2023北京海淀區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題和答案

海淀區(qū)2022—2023學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)

高三數(shù)學(xué)2023.01

數(shù)

本試卷共4頁，150分.考試時(shí)長1如分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求

的一項(xiàng)。

(1)已知集合4={xl-2wxw3),B={xlx>0},貝lj4U8=

(A)[-2,3](B)[0,3](C)(0,+oo)(D)[-2,+8)

(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)六?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

(3)已知函數(shù)/(x)3-L-1,在下列區(qū)間中，包含/Xx)零點(diǎn)的區(qū)間是

X

(A)(1,1)(C)(l,2)(D)(2,3)

422

i

(4)已知a=lg5,Z>=siny,c=2\則

(A)a<b<c(B)b<a<c(C)b<c<a(D)a<c<b

(5)若圓f+”一2x-旬+。2=。截直線x-2y+l=0所得弦長為2,貝ija=

(A)-1(B)0(C)1(D)2

(6)已知(a”)為等差數(shù)列，q=3,4+/=-10.若數(shù)歹弘")滿足"=凡+3.1偽=1,2,…)，記(媼

的前"項(xiàng)和為S"，則扁=

(A)-32(B)-80(C)-192(D)-224

(7)某校高一年級(jí)計(jì)劃舉辦足球比賽，采用抽簽的方式把全年級(jí)6個(gè)班分為甲、乙兩組，每組3個(gè)

班，則高一(1)班、高一(2)班恰好都在甲組的概率是

(A)|(B)|(C)j(D)|

(8)設(shè)a*是兩個(gè)不同的平面，直線mua,則“對(duì)￡內(nèi)的任意直線/,都有ml/"是'上『的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

高三年級(jí)(數(shù)學(xué))第1頁(共4頁)

(9)已知函數(shù)/(x)=cos2x在區(qū)間［Z,?+^-］(fGR)上的最大值為M"),則“⑺的最小值為

(A)坐⑻-坐(C)/(D)-±

(10)在實(shí)際生活中，常常要用到如圖1所示的“直角彎管”.它的制作方法如下：如圖2,用一個(gè)

與圓柱底面所成角為45。的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得到

“直角彎管”.在制作“直角彎管”時(shí)截得的截口是一個(gè)橢圓，若將圓柱被截開的一段(如圖3)

的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展開成平面圖形，則截口展開形成的圖形恰好是某正弦

型函數(shù)的部分圖象(如圖4).記該正弦型函數(shù)的最小正周期為T,截口橢圓的離心率為e.

若圓柱的底面直徑為2,則

(A)T=2n,e=-^-

(B)T=2n,e=￥

(C)r=4jr,e=y

(D)7"=4it,e

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)拋物線/=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

(12)在(x-2)'的展開式中，x2的系數(shù)為.

X

(13)如圖，在正三棱柱池C-4與G中，P是棱8星上一點(diǎn)，"=44尸2,

則三棱錐P-HCG的體積為.

(14)設(shè)。為原點(diǎn)，雙曲線1的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸在C的右支上.

則C的漸近線方程是________；的取值范圍是.

(15)已知函數(shù)/(x)=，-2x+2f,g(x)=e*-f.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)1=0時(shí)，函數(shù)y=/(x)g(x)有最小值；

②于6R,使得函數(shù)y=/G)g(x)在區(qū)間［1,+00)上單調(diào)遞增;

③BreR,使得函數(shù)y=/G)+g(x)沒有最小值；

④小GR,使得方程/(x)+g(x)=0有兩個(gè)根且兩根之和小于2.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

高三年級(jí)(數(shù)學(xué))第2頁(共4頁)

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

已知函數(shù)/(x)=sin(0x+p)(0>O,M<方).用五點(diǎn)法畫/(x)在區(qū)間［-JL,署］上的圖象

時(shí)，取點(diǎn)列表如下：

nK5n2nlln

XT五VIT

/(X)0i0-10

(I)直接寫出/G)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；

(H)在△/BC中，/(5)=^-,b=2j3,a+c=6,求△48C的面積.

(17)(本小題14分)

如圖，在四棱錐尸-4BCD中，PD_L平面疑CD,AD1DC,AB//DC,AB=^-DC,PD=AD=l,

2

M為棱PC的中點(diǎn).

(I)證明：平面距0;

(D)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角P-0M-8的余弦值.

條件①：PB=0；

條例D：BD1BC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

(18)(本小題14分)AB

H地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計(jì)歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖(如圖1),考慮到受市場(chǎng)

影響，預(yù)測(cè)該地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購價(jià)格情況如表1(該預(yù)測(cè)價(jià)格與畝產(chǎn)量互不影響).

明年冬小麥統(tǒng)一收購價(jià)格

2.43

(單位：元/kg)

概率0.40.6

假設(shè)圖1中同組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值估算，并以頻率估計(jì)概率.

(I)試估計(jì)H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價(jià)為1500元的概率；

(H)設(shè)H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價(jià)為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(in)H地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入125元的成本進(jìn)行某項(xiàng)技術(shù)改良，則可使每畝冬小麥

產(chǎn)量平均增加50kg.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改

良？并說明理由.

高三年級(jí)(數(shù)學(xué))第3頁(共4頁)

(19)(本小題14分)

已知函數(shù)/(x)=xln(x+l).

(I)判斷0是否為/(x)的極小值點(diǎn)，并說明理由；

(n)證明：竽＞一十”+1.

(20)(本小題15分)

已知橢圓E：\+#=1過點(diǎn)尸(-2,D和。(20).

(I)求橢圓E的方程；

(n)過點(diǎn)G(0,2)作直線，交橢圓E于不同的兩點(diǎn)4,8,直線總交y軸于點(diǎn)M,直線尸8交y軸

于點(diǎn)M若IGMTGNI=2,求直線/的方程.

(21)(本小題15分)

對(duì)于T■有窮正整數(shù)數(shù)列。，設(shè)其各項(xiàng)為q,私,各項(xiàng)和為S(Q),集合｛Q,力。＞%⑸勺利

中元素的個(gè)數(shù)為r(g).

(I)寫出所有滿足S(0)=4,7(。)=1的數(shù)列。；

(D)對(duì)所有滿足7(。)=6的數(shù)列Q,求S(Q)的最小值；

(m)對(duì)所有滿足5(2)=2023的數(shù)列Q,求7(。)的最大值.

高三年級(jí)(數(shù)學(xué))第4頁(共4頁)

海淀區(qū)2022—2023學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)

高三數(shù)學(xué)

參考答案

一、選擇題

題目12345678910

答案DADBCBCADB

二、填空題

(11)^,0)(12)-8(13)迎

23

(14)y=+j3x;(1,2](15)@@④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

解(I)/⑶的解析式為f(x)=sin(2x+.),

6

單調(diào)遞增區(qū)間為［E=”，去吁eZ).

36

(II)由(I)可知〃B)=sin(2B+2)=1,

62

因?yàn)?<8<n,

所以，28+、2兀+兀一

666

所以28+加=5兀.

6T

即

3

由余弦定理得房=a2+c2-2accosB.

BP12=a24-c2-ac.

即12=(a+c)2—3ac.

g|J12=36-3ac.

即ac=8.

所以Sw=("csinB=26.

高三數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共7頁)

（17）（本小題14分）

解：（I）取尸短中點(diǎn)N,連接AN,MN.

在△尸中，M,N分別為PC,尸力的中點(diǎn)，所以MN,DC,MN=-DC，

2

因?yàn)锳BDC,AB=LDC,

2

所以A3,MN,AB二MN.

所以四邊形ABMN為平行四邊形，因此BM.AN.

又因?yàn)槠矫鍼AD,ANu平面PAD,

所以，平面PA"

（II）選擇條件①

因?yàn)镻D1平面ABCD,AD,DC<=平面ABCD,

所以PD±ADfPDA.DC.又因?yàn)锳D1DCf

所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系。一冷N.

因?yàn)镻OJ,平面ABC。，BOu平面ABC￡>,

所以PD1BD.

所以在RtZXPBO中，PD=\tPB=三，可得3O=c?.

7,

在RtAABO中，AD=\fBD=J所以"=1,又因?yàn)锳'DC,所以0c=2.

由題意得ZXO,O,O),A(1,0,0),8(1,1。)，C(0,2,0),P(0,0,l),M(0,J),

2

所以。A=(1,0,0),DM=(0,1,1),DB=(1,1,0).

2

設(shè)平面BDM的法向翼為n=(x,)，,z),

fwZ)M=0,y+z=0,

所以〈_g[J-{2

[W-DS=0,[x+y=0.

令y=-l,貝ijx=l,z=2.

所以平面BOM的一個(gè)法向量為〃=（1,-1,2）.

易知D4為平面的一個(gè)法向量.

所以cos<w,DA>=〃=]=速..

|/i||DA|3616

因?yàn)槎娼荘-8為鈍角，所以二面角。-￡>M-8的余弦值為-J9

6

高三數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共7頁）

選擇條件②

因?yàn)镻D_L平面A8c。，A￡>,Z）Cu平面ABC。，所以P￡>_LA￡>,PO_L￡>C,又因?yàn)?/p>

ADLDC,所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

取CO的中點(diǎn)E,連接BE.

因?yàn)?8DC,AB=!_DC,所以48DE,AB=DE,

2

又因?yàn)?D_LOC,所以四邊形4BEO為矩形.

在△BCO中，因?yàn)锽DA.BC,所以BE='DC.

12

又因?yàn)?8二DC,所以A8=.

2BE

所以四邊形ABED為正方形，即AB=AO=1,DC=2

I

由題意得。(0,0,0),41,0,0),5(1,1,0),C(0,2,0),尸(0,0,1),M(o?,

2

所以0A=(1,0,0),DM=(0,1,1),。8=(1』,0).

2

設(shè)平面BDM的法向翼為〃=(x,Fz),

fnDAt=O,y+z=0,

所以〈_即12

[n-DB=0,[x+y=0.

令y=T,則x=l,z=2.

所以平面3。”的一個(gè)法向量為〃

易知D4為平面PDM的一個(gè)法向量.

所以cos<DA>=〃力7_]=.

\n\-\DA\J616

因?yàn)槎娼荘-OM-8為鈍角，所以二面角P-DM-8的余弦值為-

6

(18)(本小題14分)

解(I)由圖可知，畝產(chǎn)量是40()kg的概率約為().005x50=0.25,畝產(chǎn)量是450kg的概率約為

0.01X50=0.5,畝產(chǎn)量是5(X)kg的概率約為0.005x50=0.25.

估計(jì)H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價(jià)為1500元的概率為0.25x0.6=0.15.

(II)X的所有可能取值為960,1080,1200,1350,1500.

P(X=960)=0.25x0.4=0.1,尸(X=1080)=0.5x0.4=0.2,

P(X=1200)=0.25x0.4+0.25x0.6=0.1+0.15=0.25,

尸(X=1350)=0.5x0.6=0.3,P(X=1500)=0.25x0.6=0.15.

高三數(shù)學(xué)參考答案第3頁（共7頁）

X的分布列為

X9601080120013501500

P0.10.20.25().30.15

E(X)=960x0.1+1080x0.2+1200x0.25+1350x0.3+1500x0.15=1242.

(3)建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良.

設(shè)增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為Jkg,增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為〃kg,則〃=彳+50.

設(shè)增產(chǎn)后的每畝冬小麥總價(jià)格為丫元，

由分析可知E(r)=￡(%)+50x(2.4X0.4+3x0.6)

所以增產(chǎn)的50kg會(huì)產(chǎn)生增加的收益是50x(2.4x0.4+3x0.6)=138>125,故建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)

技術(shù)改良.

19.(本小題14分)

(I)解法一：0是/(x)的極小值點(diǎn)，

理由如下：

當(dāng)x>0時(shí)，ln(x+1)>0,所以f(x)=xln(x+1)>0.

當(dāng)-l<x<0時(shí)，0<x+1<1,可知ln(x+1)<0,所以/(x)=xln(x+1)>0.

而/(0)=0,

由極小值點(diǎn)的定義知，0是f(x)的極小值點(diǎn).

(I)解法二：0是/(x)的極小值點(diǎn)，

理由如下：

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f'(x)=ln(x+I)+—^-r

x+1

Y

當(dāng)x〉0時(shí)，ln(x+l)>0,—>0,

x+1

所以>0.

當(dāng)一lvx<0時(shí)，0<冗+1<1,可知ln(x+l)<0,-^―<0,

x+1

所以f\x)<0.

所以/(幻在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減.

所以。是的極小值點(diǎn).

”.Infr-l-n1ln(x+1)+~x2-x

(II)證明：?〃]),_1x+l等價(jià)于+即2>0.

x22x2x

記??(%)=In(x+1)x2-x(x>-l).

2

求導(dǎo)得g，(x)=1+x-l=x2

x+\.

當(dāng)x>-l時(shí)易知g'(x)Nof加以函數(shù)&(x)在區(qū)間(T,yo)上單調(diào)遞增.

又g(0)=0，

可得當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(0)=0,

高三數(shù)學(xué)參考答案第4頁(共7頁)

即當(dāng)x>0時(shí).，不等式ln(x+I)Jx2-x>0成立.

2

即當(dāng)x>0時(shí)，不等式/0)>一11+1成立.

當(dāng)一lvx<0時(shí)，g(x)vg(O)=O,

即當(dāng)一1<尤<0時(shí)，不等式ln(x+1)+L^-xcO成立.

2

即當(dāng)-l<x<0時(shí)，不等式成立.

綜合上述，不等式““)>L

-TX+1成3L.

TP-7

(20)(本小題15分)

解(I)將點(diǎn)玳一2,1),。(2￡0)坐標(biāo)帶入橢圓￡的方程，得

;+±,

]g""解得a?=8,/r=2.

二】■

[a2

所以橢圓E的方程為:+上=1.

82

(II)若直線/斜率不存在，即直線/為x=0時(shí)，A和M點(diǎn)重合，8和N點(diǎn)重合，分別為橢圓

的上下頂點(diǎn)(0,Q5(0,-J?)，JltH't|GA/|-|G/V|=(2-72)x(2+s/7)=2,符合題意.

若直線/斜率存在，設(shè)直線的方程為)，=丘+2,A(M,y),8(々，%)(冬工-2且修工-2).

卜=履+2

聯(lián)立方程[二匕=1得，(4/+1求2+16履+8=0.

I82

A=(16&)2-32(4F+l)=32(4/-l)>0,/.A：2>1,即&或&<-2.

422

-16k8

X'+X環(huán)'中2=而力

k=>「I,所以直線PA的方程為y」'7(x+2)+l,取x=0得A/(0,2(y'-l)+l).

士+2I1+2M+2

同理可得N(0,也二2+1).

x2+2

由IGM|?|GN|=2^zl)+I_2=2,

x2+2

2(3+1)2(仁+1)

即--------11=2.

玉+2X2+2

所以(24-1)2^=2,

X[+2

高三數(shù)學(xué)參考答案第5頁(共7頁)

即(22-1)2

x}x2+2(xt+x2)+4

8

4k2+I

(21)2

ik-+\~^k-+1

(2A:-1)2

|4%2-