中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題10 二次函數(shù)綜合問題（原卷版）

專題10二次函數(shù)綜合問題一、【知識(shí)回顧】【思維導(dǎo)圖】【類型清單】二、【考點(diǎn)類型】考點(diǎn)1：線段周長問題典例1：（2022·漳州）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式1】（2018·大慶）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過點(diǎn)P的直線y=x+m與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求PE+EF的最大值；（3）點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．①當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若△BCD是銳角三角形，直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍．【變式2】（2022九上·東陽月考）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D做DQ⊥x軸于點(diǎn)M，DQ與BC相交于點(diǎn)M．DE⊥BC于E．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求線段DE長度的最大值；（3）連接AC，是否存在點(diǎn)D，使得△CDE中有一個(gè)角與∠CAO相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式3】（2022九上·鄞州月考）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D(-2，-3)在拋物線上.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求△PAD周長的最小值；（3）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)△MAD是等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).考點(diǎn)2：面積問題典例2：（2021九上·鄂城期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)(?2，5)，且與直線y=?12x在第二象限交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B(?4，0).若P是直線OA上方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交（1）求拋物線的解析式；（2）求△AOP的面積S的最大值；（3）連接PB交OA于點(diǎn)E，如圖2，線段PB與AD能否互相平分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.【變式1】（2022九上·岳麓開學(xué)考）如圖，拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過A(?2，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m(1<m<4)，連結(jié)AC、BC、DB（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的34時(shí)，求m（3）當(dāng)m=2時(shí)，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式2】（2022九上·舟山月考）如圖，拋物線y=ax（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)M在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ΔABM的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)F為平面內(nèi)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)B，【變式3】（2021九上·槐蔭期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（－4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接PA，PC，求SΔPAC（3）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式．考點(diǎn)3：角度問題典例3：（2022九下·磐安期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，B(9，0)，與y軸交于點(diǎn)C（1） 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2） 若點(diǎn)P在y軸上，在該拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在唯一的點(diǎn)Q，滿足∠AQP=90°？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3） 若點(diǎn)P在y軸上，滿足sin∠APB=23的點(diǎn)P是否存在？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)【變式1】（2021九上·潮安期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?3過點(diǎn)A(?3，0)，B(1，0)（1）求拋物線的解析式；（2）求線段AN的長；（3）若點(diǎn)M在第三象限拋物線上，連接MN，∠ANM=45°，則這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（直接寫出結(jié)果）．【變式2】（2022·通遼）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC=1（3）點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【變式3】（2021九上·海珠期末）如圖，已知直線y＝﹣2x+m與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A(1，4)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)4：特殊三角形問題典例4：（2022·湘西）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長度的比值．（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式1】（2021九上·南充期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，?3)，OB=OC.（1）求拋物線的解析式.（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）設(shè)拋物線上的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且在直線BC的下方，求使△BCP的面積為最大整數(shù)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【變式2】（2021九上·遂寧期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(?2，0)，B(6，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)D（1）求拋物線及直線l的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)F為拋物線頂點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存點(diǎn)G，使ΔAFG為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且∠ADQ=45°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)【變式3】（2022九上·溫州月考）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PF，AF．（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣4），求出此時(shí)△AFP面積的最大值；（3）如圖2，是否存在點(diǎn)F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)5：特殊四邊形問題典例5：（2022九下·重慶開學(xué)考）如圖，已知拋物線y=ax2+bx-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），直線BC的解析式為y=12（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，過點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A），P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QR⊥BC于點(diǎn)R，連接PR.求△PQR面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C′，將拋物線沿射線C′A的方向平移25個(gè)單位長度得到新的拋物線y′，新拋物線y′與原拋物線交于點(diǎn)M，原拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)K，使得以D，M，N，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式1】（2022九上·浦江期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式2】21．（2022九上·海曙期中）如圖，拋物線y=?x2+bx+c交y軸于點(diǎn)A(0，2)，交x軸于點(diǎn)B(4，0)（1）求拋物線的解析式；（2）連接AN和BN，當(dāng)△ABN的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及△ABN的最大面積；（3）在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，M，N，P為頂點(diǎn)，以AM為邊的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式3】（2022九上·義烏月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1），且拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為Q．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，QA，QB，求四邊形PAQB面積的最大值及此時(shí)P的坐標(biāo)；（3）將該拋物線向右平移2個(gè)單位長度得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)6：相似三角形問題典例6：（2022九上·鎮(zhèn)海區(qū)開學(xué)考）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B(1，（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式1】（2022九下·長沙開學(xué)考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(ac≠0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.若線段OA、OB、OC的長滿足OC（1）求拋物線的解析式；（2）若P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D.①求PD的最大值；②連接PC，當(dāng)△PCD與△ACO相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【變式2】（2022九上·金東期末）已知拋物線y=1（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求△ABC的面積.（2）如圖，當(dāng)AP∥BC時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，求BQ的長；（3）當(dāng)以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形和△ABC相似時(shí)（不包括兩個(gè)三角形全等），求m的值.【變式3】（2022九下·寧波月考）如圖，已知拋物線y=-x2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1．連結(jié)AC，有一動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．（1）求AB的長度；（2）連結(jié)AE、CE，當(dāng)△ACE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)：（3）直接寫出m為何值時(shí)，△ADF與△CDE相似．考點(diǎn)7：解析幾何問題（韋達(dá)定理）典例7：（2022九上·杭州開學(xué)考）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0.（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，4），求二次函數(shù)表達(dá)式；（2）若該二次函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為M，最低點(diǎn)為N，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6，求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）在二次函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），當(dāng)a≤x1＜x2≤a+2時(shí)，總有y1＞y2，求a的取值范圍.【變式1】（2022九上·福建競賽）已知開口向上的拋物線y=ax（1）求ca（2）當(dāng)ca取最大值時(shí)，設(shè)直線y=314【變式2】（2022九上·桐廬月考）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．（1）若a＝b時(shí)，求二次