湖南省長沙市第八中學高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析

湖南省長沙市第八中學高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調查，將840人按1，2，3，…，840隨機編號，則抽取的42個人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為A．11

B．12

C．13

D．14參考答案：B2.下列命題中，真命題的個數(shù)是．（）①命題“若p，則q”的否命題是“若p，則￢q”；②xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要條件；③已知命題p，q，若“p∧q”為假命題，則命題p與q一真一假；④線性相關系數(shù)r的絕對值越接近1，表示兩個變量的相關性越強．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】由命題的否命題為既對條件否定，又對結論否定，即可判斷①；由命題的等價命題：x=5且y=2是xy=10的充分不必要條件，即可判斷②；運用復合命題的真假，即可判斷③；線性相關系數(shù)r的絕對值越接近1，表示兩個變量的相關性越強，即可判斷④．【解答】解：①命題“若p，則q”的否命題是“若￢p，則￢q”，故①錯；②x=5且y=2是xy=10的充分不必要條件，由等價性可得xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要條件，故②對；③已知命題p，q，若“p∧q”為假命題，則命題p或q為假命題，故③錯；④線性相關系數(shù)r的絕對值越接近1，表示兩個變量的相關性越強，故④對．其中正確的命題個數(shù)為2．故選：B．3.已知P是拋物線x2=4y上的一個動點，則點P到直線l1：4x﹣3y﹣7=0和l2：y+2=0的距離之和的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】拋物線的簡單性質；點到直線的距離公式．【分析】根據(jù)題意，設P的坐標為（a，a2），利用點到直線的距離公式分別算出P到直線l1的距離d1=（a2﹣4a+7）和P到直線l2的距離d2=a2+2，得到d1+d2關于a的二次函數(shù)式，利用二次函數(shù)的性質可求出d1+d2的最小值，從而得到答案．【解答】解：由P是拋物線x2=4y上的動點，設點P的坐標為（a，a2），∴點P到直線l1：4x﹣3y﹣7=0的距離d1==，點P到直線l2：y+2=0的距離d2=a2+2．由此可得兩個距離之和為d1+d2=+a2+2=（a2﹣4a+7）+a2+2=a2﹣a+=（a﹣2）2+3，∴當a=2時，d1+d2的最小值是3，即所求兩個距離之和的最小值是3．故選：C4.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內的極小值點共有()．A．1個

B．2個C．3個

D．4個參考答案：A略5.如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正確的是(

)A． B． C．a(chǎn)b＞b2 D．a(chǎn)2＞ab參考答案：B【考點】不等關系與不等式．【專題】不等式的解法及應用．【分析】由a＞b＞0，可得ab＞0且a2＞b2＞0，利用不等式的性質2“不等式的兩邊同乘（除）一個正數(shù)，不等號方向不變”，逐一分析四個答案的正誤，可得答案【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞0∴，即，故A答案正確；∴a2＞b2＞0，即＞，即，故B答案正確；∴ab＞b2，故C答案正確；∴a2＞ab，故D答案正確；故不等式中不正確的是B故選B【點評】本題考查的知識點是不等式與不等關系，熟練掌握不等式的性質是解答的關鍵．6.已知空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點，則=

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B7.在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：D略8.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x﹣3）（x﹣6）=0}，則A∩B等于（）A．{1} B．{2，3} C．{3，6} D．{3}參考答案：D【考點】交集及其運算．【專題】計算題；集合思想；集合．【分析】求出B中方程的解確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：由B中方程解得：x=3或x=6，即B={3，6}，∵A={1，2，3}，∴A∩B={3}，故選：D．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．9.為研究某兩個分類變量是否有關系，根據(jù)調查數(shù)據(jù)計算得到，因為，則斷定這兩個分類變量有關系，那么這種判斷犯錯誤的概率不超過(

)．A.0.1 B.0.001 C.0.01 D.0.05參考答案：B【分析】根據(jù)觀測值，對照臨界值表，即可得到結論．【詳解】由題意，根據(jù)調查數(shù)據(jù)計算得到，因為，所以這種判斷犯錯誤的概率不超過，故選B．【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，其中解答中熟記獨立性檢驗的概念和含義是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．10.下列點在曲線上的是(

) A．（2，1） B．（﹣3，﹣2） C． D．（1，1）參考答案：C考點：參數(shù)方程化成普通方程．專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：根據(jù)三角函數(shù)的平方關系將參數(shù)方程化為普通方程，再把各個選項中點的坐標代入驗證即可．解答： 解：由題意得，，消去參數(shù)θ得y2+x=1，A、把點（2，1）代入y2+x=1不成立，A不正確；B、把點（﹣3，﹣2）代入y2+x=1不成立，B不正確；C、把點（，）代入y2+x=1成立，C正確；D、把點（1，1）代入y2+x=1不成立，D不正確；故選：C．點評：本題考查參數(shù)方程化為普通方程，三角函數(shù)的平方關系的應用，以及點與曲線的位置關系，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為

.參考答案：12.已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為_______．參考答案：1813.不等式對任意及任意恒成立，則實數(shù)a取值范圍是

．參考答案：考點：基本不等式及靈活運用．【易錯點晴】本題考查的是基本不等式的靈活運用等知識和方法的綜合運用.解答時先依據(jù)題設條件將不等式進行等價轉化,即求函數(shù)最小值問題,然后再運用基本不等式求得,即求出其最小值為,從而求得.解答本題是要對所個不等式進行巧妙變形,這是解答本題的難點,因此要引起足夠的重視.14.下面是一個算法．如果輸出的y的值是20，則輸入的x的值是

.參考答案：2或615.已知，，則的值為_______________.參考答案：【分析】由三角函數(shù)的基本關系式和正弦的倍角公式，求得，再由兩角差的余弦函數(shù)的公式，即可求解．【詳解】由，即，則，又由，所以，又由．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關系式，以及正弦的倍角公式和兩角差的余弦公式的化簡、求值，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．16.已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三點共線，則k=．參考答案：【考點】9K：平面向量共線（平行）的坐標表示；I6：三點共線．【分析】利用三點共線得到以三點中的一點為起點，另兩點為終點的兩個向量平行，利用向量平行的坐標形式的充要條件列出方程求出k．【解答】解：向量，∴又A、B、C三點共線故（4﹣k，﹣7）=λ（﹣2k，﹣2）∴k=故答案為17.已知A、B是橢圓+=1的兩個頂點，C、D是橢圓上兩點，且分別在AB兩側，則四邊形ABCD面積最大值是．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】四邊形ABCD面積=S△ABD+S△ABC，AC是固定的直線，可判斷兩條平行直線與AB平行時，切點為C，D，此時h1，h2最大，面積最大時，利用導數(shù)求出D（2，）再利用對稱性得出C（﹣2，），|AC|=5，最后利用點到直線的距離，求出即可．【解答】解：∵A、B是橢圓+=1的兩個頂點，∴A（4，0），B（0，3），∴直線AB的方程為：3x﹣4y﹣12=0，當如圖兩條平行直線與AB平行時，切點為C，D，此時四邊形ABCD面積最大值：S=AC（h1+h2），kAC=y=3，y′==x=2，y=，D（2，）根據(jù)對稱性可知：C（﹣2，），|AC|=5h1=，h2=，S=AC（h1+h2）=××=【點評】本題考查了橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置故關系，利用數(shù)形結合的思想判斷出最值的位置，再利用導數(shù)求解，即可得需要的點，用公式求解即可．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓的圓心為，直線．圓心到坐標原點的距離不大于圓半徑的2倍．（I）若，求直線被所截得弦長的最大值；（II）若直線是圓心下方的圓的切線，求的取值范圍．參考答案：（I）當時有=

（II）略19.已知過點P（0，2）的直線l與拋物線C：y2=4x交于A、B兩點，O為坐標原點．（1）若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，求直線l的方程；（2）若線段AB的中垂線交x軸于點Q，求△POQ面積的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；直線的一般式方程．【專題】綜合題．【分析】（1）設直線AB的方程為y=kx+2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，由△=（4k﹣4）2﹣16k2＞0，得k＜，由=，，知y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=，由以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，能求出直線l的方程．（2）設線段AB的中點坐標為（x0，y0），由，得，故線段AB的中垂線方程為，由此能求出△POQ面積的取值范圍．【解答】解：（1）設直線AB的方程為y=kx+2（k≠0），設A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，則由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，=，，所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，因為以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，所以∠AOB=90°，即，所以，解得k=﹣，即所求直線l的方程為y=﹣．（2）設線段AB的中點坐標為（x0，y0），則由（1）得，，所以線段AB的中垂線方程為，令y=0，得==，又由（1）知k＜，且k≠0，得或，所以，所以=，所以△POQ面積的取值范圍為（2，+∞）．【點評】本題考查直線l的方程的求法和求△POQ面積的取值范圍．考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．20.在直角坐標系xOy中，直線l的方程是，圓C的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)）．以O為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求直線l和圓C的極坐標方程；（Ⅱ）射線:(其中)與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為M；射線:與圓C的交點為O，Q，與直線l的交點為N．求的最大值．參考答案：（Ⅰ）直線的極坐標方程分別是.圓的普通方程分別是，所以圓的極坐標方程分別是.

……5分（Ⅱ）依題意得，點的極坐標分別為和所以，，從而.同理，.所以，故當或時，的值最大，該最大值是.

……10分21.在中，角A、B、C的對邊依次是、、，若，，．（1）求的值；（2）求的面積．參考答案：（1），

同理

由正弦定理：，（2）

22.已知命題p：方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有且僅有一解．命題q：只有一個實數(shù)x滿足不等式x2+2ax+2a≤0．若命題“p或q”是假命題，求a的取值范圍．參考答案：考點：復合命題的真假．專題：計算題．分析：若命題p真，即方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有且僅有一解，可求得﹣2＜a≤﹣1或1≤a＜2；若命題q真，即只有一個實數(shù)x滿足不等式x2+2ax+2a≤0，由△=0可求得a=0或a=2，依題意，命題p和命題q都是假命題，從而