四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第20講-復(fù)雜抽屜原理（人教版）含詳解

第第頁第二十講復(fù)雜抽屜原理在《簡(jiǎn)單抽屜原理》中，我們學(xué)習(xí)了運(yùn)用抽屜原理處理一些簡(jiǎn)單問題，以及最不利原則的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用．抽屜原理：把m個(gè)蘋果放入n個(gè)抽屜（m大于n），結(jié)果有兩種可能：如果沒有余數(shù)，那么一定有抽屜至少放了“”個(gè)蘋果；如果有余數(shù)，那么一定有抽屜至少放了“的商再加1”個(gè)蘋果．例題1（1）口袋里有四種顏色的球，每種顏色足夠多，一次至少要取幾個(gè)球，才能保證其中一定有兩個(gè)顏色相同？（2）口袋里有四種顏色的球，每種顏色足夠多，一次至少要取幾個(gè)球，才能保證其中一定有四個(gè)顏色相同？「分析」第（1）題中，好好思考一下，如果要想取出的球顏色都不相同，那么最多可以取出多少個(gè)球呢？

練習(xí)1箱子里有12種形狀不同的積木，每種都足夠多，一次至少要取幾個(gè)，才能保證其中一定有三個(gè)形狀相同？本講，我們要學(xué)習(xí)抽屜原理在計(jì)數(shù)、數(shù)字、表格、圖形等具體問題中較復(fù)雜的應(yīng)用．要能根據(jù)已知條件合理地選取和設(shè)計(jì)“抽屜”與“蘋果”，有時(shí)還要構(gòu)造出能達(dá)到最佳效果的例子．例題2盒子里有四色球各100個(gè)，每次從中摸出2個(gè)球，請(qǐng)問：至少要摸幾次，才能保證其中有三次摸出球的顏色情況是相同的？「分析」從盒子中取出2個(gè)球，顏色情況一共有多少種可能呢？練習(xí)2小高把一副圍棋混裝在一個(gè)盒子里，然后每次從盒子中摸出4枚棋子，請(qǐng)問：他至少要摸幾次，才能保證其中有三次摸出棋子的顏色情況是相同的？（圍棋子有黑、白兩種顏色）例題3將下圖3行7列的方格紙的每格染成紅色、黃色或綠色，要求每列的三個(gè)方格所染的顏色互不相同．請(qǐng)說明不管怎么染，至少有兩列染色方式是一樣的．「分析」題目要求我們說明有兩列的染色方法一樣，因此我們應(yīng)該先考慮每列能夠怎么染色．方格紙一共有5列，根據(jù)抽屜原理，只要每列染色的方法少于5種，就會(huì)有兩列染色方式一樣．那每列有哪些不同的染色方式呢？練習(xí)3將2行5列的方格紙每一格染成黑色或白色，請(qǐng)說明不管怎么染，至少有兩列染色方式是一樣的．有很多抽屜原理的題目是與數(shù)字結(jié)合的，運(yùn)用數(shù)字相關(guān)的一些知識(shí)來構(gòu)造抽屜，這也是我們本講要學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容．例題41至30這30個(gè)自然數(shù)中，至少取出多少個(gè)數(shù)，才能保證其中一定有兩個(gè)數(shù)的和等于31？至少取出多少個(gè)數(shù)，才能保證其中一定有兩個(gè)數(shù)的差等于3？「分析」第（1）要求取出的數(shù)中，才能保證一定有兩個(gè)數(shù)和為31，那么我們應(yīng)該首先考慮一下，要想使得任意兩數(shù)之和都不等于31，我們最多可以取出多少數(shù)呢？

練習(xí)41至20這20個(gè)自然數(shù)中，至少取出多少個(gè)數(shù)，才能保證其中一定有兩個(gè)數(shù)的和等于21？至少取出多少個(gè)數(shù)，才能保證其中一定有兩個(gè)數(shù)的差等于5？除了利用與數(shù)字相關(guān)的知識(shí)來構(gòu)造抽屜之外，還有一些與圖形周長、面積相關(guān)的問題．這類問題往往需要根據(jù)圖形特點(diǎn)進(jìn)行分割，從而構(gòu)造出抽屜．例題5（1）在一個(gè)邊長為2的正方形里隨意放入3個(gè)點(diǎn)，這3個(gè)點(diǎn)所能連出的三角形面積最大是多少？（2）在邊長為4的正方形中隨意放入9個(gè)點(diǎn)，這9個(gè)點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，請(qǐng)說明：這9個(gè)點(diǎn)中一定有3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積不超過2．（本題中的點(diǎn)都可以放在正方形的邊界上）「分析」（1）在邊長為2的正方形中放入3個(gè)點(diǎn)，我們比較容易想到正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2．那能否說明放在任意位置三角形面積都不超過2呢？

（2）由（1）的結(jié)論，正方形內(nèi)3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積不超過正方形面積的一半．應(yīng)該如何來構(gòu)造抽屜呢？

例題6試說明：任意六個(gè)人中，一定可以找到三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人，或者三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人．「分析」我們不妨畫個(gè)圖來分析一下六個(gè)人之間的關(guān)系，用實(shí)線表示認(rèn)識(shí)，用虛線表示不認(rèn)識(shí)．思考一下，根據(jù)抽屜原理，你會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的一個(gè)人“甲”與其他5個(gè)人的關(guān)系可能會(huì)是什么情況呢？課堂內(nèi)外狄利克雷狄利克雷（Dirichilet，PeterGustayLejeune）德國數(shù)學(xué)家，1805年2月13日生于德國迪倫，1859年5月5日卒于格丁根．狄利克雷生活的時(shí)代，德國的數(shù)學(xué)正經(jīng)歷著以高斯為前導(dǎo)的、由落后逐漸轉(zhuǎn)為興旺發(fā)達(dá)的時(shí)期．狄利克雷以其出色的數(shù)學(xué)教學(xué)才能，以及在數(shù)論、分析和數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域的杰出成果，稱為高斯之后與C.G.J.雅強(qiáng)比（Jacobi）齊名的德國數(shù)學(xué)界的一位核心人物．狄利克雷出身于行政官員家庭，他父親是一名郵政局長．狄利克雷少年時(shí)即表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，據(jù)說他在12歲前就自己攢零錢購買數(shù)學(xué)圖書．1987年入波恩的一所中學(xué)，除數(shù)學(xué)外，他對(duì)近代史有特殊愛好，人們稱道他是個(gè)能專心致志又品行優(yōu)良的學(xué)生．兩年后，他遵照父母的意愿轉(zhuǎn)學(xué)到科隆的一所教會(huì)學(xué)校，在那里曾師從物理學(xué)家歐姆，學(xué)到了必要的物理學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)．16歲通過中學(xué)畢業(yè)考試后，父母希望他攻讀法律，但狄利克雷已選定數(shù)學(xué)為其終身職業(yè)．當(dāng)時(shí)的德國數(shù)學(xué)界，除高斯一人名噪歐洲外，普遍水平較低；又因高斯不喜好教學(xué)，于是狄利克雷決定到數(shù)學(xué)中心巴黎上大學(xué)，那里有一批燦如明星的數(shù)學(xué)家．1822年5月，狄利克雷到達(dá)巴黎，選定在法蘭西學(xué)院和巴黎理學(xué)院攻讀．1825年，狄利克雷向法國科學(xué)院提交他的第一篇數(shù)學(xué)論文；1826年，狄利克雷在為振興德國自然科學(xué)研究而奔走的A.洪堡的影響下，返回德國，在布雷斯勞大學(xué)獲講師資格，后升任編外教授．1828年，狄利克雷又經(jīng)洪堡的幫助來到學(xué)術(shù)氛圍較濃厚的柏林，任教于柏林軍事學(xué)院．同年，他又被聘為柏林大學(xué)編外教授，開始了他在柏林長達(dá)27年的教學(xué)與研究生涯．由于他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，淳淳善誘，培養(yǎng)了一批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，對(duì)德國成為19世紀(jì)后期國際上又一個(gè)數(shù)學(xué)中心產(chǎn)生了巨大影響．1831年，狄利克雷稱為柏林科學(xué)院院士．1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到格丁根大學(xué)任教．1858年夏，他去瑞士蒙特勒開會(huì)，做紀(jì)念高斯的演講，突發(fā)心臟?。踩祷亓烁穸「?，但在病中遭夫人中風(fēng)身亡的打擊，病情加重，于1859年春與世長辭．作業(yè)1. 箱子里有5種顏色相同的積木，每種都足夠多，那么一次至少要取多少個(gè)，才能保證一定有5個(gè)顏色相同？2. 小高把一副圍棋棋子混裝在一個(gè)盒子里，然后每次從盒子里左右手各摸出1枚棋子，那么他至少要摸多少次，才能保證其中有三次摸出棋子的顏色情況是相同的？（圍棋子有黑、白兩種顏色）3. 從1至50中，至少取出多少個(gè)數(shù)，才能保證一定有兩個(gè)數(shù)的和是奇數(shù)？4. 能否在4行4列的方格表的每個(gè)空格中分別填上1、2、3這三個(gè)數(shù)之一，而使大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)之和互不相同？5． 任意寫一個(gè)由數(shù)字1，2，3組成的十一位數(shù)，從這個(gè)十一位數(shù)中任意截取相鄰兩位，可得一個(gè)兩位數(shù)，請(qǐng)證明：在從各個(gè)不同位置上截得的所有兩位數(shù)中，至少有兩個(gè)相等． 第二十講復(fù)雜抽屜原理例題1答案：5；13詳解：

（1）利用最不利原則，最倒霉的情況是：取的所有的球中，每種顏色都有且僅有1個(gè)，再任意取一個(gè)就可以滿足要求．所以至少要取個(gè)才能保證一定有兩個(gè)顏色相同．

（2）利用最不利原則，最倒霉的情況是：取的所有的球中，每種顏色都有且僅有3個(gè)，再任取一個(gè)就可以滿足要求．所以至少要取個(gè)才能保證一定有四個(gè)顏色相同．例題2答案：21詳解：摸出兩個(gè)球，顏色共有10種可能（枚舉可得），即10個(gè)抽屜．利用最不利原則，最倒霉的情況是，摸出的所有球中，每一種顏色情況都出現(xiàn)了2次，再任意取一次就可以滿足要求．所以至少要取次才能保證一定有三次摸出球的顏色情況是相同的．例題3答案：證明略詳解：

每一列三個(gè)方格染色情況共有種可能．一共有7列，，所以一定至少有兩列染色方式是一樣的．例題4答案：16個(gè)；16個(gè)詳解：

（1）把1~30這30個(gè)數(shù)分為如下15組——（1，30）、（2，29）、（3，28）、……、（15，16），每一組的兩個(gè)數(shù)之和都是31，而且不是同組的兩個(gè)數(shù)之和一定不等于31．利用最不利原則，最倒霉的情況是，所取的所有數(shù)恰好是每組中各一個(gè)，那么再任意取一個(gè)即可滿足要求，所以至少要取出個(gè)數(shù)，才能保證一定有兩個(gè)數(shù)的和等于31．

（2）把1~30這30個(gè)數(shù)進(jìn)行如下分組：

（1，4，7，10，13，16，19，22，25，28）

（2，5，8，11，14，17，20，23，26，29）

（3，6，9，12，15，18，21，24，27，30）

共3組，每組有10個(gè)數(shù)，連續(xù)兩個(gè)數(shù)的差都是3，不連續(xù)的3個(gè)數(shù)的差都不為3，而且不同組的兩個(gè)數(shù)之差一定不是3．

利用最不利原則，每組都先隔一個(gè)取，即各取5個(gè)，那么再任意取一個(gè)即可滿足要求，所以至少要取出個(gè)才能保證一定有兩個(gè)數(shù)的差為3．例題5答案：（1）2；（2）證明略詳解：面積最大為正方形的一半，即．此時(shí)，其中兩個(gè)點(diǎn)恰好為某一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)在該邊的對(duì)邊上．

把邊長為4的正方形分成4個(gè)的小正方形．9個(gè)點(diǎn)放進(jìn)去，，那么一定至少有3個(gè)點(diǎn)是在同一個(gè)小正方形中的．那么這3個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積一定不超過2（即第1問）．例題6答案：不能ABCD詳解：用實(shí)線相連表示認(rèn)識(shí)，虛線相連表示不認(rèn)識(shí)，如圖，A和其他5個(gè)人，要么認(rèn)識(shí)，要么不認(rèn)識(shí)，所以一定有三條線是相同的，假設(shè)有3條是實(shí)線：

接下來連接B、C、D三個(gè)人，每?jī)蓚€(gè)人只有兩種連接方法，要么實(shí)線、要么虛線．

如果有實(shí)線，則這兩個(gè)人與A三人互相認(rèn)識(shí)；如果全是虛線相連，則B、C、DABCD練習(xí)1答案：25簡(jiǎn)答：利用最不利原則，最倒霉的情況是：取的所有的積木中，每種形狀都有且僅有2個(gè)，再任取一個(gè)就可以滿足要求．所以至少要取個(gè)才能保證一定有四個(gè)顏色相同．練習(xí)2答案：11簡(jiǎn)答：摸出4枚棋子，顏色共有5種可能（枚舉可得），即5個(gè)抽屜．利用最不利原則，最倒霉的情況是，摸出的所有棋子中，每一種顏色情況都出現(xiàn)了2次，再任意取一次就可以滿足要求．所以至少要取次才能保證一定有三次摸出棋子的顏色情況是相同的．練習(xí)3答案：證明略簡(jiǎn)答：每一列兩個(gè)方格染色情況共有種可能．共5列，．練習(xí)4答案：11個(gè)；11個(gè)簡(jiǎn)答：（1）把1~20這20個(gè)數(shù)分為如下10組——（1，20）、（2，19）、（3，18）、……、（10，11），每一組的兩個(gè)數(shù)之和都是21，而且不是同組的兩個(gè)數(shù)之和一定不等于21．利用最不利原則，最倒霉的情況是，所取的所有數(shù)恰好是每組中各一個(gè)，那么再任意取一個(gè)即可滿足要求，所以至少要取出個(gè)數(shù)，才能保證一定有兩個(gè)數(shù)的和等于21．

（2）把1~20這20個(gè)數(shù)進(jìn)行如下分組：

（1，6，1，16）

（2，7，12，17）

（3，8，13，18）

（4，9，14，19）

（5，10，15，20）

共5組，每組有4個(gè)數(shù)，連續(xù)兩個(gè)數(shù)的差都是5，不連續(xù)的2個(gè)數(shù)的差都不為5，而且不同組的兩個(gè)數(shù)之差一定不是5．

利用最不利原則，每組都先隔一個(gè)取，即各取2個(gè)，那么再任意取一個(gè)即可滿足要求，所以至少要取出個(gè)才能保證一定有兩個(gè)數(shù)的差為3．作業(yè)1答案：21簡(jiǎn)答：應(yīng)用最不利原則，要保證一定有5個(gè)顏色相同，則首先每種顏色都取4個(gè)，再任取1個(gè)即可．所以至少要取個(gè)．作業(yè)2答案：9簡(jiǎn)答：從盒子里左右手各摸出1枚圍棋棋子，共有黑黑、黑白、白黑、白白四種可能．要保證有三次摸出棋子顏色情況相同，應(yīng)用最不利原則，當(dāng)每種情況都出現(xiàn)了兩次時(shí)，再隨意摸出一次，就一定有三次的顏色情況是相同的，即至少要摸出次．作業(yè)3答案：26簡(jiǎn)答：要保證一定有兩個(gè)數(shù)的和是奇數(shù)，即要保證一定有兩個(gè)數(shù)奇偶性不同，1至50中，共有25個(gè)奇數(shù)、