2023年北京市通州區(qū)高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷及答案解析

2023年北京市通州區(qū)高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.知集合4={-1<<3},集合={∣∣x∣≤},貝1」()

A.AB={x∣-≤X<}B.AB{x?-2x<3}

C.AB={?-Kx<}D.AU={x∣<3}

2

2.雙曲線三一y2=1焦點(diǎn)標(biāo)為()

A.±1,0)B.(+√2,0)C.(±√3,0)D.(±√5,0)

3.已知a=(g)°?2,b=lg40.2c=lo23()

A.ca>bB.>c>bC.a?cD.b?a

4.已知Coa=∣,a是第限角，且a,/?的終邊關(guān)于、對(duì)，貝IJtan0=）

3344

C

------

A.4433

5.已知列{cm}滿足an+1=2π(n∈N*)S?!為其刖和.右2,S5=()

A.20B.30C.31D.62

6.已知數(shù)(X)Ilog%,不等式f(x)V2的解集為()

1I

A.(-40U(0,4)B.(04)C.(t,4)D.Q+∞)

7.己，S是兩不同的平面，直線Ca,alβ,么''〃/a"是_L6的（）

A.充分不必要條件B.必而不充分條件C.充分必條件D.既不充不必要條件

8.如圖，在同一平面內(nèi)平行四邊形4。兩4B,ZD分別正形ABEF,

AMN,其中AB=2/W14B/W=%則配?麗=（）

A.0

B.-1

C.2√2

D.-2√2

9.知數(shù)｛an｝是為d的差數(shù)列，且各項(xiàng)均為數(shù)，如果a=3,=45,那么n+的最小值為（）

A.13B.14C.17D.18

10.季度此活超市營(yíng)業(yè)入低的是熟食區(qū)；

本季度此活超市的營(yíng)凈利潤(rùn)過(guò)來(lái)自生鮮區(qū);

百分比給出下列四個(gè)結(jié)：

季度此生活超市營(yíng)業(yè)利潤(rùn)最高的是日品：

本季度此生活超市鮮的營(yíng)利潤(rùn)率超過(guò)40.

中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

11.拋線y2=2的準(zhǔn)線方程―

12.若復(fù)數(shù)Z滿足l-?z2i,則IZl=—.

13.已知圓C：（-12+（y-）2=和直線I：y=kx},則心坐標(biāo)為一點(diǎn)P在圓C上動(dòng)，到直

線/的距離記為（鼠則d的最大值為（）—.

14.知函數(shù)（X）=若函/R上不增函數(shù)，貝IJa的個(gè)取值為（）—.

15.（X）的最小正周期是；

音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生能引起聽(tīng)覺(jué)的波，中包含著正函數(shù).音的數(shù)學(xué)型函y=SiBt,我們聽(tīng)到

聲音由合成的，稱(chēng)為復(fù)合音.知一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)是函數(shù)/（X=SnX+：STI2X,出列四個(gè)結(jié)論：

/（x）［0,3上是函數(shù)；

F（X）在［02］上有3零點(diǎn);

其所有正確結(jié)的序號(hào)是—.

三、解答題（本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

16.（本小題14.0分）

求4;

??ABCfacoB+?b=ch=2.

條CoSB=—|；

再?gòu)南氯齻€(gè)條件中擇一個(gè)為己，使44BC在且唯一確定求C上的高.

件：AAC的面積為喈.

17.（本小題14.0分）

求證：4C平面PB；

若平PAB與平面O的夾角等于半求面PB與CD所成的余弦值.

18.（本小題14.0分）

從參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)在IOQ）和［90,100）的學(xué)生中各機(jī)抽取人，中中學(xué)生的人數(shù)記X,求機(jī)變

X的布和期望；

北2022年冬奧會(huì)、向全世界遞了挑戰(zhàn)自我、極向上的體育精神，了健康、文明、快樂(lè)生方式

.為激發(fā)學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)興助力全面健康長(zhǎng)某中學(xué)組全體學(xué)生開(kāi)展以筑夢(mèng)奧運(yùn)，一起未為題的體

育實(shí)踐活,為該校學(xué)參活動(dòng)情況，機(jī)取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)他們參育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間（單位:

分），得表：

假設(shè)同中每個(gè)據(jù)組區(qū)間中值替樣中的100名學(xué)生參加育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)記為40,中高

中學(xué)生參加體育踐活動(dòng)時(shí)間平均數(shù)分別為“1,42,Zn滿足什條時(shí)，寄.（結(jié)不要求明）

19.（本小題14.0分）

ɑθ時(shí)，求證函數(shù)/0）存在小值；

求曲線y=fx）在點(diǎn)（OJO）處切方程；

請(qǐng)直接寫(xiě)函數(shù)（X的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

20.（本小題15.0分）

知橢圓C：W+，=l（α>b>的個(gè)頂點(diǎn)為（0-1）,一個(gè)焦為1,0）.

已點(diǎn)P（02,原點(diǎn)的直線交橢圓C于M,N兩直線PM與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為（?.△MQ的積于殍,

直P(pán)M的斜率.

21.（本小題14.0分）

已知數(shù)集4{αlα,α3….αn（l=al<a2<???<anfn≥2）有質(zhì)P：對(duì)任的（2≤≤n）i,jeN*

（1≤譏），使得α∕c=iα∕成立.

知Sn=Ql+α2+???+（n∈）,求：2Q-1≤Sn；

若an=36,求數(shù)4所元素和的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合{x∣-1<3集合B=(x∣∣x∣≤}=(x∣2≤x≤2},

AUB=[x∣-≤x}故8正確O錯(cuò)誤.

故選：

求集合4,集合B,利并集和交集定義能求AnUB.

題查集合的運(yùn)算，考查交集、并義、不等式質(zhì)等基礎(chǔ)識(shí)，考查運(yùn)求解能，是礎(chǔ)題.

2.【答案】C

2

【解析】解：雙曲線——y2=1，可α=V∑,b=,c=遮所以雙曲的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±百,).

故選：

直接利用雙曲線方解焦點(diǎn)坐即可.

本考查雙曲線的簡(jiǎn)單質(zhì)應(yīng)用，坐標(biāo)的求法是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：???O<φ0?2<(1)0=1,Oal;

?c?b,

故選：

對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性求解.

考查三個(gè)大比較的法，是基礎(chǔ)題，解題要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)和指函數(shù)的性的理運(yùn)用.

4.【答案】D

【解析】解：???a第象角，且角a,的終邊關(guān)y軸對(duì)稱(chēng)，

=7T—a+2∕c,fc∈Z,

故選：

據(jù)題可知0=兀-+2kτr,fc∈Z,再由誘導(dǎo)公式角函數(shù)的本關(guān)系求解即可.

本題考查誘公式及角三函數(shù)的基系的運(yùn)用，考運(yùn)算求解能力屬于礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解:αn+l=2n,.?.數(shù)列｛αn為等比列且公比2,

5

l×(-2),

1-2-1

故選：

根等數(shù)列的通項(xiàng)式求和公式進(jìn)行計(jì)算即可.

本主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和式，于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：,?,(》)Vog2|,

%)<2—2<Ioglx<2,

.?.等式/(x)<的解集G4).

故選：

利用對(duì)數(shù)函的單性求解可.

本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解屬于基.

7.【答案】B

【解析】解：線，Ca且α1,則不，［與0相交，故充分不成立；

???ul∕/“11夕必要而不充分條件.

故選：

據(jù)空間線位置關(guān)系，結(jié)合要不充分條件的概斷即可.

本題查充分件、必要條件、要條件判，查空間中線線、線面、面面間的位置等基礎(chǔ)知，考查推理

論證能，基題.

8.【答案】A

【解析】解：題意知，AC=AB+AD,FNFA+AN，M

所以前-FN=(AB+AD)(FA+前)

故選：

由題意出前=亞+而，7N=FA+AN>再求亞?麗的值.

本題考查了面向量的表示與數(shù)量運(yùn)算問(wèn)題，是礎(chǔ)題.E

9.【答案】B

【解析】解：由差數(shù)列的通項(xiàng)公式n=αl(-l),得

??.(n—l)d=44×1=1×2=67,

????nl=6,d=或-1=7,d=6時(shí)，

即n=7d=或n=8,d=6時(shí)n+最小值為14.

故選：

由al=3,an=,得到(n-1=4,然后析出n,d的有可能取值，而得到案.

考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公，解答關(guān)是由各項(xiàng)均為正數(shù)得到公差為整數(shù)，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】解：由題中數(shù)據(jù)，類(lèi)營(yíng)收入占4.7%為最低的，故錯(cuò)；

乳制品區(qū)業(yè)利潤(rùn)率為翳32.526.68%；

其區(qū)的營(yíng)利潤(rùn)率為巖325%=12.45；

生鮮凈利潤(rùn)占比6.8%>50%,故正：

生鮮區(qū)的營(yíng)業(yè)利為L(zhǎng)正確;

故選：

根表中數(shù)據(jù)以及營(yíng)業(yè)率的概念逐項(xiàng)進(jìn)行分析斷.

本題考查了與計(jì)的關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】X=-?

【解析】解：拋物y2=2x的準(zhǔn)線方為：x-∣=-∣.

故案為：X=—?.

直利用拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程求準(zhǔn)線程即可.

本題查拋物線單質(zhì)的應(yīng)，是基本知識(shí)的考查.

12.【答案】√2

【解析】解：T(I—i)?=i,

.?.(l+)(i)?z=(l+i)?2,

22

???zI=Λ∕(-1)+I=√2.

答案為：V2?

利用復(fù)數(shù)運(yùn)法則和模計(jì)公式即可得出.

題考查了復(fù)數(shù)的算法模的計(jì)算式，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】(1,2)2√2+l

【解析】解：圓的方程知圓心標(biāo)為(12)；

由直心=k(x+l)知直線過(guò)點(diǎn)Q-,0)則ICQl=J(Il)2+(20/=2√∑,

又圓C的半徑為r=1,max=U+=2√Σ+L()

答案為:(12)：2√2+l.

由圓村準(zhǔn)方程可得心，據(jù)直線Z過(guò)定點(diǎn)Q(-l,0)可知當(dāng)JL/時(shí)，圓心C至IM離最大貝∣J(k)Tna-ICQl+r.

考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了到直線距離公的應(yīng)用，是基.

14.【答案】一2(答案不唯一，滿足a<-1或0<a<1即可)

【解析】解：=X和y=x3的圖象圖示：

故當(dāng)<-1或Oal時(shí)，數(shù)在R上不是增函數(shù).()

故答案：—2.

作y=χ和yχ3的圖，數(shù)形結(jié)即可得a的范圍，從而得到的可能.

本題考了分段數(shù)的應(yīng)用于基礎(chǔ)題.

15.【答案】②④

11

【解析】解：為f(xn)=in(%+π÷-f[2(%+π)]=-inx+-sinx≠f(x),故Tr是/(X的周期故錯(cuò)；

,/(x+2)=x),即該函數(shù)最正周期為2τr,設(shè)％[0,2ττ],

令f(%)=0,Inxsixos=0,即n(l+cos)=0解得:x=0或％=Tr或=π,故正；

令/2CSX-I)(CoSX+1)=0得，cs%=2或—1,()

所以X=E或兀，y,此時(shí)出)=苧，/?(兀=0,/留)=一苧,/(0)=/'(2)=0故最值苧故正確.

故：.

利用周期數(shù)的定義判斷期，利用導(dǎo)數(shù)究單調(diào)性，在一個(gè)周研究極值處的值進(jìn)而求出值，由此逐項(xiàng)

判斷即可.

題考查導(dǎo)究數(shù)的極值、最值時(shí)的應(yīng)用，同考查了角函數(shù)的性質(zhì)屬于中檔題.

16.【答案】解：弦定理及acosB+gb=c,nAcosB+?sfi=SinC,

該44B不存在.

_1

所以2sin=sAsinB,

所Sin=sinA+B)=IncosB+osAsiB=^?(―∣)+??=遮二之遮<。，

L?Z?O

擇件：因?yàn)樗訠∈0,y),

因?yàn)镾nC=Sin(A8)=sines+CoSAiB,

選擇條件：△AC的面=?bcinA=?×2c×?=與"，所C=V3+1,

因SinB≠0,以CoS=

以Q=瓜,

又A(O㈤,所A=,

由余弦理知，Q2=b2c2-bcos=4+(√31)2-2×2(√3+1×?=6,

為S=??∕ι=?×V6×h=3；3,以B邊上的高九=

【解析】條：易知8∈請(qǐng))，從而知=今再由S心幾(+B),展開(kāi)運(yùn)算求得SiC的值然后由∕ι=biC得

解；

：由cos8=-1,出SinB的值，再由Si=in(A+B),開(kāi)運(yùn)算求得SiTIC的，SinC<0,故該形不存；

條件：S=IbcsinA,求得再利用弦理，求出α,后據(jù)等面積法，解.

本題查三角形，熟練正弦定理余弦定理，兩角的弦公式是解題的關(guān)鍵考查邏推能力和運(yùn)算能力,

屬于中題.

17.【答案】貝噂霽U

平PzIB與平面CD的夾角等于全

.?.A=-JAD2+CD2=√2>AB=y∣AE2+BE2=√2>

解：設(shè)P=a,

證明：過(guò)44E1.C交B于點(diǎn)E,

則B(√Σ,O,),CO,√2,,P(,0,a),4(0,0,0,(-日塔,0,

則3=1,

μc∣∣n∣2,

XVBC//D,CDLAD,CD=1,BC=,

令y=√2,

又???P1底4BC。，

則P00,1),

解a=1,

.?.A1AP,

PCiAB=A,

即廣廠°,

(√2-QZ=O

設(shè)平面PC的一個(gè)法量為記=(xyfz)f

：?BC2=AB+AC,

2_1

則√2x,22+今2?

則而=(￠,0,1),DC=(y,y,0).

即異面直線PB與CD成的余值為g?

【解析】利用股定證明4C?LB,結(jié)合4C_L4及線垂的判定定理可得證；

設(shè)AP=,立空間角坐系，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合空間向量的數(shù)運(yùn)算求解即.

本題考了線垂直的判定定及異面直線所成角，重點(diǎn)考查的間向量的，檔題.

18.【答案】解：方法生共有69+1010+6+4=45人，記事4為“所查學(xué)生隨機(jī)抽取1人，生抽

到”，事件B為“從有調(diào)查學(xué)中隨機(jī)抽取1人，參加體活動(dòng)時(shí)在［50,6),

由題意知，從所有調(diào)查學(xué)中機(jī)取人，抽到女生所包的基本件共4個(gè)，

方法二：X的所有可能值，1,,

由意，事C,D相互獨(dú)立，且P=Il=IP⑼=曰=|,()

所以PX=)=P(CD)P(C)P(D)=∣×∣=i,

?J7

所以X分布列：

X012

144

P

999

故的數(shù)學(xué)期望E=OX2+1x［+2Xt=E=/()

方法二：女生共有6+9+1+10+6+4=45人，事件M為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽名生，知

抽是女該生參加體活動(dòng)時(shí)間在5,6)“，

因?yàn)閺膮⒓芋w育時(shí)間在［090)和［010)的學(xué)生中各機(jī)抽取1人是互獨(dú)立，抽到初中學(xué)生的概均為|,

?

故X?B(,/

---21124

(X=I=P(CDuCD)=P(CO)P(C)(D)=^×^+-×-=-t

所以P=?=()

抽到女生且參加體育活動(dòng)時(shí)在［506)包含的本件共9個(gè),

由題，m=,2,311,

X012

144

P

999

故X的數(shù)期望EnP=2X：=*()

方法一：X的所有可能0,12,

2=13×5+12×6÷×5+5×5÷4×95=2825,

根男女生人數(shù)補(bǔ)全初中學(xué)生各間數(shù)：

所以從校隨機(jī)取1名學(xué)生，若已到的女，估計(jì)該學(xué)生加體育活動(dòng)在［50,6)的概率為最

9

因此P(BM=鬻=髻建屋，

記事件C為“從參加體育活動(dòng)間［80,90生隨機(jī)抽1人抽到的是初中學(xué)生”，事。參加體活動(dòng)間在

［0,100)的生中隨機(jī)抽取人，抽到的是初中學(xué)生”，

(X=2)=ciφ2=∣=∣×∣=?,

當(dāng)m2,3...11時(shí)立，故的取值范{m∈Z2≤m≤1}.

【解析】法一根據(jù)相互立件同時(shí)發(fā)生的概率求解可方法二：根據(jù)二項(xiàng)分布的公式求解；

全初中的人數(shù)表格，再分別計(jì)算〃0〃1,〃2關(guān)于Tn的析入"o≥空m的范圍即可.

本題查了離散隨變量的列與期望，屬于中檔題.

19.【答案】解：/(x)=xn(2+1)-ax,得/'(%)=Inx+1+汀γ2α》,

顯然》=0是函數(shù)/。)的零，當(dāng)XO時(shí)，數(shù)(X的即為方程α=*由的解，

(X在(0,+8)遞減，gx)取值集合為(,2,

由知，'=ln(2+1)+J+1—α%,()

因此，(X)在(一3,0)上單減，9。取值合為(2,+8)；

當(dāng)一;<<0∕√(X)0,當(dāng)X>O時(shí)，∕ι'(X)<O函數(shù)%)在(一表0)上增，在，+8)上遞減,

函數(shù)f(久=%Zn(x)-α%2定義域?yàn)?一萬(wàn),+),/)=0=xn(2x+1)=%2,

令⑸=則FX∈(-∣,0)U(,∞),則g，X)=鑒-；［+)，

所以當(dāng)αθ時(shí)，函")在極小值.

于是得當(dāng)0時(shí)，數(shù)/(x)取得極小，

令九=GIn(2"+),則九(X)=劭一石=一言,()

當(dāng)一；?。時(shí)，(P(X)>,當(dāng)X>0,φx)<0,

則f'(0=,而/(0)0，

于是得當(dāng)0<α2或α>時(shí)，程α=的里!有唯一解，當(dāng)α≤或α=2此程無(wú)解，

X

則有r>o,數(shù)/(%在(0,+)上增，()

3%)在(一2,0)上遞，(0,+8)上遞減S(X)≤9(00,

即V(T，8),有l(wèi)n(2x+1)≤%當(dāng)僅當(dāng)X=時(shí)取“=”，

74x

令a9(=ln(x+l)-2x,<p(x)=^--=)

當(dāng)一J<xO時(shí)，叫/D>2,當(dāng)%>時(shí)，0<‘必+1)<2,

2XX

所以，當(dāng)Q≤0或。2時(shí)，函數(shù)/*(%)一零點(diǎn)，當(dāng)0<V2或>時(shí)，函數(shù)/%)有零.

【解析】求出函數(shù)/(%)導(dǎo)尸(%,再利導(dǎo)數(shù)何意義求解作答.

在x≠0,分離數(shù)，構(gòu)函數(shù)g=吟9,再探討在(一；,0)(0,8)上的零點(diǎn)況即作答.()

本考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最數(shù)的零點(diǎn)考分類(lèi)論思想轉(zhuǎn)化思

想，難題.

20.［答案1解得卜2=2,?2=y(滿足答>|)

根橢圓的對(duì)稱(chēng)知SAMQ=SONQ=TSMNQ,SΔPOMS?PON,所以。MQS△。Q=SAPQ-S△

PON=ZkO-SAPM

1

=-2

22?X2?-1××?×ι?=∣2-x∣=√(x1+x2)-4X1X2

(y=kx2

由J

?

9(1+k2x2+8%+6=0,

l2+y=1

Zl=fc2-4(1+2fc2)×60解得上2>

由題設(shè)，得=,c=,α=b2+c2=2,

所橢圓的方程為J+y2=1離心率e=≡=?=y?

所以k=+V2，或k=+

【解析】據(jù)題意得到be,進(jìn)而求α,最后得到圓方程離率；

設(shè)出直線PM的方程并入圓程后簡(jiǎn)，再出點(diǎn)M,Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出面積，后與數(shù)的關(guān)系求出答

案.

本題主要查方程的解，直線圓錐曲線位置關(guān)系，韋達(dá)定理及應(yīng)用等知識(shí)，于中題.

21.【答案】解：ι?3Hl,???{1,,5}不具有質(zhì)P；

而此時(shí)集合A中至少有3不同ɑnem-Ii,0的元素，

又Iaa2<…<anfn≥2,

Sanan—1+αi+α/+3αl=75,矛，

???2=lx2,31+2=3+,{13,6}具有性質(zhì)P；

假設(shè)IC4根據(jù)性質(zhì)，對(duì)cm=36,有Cd,j,使得幾6=α+α∕,

18∈4進(jìn)而Qt=18,且Cm-=8,

解：小值為75.

即對(duì)任的k(2≤∕c≤zι),引，(l≤^≤≤使得Q=ɑ+Qj成立，

ai=fq=1此時(shí)集合中至少要一個(gè)大于等于4元素α,才能得到元素8,>7,

ai9aj3