2022-2023學(xué)年寧夏銀川重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年寧夏銀川重點(diǎn)中學(xué)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)｛前,孩｝是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()

A.國(guó)+石和百一瓦B.3可一4孩和6百一8五

C.瓦(+可和2否?+石D.溫和瓦(+石

2.已知向量五=(一2,1),3=(—3,—4)，則2五一方等于()

A.(-1,6)B.(1,6)C.(-1,-2)D.(1,-2)

3.已知M(-2,7),N(Io,-2),點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且麗=一2而，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D,(2,4)

4.海上有相距10海里的4與B兩個(gè)小島，從4島望另外一個(gè)C島和B島成60。的視角，從B島望

C島和4島成75。的視角，則B與C之間的距離是()

A.IOIT海里B.竺P海里C.5，區(qū)海里D.5√%海里

5.在△4BC中，角A的角平分線交BC于點(diǎn)D,且AB=4,AC=2,則而等于()

A.∣ΛC+∣ΛβB.∣?B-∣4CC.^ACABD.^AC+^AB

6.定義：I五XbI=I五∣?∣B∣?sinθ>其中。為向量五與方的夾角>若|五|=2,∣K∣=5>α-K=

—6,則I五XBI等于()

A.-8B.8C.-8或8D.6

7.如圖，正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若元=4宿+〃前，則4+〃=()

C.?D.2

O

8.如圖，已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c,

且匕=2,從+￠2一cι2=be,若BC邊上的中線40=√^7,則BC

的長(zhǎng)為()

A.2y∏

B.2√^6

C.2y∏.

D.3√^2

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為（）

A.五〃&且Inl=I司是五=方的必要不充分條件

B.五〃石且Inl=IEl是方=石的既不充分也不必要條件

C.五與加方向相同且I五I=IBI是五=石的充要條件

D.五與方方向相反或I為I≠IBI是五片方的充分不必要條件

10.在△4BC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c.下列各組條件中使得△4BC有唯一

一解的是（）

A.Q=3,b=4,A=30oB.Q=3,b=4,cosB=-

C?Q=3,b=4,C=30oD,α=3,b=4,B=30o

11.（多選）已知M為△ABC的重心，。為BC的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（）

A.?^MA?=?^MB?=?^MC?B.^MA+MB+^MC=G

C.BM=∣≡+^BDD.S△MBC=∣S?ABC

12.已知向量五=（1,2）,b=（jn,l）（m<O）,且向量方滿足b?0+方）=3,則（）

A.?b?=y∏.

B.（2α+K）∕∕（α+2h）

C.向量2五一方與五一2E的夾角為今

D.向量方在向量至上的投影向量的模為？

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量五=（1,3）,3=（3,4），若0—2石）J.@一五），則4=.

14.已知向量五工的夾角為150。,I五I=2,|方I=/3，則I五一23|=.

15.在AZBC中，已知4=120。,BC=Q^,AB=2，則AC=.

16.平行四邊形ABCO中，I四I=6,I萬(wàn)I=4,若點(diǎn)M,N滿足：BM=3MC，DN=2NC，

則祠?NM=.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.(本小題10.0分)

設(shè)落B是不共線的兩個(gè)非零向量.

(I)若瓦？=2^+3,曲=3五一反D?=五+3方，求證：A,B,C三點(diǎn)共線；

(2)若9方一Zc方與k3一4方共線，求實(shí)數(shù)A的值.

18.(本小題12.0分)

已知荏=(-1,3),BC=(3,m))CD=(l,n))且同〃前.

(1)求實(shí)數(shù)n的值；

(2)若前1前，求實(shí)數(shù)m的值.

19.(本小題12.0分)

設(shè)△4BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,舟=一警.

2b+ccosC

(1)求4的大?。?/p>

(2)若a=7,sinC=2sinB,求b,C的值.

20.(本小題12.0分)

如圖，在△4BC中，?BAC=120°,48=AC=4,點(diǎn)。在線段8C上，且團(tuán)=4前.求:

(I)AD的長(zhǎng)；

(2)zD4C的余弦值.

21.（本小題12.0分）

如圖所示，??ΛBCφ,^AB=a,^AC=b,^BE=2EC,AC=3AD.

B

O

C

AD

(1)試用向量乙方來(lái)表示前,荏；

(2)若AE交BC于點(diǎn)O,求槳及瞿的值.

OEOD

22.(本小題12.0分)

為了營(yíng)造“全民健身”的休閑氛圍，銀川市政府計(jì)劃將某三角形健身場(chǎng)所擴(kuò)建為凸四邊形，

原來(lái)的健身區(qū)域^ABC近似為等腰直角三角形，施工圖紙如下圖所示(長(zhǎng)度已按一定比例尺進(jìn)

行縮小)，你能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決下面兩個(gè)問(wèn)題.

(1)若CD與BD的長(zhǎng)度和為12,當(dāng)NBDC=I20。時(shí)，求擴(kuò)建的區(qū)域△BCD的面積最大值；

(2)若最終敲定方案為CD=4,BD=8,求擴(kuò)建后四邊形ABDC面積S的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：對(duì)于4???瓦(+瓦和瓦:-右不是共線向量，二可以作為基底，

對(duì)于B,?.?3百-4孩=；(6可-8瓦)，.?.是共線向量，.?.不可以作為基底，

對(duì)于C,5+石和2瓦+石不是共線向量，.?.可以作為基底，

對(duì)于C,???可和瓦?+孩不是共線向量，；.可以作為基底.

故選：B.

利用平面向量基本定理，依次判斷四個(gè)選項(xiàng)中的向量是否共線，即可得到答案.

本題考查了平面向量基本定理，基底的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷兩個(gè)向量是否共線，屬于

基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)槲?(-2,1),E=(—3,—4)，所以2五一E=2(—2,1)—(一3,—4)=(—1,6)，

故選：A.

利用向量的坐標(biāo)加減運(yùn)算求解即可.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

3.【答案】D

【解析】解：。設(shè)P(X,y),則麗=(IO-X,-2-y),PM=(-2-x,7-y).

——>——>flθ-X=-2(—2-x)(x=2

???PN=-2PM,”_2_y=_2(7-y)，"y=4

???。點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4),故選D

先寫出2個(gè)向量的坐標(biāo)，利用2個(gè)向量相等，則他們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等.

本題考查兩個(gè)向量相等的條件，兩個(gè)向量相等時(shí)，他們的坐標(biāo)相等.

4.【答案】D

【解析】解：海上有相距10海里的4與B兩個(gè)小島，從4島望另外一個(gè)C島和B島成60。的視角，從B

島望C島和4島成75。的視角，可知4=60。，B=75°,4B=IO海里.

.?.ZC=180°-60°-75°=45°

根據(jù)正弦定理得照=券

,ABsinA10√-3LΓ~7

???BnzC=?.-=≡×-=5√6,

SinCrτ2,

2

故選：D.

先根據(jù)41和4B求出/C,進(jìn)而根據(jù)正弦定理求得BC.

本題主要考查了正弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用.三角形的解法，屬中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：在AABC中，角”的角平分線交BC于點(diǎn)D,且AB=4,AC=2t

所以NsO=?BAD1

所以由正弦定理得4BBD4C_DC

SinzjIDBsin∑BAD's?n?ADCSinZe4。'

又因?yàn)閟in4BAO=sintθ,SinNAOB=Sin乙40C,

所以黑=箓，即霏=*=[=2,

DUZzCZ√GAerN

所以而=荏+前=荏+|而=荏+|函一荏）=W四+1幅

即而=|前+3^

故選：D.

利用角平分線定理以及平面向量的線性運(yùn)算法則即可求解.

本題考查平面向量相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意可得2X5CoSe=-6,解得cos。=一|,再由0≤J≤?？傻胹in8=￡

—>__→4-

二IaXbl=Iabl?IbI?sinθ=2x5x^=8,

故選8.

由五不=-6求出cos。的值，進(jìn)而得到sin。的值,再由I五XBl=I五I?|方|?s譏。運(yùn)算求得結(jié)果.

本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求出S譏是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

考查向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，相等向量的概念，平面向量基

本定理，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義便可得出威=荏+;萬(wàn),前=而-四，代入前=

a初+〃前并進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便可得出丞j=Gt-〃)南+?+〃)而，而尼=南+而,

這樣根據(jù)平面向量基本定理即可得出關(guān)于九〃的方程組，解出九〃便可得出;I+4的值.

【解答】

解：AC=AB+AD>AM=AB+^BM=AB+^AD,BD=AD-AB;

??.AC=λAM+μRD

1_

=λ(AB+'硒+μ(AD-AB)

—(A-/1)AB+(,+4)AD;

M-M=I

??.由平面向量基本定理得：b?;

匕+4=1

解得A=∣,μ=?;

?,5

4〃—?*

故選:B.

8.【答案】A

【解析】解：在△4CD中，由余弦定理得：τlC2=AD2+CD2-2AD?CD-cos?ADC,

乙

即22=(≡)2+(C)2_2y∕~7×≤×cos?ADC=上+7—y∏acosADC，①

在AABO中，由余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cos?ADB,

c2=φ2+(<7)2-2<7X∣cos(π-?ADC)=?+7+CaCoS(ADC，②

由①②相加整理得：c2=∣α2÷10,③

又???4+c2—α2=2c,(4)

由③④解得：c=4,Q=2y∏3?

故選：A.

在A"D和AABD中，利用余弦定理建立方程，求解即可.

本題考查利用余弦定理解三角形，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解:因?yàn)橛小ǚ角襂Zl=I石I,所以五=方或五=—a所以N〃方且I五I=IEl是H=I的必

要不充分條件，故A正確，B錯(cuò)誤；

C,因?yàn)槠渑c石方向相同且I五I=I石|,所以五=a則五與方方向相同且I五I=131是胃=3的充要條件，

故C正確；

D,若五與方方向相反或|則≠∣B∣,則五≠E,若五≠E,貝展與方方向不同或IkI力|方|，

即由五大石得不至循與方方向相反或I可≠?b?>

所以五與方方向相反或Ial≠IBI是豆的充分不必要條件，正確.

故選：ACD.

根據(jù)向量共線、向量相等的概念結(jié)合充分條件、必要條件逐項(xiàng)判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)相等向量或相反向量的定義進(jìn)行判斷是解決本題

的關(guān)鍵，是中檔題.

IO.【答案】BCD

【解析】解：由正弦定理得SinB=蛆M=透=巳

a33

由匕>。得8>4故B為銳角或鈍角，A不符合題意;

由CoS8=I得SiTIB4bsinA4sinA

5=a=3

所以Si加4=|,

由Q<b得4VB,故A只能為銳角，符合題意；

由余弦定理得，C2=a2+b2-2abcosC=9+15-2x3x4x?=24—12門，

所以C=3√~2—?Γ~^,

由a<b得4VB,A有一解，C唯一確定，符合題意；

由正弦定理得SinB=典4sinA1

3=2,

所以

SiTL4=O

由。<6得4<8,4唯一確定，符合題意.

故選：BCD.

由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理及三角形大邊對(duì)大角分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算法則，重心的性質(zhì)，屬于中檔題.

利用重心的性質(zhì)，再結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解：4,?.?M為AABC的重心，未必為該三角形的外心，

二不一定有I加I=I而I=I流故A錯(cuò)誤，

B,?.?M為AABC的重心，。為BC的中點(diǎn)，.?.R0=2和，

?.?Mβ+MC=2ΛW=-ΛL4>???MΛ+MB+MC=O)故B正確，

C,?.?M為△力BC的重心，：.兩=：(瓦？+就)=g而+|前，故C錯(cuò)誤,

D,???M為AABC的重心，.?.麗=：初，:SABMC=；SAABc，故。正確.

故選：BD.

12.【答案】AC

【解析】解：由已知可得五+石=(m+1,3)，

因?yàn)锽?α+E)=3，

所以τn(m+1)+3=3,

解得m=-1或Tn=0,

又因?yàn)?n<0,

所以m=-1,

所以E=(T1),

對(duì)于4選項(xiàng)，Ibl=?/(-1)2÷I2=y∣~2，

故4選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng),2α+h=(‰5),α+2b=(-1,4)?

由于1×4≠-1×5,

所以2五+3與五+2至不平行，

故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，2α-6=(3,3)，a-2b=(3,0).

所以COS〈2Z一瓦為一23〉==崢，

又〈2ɑ—b,3—2b)∈(0,τr)>

所以〈2萬(wàn)一九五一29)=：,

故。選項(xiàng)正確;

向量五在3方向上的投影向量為翳.??je,

對(duì)于D選項(xiàng),

所以向量方在向量石上的投影向量的模為?,

故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

由方?m+W=3得方=(-L1)，對(duì)于4C選項(xiàng)，使用模長(zhǎng)公式和夾角公式進(jìn)行求解；對(duì)于B選項(xiàng),

需?需即為向量五在方向上的投影向量,

利用兩向量平行滿足的條件進(jìn)行判斷；對(duì)于。選項(xiàng),B從

而可以求模長(zhǎng).

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量模長(zhǎng)公式和夾角公式，屬中檔題.

13.【答案】\

【解析】解：???α=(1,3),b=(3,4)-

.?.a-λb=(l-3λ,3-4λ).b-a=(2,1).

???(a-λb)1(e-ɑ),

.?.(α-Λfa)?(K-o)=0,

.?.-IOA=-5,

故答案為:?

先求出五一;和方一五的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0解出;I即可.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】

【解析】解：因?yàn)橄蛄课?石的夾角為150。，IɑI=2,1KI=√~^3>

所以位一29)2=a2-4a-b+4b2=22-4×2×O×cosl50o+4×(O)2=28,

所以I五一2了|=2<7.

故答案為：2^Γ~^.

利于向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求Iα-2h∣2,進(jìn)而求解I五-2b?.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】3

【解析】解：設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c,

由題意可得4=120。，a=√19,c=2,

結(jié)合余弦定理，可得19=Z√+4-2xbx2xcosl20o,即爐+2b-15=0,

解得b=3或b=-5(舍去)，

所以ZC=3.

故答案為：3.

利用余弦定理得到關(guān)于b的方程，解方程即可求得b的值.

本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】9

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

用四，而表示出麗7，NM，再進(jìn)行計(jì)算.

【解答】

解：?.?^BM=3MC>^DN=2^NC,N

1111

福

一

和

-C萬(wàn)C

?--=-==

：-33--4Fc-4-

NCM

M33

-彳

B-8C--

4-4

.?.AM=AB+BM=AB+^AD>^NM=近+^^^^一―,

A

CM=^AB-^AD.

34

.-.AM-NM=(AB+^AD)■(∣AB-:而)=∣Aβ2-^-AD'=?×36-?×16=9.

4'34z3Io3Io

故答案為：9.

17.【答案】解：(I)因?yàn)檐?而一函=(3五一W-(2五+W=五一五，

AC=OC-OB=(a+3b)-(2a+b')=-a+2b,

所以前=-AB>

所以而與前共線，且有公共點(diǎn)4

所以力，B,C三點(diǎn)共線；

(2)因?yàn)?方一k方與統(tǒng)一43共線，

所以存在實(shí)數(shù)4,使得ZcZ—=4(9五—∕cB),

因?yàn)橹c石不共線，所以一，

(-4--kλ

解得2=±∣,k—+6,

所以實(shí)數(shù)k的值為±6.

【解析】(1)要證明三點(diǎn)共線，即證明三點(diǎn)組成的兩個(gè)向量共線即可.

(2)由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.

本題考查了平面向量的共線定理應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:由題意知而=(-1,3)，BC=(3,m).CD=(l,n)>

所以而=AB+^BC+^CD=(3,3+m+τι)>

；

(1)因?yàn)榍啊ň?所以而=4就，即｛3+;1M>bn,解得n=一3

(2)因?yàn)槟?荏+元=(2,3+m),βD=βC+CD=(4,m-3).又近1麗，

所以而?前=0，即8+(3+τH)(Tn-3)=0,解得τn=±l.

【解析】本題考查了向量平行和垂直的性質(zhì)運(yùn)用，關(guān)鍵是明確坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由已知得到向量而，利用向量平行即可求出小

(2)求出前，前的坐標(biāo)，由向量垂直，數(shù)量積為。即可求出m?

19.【答案】解：(1)因?yàn)槠?一警，所以(2b+c)cosA=-αcosC,

-

4Ot^CCUSKJ

由正弦定理得(2s出B+sinC')cosA=-SinAcosC,

所以2sinBCoSA=-SinAcosC-SinCcosA=-Sin(A+C)=-sinB,

顯然SinB。0,所以有2cos∕=—1,得cos4=—

因?yàn)榻?為△力BC內(nèi)角，所以4=零

(2)sinC=2sinB,由正弦定理可知C=26,

由⑴可知4=手因?yàn)镼=7,由余弦定理可得M=/)2+-2bccos∕,

所以有49=b2+4b2-4h2×(-?)=7b2,解得b=>J~7,c=2b=2√^π7?

【解析】(1)先用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)求解即可；

(2)先利用正弦定理找到邊b,C的關(guān)系，然后根據(jù)條件利用余弦定理求解即可.

本題考查了解三角形問(wèn)題，涉及到正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)設(shè)荏=五，AC=b,

則而=AB+BD

1

=

4-βc

31

+

=4-4-

=?+∣K,

44

所以I而∣2=近2

1

T2

a+

4-

923T1

--Q-+2X一Qb+

161616

Q31

—×16+2×-×4×4×cosl20o+—×16

16IoIo

=7,

故4。=>J~7?,

(2)設(shè)NZMC=8,則。為向量而與前的夾角.

因?yàn)镃OSe=受空

?AD??AC?

(∣a+∣g)?g

一?Λ7×4

_獷+字石

4C

=∣×16+∣×4×4×(-∣)

-4∕^7-

所以COSND力C=-今

【解析】(1)利用同和就表示同，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得;

(2)利用平面向量數(shù)量積直接計(jì)算即可.

本題考查了平面向量的運(yùn)算，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)?.?AB=a,AC^b,BE=2EClAC=3ΛD>

.-.JD=AD-AB=^AC-AB=^b-a,

AE=AB+BE=AB+IBC=AB+l(AC-AB)=IAB+IAC=^a+lb↑

⑵?.?40、E三點(diǎn)共線，.?.存在實(shí)數(shù)九使得而=4荏=4(五+IE)=W方+勺丸

???。、。三點(diǎn)共線，：.存在實(shí)數(shù)“，使得麗=〃前，.?.而一荏=〃麗，

可得而=南+〃前=五+〃(一行+頡)=(1—〃)"軟，

?+yb-(1-μ)a+^b,