2022-2023學(xué)年上海市奉賢高一年級下冊冊5月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市奉賢高一下冊5月月考數(shù)學(xué)模擬試題

(含解析)

一、填空題(第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分)

1.復(fù)數(shù)l-i的虛部為.

【正確答案】-1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念直接判斷即可；

【詳解】解：復(fù)數(shù)1—i的虛部為-1

故-1

2.在復(fù)數(shù)集中因式分解父+4=

【正確答案】(x+2i)(x-2i)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)概念將/+4寫成平方差公式分解即可.

【詳解】由］2=一1可得，x2+4=x2-(-4)=x2-(2i)2=(x+2i)(x-2i),

故(x+2i)(x-2i)

3.如圖，在正方體Z8CD-中，異面直線45和。C所成角的大小為

【分析】由分析知異面直線48和。C所成角即異面直線4臺和所成角，即為Z4歷I,

求解即可.

【詳解】因為AB//DC,所以異面直線48和。C所成角即異面直線48和46所成角,

異面直線4B和AB所成角為幺BA,

在力8中，AAX±AB,AAX=AB,

所以N4A4=45°.

故45。

4.如圖，△()'A'B'是水平放置的AOAB的直觀圖，則AAOB的面積是

【正確答案】12

【分析】根據(jù)平面圖形的斜二測畫法，得出△048為直角三角形，求出兩直角邊，計算三

角形的面積.

【詳解】解：根據(jù)平面圖形的斜二測畫法知，

原△0/8為直角三角形，且兩直角邊分別為

08=4,04=3X2=6,

二/XAOB的面積為S=12.

故答案為12.

本題考查了三角形的斜二測畫法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

5.設(shè)向量￡、否滿足問=6,忖=4,且￡/=_20,則向量￡在向量否方向上的數(shù)量投影

是.

【正確答案】—5

【分析】利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解向量￡在B方向上的數(shù)量投影即可.

【詳解】設(shè)向量々與否的夾角是仇

則向量W在B方向上數(shù)量投影為|Z|cose=*=[^=-5.

故答案為.-5

1_,、rr

6.已知a=(l,2),b=(x,4),且2與否平行，則a—b=

【正確答案】V5

【分析】運用平面向量共線及向量的模的坐標計算公式求解即可.

1一

【詳解】已知a=(l,2),6=(x,4),且￡與否平行，

所以2xx=lx4,所以x=2,

所以書=(2,4),所以3—加=(—1,—2),

所以|￡_“=J(_l)2+(_2)2=#.

故答案為.V5

7.在正方體—44aA中，/、N分別是棱G。、GC的中點，則以下結(jié)論:

①直線力歷與直線CG相交；

②直線與直線8N平行；

③直線與直線異面；

④直線BN與直線A/4異面.

正確的編號有______________

【正確答案】③④

【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系對四個結(jié)論逐一分析，由此確定正確結(jié)論.

【詳解】對于①，M、aG四點不共面，

.??根據(jù)異面直線的定義可得直線與CG是異面直線，故選項①錯誤;

對于②，取0n的中點E,連接/E、EN、BN,則有AB〃EN,AB=EN,

所以四邊形49NE是平行四邊形，所以AEHBN,

1與/￡交于點4,二41/與ZE不平行，則41/與BN不平行，故選項②錯誤;

對于③，AMfl平面CDDG二M,DD[U平面CDD、C、,且用eDR,

根據(jù)異面直線的定義可得，直線ZA/與直線?？诋惷?，故③正確：

對于④，4/c平面C88cl=與，BNu平面CBB￡i，且M/BN,

根據(jù)異面直線的定義可得，直線8N與直線/片異面，故④正確；

故選：③④

8.設(shè)z的共輸復(fù)數(shù)是彳，若z+彳=4,z2=8,則二等于.

z

【正確答案】±1

【分析】可設(shè)z=a+bi(。力€氏)，由z+N=4,z2=8可得關(guān)于a,b的方程，即可求得z,

然后求得答案.

【詳解】解析：設(shè)z="+m?(a,bwA),因為z+N=4,所以。=2,

又因為zZ=8，所以從+4=8，

所以〃=4.所以6=±2,

即z=2±2i,故￡?=±i.

z

本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的四則運算，難度不大.

9.在直角坐標系中,ZBC的頂點Z(cosa,sina),5(cos/7,sin/?)

且Z8C的重心G的坐標為,72,cos(a_￡)=

2

【正確答案】-

【分析】由重心的坐標與三個頂點坐標的關(guān)系有

cosa+cos/?+--sina+sinp+2后、，結(jié)合已知列方程組，得

G(-----------1-----------，-----------1-----------)

a2G

cosa+cosp=-----

3,兩式平方相加,即可求cos(a-/7).

sina4-sin/3=V2

【詳解］由題意知：cosa+cos/?+一廣sina+sin尸+2后,

G(-,-----------------------)

33

cosa+cos￡+亍2百f026

---------------------=-----cosa+cosp=-----

???<33,即，3

sina+sin夕+2后-正sina+sin￡=V2

、3-

/.(COS6/+COS/7)2=cos2a+2cosacos/?+cos20=g,

(sina+sin/3)2=sin2a+2sinasin尸+sin2夕=2,

將兩式相加，得：2+2(cosacos夕+sinasin夕)=與,

/、2

/.cos(a一夕)=cosacos夕+sinasin'=1.

2

故答案為.j

關(guān)鍵點點睛：利用三角形的重心坐標與頂點坐標關(guān)系，結(jié)合已知條件列方程組，利用同角三

角函數(shù)關(guān)系、兩角差余弦公式求函數(shù)值.

10.在平面直角坐標系中，△NBC頂點的坐標分別為z（a,4）,3（0,b）,C（c,0）.虛數(shù)

x=l+ai（a〉0）是實系數(shù)一元二次方程》2一次+10=0的一個根，且是銳角，則b的

取值范圍是________________

（1QA

【正確答案】（―—8）u}8,1

4=3

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算結(jié)合復(fù)數(shù)相等求得＜,再根據(jù)向量夾角與數(shù)量積之間的關(guān)系列

[c=2

式求解即可.

【詳解】因為x=1+H是實系數(shù)一元二次方程/-5+io=o的一個根,

則（1+aiJ-c（l+ai）+10=^ll-c-a2^+a（2-c）i=0,

11—c—a~—0a=3

可得《（.、八，且解得＜

a（2-c）=0c=2'

ULULUUU

即4（3,4）,6（0,6）,C（2,0）,可得48=（-31—4）,4。=（一1,一4）,

3-4（6-4）＞019

12+（14）1?！獾没蚧蛞?,

若//是銳角，則

所以b的取值范圍是（-8,-8）。12、

/、（19

故答案為.（—8,—8）。—8,—

k4

11.已知關(guān)于X的方程f+zx+4+3i=0有實數(shù)根，則復(fù)數(shù)Z的模的最小值為

【正確答案】3行

（4、3

【分析】根據(jù)題意可得xwO,將復(fù)數(shù)z寫成z=-x+-----i的形式，即可得

\xjx

目=小/+烏+8,利用基本不等式即可求得其最小值為34.

【詳解】由一+2%+4+31=0可得〃=一12+4+3。，

fX2+43

顯然x=0不是方程X2+2工+4+篁=0的實數(shù)根，所以xwO,即z=------+-i

XX

(4)3.

若關(guān)于冗的方程X?+zx+4+3i=0有實數(shù)根，則z=-x+——i,xeR,

3

即復(fù)數(shù)z的實部為一XH----,虛部為---

X

所以復(fù)數(shù)Z的模囪=

利用基本不等式可得21+8=風(fēng)=3五，當(dāng)且僅當(dāng)》=士石時，

等號成立,即忖成30；

所以復(fù)數(shù)Z的模的最小值為372.

故3亞

12.如圖，在平面直角坐標系X0中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時圓上一點

P的位置在(0,0)，圓在X軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時，麗的坐標為

【正確答案】(2—sin2,l—cos2)

【詳解】如圖，連結(jié)AP,分別過P,A作PC,AB垂直x軸于C,B點，過A作AD_LPC

于D點.由題意知5P的長為2.

?.?圓的半徑為1,

；./BAP=2,

,,7t

故/DAP=2----.

2

DP=APsinl2——I=—cos2,

PC=1—cos2,

DA=APcosl2--I=sin2.

AOC=2-sin2.

故OP=（2—sin2,1—cos2）.

二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）

13.已知i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=2二對應(yīng)的點所在位于第（）象

2+i

限

A.-B.~C.=D.四

【正確答案】D

34if341

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算可知2=不一萬，即可得其對應(yīng)的點為位于第四象

【詳解】由z='可知,（2一爐_4+i?—4i_3—4i_34i

2+i（2+i）（2-i）―4-i2―5-5T

因此其對應(yīng)的點為,位于第四象限.

故選：D

14.如圖，在長方體Z8CZ>-4瑪。。|中，AB=AD=4，CC1=5,M、N分別是G2、

NC的中點，則異面直線。N和CM所成角的余弦值為（

AGIC3而

A.--B.

33■29

【正確答案】D

【分析】取4。的中點為P,將MC平移到NP即可知異面直線。N和CM所成的角的平

面角即為ZDNP,再利用余弦定理即可解得cosNDNP=—.

29

【詳解】取4。的中點為P,連接MP,DP,NP,如下圖所示:

M是CA的中點，4。的中點為尸，所以MP//AC],且加尸=；4。；

由N分別是ZC的中點，所以NC=；NC,由正方體性質(zhì)可得4c7/4G，NC=4￡，

所以可得MP//NC,MP=NC,即四邊形MPNC是平行四邊形，

則異面直線DN和CM所成的角的平面角即為NDNP,

易知DN=20PN=PD=曬,

所以c"DNP=W半斗=冷=叵

2x2V2xV29V2929?

故選：D

15.過正方體中心的平面截正方體所得的截面中，不可能的圖形是（)

A.六邊形B.正方形

C.對角線不相等的菱形D.三角形

【正確答案】D

【分析】根據(jù)截面經(jīng)過幾個面得到的截面就是幾邊形判斷即可.

【詳解】過正方體中心的平面截正方體所得的截面，至少與正方體的四個交，所以不可能是

三角形.

故選：D.

16.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車

的三叉車標很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是A48C內(nèi)的一點，

△BOC,AAOC,A4O8的面積分別為S/、SB.Sc,則有+S&礪+品炭=。，

設(shè)。是銳角”8C內(nèi)的一點，NBAC,NABC,/NC8分別是"BC的三個內(nèi)角，以下命

題錯誤的是（）

A.若方+礪+雙=6，則。為△NBC的重心

B若厲+2萬+3反=6,則邑：S/S—l⑵3

C.則。為A48C（不為直角三角形）的垂心，則

tanZBAC-04+tanZABC-OB+tanZACBOC-0

D.若網(wǎng)=|國=2,8d,2刀+3漏+4U，則S"c=]

【正確答案】D

【分析】對于A,假設(shè)。為的中點，連接0D，由已知得0在中線C。上，同理可得0

在其它中線上，即可判斷：對于選項B,利用奔馳定理可直接得出B正確；對于C,由垂心

的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運算律無.就反反-麗.刀=0，得到

|O4|：\OB\：|OC|=cosABAC-,cosZABC:cosNBCA，結(jié)合三角形面積公式及角的互補關(guān)

系得結(jié)論，可判斷C正確；選項D,根據(jù)奔馳定理可得S/S/Scu2:3:4,再利用三角

9

形面積公式可求得Sc=1,即可計算出S，BC=Q，可得D錯誤；

【詳解】對于A：如下圖所示，

假設(shè)。為的中點，連接0。，則德+礪=2歷=面，故C,。,。共線，即。在中線

上，

同理可得。在另外兩邊8cze的中線上，故。為/8C的重心，即A正確；

對于B：由奔馳定理。是Z8C內(nèi)的一點，BOC,AOC,Z08的面積分別為邑,Ss，Sc，

則有S「E+S屋歷+S<.?反=6可知，

若以+2麗+33=0，可得SjS/S。=1:2:3,即B正確；

對于C：由四邊形內(nèi)角和可知，NBOC+NBAC=n,貝ij

礪灰=函函cosABOC=-函函cosNBAC,

同理，0504=|o5||a4|cosZ5(9^=-|d5||a4|cosZSC4,

因為。為Z8C的垂心，則礪?就=麗?(玩-刀)=麗?人-麗?刀=0,

所以|oqcosN8/C=1o4cosZ5C/,同理得|0(7卜05//8。=|。8卜05/804,

LcosN/8C=|。4cos,

則|。可:|(?B|:|oc|=cosZ.BAC:cosZ.ABC:cosZ.BCA,

令二TWCOSN8ZC,JO,二mCOSZ/45C,|(?C|=mcosZ-BCA,

由S'=L|幅，反卜in/BOC,則

SA=*詞函sinABAC=ycosZABCcosZBCAsinABAC，

同理：SB=1|O4||OC|sinZABC=cosZBACcosZBCAsinZABC.

S0|同詞sinZBCA=cosNBACcosZABCsinZBCA，

綜上,

00°sinZBACsinZABCsinZBCA小s小

S八：SR：S--------:---------:----------tanZBAC:tanZABC:tanZBCA,

"BrccosZBACcosZABCcosZBCA

根據(jù)奔馳定理得tan/A4c?刀+tan/48。礪+tan4C8?灰=0，即C正確.

—.—.I57r

對于D：由|。*=|。8|=2,/4。6=①可知，Sc=-x2x2xsin—=1,

626

又2況+3萬+4灰=6,所以邑：5"：50=2:3:4

13

由S0=l可得，S,=-,Sg=-;

139

所以S,8c=S“+SB+S<.=—+—+1=—,即D錯誤;

故選：D.

關(guān)鍵點睛：利用向量數(shù)量積定義、運算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結(jié)合三角形面積公

式和奔馳定理判斷結(jié)論即可.

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)

17.四邊形/8C。是邊長為1的正方形，ZC與8。交于。點，孫_1_平面/8。。，且滿足

PA=AB=AD-

(1)求證：48和PC是異面直線;

(2)求直線PC和平面48CO所成角.

【正確答案】（1）見解析（2）arctan——

2

【分析】（1）由異面直線的判定定理證明：

PA

（2）因為以，平面"CD,所以直線PC和平面Z8CO所成角為ZPCA,則tanZPCA=——,

AC

求解即可.

【小問1詳解】

因為平面N8CO，C任AB，所以尸任平面Z6C0,

由異面直線的判定定理可證得AB和PC是異面直線；

【小問2詳解】

設(shè)PA=AB=AD=a>

因為孫，平面ABCD,所以直線尸C和平面ABCD所成角為/尸。，

因為孫，平面/BCD,/Cu平面Z8CD,所以以_LZC,

在Rt△尸NC中，AC=da?+a2=-fia,tanZ.PCA-.

AC72a2

故直線PC和平面所成角為arctan—.

2

18.己知復(fù)數(shù)4=2sin0—V3Z,Z2=l+（2cos8）i,。e[0,司

（1）若Z1?Z2GR,求角。；

（2）復(fù)數(shù)z”Z2對應(yīng)的向量分別是西，西，其中O為坐標原點，求鬲?運的取值范

圍.

【正確答案】（1）e啖或e吟；Q）[-273,4].

【分析】

(1)由題意可得：z,-z2=(2sin0+2-73cosO')+(4sin6cos-V3)z.由4,2267?,

可得：4sin6cose-G=0，即可得解；

(2)由題意可得鬲=(2sin。,—G),運=(l,2cos。)，

OZX0Z2=2sin0-2^3cos=4sin-yj0G[0,,即可得解.

【詳解】(1)由馬=2sin0-V3z,z2=1+(2cos3)i,0G[0,TT],

可得馬?z?=2sin。+(4sin0cos0)1-V3z-(273cos

=2sin。+2^3cos9+(4sin0cos0-V3)z,

由Z/ZZEH，可得：4sin6cos8-G=0，

所以sin26=且，所以。=工或6=工；

263

(2)由題意可得西=(2sin。,—G),西=(l,2cos。)

西近=2sin6—2Gcos6=4sin(e一

由。6[0,萬],所以—工〈。一24二，

所以一2G?4sin(8—q)W4,

所以區(qū)?國的取值范圍為[-2百,4].

本題考了復(fù)數(shù)的乘積運算，以及對實數(shù)的虛部為0的考查，同時考查了求三角函數(shù)的取值范

圍和輔助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.己知關(guān)于z的方程z?+3目+2=0.

(1)在復(fù)數(shù)域范圍內(nèi)求該方程的解集；

(2)已知該方程虛根分別為4、Z2,若Z滿足|z-zJ=|z-Z2|,求卜-1-JTTi|的最小值.

【正確答案】⑴]yi,學(xué)3

⑵VTT

【分析】(1)設(shè)z=a+6i(aeR,beR),代入方程得笳一三+2abi+3+廿+2=0，

則實部虛部對應(yīng)相等均為零，分別討論a=0或6=0時，求解z2+3|z|+2=0在復(fù)數(shù)域范

圍內(nèi)求該方程的解集；

(2)由|z-zJ=|z-Z21可得z的軌跡為X軸，即可求出答案.

【小問1詳解】

設(shè)2=。+磯。6氏661<),代入方程得°2一從+2abi+3+/+2=0，則實部虛部

對應(yīng)相等均為零，

6=0時，z為實數(shù)，

當(dāng)zNO時，z2+3z+2-0>解得z=—l，z=—2，舍去；

當(dāng)z<0時，z2—3z+2=0，解得z=l,z=2,舍去;

4=0時，-y+3|q+2=0

當(dāng)620時，—/+3b+2=0,解得6=上叵

2

當(dāng)6<0時，—62—36+2=0，解得6=3一如

2

綜上，解集為

【小問2詳解】

因為|z-zJ=|z-Z2|,即Z到4的距離和到Z2的距離相等,

則Z的軌跡為X軸，那么點(1,而)到X軸的最短距離為而.

20.已知四棱錐/MBS的底面為直角梯形，ABDC,ND4B=90。，RIJ?平面Z8CD,

且?/==,48=1,M是棱尸8上的動點.

(1)求證：COJ_平面PAD；

(2)若PC=PM,求點M到平面/BCD的距離;

(3)當(dāng)加是P3中點時，設(shè)平面與棱PC交于點N,求——的值及截面AONM的面

NC

積.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)5-岳

5

(3)2,—

3

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理可得平面現(xiàn)。

(2)過M作的垂線，垂足為H,則和我平行，因為尸平面/8CD,所以〃"_L

平面/8CZ),點用到平面Z8C。的距離即為由也=也可得答案；

PABP

(3)作點M滿足訴萬，貝［)/,D,F,M四點共面，取的中點E,則四邊形A/FCE

是平行四邊形可得尸，A,C,尸四點共面，則尸。與平面的交點必定在ZF上，4F與

2

PC的交點即為PC與平面的交點N,根據(jù)比例得出NN=—//,由線面垂直的判定

3

定理得出四邊形ADFM是矩形可得答案.

【小問1詳解】

因為/。/6=90°，所以48，/。，XAB//DC,所以

因為「Z_L平面/8C。，C0U平面Z8C。，所以P/_LC。，又尸Z=N,

AD.P4u平面RID,所以C0_L平面均。，

【小問2詳解】

根據(jù)勾股定理，PC='PA、AC2=6,則

過M作的垂線，垂足為〃，則和以平行，

因為平面/8C。，所以河〃J_平面/8CD,

口r>,*MHBM

即為所求距離，----=----，

PABP

因為P/_L平面/5CQ,ZB,ZCu平面43CQ,所以尸4,48,PA1AC,

所以BP=JJ存］方=H=下，

因為NZM3=90。，所以ZC=JTZT=J5,

PC=>IAP2+AC2=Vi+2=G，所以BM=BP—PM=BP-PC=>5-6.

即MH=V5-V3,解得MH=5-相

1V55

【小問3詳解】

解：作點尸滿足礪=7萬，則Z，D,F,M四點共面,

作48的中點E,則亞=配,

所以赤=沅，

所以四邊形MCE是平行四邊形，則尸C〃ME,又ME〃PA，

所以EC/7PZ,即尸，A,C,尸四點共面，平面/fOFMD平面尸/C尸=，

則尸C與平面/OM的交點必定在AF

所以NF與PC的交點即為PC與平面ADM的交點N,

…PNANPAPA汽2"

所以---=----=----=----=2,所以4N=—AF,

NCNFCFME3

由（1）知ZO_LOC,

所以工。人/8，又PN_LZ。，且Blu平面以8,ABr\PA=A,

所以/。_1_平面以8,4Mu平面以8,

所以4Z)_L4M，所以四邊形是矩形,

AD=1,AM=LpB=Lg2+AB2=14+22=正,

2222

所以四邊形ADFM的面積而邊形皿M=否當(dāng)，

所以四邊形4QM0的面積為-X5川w=2X《5=世.

4F四四彬323

21.若定義域為一切實數(shù)的函數(shù)y=h(x)滿足：對于任意xeR,都有

/Z(X+2K)=A(X)+A(2TC),則稱函數(shù)丁=為“啟迪”函數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)y=/(x),y=g(x)的表達式分別為/(x)=x+sinx,g(x)=cosx,判

斷函數(shù)/(x)與g(x)是否是“啟迪”函數(shù)，并說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的表達式是〃x)=sin(①x+e),判斷是否存在0＜/＜1以及

一兀＜。＜無，使得函數(shù)/(x)=sin((yx+e)成為''啟迪”函數(shù)，若存在，請求出3、＜p,若不

存在，請說明理由；

(3)設(shè)函數(shù)y=/(x)是“啟迪”函數(shù)，且在［0,2兀］上的值域恰好為［/(0),/(2兀)］,以2兀

為周期的函數(shù)y=g(x)的表達式為g(x)=sin(/(x)),且g(x)在開區(qū)間(0,2兀)上有且

只有一個零點,求〃2兀).

【正確答案】(1)y=/(x)是“啟迪”函數(shù)，y=g(x)不是“啟迪”函數(shù);理由見解析

(2)不存在，理由見解析

(3)/(2兀)=2兀

【分析】(1)根據(jù)具有性質(zhì)尸的定義依次討論即可得答案；

(2)假設(shè)函數(shù)y=/(x)具有性質(zhì)尸,則有了(0+2冷=〃0)+/(2兀)，gp/(0)=0,

進而得/(x)=sin(ox),再根據(jù)/(2析)=〃0)+姑(2兀)=外'(2兀)并結(jié)合函數(shù)的值域為

［一1』得