立體幾何-2021高考數(shù)學(xué)（理）高頻考點(diǎn)、熱點(diǎn)題型歸類強(qiáng)化

專題06立體幾何

-2021高考數(shù)學(xué)(理)高頻考點(diǎn)、熱點(diǎn)題型歸類強(qiáng)化

【高頻考點(diǎn)及備考策略】

本部分內(nèi)容在備考時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：

(1)加強(qiáng)對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的理解，掌握各種幾何體的體積、表面積公式；掌握空間幾何三視圖的

畫(huà)法規(guī)則，掌握幾何直觀圖中各個(gè)元素之間的關(guān)系以及三視圖中長(zhǎng)寬之間的關(guān)系.

(2)掌握球及球的截面的性質(zhì).

(3)加強(qiáng)對(duì)空間幾何體概念及位置關(guān)系的理解、掌握三個(gè)公理以及它們的推論；掌握各種判定定理、性

質(zhì)定理的條件與結(jié)論，并且會(huì)應(yīng)用.

(4)掌握利用線線平行、線面平行、面面平行之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直之

間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

(5)加強(qiáng)對(duì)空間向量概念及空間向量運(yùn)算律的理解，掌握空間向量的加、減法，數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算等，

掌握各種角與向量之間的關(guān)系，并會(huì)應(yīng)用；掌握利用向量法求線線角、線面角、二面角的方法.

考向預(yù)測(cè)：

(1)已知空間幾何體的三視圖或空間幾何體中各元素間的關(guān)系，求空間幾何體的體積、表面積.

(2)給出球體與多面體，利用球的性質(zhì)求解球的體積、表面積等.

(3)空間幾何體中各種垂直、平行關(guān)系的證明.

(4)二面角的求法；或已知二面角的大小，證明線線、線面平行或垂直；給出線面的位置關(guān)系，探究滿

足條件的某點(diǎn)是否存在.____________

3---------Q-------

必備知識(shí)

一、空間幾何體的三視圖、表面積及體積

1.柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積與體積

名稱體積表面積

V棱柱=S/z

棱柱S棱柱=2S底面+S側(cè)面

（S為底面積，h為高）

V棱錐=3sh

棱錐S棱錐=S底面+S側(cè)面

（S為底面積，。為高）

喂=g/7（S+V^+S）

棱臺(tái)S棱臺(tái)=S上底+S下底+S側(cè)面

（S、S為底面積，h為高）

V圓柱=兀戶"S圓柱=2兀丁/+2兀戶

圓柱

土為底面半徑，"為高）“為底面半徑，/為母線長(zhǎng)）

V圓錐=于7〃S圓錐=?！?兀/

圓錐

“為底面半徑，/為母線長(zhǎng)）

（廠為底面半徑，h為高）

V圓臺(tái)二%以產(chǎn)+“+廠設(shè)）

圓臺(tái)S圓臺(tái)=兀（r+廠'）/+兀7+兀/2

（八，為底面半徑，%為高）

丫球=37lR3（R為

球S球=4nR2（R為球的半徑）

球的半徑）

2.空間幾何體的三視圖和直觀圖

（1）空間幾何體的三視圖

三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投

影圍成的平面圖形，三視圖的畫(huà)法規(guī)則為“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”.

畫(huà)三視圖的基本要求：正（主）俯一樣長(zhǎng)，俯側(cè)（左）一樣寬，正（主）側(cè)（左）一樣高.

三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正（主）視圖的下面；側(cè)（左）視圖放在正（主）視圖的右面.

（2）空間幾何體的直觀圖

空間幾何體直觀圖的畫(huà)法常采用斜二測(cè)畫(huà)法.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖規(guī)則為“軸夾角45。（或

135°）,平行長(zhǎng)不變,垂直長(zhǎng)減半”.

二、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1.線面平行與垂直的判定與性質(zhì)

定理名稱文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

平面外一條直線與平

____a

面內(nèi)的一條直線平

線面平行的判定定理b=al/a

行，則這條直線與此/b/

allb

平面平行

一條直線與一個(gè)平面

平行，則過(guò)這條直線

ci//a,〃u4，b,

線面平行的性質(zhì)定理的任何一個(gè)平面與此

=>〃〃b

平面的交線與該直線

平行

一條直線和一個(gè)平面

內(nèi)的兩條相交直線都bua,

線面垂直的判定定理

垂直，則該直線與此l-La,l.Lb=>l.La

平面垂直

垂直于同一平面的兩

線面垂直的性質(zhì)定理aA-a,b,La^a//b

條直線平行

2.面面平行與垂直的判定與性質(zhì)

定理名稱文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩

條相交的直線都平行QUQ,bua,

面面平行的判定定理

于另一個(gè)平面，那么a〃B，b〃60a〃￡

這兩個(gè)平面平行

如果兩個(gè)平行平面同

時(shí)和第三個(gè)平面相a//2且且yCl夕

面面平行的性質(zhì)定理

交，那么它們的交線=b^a//b

平行

一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平

面面垂直的判定定理面的垂線，則這兩個(gè)

平面垂直

兩個(gè)平面垂直，則一

個(gè)平面內(nèi)垂直于交線a_L￡,bu§,aCl￡=a,

面面垂直的性質(zhì)定理

的直線與另一個(gè)平面

垂直

3.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

4.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

三、用空間向量的方法解立體幾何問(wèn)題

1.向量法求空間角

(1)異面直線所成的角：設(shè)分別為異面直線a,b的方向向量,則兩異面直線所成的角滿足cosO=嬲.

|U||￡7|

(2)線面角

設(shè)/是斜線/的方向向量，〃是平面a的法向量，則斜線/與平面a所成的角滿足sinO=晶.

(3)二面角

①如圖(i),AB,CD是二面角a—/—￡的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小0=〈顯,

cb).

②如圖(ii)(iii),”2分別是二面角a—/—￡的兩個(gè)半平面a,￡的法向量，則二面角的大小。滿足cos。

=COS〈"1，"2〉或一COS(rtl，〃2〉.

(4)點(diǎn)到平面的距離的向量求法

如圖，設(shè)AB為平面a的一條斜線段，"為平面a的法向量，則點(diǎn)2到平面a的距離1=嚕?.

2.利用向量方法證明平行與垂直

設(shè)直線/,根的方向向量分別為a=(ai，bi，ci),b=(a2,b2,ci).平面a,4的法向量分別為“=(6，

b3，ci),u=(〃4，匕4，C4).

(1)線線平行

I//m<^a//b^a—kb^a\—ka2,b\—kbi9c\—kci.

(2)線線垂直

/_Lmd_LZ>d8=0uaia2+^B2+ciC2=0.

(3)線面平行

I//ad，"口?"=0011〃3+51優(yōu)+。1。3=0.

(4)線面垂直

kci3fbi=kbe，c—kc3.

(5)面面平行

(X//夕0t/〃v^^i=kvu(i3=kci4,b3~kb4,c3~kc4.

(6)面面垂直

a_1_￡令J_V//W=0之3。4+方3方4+c3c4=0.

3.模、夾角和距離公式

(1)設(shè)a=(ai,az,的)，b=(bi,bi,bi),則

|a|=y[a^a=\la?++<A,

ab_________0161+0262+0363

㈤臼4廨+龍+^^\//+慶+用

(2)距離公式

設(shè)A(xi,yi,zi),B(X2,yz,z2),貝！I

|Ao|=y/xi~X22+yi-j22+zi-Z22.

【易錯(cuò)警示】

1.未注意三視圖中實(shí)、虛線的區(qū)別

在畫(huà)三視圖時(shí)應(yīng)注意看到的輪廓線畫(huà)成實(shí)線，看不到的輪廓線畫(huà)成虛線.空間幾何放置的方式不同時(shí),

對(duì)三視圖可能會(huì)有影響.

2.不能準(zhǔn)確分析組合體的結(jié)構(gòu)致誤

對(duì)簡(jiǎn)單組合體表面積與體積的計(jì)算要注意其構(gòu)成幾何體的面積、體積是和還是差.臺(tái)體可以看成是由

錐體截得的，此時(shí)截面一定與底面平行.

3.忽略判定定理和性質(zhì)定理中的條件

應(yīng)用線面平行判定定理時(shí)，忽略“直線在平面外”“直線在平面內(nèi)”的條件；應(yīng)用線面垂直及面面平行的判

定定理時(shí)，忽略“兩直線相交”“兩直線在平面內(nèi)”的條件，應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)忽略“直線在平面內(nèi)”“直

線垂直于兩平面的交線”的條件等.

4.把平面幾何中的相關(guān)結(jié)論推廣到空間直接利用

如平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線相互平行，這個(gè)結(jié)論在空間中不成立.

5.不能準(zhǔn)確掌握判定定理和性質(zhì)定理

如線面平行的性質(zhì)定理中是過(guò)與平面平行的直線的平面與該平面的交線與已知直線平行，而非作出的

直線；面面平行的性質(zhì)定理中平行的兩條直線一定是第三個(gè)平面與兩平行平面的交線等.

6.在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，易忽略說(shuō)明或證明建系的條件.忽略異面直線的夾角與方向向量夾角的

區(qū)別：兩條異面直線所成的角是銳角或直角，與它們的方向向量的夾角不一定相等.不能區(qū)分二面角與兩

法向量的夾角：求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析.

真題體驗(yàn)

一、選擇題

1、（2020新課標(biāo)I卷?理科T3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱

錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的

高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

1〃2[I,I,

由題意尸〃乩即幺=上〃5,化簡(jiǎn)得4（一）2—2.一—1=0,

242aa

解得2=31（負(fù)值舍去）。故選：C.

a4

【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.

2、（2020新課標(biāo)I卷?理科T10）已知A,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，。。1為；ABC的外接圓，若

。。1的面積為4兀，AB^BC^AC=OO1,則球。的表面積為（）

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

【答案】A

【解析】設(shè)圓Q半徑為小球的半徑為R,依題意，

得7rr2=4匹:.r-2,

由正弦定理可得A3=2rsin6O°=26,

,00]=A3=，根據(jù)圓截面性質(zhì)00,1平面ABC,

OO,±JA,R=OA=JOO：+0.=go；+*=4,

?e?球。的表面積S=4TTR2-64〃.

故選：A

vKJ

【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、（2020新課標(biāo)n卷?理科T7）如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為"，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）

A.EB.FC.GD.H

【答案】A

【解析】根據(jù)三視圖，畫(huà)出多面體立體圖形,

上的點(diǎn)在正視圖中都對(duì)應(yīng)點(diǎn)M直線33c4上的點(diǎn)在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,

在正視圖中對(duì)應(yīng)M,在俯視圖中對(duì)應(yīng)N的點(diǎn)是。4，線段，上的所有點(diǎn)在側(cè)試圖中都對(duì)應(yīng)E,???點(diǎn)

2在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)和根據(jù)三視圖能還

原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題.

4、（2020新課標(biāo)H卷?理科T10）已知△ABC是面積為些的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.

4

若球。的表面積為16孫則。到平面ABC的距離為（）

A.J3B.-C.1D.B

22

【答案】C

O

【解析】

B

設(shè)球。的半徑為R,則4%尺2=16%,解得：R=2.

設(shè)，A6C外接圓半徑為小邊長(zhǎng)為。，

4

?J孝智解得:

”3,

???球心。到平面ABC的距離d==Jm.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問(wèn)題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明

確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.

5、（2020新課標(biāo)III卷?理科T8）下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+40B.4+4應(yīng)C.6+2逝D.4+2百

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形

2

根據(jù)立體圖形可得：SAABC=SAADC=SACDB=^X2X2=2

根據(jù)勾股定理可得：AB=AD=DB=2及

△ADB是邊長(zhǎng)為2夜的等邊三角形

根據(jù)三角形面積公式可得：

S△陋B=gA5?.sin60。=g（20產(chǎn)?孝=

,該幾何體的表面積是：3><2+2君=6+26.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫(huà)出立體圖形,

考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、（2020山東省新高考全國(guó)I卷?T4）同（2020海南省新高考全國(guó)II卷?T4）日色是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定

時(shí)間的儀器，利用與唇面垂直的唇針投射到號(hào)面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球（球心記為。），地球

上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在

點(diǎn)A處放置一個(gè)日號(hào)，若辱面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40。，則號(hào)針與點(diǎn)A處的水平面所

成角為（）

A.20°B.400

C.50°D.90°

【答案】B

【解析】畫(huà)出截面圖如下圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線；/是點(diǎn)4處的水平面的截線，依題意可

知。4，/；是辱針?biāo)谥本€.根是號(hào)面的截線，依題意依題意，號(hào)面和赤道平面平行，辱針與唇面垂直,

根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知加〃CD、根據(jù)線面垂直的定義可得AB，加..

由于ZAOC=40°,milCD,所以AOAG=ZAOC=40°,

由于NQ4G+NG4E=ZSAE+NG4E=90°,

所以ZBAE=ZOAG=40°,也即唇針與點(diǎn)A處的水平面所成角為NBAE=40°.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，屬于

中檔題.

7、（2020北京卷?T4）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）.

A6+6B.6+2百C.12+73D.12+273

【答案】D

【解析】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面為三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形,

貝ij其表面積為：S=3x（2x2）+2xfx2x2xsin600）=12+2^.

故選：D.

【點(diǎn)睛】（1）以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖

中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

（2）多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

（3）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積

與底面圓的面積之和.

8、（2020天津卷?T5）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.12萬(wàn)B.24〃C.36乃D.144萬(wàn)

【答案】C

【解析】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，

所以，這個(gè)球的表面積為5=4萬(wàn)氏2=4萬(wàn)x3?=36萬(wàn).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求

多面體的外接球的面積和體積問(wèn)題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)

方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助

球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何

體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.

9、（2020浙江卷?T5）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm5）是（）

C.3D.6

【答案】A

【解析】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱,

且三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1,

棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2,

所以幾何體的體積為：—xf—1x2xljxl+f—1x2xljx2=—1+2=—7

2233

故選：A

【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三視圖計(jì)算幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

1、（2020新課標(biāo)HI卷?理科T15）已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體

積為.

【答案】縣兀

3

【解析】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，

其中BC=2,AB=AC=3,且點(diǎn)M為3c邊上的中點(diǎn),

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。,

2

由于AM=J32—I=2^2，故S.BC=]x2x2^/2=2^/5,

設(shè)內(nèi)切圓半徑為人則：

S4ABC=^/XAOB+S4BOC+^/XAOC=5xABxr+5XBCX廠+5xACxr

=1x(3+3+2)xr=2^,

解得：r=,其體積：V=—7rr3=——7r-

233

故答案為：立兀.

3

【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的

位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中

心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于

球的直徑.

2、(2020山東省新高考全國(guó)I卷?T16)已知直四棱柱ABCD-ALBICIDI的棱長(zhǎng)均為2,ZBAD=60°.以R

為球心，、后為半徑的球面與側(cè)面BCGBi的交線長(zhǎng)為.

【答案】正萬(wàn).

2

【解析】如圖:

取用。1的中點(diǎn)為E，88]的中點(diǎn)為尸，CC的中點(diǎn)為G,

因?yàn)镹E4D=60。，直四棱柱ABC。-的棱長(zhǎng)均為2,所以△。耳。】為等邊三角形，所以

=yfi,BEJ_B[C],

又四棱柱ABCD-AgGR為直四棱柱，所以，平面AB1G2，所以35]，B?,

因?yàn)?耳B0i=B],所以側(cè)面4cle5,

設(shè)P為側(cè)面B￡CB與球面的交線上的點(diǎn)，則DtElEP,

因?yàn)榍虻陌霃綖槭?，D[E=6，所以|￡的|=JlRPf=后與=&,

所以側(cè)面B&CB與球面的交線上的點(diǎn)到E的距離為V2，

因?yàn)閨所|=|EG\=也,所以側(cè)面BgCB與球面的交線是扇形EFG的弧FG，

7T7T

因?yàn)镹4EF=NGEG=],所以NFEG=Q,

所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得FG=-xV2=—

22

故答案為：昱兀.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問(wèn)題,

考查了扇形中的弧長(zhǎng)公式，屬于中檔題.

3、（2020海南省新高考全國(guó)n卷?T13）已知正方體ABCZX4山1CQ1的棱長(zhǎng)為2,M、N分別為BBi、AB

的中點(diǎn)，則三棱錐A-NMDI的體積為

【答案】-

3

因?yàn)檎襟wABCDABCiQi的棱長(zhǎng)為2,M.N分別為BBi、AB的中點(diǎn)

=XXXX

所以匕-NM0^D1-AMN_32^^^~3

故答案為：—

3

【點(diǎn)睛】在求解三棱錐的體積時(shí)，要注意觀察圖形的特點(diǎn)，看把哪個(gè)當(dāng)成頂點(diǎn)好計(jì)算一些.

4、（2020江蘇卷?T9）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正

六邊形邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm.

【答案】12^--

2

【解析】正六棱柱體積為6x^x22x2=126

4

圓柱體積為〃§）2.2=]

所求幾何體體積為126-三

2

故答案為：12A/3----

2

【點(diǎn)睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

5、（2020天津卷?T15）如圖，在四邊形A3CD中，ZB=60°,A3=3,BC=6,且

3

AD=ABC,ADAB=--,則實(shí)數(shù)X的值為,若是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且

則DMDN的最小值為.

.生113

【答案】(1).-(2).—

62

【解析】..A￡)〃3C，.?.ZBA￡>=180—/5=120，

AB-AD=ABCAB=A|BC|?網(wǎng)cos120

解得4=

0

以點(diǎn)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xgy,

BC=6,.-.C(6,0),

?.[AB|=3,NABC=60。，的坐標(biāo)為A

—?1——

???又???AO=—3C,則。,設(shè)〃（蒼0）,則N（x+l,O）（其中0<xW5）,

6

[5

DM=,DN=

IX2——,-2----J---

2217\213

DMDN—x-A4xH----—（x-2）H-----,

2v72

..13

所以，當(dāng)％=2時(shí)，DM.ON取得最小值一.

2

113

故答案為：—；一

62

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于

中等題.

6、（2020浙江卷?T14）已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm2）為2無(wú)，且它的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則

這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：cm）是.

【答案】1

【解析】設(shè)圓錐底面半徑為乙母線長(zhǎng)為/,則

萬(wàn)xrx/=2萬(wàn)

行1行,-解得廠=L/=2.

2x?xr=—x2x?x/

2

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開(kāi)圖有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

1、（2020新課標(biāo)I卷?理科T18）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,

AE=AD.A6c是底面的內(nèi)接正三角形，尸為DO上一點(diǎn),PO=—DO.

（1）證明：PA，平面「5C；

（2）求二面角6—PC—E的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）冬5.

5

【解析】（1）由題設(shè)，知△D4石為等邊三角形，設(shè)AE=1，

則。O=走，CO=BO=-AE=~,所以PO=J^DO=旦,

22264

PC=y/po2+oc2=—,PB=1Po2+OB?=—,

44

又,5C為等邊三角形，則一"一=2OA,所以癡=且，

sin602

3

PA2+PB2=-=AB2,則NAP5=9O，所以？

4

同理K4L尸C,又PCPB=P,所以平面「5C；

（2）過(guò)。作ON〃BC交4B于點(diǎn)N,因?yàn)槭?,平面ABC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A為x軸，ON為y軸建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)平面PCB的一個(gè)法向量為〃=（不如4）,

〃?PC-0一石一\/§^]—A/^Z]=0

由＜，得〈令王=&，得4=_1,弘=0,

n?PB=0_X]+=0

所以〃=(0,0,—1),

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為加=（%2，%/2）

m-PC=0,—x2—yf3y2—V2z2=0

令％=1,得z2=—A/2,y2=,

m-PE=0[-2X2-V2Z2=0

所以機(jī)=

n?m2V22A/5

,cos<m,n>=-------=------T==-----

故|n|?|m|n-vlO5

73Xt—

A/3

9R

設(shè)二面角5—PC—E的大小為。，貝Ucos6=工

5

【點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算

能力，是一道容易題.

2、20.如圖，已知三棱柱ABC-A1BC1的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，M,N分別為BC,囪。的

中點(diǎn)，尸為AM上一點(diǎn)，過(guò)BCi和尸的平面交AB于E,交AC于立

(1)證明：AAi//MN,且平面AiAMNJ_EBiCF；

（2）設(shè)。為△AiBCi的中心，若A?！ㄆ矫媲褹O=AB,求直線HE與平面4AMN所成角的正弦

值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）工上.

10

【解析】⑴監(jiān)N分別為BC,5c的中點(diǎn)，.[MN〃防]

又A4,//BBt：.MN//AAi

在，A6。中，〃為8C中點(diǎn)，則5CLA"

又?側(cè)面34cle為矩形，

MN//BBlMN±BC,由兒WcAM=M,2W,AMu平面4A腦V

BC_L平面AAW

又?.B.CJ/BC,且與G(z平面ABC,BCu平面ABC,

.1AG〃平面ABC

又?.4。］(=平面￡；5。/，且平面E5C/C平面A3C=￡F

：.BXCX//EFEF//BC

又?平面AAMN,EFL平面4A"N

EFu平面EBIQF二平面EBIGF,平面4AMN

(2)連接NP

AOH平面EB￡F,平面AQVPc平面EB^F=NP

AO//NP

根據(jù)三棱柱上下底面平行，

其面AMWAc平面ABC=AM，面AMWAC平面441ci=AN

ON//AP

故：四邊形ON24是平行四邊形

設(shè)t.ABC邊長(zhǎng)是6m(m>0)

可得：ON=AP,NP=AO=AB=6m

.。為/XAgG的中心，且△A4G邊長(zhǎng)為6根

ON=—x6xsin60°=\/3m

3

故：ON=AP=

EF//BC

.AP__EP_.6_EP

AMBM3G—3

解得：EP=m

在截取==，故QN=2m

Bl。=EP且B◎〃EP

???四邊形4QPE是平行四邊形，??.3]E〃PQ

由（1）與C]_L平面4AMN,故NQPN為旦E與平面AAMN所成角

在RtAQPN,根據(jù)勾股定理可得：PQ=ylQN2+PN2=^（2m）2+（6m）2=2y/10m

./CDZQN2mVio

~PQ2回m10

二.直線與E與平面4AMN所成角的正弦值：巫.

10

【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其線面角，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面

垂直的證法和線面角的定義，考查了分析能力和空間想象能力，屬于難題.

3、（2020新課標(biāo)III卷?理科T19）如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A4GA中，點(diǎn)及歹分別在棱。。上,

且2DE=ED],BF=2FB].

（1）證明：點(diǎn)G在平面AEE內(nèi)；

（2）若AB=2,AD=\,明=3,求二面角A—EF—A的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）巫.

7

、】、

【解析】（1）在棱CC上取點(diǎn)G,使得GG=；CG,連接。G、FGCEC}F,

5------

\I**g

長(zhǎng)方體ABCD—44GR中，AD//BC且AD=3C,BBJ/CC,且BBt=CC>

122

Cfi=~CG,BF=2FBl,;.CG=3CG=]3耳且CG=5/，

所以，四邊形5CGE平行四邊形，則A尸〃DG且AE=OG,

同理可證四邊形DEGG為平行四邊形，二C]E〃DG且6石=DG,

.?.。1￡〃4E且。1石=4P,則四邊形AEC/為平行四邊形，

因此，點(diǎn)G在平面AEE內(nèi);

（2）以點(diǎn)q為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA、。與、G。所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標(biāo)系G-孫z,

則A（2,l,3）、A（2/，0）、后（2,0,2）、F（0,1,1）,

AE=(O,-l,-l),AF=(-2,0,-2),4￡=(0,-1,2),4F=(-2,0,1),

設(shè)平面AEF的法向量為加=（玉,弘,馬），

m?AE=0—Vi_Z]=0

由＜，得<[-2—取…，得寸％一則〃=（1，一），

m?AF=0

設(shè)平面\EF的法向量為〃=（%,%，Z2）

n.A^E—0_%+2Z-0,/、

由＜,，得<c2二C，取Z2=2,得％2=1，%=4,則"=(1,4,2),

—2%2+z2=U

In-ATF=0

m-n_V7

cos<m,n>=7I-r；|=-j=-

|m|-|n|v3xv21

2

設(shè)二面角A-EF-Ax的平面角為。，則JcosM=，,sin。=A/1-COS0=

因此，二面角A—EE—A的正弦值為四?

7

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)在平面的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計(jì)算能

力，屬于中等題.

4、（2020山東省新高考全國(guó)I卷?T20）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，尸。，底面ABCD設(shè)平

面PAD與平面PBC的交線為I.

（1）證明：入平面PDC；

（2）已知尸。=4。=1,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）逅.

3

【解析】（1）證明：在正方形ABCD中，AD//BC,

因?yàn)锳OU平面尸3C,BCu平面P3C,所以平面尸5C,

又因?yàn)锳Du平面PAD,平面PAD1平面PBC=/,

所以的＞〃/,

因?yàn)樵谒睦忮F尸—A5CD中，底面ABCD是正方形，所以

且平面A3CD,所以

因?yàn)镃DP￡＞=￡＞所以/，平面PDC；

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

因?yàn)槭?gt;=AT>=1,則有D(O,O,O),C(O,1,O),4(1,0,0),P(0,0,l),3(1,1,0),

設(shè)2(m,0,l),則有DC=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,-1),

設(shè)平面QCD的法向量為"=(X,y,z),

DCn=Qfy=0

則〈，即廠c，

DQ-n=0[mx+z=Q

令x=l,則z=—m,所以平面QCD的一個(gè)法向量為“=(1,0,-相)，貝ij

n-PB1+0+zii

cos<n,PB>=

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與

平面所成角的正弦值等于Icos<n,PB>\==立.I1+2m+m

百?，蘇+i3Vm2+l

邛?￡^岑61片邛邛，當(dāng)且僅當(dāng)修時(shí)取等號(hào),

所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為好.

3

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定

和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.

5、(2020海南省新高考全國(guó)H卷?T20)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，底面ABCD.設(shè)平

面PAD與平面PBC的交線為I.

p

（1）證明：平面尸。c；

（2）已知燈RW=1,。為/上的點(diǎn)，QB=C，求PB與平面QC。所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）好

3

【解析】（1）證明：在正方形A3CD中，AD//BC,

因?yàn)槠矫媸?C,BCu平面尸5C,所以平面尸5C,

又因?yàn)锳Du平面P4D，平面PA?！科矫?。fiC=/,所以A￡>〃/,

因?yàn)樵谒睦忮F尸—ABCD中，底面A3CD是正方形，所以

且尸￡>，平面ABC。，所以

因?yàn)镃DPD=O所以/，平面PDC；

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

因?yàn)榧?=1,則有D(O,O,O),C(O,1,O),A(1,O,O),P(O,O,1),3(1,1,0),

設(shè)2(m,0,l),則有DC=(0,1,0),OQ=(m,0,l),PB=(1,1,-1),

因?yàn)椤?=,所以有+(0—1)2+(1—0)2=二>機(jī)=1

設(shè)平面QCD的法向量為n=(x,y,z),

DCn=0

則《

DQn=0x+z=0

令x=l,則z=—1，所以平面QCD的一個(gè)法向量為〃=(1,0,—1),則

n-PB__________1+0+12二R

cos<n,PB>-

RM712+02+(-1)2-A/12+12+1272x73-3

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與

ruur、仄

平面所成角的正弦值等于Icos<凡PB>1=出

3

所以直線必與平面QCD所成角的正弦值為四.

3

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定

和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.

6、(2020北京卷?T16)如圖，在正方體—中，E為8及的中點(diǎn).

(I)求證：BC"/平面A2E；

(II)求直線A4與平面A2E所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(II)

3

【解析】（I）如下圖所示:

在正方體ABCD—AgG。中，ABII&B]且AB=AXBX,\BJIC.D,且=CR,

A3〃G。且A3=G2,所以，四邊形A3GA為平行四邊形，則3cJ/AD],

BG（Z平面A"E,ARu平面ADjE,.[BC]〃平面A，E；

（ID以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD.AB^Ad所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)一孫z,

設(shè)正方體ABCD—AgGA的棱長(zhǎng)為2,則4（0,0,0）、4（°，°，2）、口（2,0,2）、￡（0,2,1）,

9=（2,0,2）,AE=（O,2,l）,

設(shè)平面AQE的法向量為"=（%,y,z）,由｛1,得〈°八，

V7[n-AE=0[2y+z=0

令z=—2,則x=2,y=L則〃=（2,1,-2）.

..n-AA^42

cos<n,

Q3-

2

因此，直線AA】與平面所成角的正弦值為

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算直線與平面所成角的正弦值，考查

計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、（2020江蘇卷-T15）在三棱柱ABC-A1SC1中，AB±AC,3C_L平面ABC,E,尸分別是AC,81c的中點(diǎn).

（1）求證：EP〃平面ABiCi；

（2）求證：平面4BiC_L平面ABBi.

【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）證明詳見(jiàn)解析.

【解析】（1）由于瓦尸分別是AC,31c的中點(diǎn)，所以EF〃A片.

由于石尸仁平面A耳4,ABXu平面AB?,所以EF//平面AB?.

（2）由于4。，平面ABC,ABI平面ABC,所以50LAB.

由于A3,AC,ACc3|C=C,所以AB,平面A4C,

由于ABi平面A8耳，所以平面ABC，平面ABB1.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，屬于中檔題.

8、（2020天津卷T17）如圖，在三棱柱ABC—4與。1中，eq11]ABC,AC±BC,AC^BC=2,CC；=3,

點(diǎn)。，E分別在棱A4和棱CG上，且AD=1CE=2,M為