廣東省揭陽市陶熏華僑中學高二數(shù)學理月考試題含解析

廣東省揭陽市陶熏華僑中學高二數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)，則此函數(shù)圖象在點處的切線的傾斜角為

A．0

B．銳角

C．

D．鈍角參考答案：D略2.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問數(shù)學考試的成績老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，我現(xiàn)在給乙看甲、丙的成績，給甲看丙的成績，給丁看乙的成績，看后乙對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（

）A.甲可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.甲、丁可以知道對方的成績 D.甲、丁可以知道自己的成績參考答案：D【分析】先由乙不知道自己成績出發(fā)得知甲、丙和乙、丁都是一優(yōu)秀、一良好，那么甲、丁也就結合自己看的結果知道自己成績了.【詳解】解：乙看后不知道自己成績，說明甲、丙必然是一優(yōu)秀、一良好，則乙、丁也必然是一優(yōu)秀、一良好；甲看了丙的成績，則甲可以知道自己和丙的成績；丁看了乙的成績，所以丁可以知道自己和乙的成績，故選：D.【點睛】本題考查了推理與證明，關鍵是找到推理的切入點.3.用數(shù)學歸納法證明+++…＜1（n∈N*且n＞1）由n=k到n=k+1時，不等式左邊應添加的項是（）A． B．+﹣C．+﹣ D．+﹣﹣參考答案：B【考點】數(shù)學歸納法．【分析】分別寫出n=k、n=k+1時不等式左邊的表達式，然后相減即得結論．【解答】解：當n=k時，左邊=+++…+，n=k+1時，左邊=++…+++，兩式相減得：+﹣，故選：B．4.已知橢圓上的一點到橢圓一個焦點的距離為，則到另一焦點距離為（

）A

B

C

D

參考答案：D略5.下列曲線中離心率為的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略6.隨機變量X~B(100,p)，且E(X)=20，則D(2X－1)=（）A.64 B.128 C.256 D.32參考答案：A【分析】根據(jù)二項分布期望的計算公式列方程，由此求得的值，進而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.【詳解】隨機變量服從二項分布，且，所以，則，因此.故選A.【點睛】本小題主要考查二項分布期望和方差計算公式，屬于基礎題.7.從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：身高x（cm）160165170175180體重y（kg）6366707274根據(jù)上表可得回歸直線方程=0.56x+，據(jù)此模型預報身高為172cm的高三男生的體重為（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg參考答案：B【考點】回歸分析的初步應用．【分析】根據(jù)所給的表格做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，利用待定系數(shù)法做出的值，現(xiàn)在方程是一個確定的方程，根據(jù)所給的x的值，代入線性回歸方程，預報身高為172cm的高三男生的體重【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得==170，==69∵（，）一定在回歸直線方程=0.56x+上故69=0.56×170+解得=﹣26.2故=0.56x﹣26.2當x=172時，=0.56×172﹣26.2=70.12故選B．8.若上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C9.用數(shù)學歸納法證明：時，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數(shù)是（

）A. B. C. D.1參考答案：A【分析】先求出n=k+1時左邊最后的一項，再求左邊增加的項數(shù).【詳解】n=k+1時左邊最后的一項為，n=k時左邊最后一項為，所以左邊增加的項數(shù)為.故選：A【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.10.在復平面內(nèi),點(1,2)對應的復數(shù)為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知空間中動平面與半徑為5的定球相交所得的截面的面積為與，其截面圓心分別為，則線段的長度最大值為

.參考答案：略12.用“秦九韶算法”計算多項式，當x=2時的值的過程中，要經(jīng)過

次乘法運算和

次加法運算。參考答案：5,513.兩條異面直線a，b所成角為60°，則過一定點P，與直線a，b都成60°角的直線有__________條．參考答案：考點：異面直線的判定．專題：數(shù)形結合；空間位置關系與距離；立體幾何．分析：先將異面直線a，b平移到點P，結合圖形可知，當使直線在面BPE的射影為∠BPE的角平分線時存在2條滿足條件，當直線為∠EPD的角平分線時存在1條滿足條件，則一共有3條滿足條件．解答：解：先將異面直線a，b平移到點P，則∠BPE=60°，∠EPD=120°而∠BPE的角平分線與a和b的所成角為30°，而∠EPD的角平分線與a和b的所成角為60°∵60°＞30°，∴直線與a，b所成的角相等且等于60°有且只有3條，使直線在面BPE的射影為∠BPE的角平分線，和直線為∠EPD的角平分線，故答案為：3．點評：本小題主要考查異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，以及射影等知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．14.多選題是標準化考試的一種題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選出所有正確的答案才算答對，在一次考試中有一道多選題，甲同學不會，他隨機猜測，則他答對此題的概率為

▲

.參考答案：略15.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于

．參考答案：0.36.

16.命題“”的否定是________________________.參考答案：略17.已知是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，那么的取值范圍是________．參考答案：(1，3)略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且=1．（1）求∠C；（2）若c=，b=，求∠B及△ABC的面積．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由已知條件化簡變形可得：a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可得cosC，結合范圍C∈（0°，180°），即可得解C的值．（2）利用已知及正弦定理可得sinB，利用大邊對大角可求角B的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA的值，利用三角形面積公式即可求值得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）由已知條件化簡可得：（a+b）2﹣c2=3ab，變形可得：a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理可得：cosC==，∵C∈（0°，180°），∴C=60°…6分（2）∵c=，b=，C=60°，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcoC+cosBsinC==，∴S△ABC=bcsinA==…12分【點評】本題主要考查了余弦定理，正弦定理，大邊對大角，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．19.（本小題滿分14分）已知函數(shù).(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.參考答案：解：.

………………2分（Ⅰ），解得.

………3分（Ⅱ）.

……5分①當時，，，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

………6分②當時，，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

…………7分③當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.

………8分④當時，，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

………9分（Ⅲ）由已知，在上有.

………………10分由已知，，由（Ⅱ）可知，①當時，在上單調(diào)遞增，故，所以，，解得，故.……………11分②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.由可知，，，所以，，，

………………13分綜上所述，.

………………14分20.某旅行社在暑假期間推出如下旅游團組團辦法：達到100人的團體，每人收費1000元。如果團體的人數(shù)超過100人，那么每超過1人，每人平均收費降低5元，但團體人數(shù)不能超過180人，如何組團可使旅行社的收費最多?(不到100人不組團)參考答案：解：設參加旅游的人數(shù)為x，旅游團收費為y，則依題意有

…………2分

=1000x-5（x-100）x

（100≤x≤180）…………3分

令得x=150

…………4分又，，

…………3分所以當參加人數(shù)為150人時，旅游團的收費最高，可達112500元。

……1分

略21.設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）求證：當a＞ln2﹣1且x＞0時，ex＞x2﹣2ax+1．參考答案：【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值．（Ⅱ）設g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．由此能夠證明ex＞x2﹣2ax+1．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）f′（x）﹣0+f（x）單調(diào)遞減2（1﹣ln2+a）單調(diào)遞增故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，ln2），單調(diào)遞增區(qū)間是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2處取得極小值，極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），無極大值．（Ⅱ）證明：設g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．于是當a＞ln2﹣1時，對任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，故當a＞ln2﹣1且x＞0時，ex＞x2﹣2ax+1．【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質(zhì)的應用．解題時要認真審題，仔細解答．22.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．（1）求橢圓C的方程．（2）直線與橢圓C交于A，B兩點，點M是橢圓C的右頂點．直線AM與直線BM分別與y軸交于點P，Q兩點，試問在x軸上是否存在一個定點N使得?若是，求出定點N坐標；若不是，說明理由．參考答案：（1）橢圓C的方程是；（2）線段為直徑的圓過軸上的定點．試題分析：（1）由題意結合橢圓所過的點和橢圓的離心率可求得，.則橢圓的方程為.（2）設存在定點使得.聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得.設,結合