解題與解題教學(xué)

解題與解題教學(xué)第1頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月一、背景波利亞：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強解題的訓(xùn)練”單壿教授：解題是一門實踐性的學(xué)問：“學(xué)騎自行車”波利亞：“學(xué)游泳”第2頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月教師是否有解題的習(xí)慣？講題前是否有研究題目的習(xí)慣？教師自己的解題能力如何？選擇例題、習(xí)題、作業(yè)（即選題）的能力如何？如何進行恰當(dāng)?shù)慕忸}教學(xué)？第3頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月二、選題與構(gòu)題好題（適合于教學(xué)）的標(biāo)準(zhǔn)波利亞：如果他把分配給他的時間都用來讓學(xué)生操練一些常規(guī)運算，那么他就會扼殺他們的興趣，阻礙他們的智力發(fā)展，從而錯失良機。第4頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月相反地，如果他用和學(xué)生的知識相稱的題目來激起他們的好奇心，并用一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那么就能培養(yǎng)學(xué)生對獨立思考的興趣，并教給他們某些方法。第5頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月單壿：做高質(zhì)量的數(shù)學(xué)題兩種題：常規(guī)題與非常規(guī)題常規(guī)題：是基礎(chǔ)非常規(guī)題：提高能力，發(fā)展智力第6頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月1.層次性一是循序漸進，不要追求一次到位；二是逐步過渡，符合學(xué)生認(rèn)知能力第7頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月要有足夠的基礎(chǔ)訓(xùn)練題，如“對數(shù)的運算性質(zhì)”：足夠多的、直接運用運算性質(zhì)的問題，讓學(xué)生熟悉、記憶相關(guān)公式，不要一下子就進行綜合運用。第8頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月基礎(chǔ)訓(xùn)練宜先進行正面強化，不用負(fù)面強化：首因效應(yīng)。一些錯誤可以出現(xiàn)之后的反思中糾正。第9頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月如復(fù)合函數(shù)的認(rèn)識：例1.已知f(x)=2x+3，分別求：(1)f(0),f(1),f(-1);(2)f(a),f(a+1);(3)f(x),f(x+1).再變換函數(shù)，解決上述問題第10頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例2。已知f(x)=2x+3,若g(x)=f(x+1),求g(1),g(0),g(-1)的值。第11頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月在后繼課研究由復(fù)合函數(shù)求原函數(shù)的問題：例1.已知f(x)=2x+3,求f(x2);例2.若f(x2)=x2+1，求f(x);例3.若f(x+1)=x+5,求f(x);例4.若f(1-x/1+x)=x，求f(x)第12頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.典范性即一是具有基礎(chǔ)性，從而具有示范性、可以由一題及一類，反映本質(zhì)；二是可以由一題得一法或多法（建模）（波利亞《怎樣解題》中的解題表中在“擬訂方案”部分中：第13頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎？你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？你知道一條可用的定理嗎？觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目。第14頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月這里有一道題目和你的題目有關(guān)而且以前解過。你能利用它嗎？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了有可能應(yīng)用它，你是否應(yīng)該引入某個輔助元素？第15頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月如果你不能解所提到的題目，先嘗試去解某道有關(guān)的題目。你是否想到一道更容易著手的相關(guān)題目？一道更為普遍的題目？一道更為特殊化的題目？一道類似的題目？

08高考第19（3）第16頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月三是具有思維策略和思想方法意義即使是最簡單的題，其思維過程都應(yīng)該充分暴露，并且在對思維過程的反思中生成相應(yīng)的思維策略與思想方法。如前述復(fù)合函數(shù)問題：兩種類型問題之間的互逆關(guān)系開啟思維的大門。第17頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例（2007年江蘇第10題）在平面直角坐標(biāo)第xOy中，已知平面區(qū)域A＝{(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域B＝{(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為A.

2B.1C.1/2D.1/4第18頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月作為復(fù)習(xí)二元一次不等式表示的平面區(qū)域的例題，就是一個好的例子（當(dāng)然，前面還應(yīng)該有更基礎(chǔ)的例子幫助學(xué)生掌握如何表示二元一次不等式所示的平面區(qū)域）。第19頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月這是一道知識與能力有機結(jié)合的好題：

將集B轉(zhuǎn)化為集A，方法是整體代換（基于學(xué)生對問題的本質(zhì)的理解）第20頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例（2008年江蘇第9題）如圖，在平面直角坐標(biāo)第xOy中，設(shè)ΔABC的頂點分別為A(0,a),B(b,0),C(c,0);點P(0,p)為線段AO上一點（異于端點），這里a,b,c,p為常數(shù)。設(shè)直線BP、CP分別與邊AC、AB交于點E、F。某同學(xué)已正確求得直線OE的方程：(1/b-1/c)x+(1/p-1/a)y=0。請你完成直線OF的方程：（)x+(1/p-1/a)y=0.第21頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月這是合情推理的好材料：既是合理的：確實在解題過程中經(jīng)常會遇到這種“同理可得”的情況，這種可得的結(jié)果如果并不需要再求一次，其“同理”才有實際價值。

從這個方面說，這樣的考題實際上也是在教思維，是值得的我們平時選題時充分借鑒的。第22頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月又是可行的：

對不同思維層次的學(xué)生都有方法可做：按常規(guī)方法求與按結(jié)構(gòu)對稱性推都能做到，但思維的深度與高度大有區(qū)別。第23頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.可變性即題目具有多向變化的可能性一是題目本身可以由簡單變復(fù)雜，由單一變復(fù)合；二是思考的方向具有多向性，便于發(fā)散思維第24頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月08高考第19題第25頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月與教材2－2中習(xí)題教材2-2P84習(xí)題2。2第6題：證明：1，，3不可能是同一個等差數(shù)列中的三項。第26頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2007年福建省第21題：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1+,S3=9+3.(1)求數(shù)列{an}的通項an

及前n項的和Sn;(2)設(shè)bn=Sn/n(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列。第27頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第（2）題由p,q,r項成等比數(shù)列得(q2–pr)+(2q-p-r)=0得到：q2–pr=0且2q-p-r＝0.第28頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月通過比較可以看出：08江蘇19題與上題的思維方法完全類同：標(biāo)準(zhǔn)答案中的基本事實可由最后的方程組說明，而通過無理性構(gòu)造的根源也在本題的題干中。第29頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月本例同時說明：教師對題目的研究深度是決定學(xué)生的能力高度的基礎(chǔ)。第30頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月又如：等差數(shù)列中，首項大于0,公差小于0,求其前n項和的最大值問題。一是解法的多樣性：

二次函數(shù)配方法、圖像法；轉(zhuǎn)化為項的符號第31頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月二是變化：

不是等差數(shù)列，其前n項和的最值：

an+an+1=pn+q，其前n項和的最值？

正項等比數(shù)列的前n項之積的最值；

…………第32頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月和式處理策略（07年福建22題）已知函數(shù)f(x)=ex–kx,x∈R(3)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x)。求證：F(1)F(2)……F(n)>(en+1+2)n/2(n∈N*).第33頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月仿照倒序相加思想，首尾對應(yīng)相乘思維反思：怎么想到倒排相乘的？能從題結(jié)構(gòu)獲得啟示嗎？第34頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

4.全面性逐步完美知識、技能，思想如等差數(shù)列的通項公式：一是知識：公式的應(yīng)用二是技能：a1,d，n，an

中知三求

一;推導(dǎo)方法（差分法）第35頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月三是思想：基本量思想：等差數(shù)列由知道首項與公差確定。函數(shù)思想：項（函數(shù)值）與序號（自變量）之間為一次函數(shù)的關(guān)系。第36頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月這種結(jié)構(gòu)特征的重要性，如等差數(shù)列前n項和的特征、等比數(shù)列前n項和的特征的功能等。（兩等差數(shù)列前n項和的比與項的比的問題、等比數(shù)列的條件的問題等）第37頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月又如“函數(shù)的零點”1.判定的條件；2.反例；3.引申。第38頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月四是形成知識組塊

記憶的規(guī)律

優(yōu)、差生的區(qū)別：知識組塊的數(shù)量、質(zhì)量及調(diào)節(jié)策略的應(yīng)用。

要科學(xué)地建立知識組塊，不能將知識無序地裝在大腦中，而應(yīng)通過分類、比較、聯(lián)系等途徑，使零散知識壓縮成更密集的組塊。第39頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月組塊的作用：

簡縮思維形式

加速思維進程

降低思維能耗

具有知識與思維的雙重性第40頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解題知識組塊積累的越多，質(zhì)量越高，解題能力就越強如：對根號下平方和的表達式，有時需要聯(lián)系勾股定理，有時想到兩點間的距離公式，有時則用到同角三角函數(shù)之間的關(guān)系的公式圍繞此式，可以建立起相應(yīng)的組塊，并建立與構(gòu)造法、三角代換法等方法的聯(lián)系第41頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月選題、編題1.重視教材例題、練習(xí)的選用平均變化率教材所配例題、練習(xí)的意圖及教學(xué)處理第42頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2.新授課根據(jù)實際要求適當(dāng)補充一些例題、練習(xí)（如函數(shù)的單調(diào)性）3.復(fù)習(xí)課、習(xí)題課選擇一些要求適當(dāng)、具有深化基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練基本技能，與其他內(nèi)容適當(dāng)綜合，并能夠以展學(xué)生能力的題，如“基本不等式”習(xí)題課就可選些類似于08江蘇第11題的問題。第43頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月以教會學(xué)生掌握如何創(chuàng)造條件利用基本不等式；數(shù)學(xué)解題的一般性的思維策略與原則。第44頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月4.例、習(xí)題的適當(dāng)重復(fù)有利于學(xué)生牢靠掌握相關(guān)知識和方法；變式訓(xùn)練題有利于學(xué)生從本質(zhì)上理解學(xué)習(xí)的知識，靈活運用學(xué)習(xí)的方法。滾動式練習(xí)可以對重點、難點內(nèi)容進行強化訓(xùn)練。自主編制練習(xí)、試卷可以提高針對性；分層要求地設(shè)計作業(yè)可以實現(xiàn)個性化學(xué)習(xí)，有效提高效率。第45頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月5.要重視對成題的改編根據(jù)需要對題目進行改編是教師的一項基本功：如對2006年高考最后一題：將三項和改為二項和，將隔項差改為相鄰兩項差。也可以部分地改第46頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2007年江蘇最后一題是一道考查運用集合的思想和觀點解決問題的題目，但函數(shù)較為復(fù)雜且參數(shù)較多，同樣可以達到這樣的目標(biāo)，可以將函數(shù)簡化，參數(shù)減少，即使在高一也可以進行第47頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月6.改編也可以通過成題的變化實現(xiàn)

08江蘇第19題與教材題、07福建題關(guān)系說明，高三選題和變題的必要性，高三教研的一個重要方面可能應(yīng)該包括這一點。題講得多，學(xué)生從這些孤立的題中能得到什么？----少而精，而透第48頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月鎮(zhèn)江08年二模卷中一題就是由四川省07年年一道選擇題改編的。作為高三數(shù)學(xué)教師應(yīng)該有這樣的意識與能力。第49頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月三、講題1.教會學(xué)生審題審題的方法：題意，明確已知和目標(biāo)；題意的多角度理解。第50頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例：若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,1/2]成立，求a的最小值。理解1：即不等式的解集包含集合（0，1/2],從而分析函數(shù)f(x)=x2+ax+1的圖像與x軸交點位置得解法；第51頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

理解2：即函數(shù)f(x)=x2+ax+1的在區(qū)間（0,1/2]上的最小值都不小于0,再用圖像探索這個最小值；

理解3：將不等式等價變換為x2+1≥-ax,從而作出函數(shù)y1=x2+1與y2=-ax在區(qū)間（0,1/2]上的圖像（定曲線，動直線）；第52頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

理解4：將不等式等價變換為

－a≤x+1/x(0<x≤1/2)

說明:有時關(guān)鍵就在“理解”：

2007年江蘇第21題第53頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2007年第21題已知a,b,c,d是不為0的實數(shù)，函數(shù)f(x)=bx2+cx+d，g(x)=ax3+bx2+cx+d。方程f(x)=0有實數(shù)根，且f(x)=0的實數(shù)根都是g(f(x))=0的根；反之，g(f(x))=0的實數(shù)根都是f(x)=0的根。（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范圍；（3）若a=1，f(1)=0，求c的取值范圍。第54頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）略（2）由（1）知

f(x)=bx2+cx，

g(x)=ax3+bx2+cx。由a=0得：

f(x)=0即x(bx+c)=0，

g(x)=0即x(bx+c)(b2x2+bcx+c)=0……第55頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月波利亞的“解題表”理解題目（第一，你必須理解題目）：未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或有多余？或者矛盾？第56頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月畫一張圖，引入適當(dāng)?shù)姆枴l件的不同部分分開有時數(shù)據(jù)較多，有關(guān)的量較多時，可以用表表示數(shù)據(jù)，引進字母表示這些變量。第57頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月對一些新定義的概念、運算等問題，更需要通過適當(dāng)方式加以理解：如2006年北京理：在數(shù)列{an}中，若a1,a2是正整數(shù)，且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5…,則稱{an}為“絕對差數(shù)列”……范例：1995年高考應(yīng)用題第58頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月范例：08江蘇第20題第59頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2.有效引導(dǎo)學(xué)生思考首先要給學(xué)生足夠的理解題意、探索分析的時間（一聽就懂，一看就分，一做就錯）解題的要意不在答案本身，而在思維過程，學(xué)生必須經(jīng)歷這一過程。第60頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明等一系列思維過程都需要學(xué)生通過自己的獨立的活動來親身經(jīng)歷。越俎代庖的結(jié)果必然是學(xué)生思維獨立性的喪失。第61頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月其次，教師應(yīng)在恰當(dāng)?shù)臅r間，以恰當(dāng)?shù)姆绞綄W(xué)生的思維進行歸類，明確學(xué)生已經(jīng)達到解題的哪個層次，并通過互動加以必要的引導(dǎo)。波利亞：學(xué)生應(yīng)該獲得盡可能多的獨立工作的經(jīng)驗，…教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生，但不能太多，也不能太少…如果學(xué)生沒有能力做很多，那么老師應(yīng)當(dāng)給他一些獨立工作感覺。第62頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月單壿：現(xiàn)成的答案不一定是最好的答案，“應(yīng)該自己睜開眼睛看，切莫被人牽著鼻子走”學(xué)生要這樣，教師更要這樣。第63頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月范例：《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2008第6期P21（對一道題的“正難則反”思維定勢成因的研究）已知三個方程:x2-mx+4=0,x2-(m-1)x+16=0,x2+2mx+3m+10=0中至少有一個方程有實根,求實數(shù)m的取值范圍.補集的實質(zhì)?第64頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月其次,對學(xué)生的思路要理清、明晰：從概略性解決開始的有層次的解題習(xí)慣思維的起點？可行性？范例：2006年高考末題第65頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例(2006第21題)設(shè)數(shù)列、、滿足：（n=1,2,3,…），

證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,…）第66頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：必要性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則：===0∴（n=1,2,3,…）成立；又

=6（常數(shù)）（n=1,2,3,…）∴數(shù)列為等差數(shù)列。-第67頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）-（2）得充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1,2,3,…），第68頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月∵∴…………

（3）從而有………

（4）第69頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月由此，不妨設(shè)（n=1,2,3,…），則（常數(shù)）故從而兩式相減要得第70頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月概略性解決----功能性解決----特殊性解決通過{bn}溝通了{an}與{cn}之間的