新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)微專題強(qiáng)化練2離散型隨機(jī)變量均值與方差的實(shí)際應(yīng)用新人教A版選擇性必修第三冊

微專題強(qiáng)化練(二)離散型隨機(jī)變量均值與方差的實(shí)際應(yīng)用1．某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘．由于下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元若基地額外聘請工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)．無雨時(shí)收益為20萬元；有雨時(shí)收益為10萬元．額外聘請工人的成本為a萬元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36．(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益(即X的均值)；(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人，請說明理由．2．某人欲投資10萬元，有兩種方案可供選擇，設(shè)X表示方案一所得收益(單位：萬元)，Y表示方案二所得收益(單位：萬元)，其分布列分別為X－28P0.70.3Y－312P0.70.3假定同期銀行利率為1.75%，該人征求你的意見，你通過分析會得到怎樣的結(jié)論呢？3．A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2．根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元，Y1(萬元)和Y2(萬元)分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項(xiàng)目，(100－x)萬元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取到最小值．4．某保險(xiǎn)公司對一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為A，B，C三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如表(并以此估計(jì)賠付概率)：工種類別ABC賠付頻率121已知A，B，C三類工種的職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元．(1)求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤的均值；(2)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬元；方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的30%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無額外專項(xiàng)開支．請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議．微專題強(qiáng)化練(二)1．解：(1)設(shè)下周一無雨的概率為p，由題意得，p2＝0.36，則p＝0.6，基地收益X的可能取值為20，15，10，7.5，則P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列為X2015107.5P0.360.240.240.16基地的預(yù)期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(萬元)，所以基地的預(yù)期收益為14.4萬元．(2)設(shè)基地額外聘請工人時(shí)的收益為Y萬元，則其預(yù)期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)萬元，E(Y)－E(X)＝1.6－a，綜上，當(dāng)額外聘請工人的成本高于1.6萬元時(shí)，不外聘工人；成本低于1.6萬元時(shí)，外聘工人；成本恰為1.6萬元時(shí)，是否外聘工人均可以．2．解：由期望和方差的計(jì)算公式，得E(X)＝－2×0.7＋8×0.3＝1，E(Y)＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5，D(X)＝(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3＝21，D(Y)＝(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3＝47.25．由于同期銀行利率為1.75%，所以若將10萬元存入銀行，可得利息(無風(fēng)險(xiǎn)收益)10×1.75%＝0.175(萬元)．從期望收益的角度來看，兩種投資方案都可以帶來額外的收益，但都需要冒一定的風(fēng)險(xiǎn)．方案一的期望收益小于方案二，但方案一的風(fēng)險(xiǎn)小于方案二．所以，如果想穩(wěn)賺而不冒任何風(fēng)險(xiǎn)，就選擇存入銀行；如果想多賺點(diǎn)又不想風(fēng)險(xiǎn)太大就選擇方案一；如果想多賺又不怕風(fēng)險(xiǎn)就選擇方案二．3．解：(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12．(2)f(x)＝Dx100·Y1＋D100-x100·Y2＝x1002＝41002[x2＋3(100－x)2]＝41002(4x2－600x＋3×所以當(dāng)x＝6002×4＝75時(shí)，f(x)4．解：(1)設(shè)工種A，B，C職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量X，Y，Z，則X，Y，Z的分布列分別為X2525－100×104P1－11Y2525－100×104P1－22Z4040－50×104P1－11所以E(X)＝25×1-1105＋(25－100×104)×E(Y)＝25×1-2105＋(25－100×104)×E(Z)＝40×1-1104＋(40－50×104)×保險(xiǎn)公司所獲利潤的均值為12000×15＋6000×5－2000×10－100000＝90000，所以保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤的均值為9萬元．(2)方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開支共為12000×100×104×1105＋6000×100×104×2105＋2000×50×104×1104