新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差教師用書新人教A版選擇性必修第三冊_第1頁
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文檔簡介

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)任務(wù)1.理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的方差,并能解決一些實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布方差的求法,會(huì)利用公式求它們的方差.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)甲、乙兩個(gè)工人生產(chǎn)同一產(chǎn)品,在相同的條件下,他們生產(chǎn)100件產(chǎn)品所出的次品數(shù)分別用X1,X2表示,X1,X2的分布列如下:次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10(1)由E(X1)和E(X2)的值能比較兩名工人生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量嗎?(2)試想利用什么指標(biāo)可以比較加工質(zhì)量?知識(shí)點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的方差(1)離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同,所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均,來度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度,我們稱D(X)=x1i=1為隨機(jī)變量X的方差,有時(shí)也記為Var(X),并稱DX為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ(X)(2)離散型隨機(jī)變量方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度,反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,隨機(jī)變量的取值越集中;方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,隨機(jī)變量的取值越分散.(1)方差也可以用公式D(X)=i(2)隨機(jī)變量的方差是非負(fù)常數(shù).隨機(jī)變量的方差與樣本方差有什么關(guān)系?[提示]隨機(jī)變量的方差是總體的方差,它是一個(gè)常數(shù),樣本的方差則是隨機(jī)變量,是隨樣本的變化而變化的.對于簡單隨機(jī)樣本,隨著樣本容量的增加,樣本的方差越來越接近于總體的方差.知識(shí)點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量方差的線性運(yùn)算性質(zhì)設(shè)a,b為常數(shù),則D(aX+b)=a2D(X).1.思考辨析(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平. ()(2)離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波動(dòng)水平. ()(3)離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定. ()[答案](1)×(2)√(3)×2.已知隨機(jī)變量ξ,D(ξ)=14,則D(2ξ+1)=________1[D(2ξ+1)=4D(ξ)=4×14=1.3.已知隨機(jī)變量X,D(X)=14,則X的標(biāo)準(zhǔn)差σ(X)=________12[σ(X)=DX=14=類型1求離散型隨機(jī)變量的方差【例1】(源自北師大版教材)隨機(jī)拋擲一枚均勻的骰子,求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差(結(jié)果精確到0.01).[解]擲出點(diǎn)數(shù)X的分布列如下表:X123456P111111E(X)=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6D(X)=(1-3.5)2×16+(2-3.5)2×16+(3-3.5)2×16+(4-3.5)2×16+(5-3.5)2×16+(6-3.5)2×1σ(X)=DX≈1.71求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X的所有可能的取值.(2)求X取每一個(gè)值的概率.(3)寫出隨機(jī)變量X的分布列.(4)由均值、方差公式求E(X),D(X).[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.有10張卡片,其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,從中隨機(jī)地抽取3張卡片,設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ,求D(ξ).[解]由題意知ξ的可能取值為6,9,12.ξ=6表示取出的3張卡片上均標(biāo)有2,則P(ξ=6)=C83Cξ=9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2,一張標(biāo)有5,則P(ξ=9)=C82Cξ=12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2,兩張標(biāo)有5,則P(ξ=12)=C81C∴ξ的分布列為ξ6912P771∴E(ξ)=6×715+9×715+12×115∴D(ξ)=(6-7.8)2×715+(9-7.8)2×715+(12-7.8)2×115類型2方差的性質(zhì)及其應(yīng)用【例2】已知η的分布列為η010205060P12121(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差;(2)設(shè)Y=2η-E(η),求D(Y).[解](1)∵E(η)=0×13+10×25+20×115+50×215+60×∴D(η)=(0-16)2×13+(10-16)2×25+(20-16)2×115+(50-16)2×215+(60-16)2×∴σ(η)=Dη=86(2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-16)=22D(η)=4×384=1536.[母題探究](變條件)將本例的分布列改為X12345P0.10.20.40.20.1其他不變,如何求解?[解](1)∵E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.4+4×0.2+5×0.1=3,∴D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.4+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.1=1.2,∴σ(X)=DX=1(2)∵Y=2X-E(X),∴D(Y)=D(2X-E(X))=22D(X)=4×1.2=4.8.與離散型隨機(jī)變量方差性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路對于變量間存在關(guān)系的方差,在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a2D(X),這樣處理既避免了求隨機(jī)變量η=aX+b的分布列,又避免了繁雜的計(jì)算,簡化了計(jì)算過程.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.已知X的分布列為X-101P11a(1)計(jì)算X的方差;(2)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.[解](1)法一:由12+14+a=1知a=14,所以X的均值E(X)=-1×12+0×14+1×14=-14.故X的方差法二:由12+14+a=1知a=14,所以X的均值E(X)=-1×12+0×14+1×14=-14,X2的均值E(X2)=0×14+1×34=34,所以X的方差D(X)=E(X(2)因?yàn)閅=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.類型3方差的簡單應(yīng)用【例3】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η,且ξ,η的分布列為ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(1)求a,b的值;(2)計(jì)算ξ,η的期望與方差,并以此分析甲、乙技術(shù)狀況.[思路導(dǎo)引]概率值的和為1[解](1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a+0.1+0.6=1,∴a=0.3.同理0.3+b+0.3=1,解得b=0.4.(2)易得E(ξ)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,E(η)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,則D(ξ)=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,D(η)=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.由于E(ξ)>E(η),所以在一次射擊中,甲的平均得分比乙高,但D(ξ)>D(η),說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙,因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面,各有優(yōu)勢與劣勢.(1)解題時(shí)可采用比較分析法,通過比較兩個(gè)隨機(jī)變量的均值和方差得出結(jié)論.(2)均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平,有時(shí)只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?,還需比較方差,才能準(zhǔn)確地得出更適合的結(jié)論.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3.甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等,而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為X10123P0.30.30.20.2X2012P0.10.50.4試評(píng)定兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.[解]甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X1的均值和方差分別為E(X1)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;D(X1)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X2的均值和方差分別為E(X2)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3;D(X2)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因?yàn)镋(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同,甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動(dòng),乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定.1.(多選)下列說法正確的是()A.隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”B.隨機(jī)變量的均值反映波動(dòng)幅度的大小C.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度D.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,隨機(jī)變量的取值越集中;方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,隨機(jī)變量的取值越分散ACD[隨機(jī)變量的均值是一個(gè)重要的數(shù)字特征,它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.隨機(jī)變量的取值圍繞其均值波動(dòng),而隨機(jī)變量的均值無法反映波動(dòng)幅度的大小,所以A正確,B錯(cuò)誤.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度,反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,隨機(jī)變量的取值越集中;方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,隨機(jī)變量的取值越分散,所以C、D正確.]2.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表,則X的標(biāo)準(zhǔn)差為()X135P0.40.1xA.3.56 B.3.2C.3.2 D.3.56D[易知0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,所以E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,所以D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56,所以X的標(biāo)準(zhǔn)差為DX=3.56.故選3.隨機(jī)變量X的分布列如下:X01P0.2m已知隨機(jī)變量Y=aX+b(a,b>0),且E(Y)=10,D(Y)=4,則a與b的值為()A.a(chǎn)=10,b=3 B.a(chǎn)=3,b=10C.a(chǎn)=5,b=6 D.a(chǎn)=6,b=5C[因?yàn)?.2+m=1,所以m=0.8.所以E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8,D(X)=(0-0.8)2×0.2+(1-0.8)2×0.8=0.16.因?yàn)镋(Y)=10,D(Y)=4,所以aE(X)+b=0.8a+b=10,a2D(X)=0.16a2=4,解得a=5,b=6,故選C.]4.已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xP11p若E(X)=23,則D(X)=________;若Y=4X-3,則D(Y)=________59809[由12+13+又E(X)=0×12+1×13+1所以x=2.D(X)=0-23因?yàn)閅=4X-3,所以D(Y)=D(4X-3)=16D(X)=16×59=809回顧本節(jié)知識(shí),自主完成以下問題:1.隨機(jī)變量X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了隨機(jī)變量X的哪些特征?[提示]反映了X取值的穩(wěn)定性和波動(dòng),集中與離散程度.2.D(X)越小,隨機(jī)變量X的取值怎樣?[提示]越穩(wěn)定,波動(dòng)越?。n時(shí)分層作業(yè)(十五)離散型隨機(jī)變量的方差一、選擇題1.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且成功的概率p=0.5,則E(X)和D(X)分別為()A.0.5和0.25 B.0.5和0.75C.1和0.25 D.1和0.75A[∵X服從兩點(diǎn)分布,∴X的分布列為X01P0.50.5∴E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5,D(X)=(0-0.5)2×0.5+(1-0.5)2×0.5=0.25.故選A.]2.已知ξ的分布列為ξ-101P111則在下列各式①E(ξ)=-13;②D(ξ)=2327;③P(ξ=0)=13中,正確的個(gè)數(shù)是A.0B.1C.2D.3C[由題意,根據(jù)隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算公式可得:E(ξ)=(-1)×12+0×13+1×16=-1D(ξ)=-1+132×又由分布列可知P(ξ=0)=13,所以③正確.3.(多選)投資甲、乙兩種股票,每股收益的分布列分別如表1和表2所示,表1股票甲收益的分布列收益X/元-102P0.10.30.6表2股票乙收益的分布列收益Y/元012P0.30.40.3則下列結(jié)論中正確的是()A.投資股票甲的期望收益較小B.投資股票乙的期望收益較小C.投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險(xiǎn)高D.投資股票乙比投資股票甲的風(fēng)險(xiǎn)高BC[甲收益的期望E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,方差D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29,乙收益的期望E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,方差D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,所以E(X)>E(Y),D(X)>D(Y),則投資股票乙的期望收益較小,投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險(xiǎn)高.]4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=i)=13,i=1,2,3,則D(X)等于(A.13 B.C.1 D.2B[因?yàn)镻(X=i)=13,i=1,2,3,E(X)=1×13+2×13+3×1所以D(X)=13×(1-2)2+13×(2-2)2+13×(3-2)2=5.(多選)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=ak+1(k=1,2,5),a∈R,E(ξ),D(ξ)分別為隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望與方差,則下列結(jié)論正確的是(A.P(0<ξ<3.5)=5B.E(3ξ+1)=7C.D(ξ)=2D.D(3ξ+1)=6ABC[因?yàn)镻(ξ=k)=ak+1(k=1,2,5),a∈R所以P(ξ=1)=a1+1=a2,P(ξ=2)=a2+1P(ξ=5)=a5+1=a所以a2+a3+a6P(0<ξ<3.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=12+13=因?yàn)镋(ξ)=1×12+2×13+5×16所以E(3ξ+1)=3E(ξ)+1=3×2+1=7,故B選項(xiàng)正確;D(ξ)=12×(1-2)2+13×(2-2)2+16×(5-2)2=2D(3ξ+1)=32D(ξ)=9×2=18,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.]二、填空題6.隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ24Pab若E(ξ)=83,則D(ξ)=________89[由分布列的性質(zhì)可得,a+b=1, 又因?yàn)镋(ξ)=83,所以2a+4b=83, 聯(lián)立①②,解得a=23,b=1所以D(ξ)=23×2-837.若隨機(jī)變量X的分布列為:X012P11aD(X)為隨機(jī)變量X的方差,則D(3X+1)=_______________.6[由題意可知13+13+可得a=13,所以E(X)=13(0+1+2)=則D(X)=13[(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2]=2所以D(3X+1)=9×23=6.8.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表.X-1012Pabc1若E(X)=0,D(X)=1,則a=________,b=________.51214[由分布列的性質(zhì)知a+b+c+112由均值和方差的計(jì)算公式,得-a+c+16=0, (-1-0)2×a+(1-0)2×c+(2-0)2×112=1, 聯(lián)立①②③,解得a=512,b=14,c=1三、解答題9.?dāng)?shù)字1,2,3,4,5任意排成一列,如果數(shù)字k恰好在第k個(gè)位置上,則稱有一個(gè)巧合.把存在此種情況的數(shù)字的個(gè)數(shù)稱為巧合數(shù)ξ.(1)求巧合數(shù)ξ的分布列;(2)求巧合數(shù)ξ的期望與方差.[解](1)ξ可能取值為0,1,2,3,5,數(shù)字1,2,3,4,5任意排成一列,其基本事件的總數(shù)為A55,ξ=5時(shí),5個(gè)數(shù)字均在對應(yīng)位置,有1種排法,所以P(ξ=5)=1A55=1120;ξ=3,有3個(gè)數(shù)字在對應(yīng)位置,另外2個(gè)數(shù)字互換位置,P(ξ=3)=C53A55=10120=112;ξ=2,有2個(gè)數(shù)字在對應(yīng)位置,另外3個(gè)數(shù)不在對應(yīng)位置,所以P(ξ=2)=C52×2A55=20120=16;ξ=1,有1個(gè)數(shù)字在對應(yīng)位置,另外4個(gè)數(shù)字不在對應(yīng)位置,所以P(ξ=1)=則巧合數(shù)ξ的分布列為ξ01235P113111(2)E(ξ)=0×44120+1×45120+2×20120+3×10120+5×1120=1,D(ξ)=1×44120+0+1×20120+4×1010.(2023·廣西欽州期中)已知離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且P(X≥1)=23,P(X=3)=16,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)=54,則D(4X-3)=A.19 B.16C.194 D.7A[由題知P(X=0)=13,設(shè)P(X=1)=a,則P(X=2)=23-16-a=12-a,因此E(X)=0×13+1×a+2×12-a+3×X0123P1111則D(X)=13×0-542+1因此D(4X-3)=16D(X)=19.故選A.]11.(2023·浙江寧波十校期末聯(lián)考)將3個(gè)小球放入3個(gè)盒子中,盒子的容量不限,且每個(gè)小球放入各盒子的概率相等.記X為放入后所剩空盒的個(gè)數(shù),Y為放入后不空盒子的個(gè)數(shù),則()A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)C[由題意得X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=A3333=29,P(X=1)=C32A3233=∴E(X)=0×29+1×23+2×19D(X)=0-89Y的可能取值為1,2,3,P(Y=1)=P(X=2)=19,P(Y=2)=P(X=1)=23,P(Y=3)=P(X=0)=∴E(Y)=1×19+2×23+3×29D(Y)=1-199∴E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故選C.]12.(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表,則下列說法正確的是()XxyPyxA.存在x,y∈(0,1),E(X)>1B.對任意x,y∈(0,1),E(X)≤1C.對任意x,y∈(0,1),D(X)<E(X)D.存在x,y∈(0,1),D(X)>1BC[依題意可得x+y=1,E(X)=2xy,又2xy≤x+y22=12,所以E(X)≤12,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=12時(shí)取等號(hào),D(X)=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x2y+(1-2x)2y2x=[(1-2y)2x+(1-2x)2y]yx=[(2x-1)2x+(1-2x)2y]yx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx,∵0<x<1,∴-1<2x-1<1,∴0<(2x-1)2<1,∴D(X)<yx,即D(X)<12E(X),∴C∵D(X)=(1-2x)2yx<xy≤x+y24=14,∴13.已知隨機(jī)變量X的分布列如下:X012P11p則當(dāng)p=13時(shí),E(X)=________;當(dāng)0<p<1時(shí),D(X)的最大值為________561E(X)=0×1-p2+1×12+2×p2當(dāng)p=13時(shí),E(X)=13+當(dāng)0<p<1時(shí),D(X)=0-1+2p22×1-p2+1當(dāng)且僅當(dāng)p=12時(shí),等號(hào)成立,故D(X)的最大值為1214.有甲、乙兩種建筑材料,從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度如表所示,其中,ξA,ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度.ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2試比較甲、乙兩種材料的穩(wěn)定程度(哪一個(gè)穩(wěn)定性較好).[解]E(ξA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(ξB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125.D(ξA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,D(ξB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.由此可見E(ξA)=E(ξB),D(ξA)<D(ξB

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