2023-2024學年湖北省襄陽市高二年級下冊開學考試數學模擬試題1（含答案）

2023-2024學年湖北省襄陽市高二下冊開學考試數學模擬試題

一、單選題

1.已知函數/(x)=∕+hιr,若媽川+2鼠二/⑴=_2,則m=()

A.—1B.—2C.—3D.—5

【正確答案】B

【分析】求出尸(X)=〃a"-+一,再利用導數的定義可得r(ι)=τ,進而代入r(x)求解即

可

【詳解】因為/(x)=∕+lnr,貝IJr(X)=儂"一+%所以

Um""2?)一/。)..""2AX)T⑴=2/⑴7,故/'(1)=7,故機+1=7,解

得加=—2

故選：B.

2.己知平面ɑ的一個法向量7=(-2,-2,1),點A(T,3,2)在α內，則平面外一點P(-2,l,2)到

平面ɑ的距離為()

Q

A.4B.2C.-D.3

3

【正確答案】B

?n-PA?

【分析】利用點P到平面α的距離公式〃=%√即可得解.

H

【詳解】因為P(-2,l,2),A(T,3,2),

所以PA=(1,2,0),

又7=(-2,-2,1)是平面ɑ的一個法向量,

?n?PA[∣-2-4÷0∣6

所以「至恒的距離為"=T=*m=j2?

故選：B.

3.若雙曲線C『Igo)的一條漸近線被圓(x-2),+y2=4所截得的弦長為華，則

雙曲線C的離心率為()

c

A?巫B.叵?I

33D3

【正確答案】C

【分析】首先確定雙曲線漸近線方程，結合圓的方程可確定兩漸近線截圓所得弦長相等；利

用垂徑定理可構造方程求得〃的值,進而根據離心率e可求得結果.

【詳解】由雙曲線方程得：漸近線方程為y=±5χ:

由圓的方程知:圓心為（2,0）,半徑廠=2；

y=]χ與y=-?^χ圖象關于X軸對稱，圓的圖象關于X軸對稱,

兩條漸近線截圓所得弦長相等，

不妨取>=3χ,即辦—2y=0,則圓心到直線距離“=,

2√α+4

二弦長為2萬彳=2、4-*-="，解得："=]，

Va2+452

雙曲線離心率e=J+；J+4=∣.

故選：C.

4.已知數列｛%｝滿足“向一為=2〃-11,且4=10,則的最小值是（）

A.-15B.-14C.-11D.-6

【正確答案】A

【分析】根據已知條件得出最小項為4,利用迭代的思想即可求得4.

【詳解】’.?4"+∣-α,,=2"-ll,，當"≤5時，an+l-an<0,當〃>5時，antl-an>0,

：.q>a2>a3>a4>a5>a6<a7<ai<--,顯然α,的最小值是

又4+∣-α,,=2"-ll,Λα6≈01+(iz2-0l)+(?-?)+(?-03)+(α5-α4)+(06-05)

=10+(-9)+(-7)+(-5)+(-3)+(-1)=-15,即見的最小值是T5.

故選：A

5.已知圓勒^+丫2-入+25=0與圓6父+/+外-4=()的公共弦所在直線恒過定點尸且

點尸在直線加r-ay-2=0上（zn>0M>0）,則〃明的最大值是（）

【正確答案】D

【分析】根據圓Ci和C?的方程得到公共弦所在的直線方程，可得點P(2,-2),進而可得

m+n=?,再利用基本不等式即可得到的最大值.

2

【詳解】由圓C1√+y-kx+2y=0,圓C2：x?+y?+0-4=0,

得圓G與圓C?的公共弦所在直線方程為:MX+y)-2y-4=0,

,[x+y=0(x=2.、

由，'4n'解得即尸2,—2,

[一2>-4=0[y=-2

又P(2,—2)在直線〃優(yōu)一九〉一2二0上,

2/?7+2/7—2=0,即優(yōu)+〃=1,

所以加〃4(*丫=工，當且僅當〃?=〃=1時等號成立，

I2J42

二〃附的最大值為，.

4

故選:D.

6.設A，4分別為橢圓Uy2+K=ι(0<”<ι)的上、下頂點，若在橢圓C上存在點P,滿足

n

NAIPA2=120。，則實數”的取值范圍為()

?-(或b?H.

C?MD.加

【正確答案】A

【分析】求出點A,A2的坐標，設點P(X。,%),利用余弦定理建立關系，結合橢圓范圍求解

作答.

【詳解】依題意,A(0,1),A2(0,-1),設點解%,%),O<∣xo∣≤√^,W=I-K■,

n

IPAI=&+(%-1)2,1尸41=&+(%+1)2,1A41=2，4%中，由余弦定理得：

222

IPA11+∣PAI+∣PAIl^4I=IAAI,整理得2片+2y：+2+，（片+y：+1y—4y：=4,

則[（1」）*+2]2-4（1」片）=4（1」）2只，化簡得：3（l-?x≡=4,即（1-%?”≥J

nnnnn3

于是得I-W"+l≥0,即5-3）5—1）≥O,ffijθ<n<l,解得0<〃41，

333

所以實數〃的取值范圍為（0,g].

故選：A

7.如圖，在平行六面體ABC。-ABIGA中，Λ/是ACI與片口的交點，若43=α,AD=b?

χ

AAi=c,SMB=xa+yb+zc,則?+y+z等于（）

A.IB.—C.0D.—1

2

【正確答案】D

【分析】以｛"*,c｝為一組基底可表示出M8,從而求得MN*的值，進而得到結果.

【詳解】

MB=MB,+B1B=^DtBt-AAt=^DB-AAi=|（AB-AD）-Λ4,

=-AB--AD-AA.=-a--b-c,

2222

故選：D.

8.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號.用他的名字定

義的函數稱為高斯函數/(x)=[x],其中國表示不超過X的最大整數，已知數列｛4｝滿足

IOOO

，的前“項和，則

q=2,a2=6,all+2+5all=6a,,+l,若以=［噫4用］,為數列[S2raJ

?∣,

（）

A.999B.749C.499D.249

【正確答案】A

【分析】構造法判斷｛%小叫為等比數列，｛%M-5%｝為常數列，進而可得。用=5"+1,再

由〃<logs(5"+l)<”+l,結合新定義有2=〃，最后利用裂項相消法求，烹丫的前〃項

和.

【詳解】由限+5an=6an+t,得an+2-an+l=5(?+l-?),又見-4=4,

所以數列｛%”-q｝是以4為首項，5為公比的等比數列，則%M-4=4?5?T①，

a+5a6a5a5a

由n+2n=?+1得：,,+2-^1÷.=,^~,,，又%一5%=-4，

所以數歹UK,-5απ｝是常數列，則%-50,,=T②，

由①②聯立得。向=5"+L

πM

因為5"<5"+1<5X5",所以Iog55"<log5(5+l)<Iog5(5x5"),即〃<Iog5(5+l)<n+l,

所以2=[loga]=[Iog（5"+川=",故翳=/黑）=IOOO

5n+l5n77+1

3），則[SM]=999.

所以S24=l∞θ+???+10001-

2020242025

故選：A

二、多選題

9.公差為"的等差數列｛a,J滿足生=5,4+4=30,則下面結論正確的有()

A.J=2B.an=2n+?

,的前〃項和為而可

【正確答案】ABD

【分析】根據等差數列的通項公式求得卜結合等差數列的性質即可判斷A、B；

利用裂項相消求和法即可判斷C、D.

【詳解】由題意得，

M=5,+"=5

[?+?=30,12%+12"=3(√

解得[?=：，所以4=2〃+1,故A、B正確：

[a=2

得-1=2n[2n+2)=4n(n+1),

11111

故21=d/4.1、----17)，故C錯誤；

an-14"("+l)4n∕t+l

所以數列｛—7｝的前〃項和為

an-1

IIll11、1八1、n一一

-τz(l-τ?+τ?-τ++---------7)=Ta------7)=77—TT?故D正確.

4223nn÷l4〃+14(〃+1)

故選：ABD.

10.如圖，平行六面體ABCD-AgGA,其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6,且它

們彼此的夾角都是60,下列說法中正確的是()

A.∣AC1∣=6λ∕δ

B.AC11BD

C.向量BC與AA的夾角是6。.

D.異面直線8。與AC所成的角的余弦值為好.

3

【正確答案】AB

【分析】根據題意，引入基向量，分別用基向量表示A6,3D,4C,AA,3A,AC,利用向量

求長度的計算公式，計算可得A正確；利用向量證垂直的結論，計算可得B正確；利用向

量求夾角公式，計算可得CD錯誤.

【詳解】設AB=a,AD=b,A4,=c,因為各條棱長均為6,且它們彼此的夾角都是60,

所以。力=h.c=CQ=6χ6XCOS60=18,

因為AG=α+h+c,所以,

IAC]∣=J(α+b+c)=Ja2+/+>2+2"?∕+2b?)+2c?α=13x36+3x2x18=e?/e，故A正

確;

由BD=b-a，所以AG?BD=(Q+b+，?伍一〃)=/一。?+。/?-C?4=36-36+18-18=0,

所以AG~L8D,故B正確;

因為4C=6-c,且網牛6,所以

(b-c?c

b-c-c218-36所以其夾角為故錯誤;

COSBCAA=?~r-?,120,C

li1-CHd6x6

因為BDl=c-d+b,AC=a+b,

∣BDl∣=J(C-4+"=√36+36+36-2×18-2×18+2×18=6√2.

∣ACj=J(a+bf=√36+36+2×18=6√3,

BDl?AC=(右一。+〃)?(〃+人)=/?2-6f2+c?^+c?Z?=36-36+18+18=36,

3

(c-a-rb?(a+b?36λ∕6

所以8SB0,AC=^-----疔一吊，六,二=一，故D錯誤.

∣c-6f+∕2∣?∣6f+/?|6√2×6√36

故選：AB.

S28

??.己知S“為等差數列｛%｝的前"項和，4=1,TT=-,記2=(-1)"%=JgqJ,其

d5??

中國是高斯函數，表示不超過X的最大整數，?∏[∣g0.9]=0,[Ig99]=l,則下列說法正確

的是()

111n

R----1-------1—?H------=--------

A.an=n

5,其S,,n+?

,

C.b]+AT-----FbiQQ=5050D.c1+c2+c3÷???+CiooO=1893

【正確答案】ACD

【分析】根據等差數列的前〃項和公式和等差中項，可嵋再根據5和等差數列

通項公式，可求出等差數列｛為｝的公差為d,進而求出““=〃，即可判斷選項A正確；根據

%=〃可得S,,=""，即--二]再利用裂項相消法即可求出1+!+…+2，

2

進而判斷B是否正確；根據/=〃可得%,=4/,b2,,.l=-(2rt-l),可證數列｛5+處.J是

首項為3,公差為4的等差數列，又4+"+…+%10相當于數列｛%,+%/前50項和，由此

即可求出結果，進而判斷C是否正確；根據q=〃可得q,=[lg"],分別求出正自然數〃在區(qū)

間[1,9],[10,99],[100,999]中的通項公式，以及”=1000時的值，+c2+c3+-+c,000,

即可判斷D是否正確.

(a1÷α7)×7

【詳解】由S"為等差數列也,｝的前〃項和，所以能=7~=等=看，即幺=4；

S5(4+%)X55a315的?

2

又4=1,設等差數列｛a,,｝的公差為d,所以腎=K?=g,所以4=1，

所以故A正確；

由選項A可知SL號,所以臺島=211

nπ+l

，11ICLI

所以—I-----1-----1——2÷1_1+1.11__L

Sl52SdI22334nn+1

=21^?念,故B錯誤;

由選項A可知d=(T)"/,所以處=4心V∣=-(2∏-l)2,

所以三+?,-ι=4n2-(2n-l)2=4∕7-l,即數列｛邑+邑-｝是首項為3,公差為4的等差數列,

所以4+偽+…+AoO=(A+包)+(4+d)+???+(%+?o)

=(3+4X50-1)x50=5050|故C正確；

2

由選項A可知c“=[lgα,,]=[lgn],

當〃且1,9]且〃∈N*時,c?=0；

當n∈[10,99]且"EN"時，c“=l；

當”[100,999]且〃eN*時，C“=2；

當"=IOOO時，%=3；

所以j+C2+C3+…+qωo=9x0+90*1+900x2+3=1893,故D正確.

故選:ACD.

12.已知拋物線C：V=2pχ(p>0)與圓O：Y+yJ5交于A,B兩點，且|知=4,直線

/過C的焦點尸，且與C交于M,N兩點，則下列說法正確的是()

A.若直線/的斜率為乎，貝IJlMNl=8

B.∣MF∣+2∣NF∣的最小值為3+2夜

c.若以心為直徑的圓與y軸的公共點為(o,等)，則點”的橫坐標為g

D.若點G(2,2),則AGAW周長的最小值為3+石

【正確答案】BCD

【分析】首先求出拋物線的解析式，設出M,N的坐標，聯立進行求解，當機=√5時，

IMVl=I6,進而判斷選項A錯誤；再根據韋達定理和不等式求最小值后進行判斷選項B；

畫出大致圖象，過點〃作準線的垂線，垂足為M',交V軸于M-結合拋物線定義判斷選

項C；過G作GH垂直于準線，垂足為結合AGBW的周長

IMGl+1MFl+∣GF∣=IMGl+1[+石≥∣G"∣+石=3+石，進而判斷選項D即可.

【詳解】由題意得點(1,2)在拋物線C:丁=2pχ上，

所以22=20,解得p=2,所以Uy?=?,則E(1,0),

設直線/"=my+l,與y2=4X聯立得y2一4加)，-4=0,

4

設Λ∕(xl,χ),N(X2,必)，所以乂+必=4/，,%=-，

2=

所以?MN?=?∣?+m∣y1-y2|"+療.J(X+%y-4%必=4(1+/)，

當機=6時，IMNl=I6,A項錯誤；

1111X+X+2

----------1---------=------------1-----------=---------------7i=-----------

?MF?∣Λ^F∣XI+1X2+1xlx2+x1+X2+1

_m(y∣+%)+4_4/+4_

(y,y.)2,、4m2+4,

聯+〃?(i)+3

Io

則|3+2|Μ=(|炳+2|陽卜［向+向13+圖+需≥3+2也

當且僅當IMFI=I+0,INFl=1+乎時等號成立，B項正確；

如圖，過點M作準線的垂線，垂足為M',交)軸于M∣,

取的中點為。，過點。作y軸的垂線，垂足為Q,

則MM1//0F,。q是梯形OFMMl的中位線，

由拋物線的定義可得Ml-MMi=IMq-1,

所以甌=處警I=當與粵I,

所以以〃產為直徑的圓與y軸相切，

所以點(o,弓］為圓與>'軸的切點,所以點。的縱坐標為手，

又。為M尸的中點，所以點〃的縱坐標為"，

3

又點“在拋物線上，所以點M的橫坐標為C項正確；

過G作GH垂直于準線，垂足為H,

所以AGfM的周長為IMGl+∣MF∣+∣G尸I=IMGl+∣MM<∣+√5≥∣GH∣+√5=3+√5,

當且僅當點M的坐標為(1,2)時取等號，D項正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.已知圓d+y2+2x-4y-5=0與圓/+丁+2》一1=0相交于4、B兩點，則公共弦AB的

長度是.

【正確答案】2

【分析】先求出公共弦的方程，再利用弦長公式可求公共弦的長度.

【詳解】由題意A8所在的直線方程為：(Y+∕+2x-4y—5)-(l+/+2x—1)=0,

即y=T,因為圓/+y2+2χ-i=0的圓心O(T,0),半徑為

所以圓心0(-1,0)到直線＞=-1的距離為1,所以I陰=2√Σ≡T=2.

故2

14.在數列｛q,｝中，4=1,4+2+(-1)%=2("6)記5“是數列｛4｝的前"項和，則

$20=----------

【正確答案】IlO

【分析】對?為奇數、?為偶數兩種情況討論，求出數列｛%｝前20項中奇數項和偶數項的和,

相加可得出§2。的值.

【詳解】當"為奇數時，an+2-an=2,所以，數列｛4｝的奇數項成以1為首項，公差為2的

等差數列，

10×9×2

所以，al+a3++々20=10x1+----------=100；

當〃為偶數時，?！?2+an=2,

z6

所以，a2+a4++6?=(%+《)+(4+?)++(α∣8+?)=2x5=10.

因此，S20=100+10=110.

故答案為.110

15.已知函數"x)的導函數為了'(X),且滿足關系式/(x)=W≡+3才(π)+lnr,則

Γ(π)=------------------

【正確答案】-1

2π

【分析】首先求導數，再代入X=兀，求解:（兀）.

【詳解】由條件可知，r（x）=-sinx+3∕'（π）+',/'（兀）=-sinπ+V（π）+,,

Xπ

解得J'⑺=-4

2兀

U1

ι?--

2π

16.已知拋物線∕=2x上一點M（2,-2）,點A,B是拋物線C上異于M的兩動點，且

MA-MB=O，則點M到直線AB的距離的最大值是.

【正確答案】2石

（分析】根據題意設出A,B的坐標和直線AB的方程,將點坐標代入拋物線方程,聯立直線與

拋物線,結合平面向量數量積的坐標運算,由韋達定理即可求得直線AB的方程中加，”的等量

關系式.進而求得直線AB所過定點N的坐標,結合點與直線的關系,即可知當MN與直線AB

垂直時點M到直線AB的距離最大,由兩點間距離公式即可求解.

【詳解】拋物線y2=2x,A,8是拋物線C上異于M的兩動點

設停

設直線AB的方程為x=my+n

X=tny+n、

則√=2x化簡可得八2吁2〃=O

所以H+)'2=2機，??必=-2",△=4m2+8〃>0

因為M(2,-2)

化簡可得》+2)(必+2)[(—2)+4]=0

所以(χ+2)(%+2)=0或(y-2)(%-2)+4=0

展開化簡可得y%+2(χ+%)+4=0或-2(y+%)+8=0

代入?+及=2m,y↑-y2=-2n可得

2m一〃+2=()或2加+〃-4=O

即〃=26+2或〃=一2根+4

因為A=4機2+8∕7>O恒成立

當〃=26+2時,代入可得Δ=4(∕n+2)2,當〃?=-2時Δ>0不恒成立,所以舍去

當〃=—2m+4時,代入可得A=4(機-2f+16>0恒成立

所以“=-2m+4

則直線AB的方程為X=沖-2〃?+4

即x-4-m^y-2)

所以直線AB過定點N(4,2)

當MN與直線AB垂直時,點M到直線A3的距離最大,且最大距離為

IMM=J(4-2)2+(2+2)2=26

故答案為：2逃

本題考查了直線與拋物線的綜合應用,平面向量數量積的定義及坐標運算,點到直線距離的最

值求法,綜合性強,屬于難題.

四、解答題

17.已知函數f(x)=(lr)el

(1)求曲線y=∕(x)在點(1,7(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；

(2)過點A(α,0)作曲線y=(l-x)e'的切線，若切線有且僅有1條，求實數。的值.

【正確答案】(i)∣?

⑵。=一3或1

【分析】(1)對/(X)求導，代入X=I分別得到縱坐標及斜率，最后求出直線，得到圍成的

三角形面積；

(2)設出切點坐標，得到切線斜率，寫出切線方程y-(l-M)e&=FeYX-七)，

代入A點坐標，化簡得到*-(α+l)Λo+l=O,利用A=O得到答案.

【詳解】ɑ)f'(x)=(l)ey=-*,令x=l,Γ(l)=-e,/(1)=(),

故曲線y=/(?)在點(Ij(I))處的切線方程為y=-e(?-i)，分別令X=O,y=0,

則y=e,X=I,則與兩坐標軸交點為(1,0),(0,e),三角形面積為:?l?e=?∣.

(2)設切點為(％,(I-XO)e&),由已知得y'=-xe*,則切線斜率左=f°e*。，

lb

切線方程為y-(l-%)e*=-?e(x-Λ0)

直線過點A(α,0),則一(I-XO)e"=Fe化簡得片一(。+1)與+1=0

切線有且僅有1條，即△=(α+1)。-4=0,化簡得a?+2α-3=0,

即(α+3)(α-l)=0,解得α=-3或1.

18.如圖，四棱錐P-AfiCO的底面為正方形，PO_L底面AfiCD,設平面見。與平面PBC

的交線為I.

(1)證明：平面PQG

(2)己知P￡)=4)=1,Q為/上的點，PQ=QA且PQ?D4>0,求P8與平面QeD所成角的

正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵正

3

【分析】(1)由4>∕∕BC,可推得"/3C,又易證BC工平面PDC,從而得平面PZX?;

(2)建系，利用向量的坐標運算，求解尸8與平面QCD所成角的正弦值即可.

【詳解】(1)證明：BC//AD,BC?t平面PAZ),AOu平面上M>,

.?.8C7∕平面尸A。，又BeU平面P8C,且平面RSc平面PBC=/,

.?BC∕∕l,

又PDjL底面ABcD,BCU底面ASCZ),

.?.BCLPD,又正方形ABC￡),..BCLDC,

PDcDC=D,PCU平面PDC

.?.8C_L平面PDC,又8C/〃，

.?.∕1.平面PDC：

(2)解：因為PZ)_L底面ABC。，CU面ABCZ),所以PD?LDAP。，DC,又正方

形ABCZ)中，DAlDC

建立如圖的空間直角坐標系，

D(0,0,0),A(l,0,0),3(1,1,0),C(0,l,0),P(0,0,l),

由于。為/上的點，尸。=DA且PQ?D4>(),則Q(LO,1),則力Q=(l,0,l),PB=(1,1,-1),

OC=(0,1,0),

設平面。。的法向量為"=(χ,y,z),

n?DC=y=0

則,令％=-1,則y=0,z=l,?∏=(-1,0,1),

n?DQ=x+z=0

-1-1√6

.?.cosPB^=n?PB=

HH√3×√2^^3-,

./8與平面QS所成角的正弦值為亞?

3

19.若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的

方法不斷構造出新的數列.現對數列1,2進行構造，第一次得到數列1,3,2：第二次得到

數列I,4,3,5,2；依次構造，第〃(〃eN*)次得到的數列的所有項之和記為a”

⑴求與4滿足的關系式；

⑵求數列｛q｝的通項公式明；

1?111

(3)證明：一+—+—++—?-

ala1a3an3

【正確答案】⑴。川=3/—3；

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據題干給出的規(guī)則,得到第〃次構造后數列的和與第〃+1次構造后數列和的關

系；

(2)已知相鄰兩項關系構造等比數列,進而得到數列｛4｝的通項公式；

(3)根據｛%｝的通項公式,應用放縮變成等比數列的前〃項和,應用公式計算即可.

【詳解】(1)設第"次構造后得的數列為1,和W，，和2,

貝JIa“=3+X]+X2++x∣i<

則第”+1次構造后得到的數列為1,l+xl,*],x∣+W,巧，…，x*τ+x*,4，2+x*,2,

則4田=6+3(x∣+%+xk)=6+3(α,l-3)=3all-3,即α,,+∣與α“滿足的關系式為

?÷∣=3。“-3；

3(3、3Q

(2)由凡+1=34,,-3,可得4+1-/=3[&-/｝且4=6,則4_2=5

所以數列-1)是以I為首項，3為公比的等比數列，

+1

所以”〃一；3=Q]/，即4=V2Lf4-2；

121212

(4)—=-×--<-×-τ=-r.

-111

所ct以ιu一+—+—+

4

20.己知拋物線V=4百X的準線過橢圓E的左焦點,且橢圓E的一個焦點與短軸的兩個端點

構成一個正三角形.

(1)求橢圓E的方程；

(2)直線y=g交橢圓E于AB兩點,點P在線段AB上移動,連接OP交橢圓于",N兩點,過P

作MN的垂線交X軸于。,求AMNQ面積的最小值.

【正確答案】(1)W+V=1

4

⑵走

2

【分析】(1)根據拋物線的準線求得橢圓的焦點,根據一個焦點與短軸兩端點構成正三角形可

求得a,c,即可得橢圓方程.

(2)根據題意可判斷直線MN斜率存在且不為0,設MN直線方程與橢圓聯立求得PWNI,根據

PG，MN設出。點坐標,用斜率公式求得坐標,再用點到直線的公式求得三角形高,用面積公

式將面積寫出,分離常數,變?yōu)榉e為定值的形式,再用基本不等式即可.

【詳解】(1)解:由題知拋物線的準線為x=-√L

.*.C=?/?,

因為橢圓E的一個焦點與短軸的兩個端點構成一個正三角形，

.*./?=l,tz=2,

故橢圓的標準方程為:三+丁=1；

4

(2)由⑴得橢圓的方程為E+V=l,

4

.MN的垂線交X軸于Q,

二MN的斜率存在，

連接OP交橢圓于",N兩點，

.?.MN的斜率不為0,

不妨設。：丁=此例

(X∣,X),N(Λ2,%),

則P?`V

y=kx

≡μ+√=r

4-

即(1+4F)X2-4=0,

?-4

.?.X,+X2≈0,Λ1?X2=I+4^?,

222

.?.?MN?=?∣?+k?^(xl+x2)^4x1?x2=Λ∕1+??

設加O),

PQ.LMN,

?k?k=

??^PQAMN一

-----m

2k

解得：加=二+5,

2κ2

一1

(2k2

???Q到直線MN的距離為:_12，

Jl+12l+?2

k2

，SMNQ=g'l+&2，

l+?2

√l+4?2

?1+4^+3

4√l+4?2

?

4

τ

≥?-2>∕i+4k?-i=J=

4V√l+4?2

.√3

2，

當且僅當'+W?=-J===,即&=±乎時取等,

故∕?MNQ面積的最小值為走.

2

21.已知數列｛4｝滿足:α,=l.∕∞n-(M+l)‰=????+|>rt∈N?且七≠0;等比數列｛〃｝滿

足：4=(，?=?÷∣+‰>∏∈N?,且">。.

(D求數列｛%｝、也｝的通項公式；

(2)設數列|^｝的前〃項和為S“，若不等式(T)[舟)-2≤2對任意W都成立，求實數λ

的取值范圍.

【正確答案】(1)。,,=三二(n∈N?),"=R?]("cN),

2n-?13)

【分析】(1)將已知給的式子，通過兩邊同除〃(〃+1),然后再進行裂項，即可變成

7-------------=--------^的形式，通過累加即可完成一的求解，然后在求解耳，也為

("+l)α,,+∣nannn+1na,,'

等比數列，可設出公比帶入已知條件，求解出公比即可利用等比數列通項公式求解力；

(2)利用第(1)問求解出得勺、2的通項公式，使用錯位相減的方法求解S,,然后帶入

(T)I舟)-4V2中，通過討論奇偶即可完成求解.

【詳解】(1)由〃4一(〃+1應用=。必用兩邊同除"(〃+1)得：=

n+1nn(n+l)

111

兩邊同除區(qū)得：--77--------1=，4、，

+nafln(n+l)

1111

則-------------=-------,

(H+iχ+1πann/?+1

11

所以為又4=1符合4二

2n-?2n-?

??=—?r(〃eN?)，

2n-?

由2=2%∣+3&2得：l=2q+3∕,解得：q=；,

所以∕ζ=(g](n∈N").

b2n-l

⑵『ft丁

?Y=lf+3?({l+???+(2"T)({∣

①

*=唱+3?(J+…+所唱②

由①-②得:+2