2022-2023學(xué)年上海宏達(dá)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年上海宏達(dá)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若存在x0＞1，使不等式（x0+1）ln

x0＜a（x0﹣1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】若存在x0＞1，使不等式（x0+1）lnx0＜a（x0﹣1）成立，則存在x0＞1，使不等式a＞成立，令f（x）==（1+）lnx，x＞1，求出函數(shù)的極限，可得數(shù)a的取值范圍．【解答】解：若存在x0＞1，使不等式（x0+1）lnx0＜a（x0﹣1）成立，則存在x0＞1，使不等式a＞成立，令f（x）==（1+）lnx，x＞1，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，由=+=→2故a＞2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，+∞），【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)存在性問(wèn)題，函數(shù)的單調(diào)性，極限運(yùn)算，難度中檔．2.某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線(xiàn)段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線(xiàn)段，則a＋b的最大值為()A.B.C.4D.參考答案：C3.下列函數(shù)中，導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A．y=cosx B．y=ex C．y=lnx D．y=ax參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】運(yùn)用常見(jiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式和奇偶性的定義，即可判斷A正確．【解答】解：A，y=cosx的導(dǎo)數(shù)為y′=﹣sinx，顯然為奇函數(shù)；B，y=ex的導(dǎo)數(shù)為y′=ex為非奇非偶函數(shù)；C，y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=（x＞0）為非奇非偶函數(shù)；D，y=ax的導(dǎo)數(shù)為y′=axlna為非奇非偶函數(shù)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的運(yùn)用，考查判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．4.若函數(shù)與在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則在(0，＋∞)上是（

）A．增函數(shù)

B．減函數(shù)C．先增后減

D．先減后增參考答案：B5.設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比為（

）A.2

B.

C.3

D.參考答案：

6.有10件產(chǎn)品，其中2件次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離是(

)

A．

B．

C．

D．0參考答案：B略9.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.在兩個(gè)變量的回歸分析中，作散點(diǎn)圖是為了()A.直接求出回歸直線(xiàn)方程B.直接求出回歸方程C.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選定回歸方程的類(lèi)型D.估計(jì)回歸方程的參數(shù)參考答案：C【分析】利用散點(diǎn)圖的定義逐一作出判斷即可.【詳解】散點(diǎn)圖的作用在于選擇合適的函數(shù)模型．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)散點(diǎn)圖概念的理解，屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是上的均勻隨機(jī)數(shù),,則是區(qū)間________上的均勻隨機(jī)數(shù).參考答案：略12.若雙曲線(xiàn)的離心率為，則實(shí)數(shù)m=__________．參考答案：2解：由題意可得，，，則，解得．13.雙曲線(xiàn)的離心率大于的充分必要條件是

．參考答案：m>1

14.一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時(shí)速度是米/秒．ks*5u參考答案：5ks*5略15.動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線(xiàn)的距離相等，則的軌跡方程為

；參考答案：y2=8x略16.

如圖所示的流程圖的輸出結(jié)果為sum＝132，則判斷框中？處應(yīng)填________．參考答案：1117.已知函數(shù)

．若，則x=__________．參考答案：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，得，即.當(dāng)時(shí)，得，即，舍去．所以所求．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，已知空間四邊形ABCD中，AB=CD=3，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成角的大小．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線(xiàn)及其所成的角．【專(zhuān)題】計(jì)算題；空間角．【分析】連結(jié)BD，在BD上取點(diǎn)G，使BG：GD=1：2，連結(jié)EG、FG，利用線(xiàn)段成比例證出EG∥CD且FG∥AB，可得EG和FG所成的銳角（或直角）就是異面直線(xiàn)AB和CD所成的角．分別算出EG、FG的長(zhǎng)，在△EFG中利用余弦定理算出∠EGF=60°，即可得出AB與CD所成的角的大?。窘獯稹拷猓哼B結(jié)BD，在BD上取點(diǎn)G，使BG：GD=1：2，連結(jié)EG、FG，∵在△BCD中，=，∴EG∥CD

同理可證：FG∥AB∴EG和FG所成的銳角（或直角）就是異面直線(xiàn)AB和CD所成的角．∵在△BCD中，EG∥CD，CD=3，BG：GD=1：2，∴EG==1．又∵在△ABD中，F(xiàn)G∥AB，AB=3，F(xiàn)G：AB=2：3，∴FG==2．在△EFG中，EG=1，F(xiàn)G=2，EF=，∴由余弦定理，得，∴∠EGF=60°，即EG和FG所成的銳角為60°．因此，AB與CD所成的角為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題在特殊的空間四邊形中求異面直線(xiàn)所成角大?。乜疾榱丝臻g平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、余弦定理和異面直線(xiàn)所成角的定義與求法等知識(shí)，屬于中檔題．19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓C上的點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)F的最小距離為﹣1．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)l與橢圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA，OM，OB的斜率為kOA，kOM，kOB，若kOA，﹣kOM，kOB成等差數(shù)列，求直線(xiàn)l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓C的方程可求；（2）由（1）知，F(xiàn)（1，0），設(shè)AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合kOA，﹣kOM，kOB成等差數(shù)列求得直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)方程可求．【解答】解：（1）由題意可知，，解得：a2=2，b2=1．∴橢圓C的方程為；（2）由（1）知，F(xiàn)（1，0），設(shè)AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．聯(lián)立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．則．∵kOA，﹣kOM，kOB成等差數(shù)列，∴kOA+kOB+2kOM====4k==．即k=．∴直線(xiàn)l的方程為y=．20.設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和，且，令（I）試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求證數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

所以，

即

…………3分

當(dāng)時(shí)，

…………4分由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為

………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

……8分

所以，①

以上等式兩邊同乘以得

②

①-②，得

，所以.

所以.………………

14分21.已知△ABC，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且a2﹣c2=b（a﹣b）且c=（1）求角C；

（2）求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】方程思想；解三角形．【分析】（1）把已知的等式變形后，得到一個(gè)關(guān)系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把變形后的關(guān)系式代入即可求出cosC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到C的度數(shù)；（2）運(yùn)用余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab，運(yùn)用基本不等式可得ab≤6，再由三角形的面積公式即可得到最大值．【解答】解：（1）因?yàn)閍2﹣c2=b（a﹣b），即a2+b2﹣c2=ab，則cosC===，又C∈（0°，180°），所以∠C=60°．（2）由余弦定理可得，c2=6=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，即有ab≤6，當(dāng)且僅