)|=雪.

.Ar>a2+c2f2o?k2

19.【答案】(1)解：由余弦定理得：黑潞=g二4三5

cosAstnbb』+C2_Q2b+C2-Q2

-25c-

v2(川-a2)4-c2=0,

所以上式=至二羋=3；

a2-b2

(2)解：由(1)st嗎。噂=3得tanA=3tanB,

cosAsinB

,/iD、_tanA—tcmB_2tanB_2

tan(A-=nAtanB=i3tan2B=-^+3tanB-

1+ta+tanB

vtanA=3tanB,AtanB>0,A,B為三角形內(nèi)角，

方一三嘉:冬當(dāng)且僅當(dāng)tanB=*時(shí)等號(hào)成立，

tanB口

???4-B的最大值為強(qiáng)

20.【答案】（1）解：???由直方圖可知，第85%分位數(shù)位于區(qū)間［45,55），

???第85%分位數(shù)=45+葭65x10=51.67(歲).

頻率

(2)解：vx=(20x0.01+30x0.024-40x0.035+50x0.03+60x0.005)x10=40(歲)

???〃=40

1一09545

???P(X>61)=P(X>〃+2a)=--------5--------=0.02275

乙

.??使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的2.275%.

(3)解：根據(jù)題意X?B(8,0.2)，

要使p（x=k）取最大值，則版:器歌凹方,

」40.22.88T>^+10.2fc+10.87-fc籍84v卜々9

"ICgO.2fe0.88-fc>Cg-10.2fc-10.89-*'5--5'

因?yàn)閗GN,所以k=1.

21.【答案】（1）解：依題意，設(shè)直線方程為丁=%+5

由，”+2,消去y,得/-2px—p2=0,

[%2=2py

設(shè)直線與拋物線相交于A（%i，y2）,B（X2,y2）,則|AB|=2,

所以％]+x2=2p,X^X2=_p2，

所以=V14-l2-7(%t+%2)2—=y/2y/Sp2=2近J8P2=2,解得p=}

所以拋物線方程為/=y,f(0,1).

(2)解：假設(shè)符合條件的等腰直角三角形存在，于是

設(shè)點(diǎn)Q（%3，X3），R（%4,X4）f則由）/=2%可得:

切線PQ：y=2X3X-xf>PR：y=2X4X—xl，

y—2xx一

3解得％=,y-X3%,

y=2X4X—X4

所以P(然幺，X3X4).

設(shè)線段PR的中點(diǎn)M,則點(diǎn)M（檢裝1,"33+%,且心”=2段/）,kpR=2X4,%R=K3+

聯(lián)立方程組黑手。解得…或…

所以存在點(diǎn)Q(-1,1)、Q(1,1).

22.【答案】(1)解：當(dāng)。=凱寸，/(x)=/n(x+l)-1x2.顯然函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?一1,+00).

令“)=擊-1Iwf=-"舞產(chǎn)=。得％=K

令/(x)>0,解得：一1<%<1；令/''(x)<0,解得：x>1,

/(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

1

,e,f(%)max=/(l)="2—不

且當(dāng)％趨近于-1,/(%)趨近于負(fù)無窮，當(dāng)工趨近于正無窮，/(%)趨近于負(fù)無窮，

故函數(shù)/(%)的值域是(一8,/n2-1].

(2)解：①顯然F(%)="(％+1)-。％靖，定義域?yàn)?-1,4-co).

9

口，,、1/?xl-a(x+l)ex

P(x)=K-a(x+])e=------申----

令九(%)=1—a(x+1)2短,則由0<a<l可知，

九0)在(-1,+8)單調(diào)遞減，且當(dāng)％趨近于-1,九(%)趨近于1.

而/i(0)=1-a>0,/i(1)=l-a(l+3焉=1-(a+l)ei<0,

存在唯一的*e(0,3使得力Qo)=0，

所以當(dāng)xe(-l,a)時(shí)，F(xiàn)'Q)>0，當(dāng)+8),F’(x)<0,

于是F(x)在(-1,%。)上單調(diào)遞增，在(&，+8)上單調(diào)遞減,

x

從而F(x)max=F(%o)=濟(jì)(％o+D-axoe0=ln(x0+1)-和、2.(*),

(x0+l)

令ni(x)—Inx-1H—(x>0),m'(x)—------亍——甲,

xxxLXL

若>0,可得：%>1；若m'(x)V0,可得：0<%Vl,

所以血。)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以m(%)3zn(l)=0,所以)當(dāng)