第四章可控制性和可觀性

第四章可控制性和可觀性2009-08CAUC--空中交通管理學院1第1頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院2§4-1問題的提出§4-1問題的提出經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入—輸出特性輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且是穩(wěn)定的，輸出量便可以受控，輸出量總是可以被測量的，因而不需要提出可控性和可觀性的概念。現(xiàn)代控制理論是建立在用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的基礎上的。狀態(tài)方程描述輸入u(t)引起狀態(tài)x(t)的變化過程；輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出y(t)的變化。可控性和可觀性正是定性地分別描述輸入u(t)對狀態(tài)x(t)的控制能力，輸出y(t)對狀態(tài)x(t)的反映能力。它們分別回答：“輸入能否控制狀態(tài)的變化”——可控性“狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來”——可觀性第2頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院3§4-1問題的提出可控性和可觀性是卡爾曼（Kalman）在1960年首先提出來的?？煽匦院涂捎^性的概念在現(xiàn)代控制理論中無論是理論上還是實踐上都是非常重要的。例如：在最優(yōu)控制問題中，其任務是尋找輸入u(t)，使狀態(tài)達到預期的軌線。就定常系統(tǒng)而言，如果系統(tǒng)的狀態(tài)不受控于輸入u(t)，當然就無法實現(xiàn)最優(yōu)控制。另外，為了改善系統(tǒng)的品質，在工程上常用狀態(tài)變量作為反饋信息?？墒菭顟B(tài)x(t)的值通常是難以測取的，往往需要從測量到的中估計出狀態(tài)x(t)；如果輸出y(t)不能完全反映系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)，那么就無法實現(xiàn)對狀態(tài)的估計。狀態(tài)空間表達式是對系統(tǒng)的一種完全的描述。判別系統(tǒng)的可控性和可觀性的主要依據(jù)就是狀態(tài)空間表達式。第3頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院4§4-1問題的提出【例如】（1）分析：上述動態(tài)方程寫成方程組形式：從狀態(tài)方程來看，輸入u不能控制狀態(tài)變量，所以狀態(tài)變量是不可控的；從輸出方程看，輸出y不能反映狀態(tài)變量，所以狀態(tài)變量是不能觀測的。即狀態(tài)變量不可控、可觀測；狀態(tài)變量可控、不可觀測。22u第4頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院5§4-1問題的提出（2）分析：上述動態(tài)方程寫成方程組形式：由于狀態(tài)變量x1，x2都受控于輸入u，所以系統(tǒng)是可控的；輸出y能反映狀態(tài)變量x1，又能反映狀態(tài)變量x2的變化，所以系統(tǒng)是可觀測的。即狀態(tài)變量x1可控、可觀測；狀態(tài)變量x2可控、可觀測。2u第5頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院6§4-1問題的提出（3）

分析：上述動態(tài)方程寫成方程組形式：從狀態(tài)方程看，輸入u能對狀態(tài)變量x1，x2施加影響，似乎該系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是可控的；從輸出方程看，輸出y能反映狀態(tài)變量x1，x2的變化，似乎系統(tǒng)是可觀測的。實際上，這個系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量既不是完全可控的，也不是完全可觀測的。要解釋和說明這一情況，就必須首先弄清楚可控性和可觀性的嚴格定義及判別方法。第6頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院7§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性定義4.1（狀態(tài)可控性定義）：對于線性定常系統(tǒng)，如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在[t0,tf]有限時間間隔內(nèi)，使得系統(tǒng)從某一初始狀態(tài)x(t0)轉移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf),，則稱此狀態(tài)是可控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是可控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡稱系統(tǒng)是可控的。

一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控性的定義（1）上述定義可以在二階系統(tǒng)的相平面上來說明。假如相平面中的P點能在輸入的作用下轉移到任一指定狀態(tài)P1,P2,…,Pn,那么相平面上的P點是可控狀態(tài)。假如可控狀態(tài)“充滿”整個狀態(tài)空間，即對于任意初始狀態(tài)都能找到相應的控制輸入u(t),使得在有限時間間隔內(nèi)，將此狀態(tài)轉移到狀態(tài)空間中的任一指定狀態(tài)，則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全可控。關于可控性定義的說明：第7頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院8§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性PP3P1P2PnP40x1x2可控狀態(tài)的圖形說明（2）在可控性定義中，把系統(tǒng)的初始狀態(tài)取為狀態(tài)空間中的任意有限點x(t0),而終端狀態(tài)也規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意點x(tf),這種定義方式不便于寫成解析形式。為了便于數(shù)學處理，而又不失一般性，我們把上面的可控性定義分兩種情況敘述：①把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意非零點，而終端目標規(guī)定為狀態(tài)空間中的原點。于是原可控性定義可表述為：對于給定的線性定常系統(tǒng)

第8頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院9§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t),，能在[t0,tf]有限時間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由任意非零初始狀態(tài)x(t0)轉移到零狀態(tài)x(tf)

，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡稱系統(tǒng)是可控的。②把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間的原點，即，終端狀態(tài)規(guī)定為任意非零有限點，則可達定義表述如下：如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t),，能在[t0,tf]有限時間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由零初始狀態(tài)x(t0)轉移到任一指定的非零終端狀態(tài)x(tf)

，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可達的，簡稱系統(tǒng)是可達的（能達的）。對于給定的線性定常系統(tǒng)

第9頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院10§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性對于線性定常系統(tǒng)，可控性和可達性是等價的；在以后對可控性的討論中，均規(guī)定目標狀態(tài)為狀態(tài)空間中的原點；并且我們所關心的，只是是否存在某個分段連續(xù)的輸入u(t)，能否把任意初始狀態(tài)轉移到零狀態(tài)，并不要求算出具體的輸入和狀態(tài)軌線。第10頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院11§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性定理4.1：（可控性秩判據(jù)）其系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：由A、B構成的可控性判別矩陣滿秩，即其中，n為該系統(tǒng)的維數(shù)。

二、可控性的判別準則對于n階線性定常系統(tǒng)【例4.2.1】判別下列狀態(tài)方程的可控性。（2）（3）（4）（1）第11頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院12§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性（1）解：∴系統(tǒng)不可控

（2）∴系統(tǒng)不可控。

解：（3）解：∴系統(tǒng)可控。

（4）解：∴系統(tǒng)不可控。

第12頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院13§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性設線性定常系統(tǒng)具有互不相同的實特征值，則其狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角標準型其中，陣不存在全零行。定理4.2：非奇異線性變換的不變特性：（1）線性變換后，可控性不變；（2）線性變換后，可觀性不變。第13頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院14§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性【例4.2.2】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。（2）（3）（4）解：（1）狀態(tài)方程為對角標準型，B陣中不含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是可控的。（2）狀態(tài)方程為對角標準型，B陣中含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是不可控的。（3）系統(tǒng)可控。（4）系統(tǒng)不可控。（1）第14頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院15§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性【例4.2.3】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。解：在應用定理4.2這個判別準則時，應注意到“特征值互不相同”這個條件，如果特征值不是互不相同的，即對角陣中含有相同元素時，上述判據(jù)不適用。應根據(jù)定理4.1的秩判據(jù)來判斷。對于本題：

即系統(tǒng)是不可控的。第15頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院16§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性若線性定常系統(tǒng)具有重實特征值，且每一個重特征值只對應一個獨立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當標準型中，每個約當小塊最后一行所對應的陣中的各行元素不全為零。

定理4.3：第16頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院17§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性【例4.2.4】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）系統(tǒng)是可控的；（2）系統(tǒng)是不可控的；（3）系統(tǒng)是可控的；（4）系統(tǒng)是不可控的；（5）系統(tǒng)是不可控的；（1）（6）系統(tǒng)不可控

即系統(tǒng)是不可控的。第17頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院18§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性關于定理4.3的小結：（1）輸入矩陣中與約當塊最后一行所對應的行不存在全零行。（2）陣中與互異特征值所對應的行不存在全零行。（3）當A陣的相同特征值分布在陣的兩個或更多的約當塊時，如，以上判據(jù)不適用，可根據(jù)定理4.1秩判據(jù)來判別。第18頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院19§4-4可控標準型及輸出可控性§4-4可控標準型及輸出可控性1、可控標準型我們稱如下SISO系統(tǒng)或MIMO系統(tǒng)的狀態(tài)方程為可控標準型。

原因是與此狀態(tài)方程相對應的可控性判別矩陣所以系統(tǒng)是可控的

一、可控標準型問題第19頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院20§4-4可控標準型及輸出可控性%ExampleforMATLABA=sym('[0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;-a0,-a1,-a2,-a3]');b=sym('[0;0;0;1]');Qc=simplify([b,A*b,A^2*b,A^3*b])運行結果：[0,0,0,1][0,0,1,-a3][0,1,-a3,-a2+a3^2][1,-a3,-a2+a3^2,-a1+2*a3*a2-a3^3]2、如何將可控系統(tǒng)的狀態(tài)方程化為可控標準型一個可控系統(tǒng)，當A，b不具有可控標準型時，可以選擇適當?shù)淖儞Q化為可控標準型。設系統(tǒng)狀態(tài)方程為：進行非奇異變換：，變換為：第20頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院21§4-4可控標準型及輸出可控性其中：

第21頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院22§4-4可控標準型及輸出可控性可控標準型變換陣P的確定方法：（1）計算可控性判別矩陣：（2）計算，并設的一般形式為：

（3）取的最后一行，構成

（4）按下列方式構造陣

（5）便是化可控標準型的非奇異變換陣。第22頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院23§4-4可控標準型及輸出可控性【例4.4.1】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判別狀態(tài)可控性，如可控將狀態(tài)方程化為可控標準型。解：（1）首先判別可控性故系統(tǒng)是可控的。②③（2）化可控標準型①④⑤第23頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院24§4-4可控標準型及輸出可控性

即有可控標準%Example4.4.1forMATLABprogramA=[1,0;0,2];b=[1;1];Qc=[b,A*b]x=rank(Qc);ifx==2'該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控'invQc=inv(Qc);invp1=invQc(length(Qc),:);invp=[invp1;invp1*A];p=inv(invp)AA=invp*A*pbb=invp*belse'該系統(tǒng)狀態(tài)不可控'end第24頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院25§4-4可控標準型及輸出可控性二、輸出可控性定義4.3（輸出可控性定義）：如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t),，能在[t0,tf]有限時間間隔內(nèi)，使得系統(tǒng)從任意初始輸出y(t0)轉移到指定的任意最終輸出y(tf)，則稱該系統(tǒng)是輸出完全可控的，簡稱系統(tǒng)輸出可控。對于線性定常系統(tǒng)

第25頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院26定理4.5：（系統(tǒng)輸出可控性判據(jù)）其輸出可控的充分必要條件是：由A、B、C、D構成的輸出可控性判別矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)q，即設線性定常連續(xù)系統(tǒng)說明：一般而言，系統(tǒng)輸出可控性和狀態(tài)可控性之間沒有什么必然的聯(lián)系。即輸出可控不一定狀態(tài)可控，狀態(tài)可控不一定輸出可控?！?-4可控標準型及輸出可控性第26頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院27§4-4可控標準型及輸出可控性【例4.4.2】判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)、輸出可控性。解：（1）狀態(tài)可控性判別矩陣（2）輸出可控性判別矩陣，所以系統(tǒng)輸出可控。，故狀態(tài)不可控。第27頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院28§4-4可控標準型及輸出可控性三、連續(xù)狀態(tài)方程離散化后的可控性

1、原連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控，離散化后，如果采樣周期選擇不當，便不能保持原連續(xù)系統(tǒng)的可控性。2、當連續(xù)系統(tǒng)不可控時，不管采樣周期T如何選擇，離散化后的系統(tǒng)一定是不可控的。第28頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院29§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性定義4.4（可觀測性定義）：如果對于任一給定的輸入u(t)，存在一有限觀測時間tf>t0

，使得在[t0,tf]期間測量到的y(t)，能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0)

，則稱此狀態(tài)是可觀測的。若系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都是可觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測的，簡稱系統(tǒng)是可觀測的。設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為說明：在定義中之所以把可觀測性規(guī)定為對初始狀態(tài)的確定，這是因為一旦確定了初始狀態(tài)，便可根據(jù)給定輸入，利用狀態(tài)方程的解就可以求出各個瞬間狀態(tài)。第29頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院30§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性定理4.6：（可觀測性判別準則Ⅰ）其狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是：由A、C構成的可觀測性判別矩滿秩，即二、線性定常連續(xù)系統(tǒng)可觀測性的判別準則線性定常連續(xù)系統(tǒng)第30頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院31【例4.5.1】判別可觀測性（1）（2）（3）§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性第31頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院32§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性解：（1）故系統(tǒng)是不可觀測的。故系統(tǒng)是可觀測的。故系統(tǒng)是不可觀測的。（2）（3）第32頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院33§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性定理4.7：（可觀測性判別準則Ⅱ）A陣具有互不相同的特征值，則其狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角標準型中的矩陣中不含元素全為零的列。設線性定常連續(xù)系統(tǒng)第33頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院34【例4.5.2】判別可觀測性（1）解：系統(tǒng)可觀測。解：系統(tǒng)不可觀測。（2）特別說明：當為對角陣但含有相同元素時，上述判據(jù)不適用，可根據(jù)可觀測性判別矩陣的秩來判別。§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性第34頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院35§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性定理4.8：（可觀測性判別準則Ⅲ）A陣具有重特征值，且每一個特征值只對應一個獨立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當標準型中的矩陣中與每個約當小塊首列相對應的那些列的元素不全為零。

設線性定常連續(xù)系統(tǒng)

第35頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院36§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性【例4.5.3】判別可觀測性

（1）解：（1）系統(tǒng)狀態(tài)可觀測。解：（2）系統(tǒng)狀態(tài)不可觀測。解：（3）可觀測。解：（4）可觀測。（2）（3）（4）第36頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院37§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性一個可觀測系統(tǒng)，當A、C陣不具有可觀測標準型時，可選擇適當?shù)淖儞Q化為可觀測標準型。動態(tài)方程中，A、C陣具有如下形式，稱為可觀測標準型。三、可觀測標準型第37頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院38§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關系線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性不是兩個相互獨立的概念，它們之間存在著一種內(nèi)在的聯(lián)系。

§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關系定義4.6（線性定常系統(tǒng)的對偶關系）

若滿足下列關系：則稱∑1和∑1是互為對偶的。對于線性定常系統(tǒng)∑1和∑1，其狀態(tài)空間表達式為：第38頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院39§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關系定理4.10（對偶原理）：設∑1(A,B,C)和∑2(A*,B*,C*)是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則∑1的可控性等價于∑2的可觀測性。或者說，若∑1是狀態(tài)完全可控的（完全可觀測的），則∑2是狀態(tài)完全可觀測的（完全可控的）。利用對偶原理，可以把可觀測的SISO系統(tǒng)化為可觀測標準型的問題轉化為將其對偶系統(tǒng)化為可控標準型的問題。若一個系統(tǒng)∑1(A,B,C)可觀測，但A、C不是可觀測標準型，其對偶系統(tǒng)∑2(A*,B*,C*)一定可控，但不具有可控標準型。可利用已知的化為可控標準型的原理和步驟，先將∑2化為可控標準型，再根據(jù)對偶原理，便可獲得∑1的可觀測標準型。具體步驟如下：

第39頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院40（1）寫出對偶系統(tǒng)的可控性判別矩陣

（2）求，設一般形式為（3）取的最后一行，構成，并構造第40頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院41§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關系（4）求的逆陣。陣便是把化為可控標準型的變換陣。（5）對再利用對偶原理，便可將化為可觀測標準型。第41頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院42§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關系【例4.8.1】已知線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為試判別可觀測性。如可觀測，寫出可觀測標準型。解：（1）（2）求可觀測標準型①列寫其對偶系統(tǒng)的可控性判別矩陣

，故系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測。第42頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院43§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關系②求③構造④求

⑤可觀測標準型為

其中：即

第43頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院44§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系

一、傳遞函數(shù)矩陣定義4.7（傳遞函數(shù)矩陣的定義）：在初始條件為零時，輸出向量的拉氏變換式Y(s)與輸入向量的拉氏變換式U(s)之間的傳遞關系，稱為傳遞函數(shù)矩陣，簡稱傳遞矩陣?！嘣O系統(tǒng)動態(tài)方程為第44頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院45§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系【例4.9.1】已知線性系統(tǒng)動態(tài)方程中各矩陣如下，試求傳遞函數(shù)矩陣。解：第45頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院46§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系MIMO系統(tǒng)結構圖1、開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣：輸入向量至反饋向量之間的傳遞函數(shù)矩陣。2、閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣：輸入向量至輸出向量之間的傳遞函數(shù)矩陣。3、偏差傳遞函數(shù)矩陣：輸入向量至偏差向量之間的傳遞函數(shù)矩陣。二、MIMO系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣和閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣其中：U、E、Y、Z分別為輸入向量、偏差向量、輸出向量和反饋向量。第46頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院47§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系定義4.8（傳遞矩陣的實現(xiàn)）使成立，則稱此狀態(tài)空間表達式∑(A,B,C,D)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個實現(xiàn)。給定一傳遞函數(shù)矩陣G(s),若有一狀態(tài)空間表達式∑(A,B,C,D)第47頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院48§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系說明：（1）并不是任意一個傳遞函數(shù)矩陣G(s)都可以找到其實現(xiàn)，通常它必須滿足物理可實現(xiàn)條件。即：傳遞函數(shù)矩陣G(s)中的每一個元Gik(s)（i=1,2,…，m,k=1,2,…,r)）的分子分母多項式系數(shù)均為實常數(shù)。傳遞函數(shù)矩陣G(s)中的每一個元Gik(s)均為s的有理真分式函數(shù)。（2）對應某一傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)是不唯一的。由于傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)中可控且可觀測的子系統(tǒng)的動力學行為，因而，對于某一傳遞函數(shù)矩陣有任意維數(shù)的狀態(tài)空間表達式與之對應。由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，選擇不同的狀態(tài)變量時，其狀態(tài)空間表達式也隨之不同。第48頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院49§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系1、SISO系統(tǒng)的可控標準型實現(xiàn)和可觀測標準型實現(xiàn)★可控標準型實現(xiàn)：★可觀測標準型實現(xiàn)：并且有

第49頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院50§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系【例4.9.2】已知線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試寫出系統(tǒng)可控標準型實現(xiàn)和可觀測標準型實現(xiàn)。解：可控標準型實現(xiàn)可觀測標準型實現(xiàn)第50頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院51§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系2、MIMO系統(tǒng)的可控標準型實現(xiàn)和可觀測標準型實現(xiàn)設MIMO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為mxr維，并有如下形式：式中：均為mxr維實數(shù)矩陣，分母多項式為該傳遞函數(shù)矩陣的特征多項式。

（m—輸出變量的維數(shù)；r—輸入變量的維數(shù)）★可控標準型實現(xiàn)式中：和分別表示階零矩陣和單位矩陣，n為分母多項式的階數(shù)。第51頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院52§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系★可觀測標準型實現(xiàn)式中：和分別表示注意：MIMO系統(tǒng)的可觀測標準型并不是可控標準型的簡單的轉置。階零矩陣和單位矩陣?！纠?.9.3】試求的可控標準型實現(xiàn)和可觀測標準型實現(xiàn)。解：首先將G(s)化成嚴格有理真分式第52頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院53§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系比較有然后將寫成標準格式：第53頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院54§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系

與公式對照：所以有如下MIMO系統(tǒng)可控標準型實現(xiàn)：第54頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院55§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系同理MIMO可觀測標準型實現(xiàn)為：第55頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院56§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系3、最小實現(xiàn)定義4.9（最小實現(xiàn)定義）：傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn)。如果G(s)中不存在其它實現(xiàn)使的維數(shù)小于x的維數(shù)。定理4.11：傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個實現(xiàn)∑(A,B,C)為最小實現(xiàn)的充分必要條件是∑(A,B,C)既是可控的又是可觀測的。

第56頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院57§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系說明：設傳遞函數(shù)矩陣為G(s)mxr，在求其最小實現(xiàn)時，先初選一種實現(xiàn)（可控標準型實現(xiàn)或可觀測標準型實現(xiàn)）。r為輸入變量的維數(shù)，m為輸出變量的維數(shù)。初選規(guī)則是：（1）r>m時，先初選可觀測標準型實現(xiàn)。（2）r<m時，先初選可控標準型實現(xiàn)。第57頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院58【例4.9.4】試求如下傳遞函數(shù)矩陣的最小實現(xiàn)。

解：（1）

即

第58頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院59§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系由故先選可觀測標準型。（2）檢驗可觀測標準型實現(xiàn)是否可控。故可控可觀測，為最小實現(xiàn)。第59頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院60§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系定理4.12：SISO系統(tǒng)可控且可觀測的充分必要條件是：由動態(tài)方程導出的傳遞函數(shù)不存在零極點對消（即傳遞函數(shù)不可約）。SISO系統(tǒng)可控的充分必要條件是：不存在零極點對消。SISO系統(tǒng)可觀測的充分必要條件是：不存在零極點對消。第60頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院61§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系解：三個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為顯然存在零極點對消?！纠?.9.5】試分析下列系統(tǒng)的可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)的關系。（1）（2）（3）（1）A,b為可控標準型，故此系統(tǒng)可控不可觀測。（2）A,c為可觀測標準型，故此系統(tǒng)可觀測不可控。（3）系統(tǒng)不可控、不可觀測。第61頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院62§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系-_uyx1x2【例4.9.6】設二階系統(tǒng)如下圖。試用狀態(tài)空間及傳遞函數(shù)描述判別系統(tǒng)的可控性和可觀測性，并說明傳遞函數(shù)描述的不完全性。解：由結構圖有整理后，有：

顯然，都出現(xiàn)零極點對消，故系統(tǒng)不可控、不可觀測。

第62頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院63分析：系統(tǒng)的特征多項式為二階系統(tǒng)的特征多項式應是二次多項式，但對消的結果是使二階系統(tǒng)降為一階。

原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，含有一個右特征值但用對消后的傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)時，會誤認為系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此說傳遞函數(shù)描述是不完全的。定理4.13：多輸入系統(tǒng)可控的充要條件是：多輸出系統(tǒng)可觀測的充要條件是：的n行線性無關。的n列線性無關。§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系第63頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院64【例4.9.7】試用傳遞函數(shù)矩陣判別下列MIMO系統(tǒng)的可控性、可觀測性。解：（1）判別可控性令§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系第64頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院65解此方程組，有，故三行線性無關，系統(tǒng)可控。

（2）判別可觀測性令解此方程組，有，故三列線性無關，系統(tǒng)可觀測?！?-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關系第65頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院66§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解系統(tǒng)中只要有一個狀態(tài)變量不可控便稱系統(tǒng)不可控，那么不可控系統(tǒng)便含有可控和不可控兩種狀態(tài)變量；只要有一個狀態(tài)變量不可觀測便稱系統(tǒng)不可觀測，那么不可觀測系統(tǒng)便含有可觀測和不可觀測兩種狀態(tài)變量。從可控性、可觀測性角度出發(fā)，狀態(tài)變量可分解成可控可觀測狀態(tài)變量可控不可觀測狀態(tài)變量不可控可觀測狀態(tài)變量不可控不可觀測狀態(tài)變量由相應狀態(tài)變量作坐標軸構成的子空間也分成四類，并把系統(tǒng)也相應分成四類子系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的規(guī)范分解。

第66頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院67§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解一、系統(tǒng)按可控性的結構分解設不可控線性定常系統(tǒng)為其可控性判別矩陣的秩為r(r<n)即則存在非奇異變換將狀態(tài)空間表達式變換為：其中：第67頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院68§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解中的n個列向量可按如下方法構造：是可控性判別矩陣中的r個線性無關的列；另外(n-r)個列向量在確保為非奇異的條件下任意選擇。將變換后的動態(tài)方程展開，有

非奇異變換陣前r個列向量第68頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院69§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解即不可控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：可控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：可控部分不可控部分按可控性進行結構分解示意圖第69頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院70§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解【例4.10.1】設線性定常系統(tǒng)判別可控性。若系統(tǒng)不可控，將系統(tǒng)按可控性進行規(guī)范分解。解：（1）判別可控性（2）構造按可控性進行規(guī)范分解的非奇異變換陣

故系統(tǒng)不完全可控。第70頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學院71§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解故而變換后系統(tǒng)的動態(tài)方程為：式中：