2024春七年級數(shù)學(xué)下冊極速提分法第10招構(gòu)造全等三角形的七種常用方法課件新版北師大版

北師版七年級下第10招構(gòu)造全等三角形的七種常用方法在進(jìn)行幾何題的說明或計算時，需要在圖形中添加一些輔助

線.輔助線能使題目中的條件集中，能比較容易找到一些量之

間的關(guān)系，使數(shù)學(xué)問題較輕松地解決.常見的輔助線作法有翻

折法、補(bǔ)形法、旋轉(zhuǎn)法、倍長中線法、截長(補(bǔ)短)法、作垂

線法和作平行線法，目的都是構(gòu)造全等三角形.

如圖，已知AB∥CD，CE，BE分別平分∠BCD和

∠CBA，點E在AD上.試說明：BC＝AB＋CD.

說明線段的和差問題，常采用截長補(bǔ)短法，把兩

條較短線段中的一條補(bǔ)到另一條較短線段上，或把較長的線段截成兩條線段.構(gòu)造全等三角形說明線段相等是常用的方法，而用基礎(chǔ)三角形(△ABE)法是作全等三角形最基本的方法之一.解：如圖，在BC上取一點F，使BF＝BA，連接EF.因為CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，所以∠3＝∠4，∠1＝∠2.

翻折法1.如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，AD⊥BE，垂

足為D.試說明：∠2＝∠1＋∠C.【解】如圖，延長AD交BC于點F.(相當(dāng)于將AB邊向下翻

折，與BC邊重合，A點落在F點處，折痕為BD)因為BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE.因為AD⊥BE，所以∠ADB＝∠BDF＝90°.

所以△ABD≌△FBD(ASA).所以∠2＝∠DFB.又因為∠DFB＝180°－∠AFC＝∠1＋∠C，所以∠2＝∠1＋∠C.

補(bǔ)形法2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為BC

的中點，CE⊥AD于點E，其延長線交AB于點F，連接DF.試說明：∠ADC＝∠BDF.【解】如圖，過點B作BG⊥BC交CF的延長線于點G，則

∠CBG＝90°.因為∠ACB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°.因為CE⊥AD，所以∠AEC＝90°.所以∠1＋∠ACF＝90°.所以∠1＝∠2.

所以△ACD≌△CBG(ASA).所以∠ADC＝∠G，CD＝BG.因為點D為BC的中點，所以CD＝BD.所以BD＝BG.因為∠ACB＝90°，AC＝BC，所以∠DBF＝45°.又因為∠DBG＝90°，所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°

－45°＝45°.所以∠DBF＝∠GBF.

所以△BDF≌△BGF(SAS).所以∠BDF＝∠G.所以∠ADC＝∠BDF.

旋轉(zhuǎn)法3.如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上一點，F(xiàn)為CD邊上

一點，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度數(shù).【解】如圖，延長CB到點H，使得BH＝DF，連接AH.在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABE＝90°，∠D＝90°，

所以∠ABH＝∠D＝90°.

所以△ABH≌△ADF(SAS).所以AH＝AF，∠BAH＝

∠DAF.所以∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF

＝∠BAD＝90°.因為BE＋DF＝EF，所以BE＋BH＝EF，即EH＝EF.

所以△AEH≌△AEF(SSS).

【點撥】圖中所作輔助線，相當(dāng)于將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)

90°，使AD邊與AB邊重合，得到△ABH.

倍長中線法4.[2023·北京四中期中]在△ABC中，AB＝3，AC＝5，延長

BC至D，使CD＝BC，連接AD，則AD的長度的取值范圍是

(

A

)A.7＜AD＜13B.2＜AD＜14C.2＜AD＜7D.5＜AD＜11A【點撥】如圖，延長AC，使CE＝AC，連接DE.

所以△ABC≌△EDC(SAS).所以AB＝DE.因為AB＝3，AC＝5，所以AE＝2AC＝10，DE＝3.所以10－3＜AD＜10＋3，即7＜AD＜13.

截長(補(bǔ)短)法5.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B

＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝

60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并加以

說明.【解】EF＝BE＋FD.如圖，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG.因為∠B＝∠ADC＝90°，所以∠B＝∠ADG＝90°.

所以△ABE≌△ADG(SAS).所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.又因為∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，所以∠BAE＋∠FAD＝60°.所以∠DAG＋∠FAD＝60°，即

∠GAF＝60°.所以∠EAF＝∠GAF.

所以△EAF≌△GAF(SAS).所以EF＝GF＝FD＋DG.所以EF＝FD＋BE.

作垂線法6.如圖，P為OC上的一點，PD＝PE，∠ODP與∠OEP互補(bǔ).

試說明：OP平分∠AOB.(提示：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分

線上)【解】如圖，過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M，N，則∠PMD＝∠PNE＝90°.因為∠ODP與∠OEP互補(bǔ)，所以∠ODP＋∠OEP＝180°.又因為∠ODP＋∠PDA＝180°，所以∠OEP＝∠PDA.

所以△PMD≌△PNE(AAS).所以PM＝PN.所以O(shè)P平分∠AOB.

作平行線法7.如圖，在△ABC中，∠BAC＝