2022-2023學年河南省重點學校高三（上）期末聯(lián)考數(shù)學試卷（文科）（含解析）

2022-2023學年河南省重點學校高三（上）期末聯(lián)考數(shù)學試卷（文

科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.==（）

i

A.4—3iB.-4+3iC.4+3iD.—4一3i

2.已知集合4={1,2,3},B=那么AUB=（）

A.{3}B.{1,3}

C.[-1,1,2,3）D.{x|-1<x<3}

3.函數(shù)〃>）=，爐一4%+3的圖象在點（一2,〃-2））處的切線方程為（）

A.2%+y+11=0B.2%4-y—11=0C.2%—y+11=0D.2%-y—11=0

4.從;，J,p±J這五個數(shù)中任選兩個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)的和大于q的概率為（）

Z34□oL

A.得B.|C.iD.|

5.在等差數(shù)列{a九}中，已知+。4+。5+=25,那么。4=（）

A.4B.5C.6D.7

6.甲、乙兩班各有10名同學參加智力測試，他們的分數(shù)用莖葉圖表示如下，則下列判斷錯

誤的是（）

甲班乙班

52281~2~3~7

865439259

4110146

A.甲班的分數(shù)在100以上的人數(shù)比乙班的少B.甲班的極差比乙班的小

C.甲班與乙班的中位數(shù)相等D,甲班的平均數(shù)與乙班的相等

7.函數(shù)/0）=8$2%-6。0525+5的最小值為（）

A.—7B.0C.2D.6

4

8.某多面體的體積是|,其三視圖如圖所示，則側（左）視圖中的a=（）

1

A.BCD.1

2t-|

9.函數(shù)f（X）=COSX+:的圖象大致為（）

母線長為中R，其內接圓柱

的底面積與圓錐的底面積之比為9：16,則該圓柱的表面積為（）

A.2nR2

B.lnR2

C.

D.

2

11.^.a=(log23),b=log45-log23,c=2,則()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

12.國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖1所示，內、外兩圈的鋼骨架是由兩個離心率

相同的橢圓組成的對稱結構,某校體育館的鋼結構與“鳥巢”類似，其平面圖如圖2所示，已

知外層橢圓的長軸長為200米，且內、外橢圓的離心率均為?，由外層橢圓長軸的一個端點力

向內層橢圓引切線AC,若4C的斜率為a則內層橢圓的短軸長為（）

圖I圖2

A.75米B.50，1米C.50米D.25，9米

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量1=（2/c-4,3）,方=（-3,k），若五J.石,則實數(shù)%的值為一.

14.圓心與圓產(chǎn)+y2+2%+8y+6=0的圓心重合，且過點（一2,1）的圓的方程為一.

15.分別過雙曲線C；卷一3=1。＞0）的左、右頂點作C的同一條漸近線的垂線，垂足分

別為P,Q,若|PQ|=3,則雙曲線的離心率為—.

16.如圖所示，在△ABC中，已知"=今D,E,F分別在邊AC,BC,AB上，且

△OEF為等邊三角形.若4。=CD=2,則4DEF的面積為一.

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題12.0分）

近年來，醫(yī)保政策不斷完善，報銷比例越來越高，受到市民的歡迎，但是由于特殊藥品還有

很多沒有納入醫(yī)保，所以也引起了部分市民的不滿，對某大型社區(qū)進行醫(yī)保滿意度調查，制

作了如下2x2列聯(lián)表.

不滿意滿意合計

男17

女42

合計100

已知從樣本中的100人中隨機抽取1人其滿意度為不滿意的概率為卷.

(I)完成上面的2x2列聯(lián)表;

(口)根據(jù)2x2列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認為是否滿意與市民的性別有關.

n(ad-bc)2

附：2其中九=a+b+c+d.

K=(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>fc)0.100.010.001

fc2.7066.63510.828

18.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛即｝中，出="且S-=2+《(neN*).

Iottn+lanJ

(I)證明：｛福一4｝是等比數(shù)列；

(□)求數(shù)列｛；｝的前幾項和％.

19.(本小題12.0分)

如圖，在正三棱柱4BC-A1B1Q中，AB=4,=3，石，D是AC的中點，點E在BB】上且

2

BE=；BB].

(I)求證：0E1平面41clE；

(n)求點Cl到平面4DE的距離.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=哼如，曲線y=f(x)在x=1和lx=-1處的切線互相垂直.

(I)求實數(shù)k的值；

(H)令函數(shù)g(x)=1-bix)f(x),證明:g(x)<l+2.

21.(本小題12.0分)

已知動點P到直線y=-8的距離比到點(0,1)的距離大7.

(I)求動點P的軌跡方程；

(口)記動點P的軌跡為曲線C,點M在直線k：y=-l上運動，過點M作曲線C的兩條切線，切

點分別為4,B,點N是平面內一定點，線段M4NA,NB,MB的中點依次為E,F,G,H,

若當M點運動時，四邊形EFGH總為矩形，求定點N的坐標.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標系xOy中，直線，的參數(shù)方程為+為參數(shù))，在以原點。為極點，x軸

正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為p(p-4s譏。)=-3.

(I)求1的普通方程和C的直角坐標方程；

(II)設，和C交于8兩點，求AZOB的面積.

23.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/(%)=2\x+1|+2\x\.

(I)求/(%)的最小值；

(II)設/(工)的最小值為且正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=m,求證:a3c+b3a+c3b>2abc.

答案和解析

1.【答案】D

27

【解析】解：復數(shù)0：立=(2T)xi=_4_

iixi

故選D.

要求兩個復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共舸復數(shù)，分子和分母上進行復數(shù)的乘法運

算，最后結果要化筒成最簡形式.

本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，是一個基礎題，這種題目運算量不大，解題應用的原理也

比較簡單，是一個送分題目.

2.【答案】C

【解析】解：集合4={1,2,3},B=[-1,3,1),

則4UB={-1,1,2,3}.

故選：C.

根據(jù)并集的定義寫出4UB.

本題考查了并集的定義與應用問題，是基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：由/(x)=^爐一4x+3,得/(%)=|%2-4,

...1(-2)=*4-4=2,

又/(一2)=-4+8+3=7,

???函數(shù)f(%)=1x3-4x+3的圖象在點(-2處的切線方程y=2(x+2)+7,

即2x—y+ll=O.

故選：C.

求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=-2處的導數(shù)值，再求出/(-2),利用直線方程的點斜式得

答案.

本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查運算求解能力，是基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：從事J這五個數(shù)中任選兩個不同的數(shù)，所有的情況有：

23456

（U）＞（U）-（鼻），（另），（另），（U）＞（暴），職），（另），G，》，共io彳

其中兩個數(shù)的和大于初有：歲，（另），（吳），（另），百，（暴），共6種,

所以所求概率為4=|.

故選：D.

利用古典概型的概率公式求解.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：在等差數(shù)列似九｝中，

。2+。3+。4++。6=5a4=25,解得＜24=5.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結合等差數(shù)列的性質，即可求解.

本題考查等差數(shù)列的性質，涉及等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：由圖表看出甲班100分以上的有2人，乙班100分以上的有3人故選項A正確;

甲班的極差104-82=22,乙班的極差106-81=25,故選項B正確；

甲班的中位數(shù)為：號史=94.5,乙班的中位數(shù)為：等=93.5,故選項C錯誤；

甲班的平均數(shù)為：82+82+85+93+94彌+96+98+101+104=93,乙班的平均數(shù)為：

81+82+83+87+92+：；+99+101+1。4+1。6=93,故選項力正確.

故選：C.

根據(jù)統(tǒng)計中的極差、中位數(shù)、平均數(shù)的定義，即可解出.

本題考查了統(tǒng)計與概率的基本概念，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：/(%)=cos2%—6cos2]+5=cos2%—3(1+cosx)+5=cos2x—3cosx+2=

(COSX-|)2一

因為cos%6[—1,1],

所以當COST=1時，函數(shù)/(%)取得最小值0.

故選：B.

先利用二倍角公式可得f(x)=(cosx-|)2-i,然后轉化為二次函數(shù)的最值問題即可.

本題主要考查二倍角公式及二次函數(shù)的最值問題，屬中等難度題.

8.【答案】D

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐4-BCD；

解得：<2=1.

故選：D.

首先把三視圖轉換為幾何體的直觀圖，進一步利用幾何體的體積公式求出幾何體的高.

本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉換，幾何體的體積公式，主要考查學生

的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

9.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，f(x)=[cosx+；=*坦，其定義域為{x|x力0},

在區(qū)間(0,等上，cosx>-|,有2cosx+l>0,則有/■(%)>(),排除B、D；

在區(qū)間,，條上，cosx<-p有2cosx<0,則有f(x)<0,排除C,

故選：A.

根據(jù)題意，分析函數(shù)在（0,爭和片普）上函數(shù)值的符號，排除B、C、D,即可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)奇偶性的分析，屬于基礎題.

10.【答案】B

【解析】解：因為圓柱的底面積與圓錐的底面積之比為9：16,

所以圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑之比為3：4,

所以圓柱的母線長與圓錐的高之比為1：4,

因為圓錐的底面半徑為R,母線長為，訶R,所以圓錐的高為J（，玉/?）2一=3R，

所以圓柱的底面半徑為弓凡母線長為^R,

44

所以圓柱的表面積為2兀1/?弓/?+[/?）=3兀產(chǎn).

故選：B.

根據(jù)底面積之比可得半徑之比，進一步得到母線長與圓錐的高之比，最后根據(jù)圓柱表面積公式計

算即可.

本題考查圓柱表面積的有關計算，圓錐的結構特征，考查運算求解能力，屬于基礎題.

11.【答案】A

【解析】解:因為a=(log??)?>(/og22，②2=?2=*,所以a>c；

(3+/g5)zQgl6)z2

因為6=*5?臉3=接聾＜4v-4(T2)_所以C>b,

2ag2)z2?g2)z2ag2)?

所以Q>c>b.

故選：A.

根據(jù)對數(shù)運算判斷即可.

本題主要考查對數(shù)運算，屬于中檔題.

12.【答案】B

【解析】解：內、外橢圓的離心率均為空，設內層橢圓的長半軸、短半軸長分別為a、b，。

2匕

?，所以a=2b,

則內層橢圓方程為：京+，=1,

由外層橢圓長軸的一個端點做一100,0)向內層橢圓引切線4C,4C的方程為：y=-1(x+100),

代入橢圓方程可得：X2+100%+5000-2b2=o,

可得4=10000-4(5000-2b2)=0,解得爐=1250.

所以b=25，。

故選：B.

求出直線方程，設出內層橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用相切時方程有等根，求解內層橢

圓的短軸長.

本題主要考查直線與橢圓的位置關系，考查了轉化數(shù)學、運算能力，屬于中檔題.

13.【答案】4

【解析】解：向量五=(2k—4,3),b=(-3,fc)?alb，

則(2k-4)x(-3)+3k=0,解得k=4.

故答案為：4.

根據(jù)已知條件，結合向量垂直的性質，即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質，屬于基礎題.

14.【答案】(X+1)2+(y+4)2=26

【解析】解：圓/+y2+2x+8y+6=0,BP(x+I)2+(y+4)2=11,

該圓的圓心為C(-l,-4),

故要求的圓的圓心為C(—1,一4).

再根據(jù)要求的圓過點(-2,1),故圓的半徑的平方為(—2+I)2+(1+4)2=26,

故要求的圓的方程為(x+I)2+(y+4)2=26.

故答案為：(x+l)2+(y+4)2=26.

由題意，確定圓心和半徑，從而求出它的標準方程.

本題主要考查求圓的標準方程，關鍵是確定圓心和半徑，屬于基礎題.

15.【答案】2

【解析】解：取一條漸近線：y=^x,^bx-ay=O,

則右頂點B(a,O)到該漸近線的距離IBQI=-r===T，

(b

又|PQ|=3,???|0Q|=|,又|OB|=a,

???\0B\2=\0Q\2+\BQ\2,

..“2=2+嘩，又根據(jù)題意可知：

4cL

=Q2+62,=9,

，可得C?=36,

???Q=3,c=6,

???雙曲線的離心率為?=2,

故答案為：2.

取一條漸近線：y=2%，設右頂點為8,先求出|BQ|,又易知|0Q|=|,再根據(jù)勾股定理建立方程,

解方程組，即可求解.

本題考查雙曲線的幾何性質，方程思想，化歸轉化思想，屬中檔題.

16.【答案】呼

4

【解析】解：設N4FC=a,

.n

A=3>

在△4F0中，+a+/.ADF=n,

???△DE/為等邊三角形，

乙EDF=全

???+乙ADF4-/.CDE=7T,

???Z.CDE=a,

設CE=%,

在Rt△CDE中，CD=2,

x

則CE=V4+x2,sina=

???△OEF為等邊三角形,

???DF=DE=V4+x2.

2yj%2+4

在△40尸中，由正弦定理可得，迫=%，即=解得久=/3，

sinasinAI^2+4~

故CE=y/~3,DE=yj~~7，

0E/的面積為:xCx「x?=qi

故答案為：卑.

4

設出CE,推得4口再結合正弦定理，即可取出CE,DE,再結合三角形的面積公式，即可求解.

本題主要考查三角形中的兒何計算，考查轉化能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：（I）根據(jù)題意：不滿意的總人數(shù)為100x^=30,

所以完成2x2列聯(lián)表如下：

不滿意滿意合計

男172845

女134255

合計3070100

（口）因為腔=100座7卷42京3篇叱々2.375<2.706，

45x55x30x70

所以沒有90%的把握認為是否滿意與市民的性別有關.

【解析】（I）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫2x2列聯(lián)表即可；

（11）計算長2,對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結論.

本題考查了獨立性檢驗的應用問題，也考查了計算能力的應用問題，是基礎題目.

18.【答案】解：（I）證明：???3=；+1（"6N*）,

*1anJ

341,8,141.3八

斯+1Qn3331即）y

即5-----4="4-4）,

an+l§an

T73/1

又『-4=-,

3

二層-4｝是等比數(shù)列，公比與首項都為全

（11）由（/）可得高一4=（扔,

可得『月產(chǎn)+%

二數(shù)歹吟｝的前小項和%=+^=l^n_l（扔+1.

.30/5

【解析［（I）由白=；+^（n6N*）,可得;--4=；+E—4=；一：=口旨一4）,即可證明

%+1an3即+1即3即33an

結論.

（口）由（/）可得:一4=（護，即;=（捫+1+：,利用求和公式即可得出數(shù)列｛白的前n項和%.

Cljl5CLJIS5CL）i

本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的定義與通項公式及求和公式，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

19.【答案】證明：（/）如圖，連接BD,CQ

由已知可得CD=2,BE=2c,B、E=q,BD=4x?=2二，

所以DE=J(2V^)2+(2<7)2=6,GE=J42+(<7)2=7~22,=I22+(37-6)2=

V-58，

所以DE?+GE2=6。2,所以。ElCiE,

同理DEJ.4E,

又為EnGE=E,所以DE1,平面4GE；

解：(11)在44GE中,GE=AXE=V^2MiCi=4,貝心-遙拉=：x4xJ￡=6<2>

在A&DE中，=G。==<^,DE=6，則又4小￡=Tx6x

設點G到平面&DE的距離為d,

由V-:棱錐。-4遙述=0-：棱錐G-ADE，得^SAAIGE■DE=1SA41DE-d,

得4x6cx6=1x3V^2xd,

解得d=筆I.

【解析】(I)連接BZ),Ci。，由勾股定理得到DEJ.GE,同理CE，&E,利用線面垂直的判定定

理即可得證：

(口)設點G到平面4DE的距離為d,利用等體積上棱錐0_4修正=上棱錐小”如即可求解.

本題考查了線面垂直的證明和點到平面的距離計算，屬于中檔題.

20.【答案】解：(I)由題意，函數(shù)/(均=與把，可得/(%)=r2+(j”x+k,

則1(1)=；，1(一l)=(2k—3)e,

因為曲線y=〃x)在x=1和久=-1處的切線互相垂直，所以[(1)?((-1)=-1,

即;x(2k-3)e=2fc-3=-l,解得k=1.

(口)由(1)知9(%)=(1—x—久)答匕

設九(%)=1—x—xlnx,則//(%)=—(Inx+2),

當xe(O,曲時,h![x)>0,h(x)單調遞增；

當xe(a，+?>)時，/iz(%)<0,h(x)單調遞減，

所以/i(x)<八(點)=1+盤'即1—x—xlnx<1+(T),

設9(x)=—(%+1),則"(%)=ex-1,

當%>0時，@'(%)>0,9。)單調遞增，

所以當%>0時，<p(x)>(p(0)=0,即竽1<1②，

綜合可得(1—久一％仇工)1V1+盤，即g(x)vl+,.

【解析】(I)求得((%)=也專處把，結合((1)?((-1)=一1，列出方程，即可求解；

(□)由(I)得到g(%)=(1-%-久仇式)矍■,設無。)=1一%-無仇》,求得無'(%)=-(m％+2),求

得函數(shù)的額單調性，得到九(%)工1+&再設0。)=蜻一(%+1),求得“(X)=e"-1,求得函

數(shù)的單調性，證得q<1,即可證得g(x)<1+去成立.

本題主要考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的最值和極值，屬于中檔題.

21.【答案】解：(I)設動點P的坐標為(x,y),

由己知條件可知，P到F(O,1)的距離與其到直線y=-1的距離相等，

由拋物線的定義可知，P的軌跡為以F(O,1)為焦點，以y=-l為準線的拋物線,

所以P點軌跡C的方程為/=4y；

(U)線段MA,NA,NB,MB的中點依次為E,F,G,H,

則|FG|=\EH\=\\AB\,\EF\=\GH\=^\MN\,

因為四邊形EFGH總為矩形，??.AB1MN,

設M(%o,1),過M作C的切線y=k(x一&)-1,代入/=4y,

可得—4kx+4x0k+4=0,

2

所以4=k—xok-1=0,

xo土J好+4%=y=2k9

k=--------x

y廣如一發(fā)巧一第)

=^(xA+xBy

XA~XBXA-XB

k

?1?MN=又k=X。士JW+4,X=2k,xA+xB=2x0,

92

MN的直線方程為y=--(%-%o)-1=+1，

x0x0

定點N的坐標為(0,1).

【解析】(I)設出動點P的坐標，結合拋物線的定義可求出動點P的軌跡方程；

(n)由己知可得AB1MN,設M(Xo,1),過河作C的切線y=k(x-x0)-1，進而可得卜_，±J瘟+匕

K-2

x=-=2k,可得直線MN的方程為y=-fx+l,從而可得定點N的坐標.

2x0

本題主要考查了拋物線的定義，考查求定點坐標，考查了轉化能力和運算求解的能力，屬中檔題.

22.【答案】解：(I)由｛；［；+式1為參數(shù))得y=3+x,

故直線1的普通方程是x-y+3=0；

因為曲線C的極坐標方程為p(p-4s譏。)=-3,

即p2—4psin6+3=0,

將f代入上式得，x