2023-2024學(xué)年廣東省佛山市南海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省佛山市南海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級第一學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm2．下列說法錯誤的是（）A．任意兩個矩形都相似 B．任意兩個正六邊形都相似 C．任意兩個正方形都相似 D．有一個角對應(yīng)相等的菱形相似3．用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（）A．3（x﹣1）2＝0 B．（x+）2＝ C．（x+）2＝ D．（x+）2＝4．觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一個近似解為（）x﹣1.13﹣1.12﹣1.11﹣1.10﹣1.09﹣1.08﹣1.07x2﹣3x4.674.614.564.514.464.414.35A．﹣1.073 B．﹣1.089 C．﹣1.117 D．﹣1.1235．在一個不透明的盒子中裝有20個黃、白兩種顏色的乒乓球，除顏色外其它都相同，小明進(jìn)行了多次摸球試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到白色乒乓球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，由此可知盒子中黃色乒乓球的個數(shù)可能是（）A．2個 B．4個 C．18個 D．16個6．如圖所示，在平行四邊形紙片上作隨機(jī)扎針試驗(yàn)，針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．7．如圖，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD8．如圖，在菱形ABCD中，直線MN分別交AB、CD、AC于點(diǎn)M、N和O，且AM＝CN，連接BO．若∠OBC＝65°，則∠DAC為（）A．65° B．30° C．25° D．20°9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩個根，則+的值是（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣10．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD．于點(diǎn)F，連接AP，EF，給出下列結(jié)論：①PD＝PF；②四邊形PECF的周長為8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每小題3分，共15分）11．如圖，已知l1∥l2∥l3，直線AB分別交l1、l2、l3于A、E、B點(diǎn)，直線CD分別交l1、l2、l3于C、F、D三點(diǎn)，且AE＝2，BE＝4，則的值為．12．已知＝＝（b+d≠0），則的值為．13．若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0，它的一個根為2，則該方程為．14．小明所在的學(xué)校準(zhǔn)備在國慶節(jié)當(dāng)天舉辦一個大型的聯(lián)歡會，為此小明設(shè)計了如圖所示的A，B兩個轉(zhuǎn)盤和同學(xué)們做“配紫色”（紅、藍(lán)可配成紫色）的游戲，試問使用這兩個轉(zhuǎn)盤可以配成紫色的概率是．15．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC方向以4cm/s的速度移動．如果P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，問：經(jīng)過秒后△PBQ的面積等于7cm2．三、解答題（16—18每題6分，19—21每題8分，22—23題10分，24題13分，共75分）16．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?x（x﹣2）＝x﹣2．17．如圖，E為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，AE：EC＝1：3，BE的延長線交CD的延長線于G，交AD于F，求證：BF：FG＝1：2．18．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE＝EC，分別在圖1和圖2中按要求僅用無刻度的直尺畫圖．（保留畫圖痕跡）（1）在圖1中，畫出∠DAE的平分線；（2）在圖2中，畫出∠AEC的平分線EF，交AD于點(diǎn)F，并說明理由．19．商店將進(jìn)貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高商品售價減少銷售量的辦法增加利潤，如果這種商品按每件的銷售價每提高1元其銷售量就減少20件，問應(yīng)將每件漲價多少元時，才能使每天利潤為700元？20．有五個封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個紙箱內(nèi)各裝有一個西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．現(xiàn)將這五個紙箱隨機(jī)擺放．（1）若從這五個紙箱中隨機(jī)選1個，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是；（2）若從這五個紙箱中隨機(jī)選2個，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率．21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根．（2）若方程有一個根是負(fù)整數(shù)，求正整數(shù)m的值．22．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點(diǎn)E為邊AB上一個動點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使AF＝AE，且CF、DE相交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB中點(diǎn)時，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當(dāng)CG＝2時，求AE的長．23．[綜合與實(shí)踐]：閱讀材料，并解決以下問題．[學(xué)習(xí)研究]：北師大版教材九年級上冊第39頁介紹了我國數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中關(guān)于一元二次方程的幾何解法：以x2+2x﹣35＝0為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程x2+2x﹣35＝0變形為x（x+2）＝35，然后畫四個長為x+2，寬為x的矩形，按如圖（1）所示的方式拼成一個“空心”大正方形，則圖中大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，還可表示為四個矩形與一個邊長為2的小正方形面積之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144，∵x表示邊長，∴2x+2＝12，即x＝5，遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個正根．[類比遷移]；小明根據(jù)趙爽的辦法解方程x2+3x﹣4＝0，請你幫忙畫出相應(yīng)的圖形，將其解答過程補(bǔ)充完整：第一步：將原方程變形為x2+3x﹣4＝0，即x（）＝4；第二步：利用四個面積可用x表示為的全等矩形構(gòu)造“空心”大正方形（請在畫圖區(qū)畫出示意圖，標(biāo)明各邊長），并寫出完整的解答過程：第三步：[拓展應(yīng)用]，一般地對于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以構(gòu)造圖2來解，已知圖2是由4個面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4．那么此方程的系數(shù)a＝，b＝，求得方程的一個正根為．24．綜合與實(shí)踐問題情境：在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，OE⊥AC交BC于點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，直接寫出∠OBF和∠ACB的數(shù)量關(guān)系：；探究拓展：（2）勤奮小組的同學(xué)們在射線FB上任取一點(diǎn)P，將射線OP繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得射線OQ，使∠POQ＝∠AEC，與射線BC交于點(diǎn)Q．在如圖2中，猜想并證明線段OP與線段OQ之間的數(shù)量關(guān)系．探究拓廣：（3）在（2）的條件下，若∠ACB＝30°，，當(dāng)∠COQ＝15°時，直接寫出FP的長度．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．2．下列說法錯誤的是（）A．任意兩個矩形都相似 B．任意兩個正六邊形都相似 C．任意兩個正方形都相似 D．有一個角對應(yīng)相等的菱形相似【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對應(yīng)的角相等，對應(yīng)邊的比相等對每個命題進(jìn)行判斷．解：A、任意兩個矩形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不一定成比例，所以不一定相似，符合題意；B、任意兩個正六邊形的對應(yīng)角都是60°，對應(yīng)邊的比成比例，所以一定相似，不符合題意；C、任意兩個正方形的對應(yīng)角都是90°，對應(yīng)邊的比成比例，所以一定相似，不符合題意；D、一個角對應(yīng)相等的兩個菱形滿足滿足四個角分別對應(yīng)相等，四條邊對應(yīng)成比例，所以一定相似，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是相似圖形的判定，掌握相似多邊形各自的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（）A．3（x﹣1）2＝0 B．（x+）2＝ C．（x+）2＝ D．（x+）2＝【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方可得到結(jié)果．解：方程3x2+2x﹣1＝0，變形得：x2+x＝，配方得：x2+x+＝，即（x+）2＝，故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．4．觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一個近似解為（）x﹣1.13﹣1.12﹣1.11﹣1.10﹣1.09﹣1.08﹣1.07x2﹣3x4.674.614.564.514.464.414.35A．﹣1.073 B．﹣1.089 C．﹣1.117 D．﹣1.123【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得出“當(dāng)x＝﹣1.12時，x2﹣3x＝4.61；當(dāng)x＝﹣1.11時，x2﹣3x＝4.56．”即可得出結(jié)論．解：當(dāng)x＝﹣1.12時，x2﹣3x＝4.61；當(dāng)x＝﹣1.11時，x2﹣3x＝4.56．∴一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一個近似解為﹣1.117．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，熟練掌握用圖象法求一元二次方程的近似根的方法是解題的關(guān)鍵．5．在一個不透明的盒子中裝有20個黃、白兩種顏色的乒乓球，除顏色外其它都相同，小明進(jìn)行了多次摸球試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到白色乒乓球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，由此可知盒子中黃色乒乓球的個數(shù)可能是（）A．2個 B．4個 C．18個 D．16個【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)出未知數(shù)列出方程求解．解：設(shè)袋中有黃球x個，由題意得＝0.2，解得x＝16．故選：D．【點(diǎn)評】本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計事件的概率．關(guān)鍵是利用黃球的概率公式列方程求解得到黃球的個數(shù)．6．如圖所示，在平行四邊形紙片上作隨機(jī)扎針試驗(yàn)，針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出對角線所分的四個三角形面積相等，再求出概率即可．解：∵四邊形是平行四邊形，∴對角線把平行四邊形分成面積相等的四部分，利用中心對稱圖形的性質(zhì)可得，△AOB≌△COD，則圖中陰影部分面積＝S四邊形，∴針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了幾何概率，以及平行四邊形的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)為：概率＝相應(yīng)的面積與總面積之比．7．如圖，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，得到四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答即可．解：∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，當(dāng)AC⊥BD時，EF⊥EH，則四邊形EFGH為矩形，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握三角形中位線定理、矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在菱形ABCD中，直線MN分別交AB、CD、AC于點(diǎn)M、N和O，且AM＝CN，連接BO．若∠OBC＝65°，則∠DAC為（）A．65° B．30° C．25° D．20°【分析】由全等三角形的性質(zhì)可證△AOM≌△CON，可得AO＝CO，由等腰三角形的性質(zhì)可得BO⊥AC，即可求解．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，BC∥AD，∴∠MAO＝∠NCO，∠BCA＝∠CAD，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BCO＝90°﹣∠OBC＝25°＝∠DAC，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩個根，則+的值是（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整體代入的方法計算即可．解：根據(jù)題意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，則+＝＝＝﹣．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．10．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD．于點(diǎn)F，連接AP，EF，給出下列結(jié)論：①PD＝PF；②四邊形PECF的周長為8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①根據(jù)正方形的對角線平分對角的性質(zhì)，得△DPF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝PF2+PF2＝2PF2，即可判斷①；②先證明四邊形PECF為矩形，根據(jù)等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)可得其周長為2BC，即可判斷②；③根據(jù)P的任意性可以判斷△APD不一定是等腰三角形，即可判斷③；④四邊形PECF為矩形，通過正方形的軸對稱性，即可判斷④．解：∵PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，CD⊥BC，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝PF2+PF2＝2PF2，∴．故①正確；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四邊形PECF為矩形，∴四邊形PECF的周長＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②正確；③∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點(diǎn)，∠ADP＝45°，∴當(dāng)∠PAD＝45°或67.5°或90°時，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③錯誤．④連接PC，∵四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，∵正方形為軸對稱圖形，BD所在直線是它的一條對稱軸，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故④正確；綜上所述：正確的結(jié)論是①②④，共三個；故選：C．【點(diǎn)評】此題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．如圖，已知l1∥l2∥l3，直線AB分別交l1、l2、l3于A、E、B點(diǎn)，直線CD分別交l1、l2、l3于C、F、D三點(diǎn)，且AE＝2，BE＝4，則的值為．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AE＝2，BE＝4，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．12．已知＝＝（b+d≠0），則的值為．【分析】根據(jù)合比的性質(zhì)即可求解．解：∵＝＝（b+d≠0），∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是利用比例的基本性質(zhì)．13．若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0，它的一個根為2，則該方程為x2﹣2x＝0．【分析】直接利用已知要求得出符合題意的方程．解：由題意可得，該方程的一般形式為：x2﹣2x＝0．故答案為：x2﹣2x＝0．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．14．小明所在的學(xué)校準(zhǔn)備在國慶節(jié)當(dāng)天舉辦一個大型的聯(lián)歡會，為此小明設(shè)計了如圖所示的A，B兩個轉(zhuǎn)盤和同學(xué)們做“配紫色”（紅、藍(lán)可配成紫色）的游戲，試問使用這兩個轉(zhuǎn)盤可以配成紫色的概率是．【分析】先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出可以配成紫色的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中可以配成紫色的結(jié)果數(shù)為3，所以可以配成紫色的概率＝＝．故答案為．【點(diǎn)評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．15．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC方向以4cm/s的速度移動．如果P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，問：經(jīng)過1或7或4+秒后△PBQ的面積等于7cm2．【分析】過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，則QE＝BQ，當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，AP＝tcm，BQ＝4tcm，PB＝|8﹣t|cm，QE＝2tcm，根據(jù)△PBQ的面積等于7cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．解：過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，則QE＝BQ，如圖所示.當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，AP＝tcm，BQ＝4tcm，PB＝|8﹣t|cm，QE＝2tcm，依題意得：|8﹣t|?2t＝7．當(dāng)0＜t≤8時，t2﹣8t+7＝0，解得：t1＝1，t2＝7；當(dāng)t＞8時，t2﹣8t﹣7＝0，解得：t1＝4﹣（不符合題意，舍去），t2＝4+．∴經(jīng)過1或7或4+秒后，△PBQ的面積等于7cm2．故答案為：1或7或4+．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題（16—18每題6分，19—21每題8分，22—23題10分，24題13分，共75分）16．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】先移項(xiàng)，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可．解：∵3x（x﹣2）＝x﹣2，∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，則x﹣2＝0或3x﹣1＝0，解得x1＝2，x2＝．【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法．17．如圖，E為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，AE：EC＝1：3，BE的延長線交CD的延長線于G，交AD于F，求證：BF：FG＝1：2．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)證明△ABE∽△CGE，△ABF∽△DGF，得到AB：CG＝AE：EC＝1：3，進(jìn)而得到AB＝λ，DG＝2λ，這是解決該題的關(guān)鍵結(jié)論；運(yùn)用△ABF∽△DGF，列出比例式即可解決問題．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CG，AB＝CD（設(shè)為λ），∴△ABE∽△CGE，△ABF∽△DGF，∴AB：CG＝AE：EC＝1：3，∴CG＝DG+λ＝3λ，DG＝2λ；∵△ABF∽△DGF，∴BF：FG＝AB：DG＝λ：（2λ）＝1：2．【點(diǎn)評】該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察圖形結(jié)構(gòu)，大膽猜測推理，科學(xué)求解論證．18．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE＝EC，分別在圖1和圖2中按要求僅用無刻度的直尺畫圖．（保留畫圖痕跡）（1）在圖1中，畫出∠DAE的平分線；（2）在圖2中，畫出∠AEC的平分線EF，交AD于點(diǎn)F，并說明理由．【分析】（1）連接AC，利用AD∥BC得到∠DAC＝∠ECA，利用EA＝EC得到∠ECA＝∠EAC，所以∠DAC＝∠EAC，即AC平分∠DAE；（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，延長EO交AD于F，利用等腰三角形的性質(zhì)可得到EF平分∠AEC．解：（1）如圖1，AC為所作；（2）如圖2，EF為所作；理由如下：∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OC，∵EA＝EC，∴EO平分∠AEC，即EF平分∠AEC．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了矩形的性質(zhì)．19．商店將進(jìn)貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高商品售價減少銷售量的辦法增加利潤，如果這種商品按每件的銷售價每提高1元其銷售量就減少20件，問應(yīng)將每件漲價多少元時，才能使每天利潤為700元？【分析】根據(jù)等量關(guān)系“每件利潤×銷量＝700”列出方程，解方程即可．解：設(shè)應(yīng)將每件售價提高x元時，才能使每天利潤為700元，（x+10﹣8）（200﹣20x）＝700，解得：x1＝3，x2＝5．答：應(yīng)將每件售價提高3元或5元時，才能使每天利潤為700元．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．20．有五個封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個紙箱內(nèi)各裝有一個西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．現(xiàn)將這五個紙箱隨機(jī)擺放．（1）若從這五個紙箱中隨機(jī)選1個，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是；（2）若從這五個紙箱中隨機(jī)選2個，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．解：（1）若從這五個紙箱中隨機(jī)選1個，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結(jié)果，其中所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的結(jié)果有4種，∴所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率為＝．【點(diǎn)評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根．（2）若方程有一個根是負(fù)整數(shù)，求正整數(shù)m的值．【分析】（1）先計算根的判別式的值得到Δ＝（m﹣6）2≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用求根公式得到x1＝m﹣4，x2＝2，則m﹣4＜0，從而得到正整數(shù)m的值．【解答】（1）證明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4（2m﹣8）＝m2﹣12m+36＝（m﹣6）2≥0，∴方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）解：x＝＝，∴x1＝m﹣4，x2＝2，∵方程有一個根是負(fù)整數(shù)，∴m﹣4＜0，∴正整數(shù)m的值為1或2或3．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．22．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點(diǎn)E為邊AB上一個動點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使AF＝AE，且CF、DE相交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB中點(diǎn)時，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當(dāng)CG＝2時，求AE的長．【分析】（1）利用平行四邊形的判定定理：兩邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，（2）利用三角形相似，求出此時FG的長，再借助直角三角形勾股定理求解．【解答】（1）證明：連接DF，CE，如圖所示：，∵E為AB中點(diǎn)，∴AE＝AF＝AB，∴EF＝AB＝CD，∵四邊形ABCD是菱形，∴EF∥CD，∴四邊形DFEC是平行四邊形．（2）解：作CH⊥BH，設(shè)AE＝FA＝m，如圖所示，，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥EF，∴△CDG∽△FEG，∴，∴FG＝2m，在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，sin60°＝，CH＝，cos60°＝，BH＝1，在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，F(xiàn)H＝3+m，CF2＝CH2+FH2，即（2+2m）2＝（）2+（3+m）2，整理得：3m2+2m﹣8＝0，解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），∴．【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是借助銳角三角比和勾股定理求解．23．[綜合與實(shí)踐]：閱讀材料，并解決以下問題．[學(xué)習(xí)研究]：北師大版教材九年級上冊第39頁介紹了我國數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中關(guān)于一元二次方程的幾何解法：以x2+2x﹣35＝0為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程x2+2x﹣35＝0變形為x（x+2）＝35，然后畫四個長為x+2，寬為x的矩形，按如圖（1）所示的方式拼成一個“空心”大正方形，則圖中大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，還可表示為四個矩形與一個邊長為2的小正方形面積之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144，∵x表示邊長，∴2x+2＝12，即x＝5，遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個正根．[類比遷移]；小明根據(jù)趙爽的辦法解方程x2+3x﹣4＝0，請你幫忙畫出相應(yīng)的圖形，將其解答過程補(bǔ)充完整：第一步：將原方程變形為x2+3x﹣4＝0，即x（x+3）＝4；第二步：利用四個面積可用x表示為長為x+3，寬為x的全等矩形構(gòu)造“空心”大正方形（請在畫圖區(qū)畫出示意圖，標(biāo)明各邊長），并寫出完整的解答過程：第三步：[拓展應(yīng)用]，一般地對于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以構(gòu)造圖2來解，已知圖2是由4個面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4．那么此方程的系數(shù)a＝±2，b＝3，求得方程的一個正根為1或3．【分析】[類比遷移]根據(jù)趙爽的辦法解答即可；[拓展應(yīng)用]根據(jù)題意把x2+ax＝b，變形為x（x+a）＝b，根據(jù)圖2由4個面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，即可得到答案．解：[類比遷移]第一步：將原方程變形為x2+3x﹣4＝0，即x（x+3）＝4；第二步：利用四個面積可用x表示為長為x+3，寬為x的全等矩形構(gòu)造“空心”大正方形（請在畫圖區(qū)畫出示意圖，標(biāo)明各邊長），畫四個長為x+3，寬為x的矩形，按如圖所示的方式拼成如圖，拼成一個“空心”大正方形，則圖中大正方形的面積可表示為（x+x+3）2，還可表示為四個矩形與一個邊長為3的小正方形面積之和，即4x（x+3）+32＝4×4+9，因此，可得新方程：（x+x+3）2＝25，∵x表示邊長，∴2x+3＝5，即x＝1，第三步：方程的一個正根為x＝1；故答案為：x+3；長為x+3，寬為x；[拓展應(yīng)用]∵x2+ax＝b，∴x（x+a）＝b，∴四個小矩形的面積各為b，大正方形的面積是（x+x+a）2，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×b+a2，∵圖2是由4個面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，∴b＝3，a2＝4，解得：b＝3，a＝±2，當(dāng)a＝2時，（x+x+2）2＝4×3+4，2x+2＝4，x＝1，方程的一個正根為1；當(dāng)a＝﹣2時，（x+x﹣2）2＝4×3+4，2x﹣2＝4，x＝3，方程的