新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.1一元線性回歸模型8.2.2第2課時(shí)回歸分析及非線性回歸模型學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

第2課時(shí)回歸分析及非線性回歸模型學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解殘差、殘差圖的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．會(huì)通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)3．了解非線性回歸模型，掌握對數(shù)函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型和冪函數(shù)模型的求解過程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)設(shè)某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得的一些數(shù)據(jù)如表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數(shù)的散點(diǎn)圖近似描述y與x的關(guān)系，很顯然，這些散點(diǎn)不在一條直線附近．你能求出這個(gè)函數(shù)模型嗎？知識(shí)點(diǎn)1殘差及殘差圖(1)對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為________．通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱為________，觀測值減去預(yù)測值稱為________．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果．通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等．(2)作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或解釋變量的觀測值等，這樣作出的圖形稱為________．在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度________，說明模型擬合精度越高．(3)殘差分析：________是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為________．知識(shí)點(diǎn)2對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析(1)殘差圖法：在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以________，則說明經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了兩個(gè)變量的關(guān)系．(2)(3)決定系數(shù)R2法：可以用R2＝來比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越________，模型擬合效果越差，R2越________，模型擬合效果越好．決定系數(shù)R2的取值范圍是什么？知識(shí)點(diǎn)3非線性回歸方程(1)非線性回歸分析的思想研究兩個(gè)變量的關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)畫出散點(diǎn)圖，從整體上看，如果樣本點(diǎn)沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，就稱這兩個(gè)變量之間不具有線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)不能直接利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系．(2)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程當(dāng)回歸方程不是形如y＝bx＋a(a，b∈R)時(shí)，稱之為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程．當(dāng)兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)的分布選擇合適的曲線方程來擬合數(shù)據(jù)，可通過變量代換，利用線性回歸模型建立兩個(gè)變量間的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)殘差平方和越接近0，線性回歸模型的擬合效果越好． ()(2)在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，響應(yīng)變量在x軸上，解釋變量在y軸上． ()(3)R2越小，線性回歸模型的擬合效果越好． ()(4)在殘差圖中，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號． ()2．在兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同的模型，它們的決定系數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A．模型1的決定系數(shù)R2為0.98B．模型2的決定系數(shù)R2為0.80C．模型3的決定系數(shù)R2為0.50D．模型4的決定系數(shù)R2為0.253．從某省“雙一流”大學(xué)中隨機(jī)選出8名女大學(xué)生，得到其身高x(單位：cm)與體重y(單位：kg)的數(shù)據(jù)如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.85x－85.71，則選取的女大學(xué)生身高為175cm時(shí)，相應(yīng)的殘差為________kg．類型1殘差與殘差分析【例1】(1)對變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是()ABCD(2)已知一系列樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝2x＋a，若樣本點(diǎn)(r，1)與(1，s)的殘差相同，則有()A．r＝s B．s＝2rC．s＝－2r＋3 D．s＝2r＋1[嘗試解答](1)殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高．(2)殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)值，ei＝y(tǒng)i－yi．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．兩個(gè)線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：x99.51010.511y1110865其經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y＝bx＋40，則相對應(yīng)于點(diǎn)(11，5)的殘差為()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.42．已知某成對樣本數(shù)據(jù)的殘差圖如圖，則樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)中可能不準(zhǔn)確的是從左到右第________個(gè)．類型2殘差平方和與決定系數(shù)R2【例2】已知某種商品的價(jià)格x(單位：元)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)借助殘差平方和與R2說明回歸模型擬合效果的好壞．[嘗試解答]刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．(2)(3)決定系數(shù)R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的擬合效果越好．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．為研究質(zhì)量x(單位：g)對彈簧長度y(單位：cm)的影響，對不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測量，數(shù)據(jù)如表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖并求經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)求出R2并說明回歸模型擬合的程度；(3)進(jìn)行殘差分析．類型3非線性回歸分析【例3】為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化，繁殖的個(gè)數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如表所示：天數(shù)x/天123456繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)612254995190(1)用天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作響應(yīng)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：y＝a＋bx與y＝c1ec2x哪一個(gè)作為繁殖的個(gè)數(shù)y關(guān)于時(shí)間x變化的回歸方程類型為最佳？xyzi=1i=1i=13.562.833.5317.5596.50512.04其中(2)根據(jù)(1)的判斷最佳結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程．[嘗試解答][母題探究](變設(shè)問)在本例條件不變的情況下，試估計(jì)第7天細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)．解決非線性回歸問題的方法及步驟(1)確定變量：確定解釋變量為x，響應(yīng)變量為y．(2)畫散點(diǎn)圖：通過觀察散點(diǎn)圖并與學(xué)過的函數(shù)(冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù))作比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型．(3)變量置換：通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題．(4)分析擬合效果：通過計(jì)算決定系數(shù)等來判斷擬合效果．(5)寫出非線性回歸方程．提醒：當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，可采用計(jì)算器或者數(shù)學(xué)軟件來求回歸方程．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．(源自湘教版教材)實(shí)驗(yàn)中獲得了某化學(xué)品的化學(xué)反應(yīng)時(shí)間和轉(zhuǎn)化率的數(shù)據(jù)如表，試建立轉(zhuǎn)化率y關(guān)于反應(yīng)時(shí)間x的回歸方程(結(jié)果保留三位小數(shù))．時(shí)間x/min6080100120140150160170轉(zhuǎn)化率y/%6.139.9915.0220.9231.1138.8547.2555.051．下面四個(gè)殘差圖中，可以滿足一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假定的是()ABCD2．下列說法錯(cuò)誤的是()A．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越窄，回歸方程的擬合效果越好B．殘差平方和越小，決定系數(shù)R2越大C．決定系數(shù)R2可以大于1D．通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值是響應(yīng)變量的可能取值的平均值，不一定是響應(yīng)變量的精確值3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性作試驗(yàn)，并用回歸分析的方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則________同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量更強(qiáng)的線性相關(guān)性．4．在研究兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條曲線y＝ebx＋a的周圍，令z＝lny，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為z＝0.25x－2.58，則該模型的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為________．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析有哪些常見方法？2．決定系數(shù)R2與相關(guān)系數(shù)r一樣嗎？第2課時(shí)回歸分析及非線性回歸模型[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識(shí)點(diǎn)1(1)觀測值預(yù)測值殘差(2)殘差圖越窄(3)殘差殘差分析知識(shí)點(diǎn)2(1)橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)(3)小大思考提示：0≤R2≤1．課前自主體驗(yàn)1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．A[R2越大擬合效果越好．]3．0.96[當(dāng)x＝175cm時(shí)，y＝0.85×175－85.71＝63.04(kg)，∴相應(yīng)的殘差e＝64－63.04＝0.96(kg)．][關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1(1)A(2)C[(1)用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．(2)樣本點(diǎn)(r，1)的殘差為1－2r－a，樣本點(diǎn)(1，s)的殘差為s－a－2．依題意得1－2r－a＝s－a－2，故s＝－2r＋3．]跟進(jìn)訓(xùn)練1．B[由于y＝bx＋40過樣本中心點(diǎn)(10，8所以8＝10b＋40，則b＝－3.2，因此y＝－3.2x＋40．當(dāng)x＝11時(shí)，y＝－3.2×11＋40＝4.8，所以殘差e＝5－y＝5－4.8＝0.2．]2．6[原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)往往是殘差絕對值過大的那個(gè)數(shù)據(jù)，即偏離平衡位置過大．]例2解：(1)x＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y＝15×(12＋10＋7＋5所以b＝＝620-5×18a＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y＝－1.15x＋28.1．(2)列出殘差表為yi－y00.3－0.4－0.10.2yi－y4.62.6－0.4－2.4－4.4所以所以回歸模型的擬合效果很好．跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．由表中數(shù)據(jù)，得x＝16×(5＋10＋15＋20＋25＋30)y＝16×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487i=1計(jì)算得b≈0.183，a≈6.285．故所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝6.285＋0.183x．(2)列表如下：yi－y0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－y－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313可得所以R2＝1－0.0131814.6783≈0.9991回歸模型的擬合效果較好．(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系．例3解：(1)作出散點(diǎn)圖，如圖1所示．由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)y＝c1ec2x的周圍，于是選擇y＝c(2)令z＝lny，則z＝bx＋x123456z1.792.483.223.894.555.25相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖2．從圖2可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，因此可以用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來擬合．a(chǎn)＝z－bx＝1.115，得z＝則有y＝e0.69x+1.115．母題探究解：∵y＝e0.69x+1.115，∴當(dāng)x＝7時(shí)，y≈382(個(gè))，即第7天細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)約為382個(gè)．跟進(jìn)訓(xùn)練4．解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖(圖1)．觀察散點(diǎn)圖可知，樣本點(diǎn)并沒有分布在某條直線附近，因而變量y與x之間沒有明顯的線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸模型來刻畫這兩個(gè)變量之間的關(guān)系．根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)曲線y＝c1ec2x的附近，其中c1和c為