數(shù)值分析第五版4-6章

數(shù)值分析第5版李慶揚(yáng)王能超易大義編清華大學(xué)出版社2024/3/221第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分概念牛頓-柯特斯公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/222第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分4.1數(shù)值積分概論

在實(shí)際問(wèn)題及科學(xué)計(jì)算中經(jīng)常需要計(jì)算定積分。如計(jì)算河道的過(guò)流斷面面積，用有限單元法求解偏微分方程組等。按牛頓-萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式1基本思想似乎只要求出的原函數(shù)F就可計(jì)算出定積分。的確若原函數(shù)便于計(jì)算又較為簡(jiǎn)單，上式就提供了計(jì)算定積分的一種快捷方法。但有時(shí)原函數(shù)會(huì)過(guò)于復(fù)雜，如2024/3/223第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分

或是在初等函數(shù)范圍內(nèi)不存在，如定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，計(jì)算的難點(diǎn)在于有一條邊是曲的。由積分中值定理

都會(huì)給Newton-Leibniz公式的使用帶來(lái)困難；另外有些問(wèn)題中的函數(shù)是以數(shù)據(jù)表的形式給出的，此時(shí)Newton-Leibniz公式也不能直接運(yùn)用。因此有必要討論定積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，利用數(shù)值求積方法算出滿足一定精度要求的定積分的近似值。

困難在于一般難以確定，從而難以準(zhǔn)確地計(jì)算出。但可以對(duì)平均高度提供一種算法，相應(yīng)地建立一種數(shù)值求積公式。2024/3/224第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/225第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分

數(shù)值求積方法是求定積分的近似方法。為保證求積公式的精度，當(dāng)然希望它對(duì)盡可能多的被積函數(shù)是準(zhǔn)確成立的?？梢则?yàn)證中點(diǎn)公式與梯形公式對(duì)所有次數(shù)不超過(guò)一次的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的。但對(duì)二次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立；同樣Simpson公式對(duì)所有次數(shù)不超過(guò)三次的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的，但對(duì)四次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立。對(duì)某個(gè)求積公式而言能準(zhǔn)確成立的多項(xiàng)式次數(shù)越高，就意味著該求積公式越精確。這就引出了代數(shù)精度的概念。2代數(shù)精度2024/3/226第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分定義4.1若求積公式對(duì)所有次數(shù)不超過(guò)m次的多項(xiàng)式都能準(zhǔn)確成立，而對(duì)m+1次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。

上述定義可等價(jià)地?cái)⑹鰹槿羟蠓e公式對(duì)都能準(zhǔn)確成立，而對(duì)不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。

可以驗(yàn)證，中點(diǎn)公式與梯形公式均具有一次代數(shù)度，而Simpson公式具有三次代數(shù)精度。2024/3/227第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分

若求積節(jié)點(diǎn)及求積系數(shù)都待定，取m=2n+1，則*式為具有2n+2個(gè)方程，2n+2個(gè)未知量的非線性方程組，我們將在第5節(jié)中討論這一問(wèn)題。

若給定求積節(jié)點(diǎn)，如以等分積分區(qū)間的等距點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，令m=n，則可求解線性方程組*式，得求積系數(shù)，代入求積公式即可。不過(guò)這樣做需要解n+1元線性方程組，極為不便。為避免解線性方程組，可用f在節(jié)點(diǎn)xi上的函數(shù)值作插值多項(xiàng)式，以插值多項(xiàng)式近似代替f作定積分，可得相同的結(jié)果。相應(yīng)的求積公式就是插值型求積公式。2024/3/228第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分3插值型求積公式2024/3/229第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2210第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分4.2Newton-Cotes公式1Cotes系數(shù)2024/3/2211第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2212第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2213第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分2Newton-Cotes公式的余項(xiàng)概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2214第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2215第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分3Newton-Cotes公式的收斂性及穩(wěn)定性概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2216第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分當(dāng)n≥8時(shí)，Cotes系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，求積系數(shù)也相應(yīng)出現(xiàn)負(fù)值，可能會(huì)引起不穩(wěn)定，故n≥8的N-C公式是不用的

。概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2217第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分4偶數(shù)階求積公式的代數(shù)精度由定理1知n階的Newton-Cotes公式至少具有n次代數(shù)精度，那么是否存在超過(guò)n次的情形呢？

先來(lái)看n=1的情形，此時(shí)為梯形公式，它正好具有一次代數(shù)精度。再來(lái)看n=2的情形，此時(shí)為Simpson公式，作為二階Newton-Cotes公式，它至少具有二次代數(shù)精度，那么是否具有三次代數(shù)精度呢？概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2218第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分定理3當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代數(shù)精度。定理3表明選用偶數(shù)階的Newton-Cotes公式是有益的，如n=2的Simpson公式及n=4的Cotes公式為常用的Newton-Cotes公式。2024/3/2219第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2220第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分

盡管例1表明對(duì)于低階Newton-Cotes公式，隨著階數(shù)的增加，準(zhǔn)確性越來(lái)越好。但由于高階Newton-Cotes公式是不穩(wěn)定的，所以無(wú)法通過(guò)不斷提高階數(shù)的方法來(lái)提高求積精度。為了進(jìn)一步提高精度，通常是采用復(fù)合求積的方法。它的思想與第2章中分段插值是類似的。先將積分區(qū)間分為若干個(gè)子區(qū)間，再在每個(gè)子區(qū)間上用低階求積公式，利用積分關(guān)于區(qū)間的可加性，即可得相應(yīng)的復(fù)合求積公式。

4.3復(fù)合求積公式2024/3/2221第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分1復(fù)合梯形公式2024/3/2222第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2223第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2復(fù)合Simpson公式2024/3/2224第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分3復(fù)合Cotes公式2024/3/2225第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分

三種方法都需要調(diào)用九個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，它們的計(jì)算量基本相同，但結(jié)果的精度差別較大。與精確值比較，復(fù)合梯形公式結(jié)果只有兩位有效數(shù)字，而復(fù)合Simpson公式與復(fù)合Cotes公式的結(jié)果分別有七位和六位有效數(shù)字。

2024/3/2226第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分4.4Romberg求積公式1梯形公式的步長(zhǎng)逐次分半法

實(shí)際計(jì)算時(shí)，不斷二分求積區(qū)間，由上式計(jì)算出一系列復(fù)合梯形公式的結(jié)果，直到滿足精度要求為止。2024/3/2227第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分例3用梯形公式的步長(zhǎng)逐次分半法計(jì)算積分，要求有八位有效數(shù)字。

用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分要達(dá)到八位有效數(shù)字的精度要求，需要二分區(qū)間11次，即2048等分區(qū)間，共有2049個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算過(guò)程中盡管利用了遞推公式，但計(jì)算量仍然很大。

2024/3/2228第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2Romberg求積公式

由例3可見(jiàn)復(fù)合梯形公式序列的收斂速度較慢，下面討論如何由收斂緩慢的序列加工成收斂迅速的序列。

2024/3/2229第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分表明將二分前后兩個(gè)復(fù)合梯形公式的結(jié)果作適當(dāng)?shù)木€性組合可得復(fù)合Simpson公式的結(jié)果。復(fù)合梯形公式與復(fù)合Simpson公式的誤差分別是h2及h4階的，這就將收斂速度慢的復(fù)合梯形公式序列加工成了收斂速度快的復(fù)合Simpson公式序列。2024/3/2230第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分

運(yùn)用上述公式可將收斂速度緩慢的梯形值序列加速成收斂速度越來(lái)越快的Simpson值序列、Cotes值序列和Romberg值序列，這種方法稱為Romberg算法，其加速過(guò)程如下表所示，其中i表示二分次數(shù)。

2024/3/2231第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分例4用Romberg算法加工表中的梯形值。解：僅取i等于0到4的梯形值，按Romberg公式計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表。上表說(shuō)明用二分4次(17個(gè)求積節(jié)點(diǎn))精度只有1到3位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)三次加速得到了具有8位有效數(shù)字的結(jié)果，而在例3中要求達(dá)到這一精度需要二分11次，有2049個(gè)求積節(jié)點(diǎn)?？梢?jiàn)Romberg算法的加速效果是極為顯著的。2024/3/2232第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分3Richardson外推法

Romberg算法的加速過(guò)程還可以繼續(xù)下去，其理論依據(jù)是復(fù)合梯形公式余項(xiàng)的展開(kāi)定理。

2024/3/2233第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2234第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分4.5Gauss求積公式1Gauss求積公式基本理論

Newton-Cotes公式用積分區(qū)間的等分點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)，待定的只有求積系數(shù)，方法簡(jiǎn)單，但同時(shí)也限制了精度。在求積節(jié)點(diǎn)數(shù)目不變的情況下，希望通過(guò)同時(shí)適當(dāng)選擇求積節(jié)點(diǎn)位置和求積系數(shù)，使求積公式具有更高的代數(shù)精度。

例5構(gòu)造如下形式的求積公式2024/3/2235第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2236第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分若事先固定xi為區(qū)間的等距節(jié)點(diǎn)，并使其代數(shù)精度盡可能地高，來(lái)確定求積系數(shù)Ai，這就是Newton-Cotes公式，其代數(shù)精度至少為n次。但若視它含有2n+2個(gè)待定系數(shù)xi，

Ai，適當(dāng)選取這些系數(shù)可望達(dá)到2n+1次代數(shù)精度，這類求積公式稱為高斯(Gauss)求積公式。更一般地，可以考慮帶權(quán)函數(shù)的求積公式

一般地，考慮求積公式2024/3/2237第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2238第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2239第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2240第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2Gauss-Legendre求積公式

Legendre多項(xiàng)式是區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)函數(shù)ρ=1的正交多項(xiàng)式，從而n+1次Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式的Gauss點(diǎn)。一旦確定了Gauss點(diǎn)，則求積系數(shù)就歸結(jié)為n+1元線性方程組的解。該求積公式稱為高斯-勒讓德(Gauss-Legendre)求積公式。2024/3/2241第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2242第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2243第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分2024/3/2244第4章數(shù)值微分與數(shù)值積分概論N-C公式復(fù)合求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數(shù)值微分