北京第四中學順義分校2022-2023學年高二數學理知識點試題含解析

北京第四中學順義分校2022-2023學年高二數學理知識點試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在平面直角坐標系中，矩形OABC,將矩形折疊，使O點落在線段BC上，設折痕所在直線的斜率為，則的范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D2.在極坐標系中，過點（1,0）并且與極軸垂直的直線方程是（

）A．

B.

C.

D.

參考答案：C3.實半軸長等于，并且經過點B（5，﹣2）的雙曲線的標準方程是（）A．或B．C．D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】若實軸在x軸上，可設其方程為=1，b＞0，若實軸在y軸上，可設其方程為=1，b＞0，分別把B（5，﹣2）代入，能求出結果．【解答】解：由題設，a=2，a2=20．若實軸在x軸上，可設其方程為=1，b＞0，把B（5，﹣2）代入，得b2=16；若實軸在y軸上，可設其方程為=1，b＞0，把B（5，﹣2）代入，得b2=﹣（舍），故所求的雙曲線標準方程為．故選：C．4.已知函數f（x）=，g（x）=ax，則方程g（x）=f（x）恰有兩個不同的實根時，實數a的取值范圍是（）（注：e為自然對數的底數）A． B． C． D．參考答案：B【考點】54：根的存在性及根的個數判斷．【分析】作出f（x）與g（x）的函數圖象，根據圖象和交點個數判斷a的范圍．【解答】解：作出f（x）與g（x）的函數圖象，如圖所示：設直線y=ax與y=lnx相切，切點坐標為（x0，y0），則，解得x0=e，y0=1，a=．由圖象可知當≤a＜時，兩圖象有2個交點，故選B．5.早上從起床到出門需要洗臉刷牙(5min)、刷水壺(2min)、燒水(8min)、泡面(3min)、吃飯(10min)、聽廣播(8min)幾個步驟、從下列選項中選最好的一種算法（）A．S1洗臉刷牙、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播B．刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯、S5

聽廣播C．刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯同時聽廣播D．吃飯同時聽廣播、S2泡面、S3燒水同時洗臉刷牙、S4刷水壺參考答案：C6.若圓的方程為（為參數），直線的方程為（t為參數），則直線與圓的位置關系是（

）A

相交過圓心

B相交而不過圓心

C

相切

D

相離參考答案：B7.（5分）“x=1”是“x2﹣1=0”的（） A．充要條件 B． 必要不充分條件 C．既非充分也非必要條件 D． 充分不必要條件參考答案：D8.各項均為正數的數列{an}中，Sn為前n項和，，且，則tanS4=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.在極坐標系中,已知點,則過點P且平行于極軸的直線的方程是(

)A.B.C.D.參考答案：A【分析】將點化為直角坐標的點，求出過點且平行于軸的直線的方程，再轉化為極坐標方程，屬于簡單題?！驹斀狻恳驗辄c的直角坐標為，此點到軸的距離是，則過點且平行于軸的直線的方程是，化為極坐標方程是故選A.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化，屬于簡單題。10.如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為()參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設數列{an},{bn}都是等差數列，若a1+b1=7，a3+b3=21，則a5+b5=_________參考答案：3512.在空間直角坐標系中，點A（1，1，1）關于x軸的對稱點為B，則點A與點B的距離是．參考答案：【考點】空間兩點間的距離公式．【專題】數形結合；定義法；空間向量及應用．【分析】求出點A關于x軸的對稱點B的坐標，計算|AB|即可．【解答】解：∵A（1，1，1）關于x軸的對稱點為B，∴B（1，﹣1，﹣1），∴|AB|==2．故答案為：．【點評】本題考查了空間中的對稱與兩點間距離公式的應用問題，是基礎題．13.函數的反函數是則

。參考答案：214.一個均勻的小正方體的六個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以1，一個面上標以2，將這個小正方體拋擲兩次，則向上的數之積的數學期望是

．參考答案：略15.給出下列命題：（1）“若x＞2，則x＞0”的否命題（2“?a∈（0，+∞），函數y=ax在定義域內單調遞增”的否定（3）“π是函數y=sinx的一個周期”或“2π是函數y=sin2x的一個周期”（4）“x2+y2=0”是“xy=0”d的必要條件其中真命題的序號是

．參考答案：（2）（3）考點：命題的真假判斷與應用．專題：對應思想；定義法；簡易邏輯．分析：（1）求出否命題，直接判斷；（2）命題和命題的否定真假相對；（3）或命題，有真則真；（4）x2+y2=0”可推出x=0，y=0．解答：解：（1）“若x＞2，則x＞0”的否命題為若x≤2，則x≤0，顯然錯誤；（2“?a∈（0，+∞），函數y=ax在定義域內單調遞增”為假命題，則它的否定為真命題，故正確；（3）“π是函數y=sinx的一個周期”，命題為假命題，“2π是函數y=sin2x的一個周期”命題為真命題，故或命題為真；（4）“x2+y2=0”可推出xy=0，故錯誤．故答案為（2）（3）．點評：考查了命題和命題的否定的邏輯關系，或命題的邏輯關系．屬于基礎題型，應熟練掌握

16.設滿足約束條件，若目標函數的最大值為，則的最小值為________________.參考答案：17.已知集合A={1,3,m}，B={3,4}，A∪B={1,2,3,4}，則實數m=

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．參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知在的展開式中二項式系數和為256．（1）求展開式中常數項；（2）求展開式中二項式系數最大的項．參考答案：（1）；（2）試題分析：（1）借助題設條件運用通項公式待定求解；（2）借助題設條件運用二項式展開式中的組合數性質求解.試題解析：（1）二項式系數和為，（，）當時，常數項為（2）第5項二項式系數最大二項式系數最大項為19.已知函數（1）若，是否存在，使得為偶函數，如果存在，請舉例并證明，如果不存在，請說明理由；（2）若，判斷在上的單調性，并用定義證明；（3）已知，存在，對任意，都有成立，求a的取值范圍.參考答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）.【分析】（1）將代入證明為偶函數即可。（2）代入，先判斷函數為單調遞減函數，再根據定義法代入作差即可證明為單調遞減函數。（3）去絕對值化簡不等式，根據全稱命題與特稱命題的成立關系可得，分兩段不等式求解即可?！驹斀狻浚?）存在使為偶函數，此時：，證明：的定義域為關于原點對稱，且為偶函數。（2），且，，在上為減函數證明：任取，且，

，即在上為減函數（3）,,對任意，存在，使得成立，即存在，使得，當時，為增函數或常函數，此時，則有恒成立當時，當時，綜上所述：.【點睛】本題考查了函數奇偶性與單調性的綜合英語，恒成立與存在性成立問題的綜合應用，討論過程復雜，需要很強的數學思維能力，屬于難題。20.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的四個頂點所圍成菱形的面積為．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）四邊形ABCD的頂點在橢圓C上，且對角線AC，BD均過坐標原點O，若．（1）求的取值范圍；（2）證明：四邊形ABCD的面積為定值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（I）由橢圓的離心率和橢圓的四個頂點所圍成菱形的面積，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程．（II）（1）當直線AB的斜率不存在時，=2．當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓聯立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此利用根的判別式、向量的數量積運算法則，結合已知條件能求出的取會晤范圍．）（2）設原點到直線AB的距離為d，由此利用點到直線的距離公式、弦長公式能證明四邊形ABCD的面積為定值．【解答】（本小題滿分14分）解：（I）∵橢圓（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的四個頂點所圍成菱形的面積為，∴由已知，，，a2=b2+c2，解得a=2，b=c=2，∴橢圓的方程為．（II）（1）當直線AB的斜率不存在時，=2．當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，（m2≠4）∵kOA?kOB=kAC?kBD，∴=﹣，∴=﹣，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==+km?+m2=，∴﹣=，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，∴4k2+2=m2，=x1x2+y1y2===2﹣，∴﹣2=2﹣4≤＜2，且的最大值為2∴∈[﹣2，0）∪（0，2]．證明：（2）設原點到直線AB的距離為d，則S△AOE=|AB|?d=?|x2﹣x1|?====2=2，∴S四邊形ABCD=4S△AOB=8為定值．21.甲、乙兩人約定于6時到7時之間在某地會面，并約定先到者應等候另一個人一刻鐘，過時即可離去．求兩人能會面的概率．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】由題意知本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的所有事件對應的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合對應的面積是邊長為60的正方形的面積，寫出滿足條件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}對應的集合和面積，根據面積之比得到概率．【解答】解：由題意知本題是一個幾何概型，∵試驗發(fā)生