2023-2024學年福建省普通高中高二學業(yè)水平合格性考試數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年福建省普通高中高二學業(yè)水平合格性考試數(shù)學模擬試題

參考公式:

樣本數(shù)據(jù)為，L,乙的標準差

V=-Sh

2錐體體積公式3,

S+???+(x,,-x)]

其中S為底面面積，刀為高

其中嚏為樣本平均數(shù)

球的表面積公式S=44笈，

柱體體積公式％=SA,其中S為底面面積，h為高

4

V=-πRi

V=-(S'+4S7S+S)h球的體積公式3,

臺體體積公式3'>

其中R為球的半徑

其中S',S分別為上、下底面面積，h為高

第I卷（選擇題57分）

一、單項選擇題：本題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.若集合"={LZ3},B={2,3,4},則Nn6=（）

A.{1}2,3}B.{1,2,3,4}C.{2,3,4}D.{253}

【正確答案】D

【分析】根據(jù)給定的條件，利用交集的定義求解作答.

【詳解】集合4={1,2,3},8={2,3,4},則∕c8={2,3}.

故選：D

2.已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與X軸的非負半軸重合，那么，下列各角與380。角終邊

相同的是（）

A.20oB.30oC.40oD.50°

【正確答案】A

【分析】利用終邊相同的角的集合逐一對各個選項分析判斷即可求出結果.

【詳解】因為與380。角終邊相同的角的集合為{0P=38O°+h36O°,左eZ},當左=—1時，得到

0=20。,又keZ,所以易知BCD均不符合題意.

故選：A.

3.函數(shù)/(x)=In(X—2)的定義域是()

A.(0,2)B,(2,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,2)

【正確答案】B

【分析】解x—2>0,即可得出函數(shù)的定義域.

【詳解】解x—2>0,可得x>2,

所以，函數(shù)/(x)=In(X-2)的定義域是(2,+8).

故選：B.

4.函數(shù)/(x)=2'+x-7的零點所在的區(qū)間是()

A(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【正確答案】C

【分析】由函數(shù)可得/(2)?∕(3)<0,再利用函數(shù)的零點的判定定理可得函數(shù)/(x)=2*+χ-7的零點所

在的區(qū)間.

【詳解】：函數(shù)/(x)=2*+x-7,.?.∕(2)=-KO,/(3)=4>0,/(2)?f(3)<0,根據(jù)函數(shù)的零點

的判定定理可得，

函數(shù)/(x)=2*+χ-7的零點所在的區(qū)間是(2,3),

故選C.

本題主要考查函數(shù)的零點的判定定理的應用，屬于基礎題.

5.計算ln3+ln1=()

3

A.-1B.0C.2D.3

【正確答案】B

【分析】利用對數(shù)的運算法則即可求出結果.

【詳解】因為In3+ln'=ln3+ln3τ=In3-ln3=0,

3

故選：B.

4

6.已知x〉0,則x+-的最小值為()

X

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式，即可求解.

444

【詳解】因為χ>0,所以x+222jx?2=4，當且僅當X=一時，即x=2時，等號成立,

XNXX

4

所以χ+2的最小值為2.

X

故選：C.

7.下列向量組中，可以用來表示該平面內(nèi)的任意一個向量的是()

1-1_

A.a=(1,2),b=(0,0)B.a=(1,2),?=(-1,-2)

J?一、1→

C.a-(1,2),?=(5,10)D.a-(1,2),6=(-1,2)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)平面向量基本定理可知，表示平面內(nèi)的任意向量的兩個向量不能共線，結合選項，即可判斷.

【詳解】表示平面內(nèi)的任意一個向量的兩個向量不能共線，

A.向量很是零向量，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故A錯誤；

B.Q=-B,兩個向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故B錯誤；

C.B=5萬，兩個向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故C錯誤；

D.不存在實數(shù)/1,使B=府,所以向量口行不共線，所以可以表示平面內(nèi)的任意向量，故D正確.

故選：D

8.AZ8C的內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為。、b、c,且α=Jj,/=60"，C=45°,則邊C的值為

()

A.1B.√2C.√3D.2

【正確答案】B

【分析】利用正弦定理可求得邊C的長.

/7V2

caαsinC心XF

1

【詳解】因為a=G，/=60°，C=45°,由正弦定理^—=——，可得c=-?=—r^-=√2.

smCSinJs?nA√3

T

故選：B.

9.甲、乙兩人進行投籃比賽，他們每次投中的概率分別為0.5,0.6,且他們是否投中互不影響.若甲、

乙各投籃一次，則兩人都投中的概率為()

A.0.2B.0.3C.0.4D.1.1

【正確答案】B

【分析】根據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求解.

【詳解】設甲投中為事件A,乙投中為事件5,兩事件相互獨立,

所以P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.

故選：B

10.為了得到y(tǒng)=Sin(X+,)，XeH的圖象，只需把曲線y=sinx上所有的點

3

1

A.向左平行移動π/個單位長度B.向左平行移動一個單位長度

33

C.向右平行移動￡4個單位長度D.向右平行移動一1個單位長度

33

【正確答案】B

【詳解】需把曲線y=sinx上所有的點向左平行移動■!■個單位長度,得到y(tǒng)=Sin(X+'),xwA的圖象.

33

故選B.

11.不等式X(X-2)>0的解集為()

A.{x∣x<-2或x>0}.B.{x∣x<0或x>2}.

C.{x∣0<x<2}D.{x∣-2<x<0}

【正確答案】B

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求解.

【詳解】不等式X(X-2)>0,解得：χ>2或x<0,

所以不等式的解集為{x∣x<0或X>2}.

故選：B

12.設a=#，6=2；，c=bgj,則“，h,C的大小關系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.b>c>a

【正確答案】A

2

【分析】根據(jù)指數(shù)幕以及對數(shù)的運算性質(zhì)，可得c=-log32,進而根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)

的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】因為"4：>>2匕>0,C=嗔2=-32<。,

所以，a>b>c.

故選：A.

13.函數(shù)y=2兇的圖象大致是()

【分析】設/(x)=2H,根據(jù)解析式得出函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可得出答案.

【詳解】設/(x)=2同，則/(-x)=2T=/(x),所以/(x)為偶函數(shù)，所以A、B項錯誤.

又當XNO時，/(x)=2'為增函數(shù)，所以C項錯誤，故D項正確.

故選：D.

14.”是“α>b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法即可得出結果.

【詳解】若α∣c∣>"d,則4dd=(α—創(chuàng)。|〉0,又因為ICIz0,所以"b〉o,即α>z>,

若a>b,因為H≥O,當C=O時，4d>"d不成立，

所以“。目>Ud”是“α>6”的充分不必要條件.

故選：A.

15.某學校新建的天文觀測臺可看作一個球體，其半徑為3m.現(xiàn)要在觀測臺的表面涂一層防水漆，若每

平方米需用0?5kg涂料，則共需要涂料(單位：kg)()

A.1.5πB.4.5πC.6πD.18π

【正確答案】D

【分析】先利用球的表面積公式求出表面積，再根據(jù)條件即可求出結果.

【詳解】因為r=3,所以球的表面積為S=4π∕?2=36π>又每平方米需用0?5kg涂料，所以共需

36π×0.5=18πkg涂料.

故選：D

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得O分.

16.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有()

2x

A.y=x+?B.y=Iog2?C.y=2D.y=cosr

【正確答案】AD

【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后將一X代入，結合偶函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】對于A項，設/(x)=f+l,函數(shù)/(X)定義域為R,且∕?(-χ)=χ2+l=∕(χ),

所以函數(shù)y=f+l為偶函數(shù)，故A正確；

對于B項，因為函數(shù)y=log2%的定義域為(。,+8),不關于原點對稱，

所以函數(shù)y=10g2X為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；

對于C項，設g(x)=2*,函數(shù)g(x)定義域為R,但g(-x)=2-*≠2',

所以函數(shù)＞=2、不是偶函數(shù)，故C錯誤；

對于D項，設〃(X)=COSA-,函數(shù)A(x)定義域為R,

且/z(—x)=COS(―X)=CoSX=〃(x),所以函數(shù)V=COSX為偶函數(shù)，故D正確.

故選：AD.

17.袋中有大小和質(zhì)地均相同的5個球，其中2個紅球，3個黑球.現(xiàn)從中隨機摸取2個球，下列結論正

確的有()

A.“恰有一個紅球”和“都是紅球”是對立事件

B.“恰有一個黑球”和“都是黑球”是互斥事件

C.“至少有一個黑球”和“都是紅球”是對立事件

D.“至少有一個紅球”和“都是紅球”是互斥事件

【正確答案】BC

【分析】以黑球的個數(shù)為切入點，試驗的樣本空間為。={0,1,2}.將事件用集合表示出來，即可得出答案.

【詳解】以黑球的個數(shù)為切入點，試驗的樣本空間為Q={0,1,2}.

對于A項，

“恰有一個紅球”可用4={1}來表示，“都是紅球”可用事件8={0}來表示.

所以，事件48互斥，但48不是對立事件，故A項錯誤；

對于B項，

“恰有一個黑球"可用力={1}來表示，“都是黑球”可用事件C={2}來表示.

所以事件4。互斥，故B項正確；

對于C項，

“至少有一個黑球”可用事件。={1,2}來表示，“都是紅球”可用事件8={0}來表示.

所以，事件6,。為互斥事件，也是對立事件，故C項正確；

對于D項，

“至少有一個紅球，，可用事件E={O,"來表示，“都是紅球”可用事件8={0}來表示.

所以，事件8∏E={0},即交事件為“都是紅球”，故D項錯誤.

故選：BC.

18.如圖，在長方體ZBCQ-ClA中，AB=BC,下列命題正確的有（）

DiC1

A.AxBLCCx

B.A∣B∕∕B[C

C.平面46。，平面441CC

D.平面平面CAA

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)推得44∣∕/CG，即可判斷A項；根據(jù)長方體的性質(zhì)推得四邊形。CB/是平

行四邊形，得出4。//與。，即可判斷B項；根據(jù)長方體的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理，可得出8。工

平面44GC,即可得出C項；根據(jù)長方體的性質(zhì)以及線面平行的判定定理，可得出4。//平面C8∣R,

BD//平面CBQ∣,然后即可判定面面平行，得出D項.

【詳解】對于A項，由長方體的性質(zhì)可知44∣"CG.

又44∣,4B不垂直，所以Ce不垂直，故A錯誤；

對于B項，由長方體的性質(zhì)可知44〃C。，A1B1=CD,

所以，四邊形。C44是平行四邊形，

所以，4∣D∕∕B?C.

因為4。不平行，所以4S,4。不平行，故B錯誤；

對于C項，因為/8=8。，根據(jù)長方體的性質(zhì)可知Z5C。是正方形，

所以，BDlAC.

根據(jù)長方體的性質(zhì)可知，CG，平面ZBCO,6。U平面/8C。，

所以，CCiIBD.

因為ZCU平面44jC∣C,CClU平面44∣C∣C,ZCnCG=C,

所以，8。人平面Z4GC.

因為8。U平面4成)，所以平面，平面44ClC,故C項正確；

對于D項，由B知，A]D∕/BlC.

因為8∣Cu平面C8Q],ZQZ平面C8Q∣,所以4。//平面C8Q∣.

根據(jù)長方體的性質(zhì)可知，BBJ∕DD∣,且BBl=DDI，

所以，四邊形￡>88Ql為平行四邊形，所以B∣D∣∕∕BD.

因為4。U平面C3Q∣,60(χ平面C8Q∣,所以80//平面CA

因為NQu平面4區(qū)0,60U平面4即，AlDCBD=D,

所以平面48。//平面C8∣°,故D項正確.

故選：CD.

19.某簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，下列判斷正確的有()

2兀

B.該簡諧運動的初相是‘

5

C.該簡諧運動往復運動一次需要2s

D.該簡諧運動IOOS往復運動25次

【正確答案】ABD

【分析】結合簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可判斷A；設該函數(shù)解析式為

/(x)=/SinWX+￠)(/>0,/>0),由簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可得3，把點(2.2,-3)代入解析

(7ΓA

式可得一3=3Sin-X2.2+e,可判斷BCD.

127

【詳解】對于A,由簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可得該簡諧運動的振幅是3cm,故A正確;

對于B,設該函數(shù)解析式為/(x)=NSin(ox+*)(N>0,<υ>0),

由簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可得1T=3.2-L2=2,可得4T=3.2-1.2=Lχ空，所以

2ω22ω

T=4,69=9，所以/(x)=3Sin]x+9

2

因為把點(2.2,—3)代入解析式可得一3二3SinlX2.2+/

所以1.1兀+夕=一]+2kτt(k∈Z),所以夕=一1.6兀+2E(左∈Z),

2兀

若e=—1.6ττ+2Λπ=y~,則％=1,故B正確；

對于C,由B可知T=4s,故C錯誤；

對于D,該簡諧運動IOOS往復運動100÷4=25次，故D正確.

故選：ABD.

第II卷(非選擇題43分)

(請考生在答題卡上作答)

三、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分.

20.已知i為虛數(shù)單位，計算i(l-i)=.

【正確答案】l+i##i+l

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算，計算即可得出答案.

【詳解】因為i(l—i)=i—i2=l+i.

故答案為.1+i

]+X2X≤0

21.已知函數(shù)/(x)=<'一，貝∣J∕(∕(T))=_______.

Iog2x,x>0

【正確答案】1

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式由內(nèi)向外計算即可.

【詳解】∕?(-l)=l+l=2,/(2)=log22=l,

“(/(T))=L

故1.

22.已知向量￡=(1,0),?=(1,√3),且Z與B的夾角為。，貝IJCoSe=

【正確答案】-##0.5

2

【分析】先求向量Z與B的數(shù)量積及Z和B的模，再利用向量夾角公式即得.

【詳解】向量7=(1,0),B=(L百)，

所以4%=lχl+0χ百=1，H=1，：=2，

a?b11

則COSZel-I，=-~,

Lz??1×22

故一.

2

23.已知定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足下列兩個條件:

∕?)-∕(?)

①VX1,%,∈R,/(X∣+X2)=/(X,)∕(X2);②VX∣,々eR，<Q

試給出函數(shù)/(X)的一個解析式：f(x)=

【正確答案】0.5"(答案不唯一)

【分析】根據(jù)已知結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)=d1/2,可知指數(shù)函數(shù)滿足①；

由②可知，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).

所以可取/(x)=∕(0<α<l),即可滿足.

故答案為.0.5'

四、解答題：本題共3小題，共27分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

24.已知α為第一象限角，且CoSa=I.

(1)求Sina的值；

(2)求tan(π-2α)的值.

4

【正確答案】(1)-

5

【分析】(1)根據(jù)條件，利用平方關系即可求出結果;

4

（2）先利用（1）中結論求出tana=一,再利用誘導公式和正切的二倍角公式即可求出結果.

3

【小問1詳解】

因為a為第一象限角，且COSa=g,所以Sina=JI-CoS=4

5

【小問2詳解】

8

-

3

,4一/c、C2tan6z24

-一

由(1)知tana=一、又tan(π-2a)=一tan2α=--------7

16

3l-tan√z9一

25.如圖，三棱錐力-BCO中，E，F(xiàn)分別是/C,6。的中點.

（1）求證：EF//平面ABD；

（2）若ADJ.BD，ZD=3,60=4,AC=5,BC=班'NCBD=30。,求三棱錐Z—8C0的體

積.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵4√3

【分析】（1）分別取/0,8。的中點為G,//,連結GE,G","/.可證明四邊形G"FE為平行四邊形,

EFHGH,然后即可根據(jù)線面平行的判定定理得出證明；

（2）在ABCO中，根據(jù)余弦定理求得CD=4.進而在△//）C中，根據(jù)勾股定理得出_LCD.結合已

知條件，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出/0，平面8CO.根據(jù)面積公式求出C。的面積，即可根

據(jù)棱錐的體積公式得出答案.

【小問1詳解】

如圖，分別取力。,8。的中點為G,〃，連結GE,GH,HF.

因為E/,G,〃分別為/C,6C,80的中點，

所以，GE//CD,且GE=,。。，HF//CD,HF=-CD,

22

所以GE//HF,且GE=HF.

所以，四邊形G"EE為平行四邊形，

所以，EFHGH.

因為G"1平面ABD,EF<Z平面ABD,

所以，EF//平面4BD.

【小問2詳解】

由已知可得，在ABCO中，有80=4,BC=4?β,NC5。=30。，

根據(jù)余弦定理可知，CD1=BD2+BC2-2BD×BDcosNCBD=42+（4√3）2-2×4×4√3=16-

所以，CO=4.

在ANOC中，有=9+16=25=/。2,

所以，ZADC=90o,ADlCD.

因為4D上BD，CDU平面8CO,BDU平面BC