北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)三年（2021-2023）模擬題匯編-計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)三年（2021-2023）模擬題知識點分類

匯編-計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

一、單選題

1.（2021?北京東城?統(tǒng)考一模）某中學(xué)高一、高二和高三各年級人數(shù)見下表.采用分層抽

樣的方法調(diào)查學(xué)生的健康狀況，在抽取的樣本中，高二年級有20人，那么該樣本中高

三年級的人數(shù)為（）

年級人數(shù)

高一550

高二500

高三450

合計?1500

A.18B.22C.40D.60

2.（2022?北京東城?統(tǒng)考三模）若某地區(qū)60歲及以上人群的新冠疫苗全程（兩針）接種

率為60%,加強免疫接種（第三針）的接種率為36%,則在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接

種的60歲及以上人群中隨機抽取一人，此人完成了加強免疫接種的概率為（）

A.0.6B.0.375C.0.36D.0.216

3.（2022?北京東城?統(tǒng)考二模）《周髀算經(jīng)》中對圓周率乃有“徑一而周三”的記載，已知

兩周率"小數(shù)點后20位數(shù)字分別為14159265358979323846.若從這20個數(shù)字的前

10個數(shù)字和后10個數(shù)字中各隨機抽取一個數(shù)字，則這兩個數(shù)字均為奇數(shù)的概率為（）

A3R33r217

59510020

4.（2022.北京東城?統(tǒng)考二模）在（l-2x）5的展開式中，第4項的系數(shù)為（）

A.-80B.80C.-10D.IO

5.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）在中國農(nóng)歷中，一年有24個節(jié)氣，“立春”居首.北京2022

年冬奧會開幕正逢立春,開幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計時讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.墩墩

同學(xué)要從24個節(jié)氣中隨機選取3個介紹給外國的朋友，則這3個節(jié)氣中含有“立春”的

概率為（）

二、填空題

6.（2021?北京東城.統(tǒng)考一模）（1-4）5的展開式中，f的系數(shù)為.（用數(shù)字

作答）

7.（2022?北京東城?統(tǒng)考三模）在（Y-J），的展開式中，/的系數(shù)為.（用

X

數(shù)字作答）

8.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）在（2-?『的展開式中，常數(shù)項為.（用數(shù)字作

答）

9.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）在（x+1的展開式中，X2的系數(shù)為60,則實數(shù)a=.

三、解答題

10.（2021?北京東城?統(tǒng)考二模）某市2019年一季度全市居民人均消費支出情況如下表

所示.全市居民分為城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民，人均消費支出分為食品煙酒、衣著、居住、

生活用品及服務(wù)、交通和通信、教育文化和娛樂、醫(yī)療保健、其他用品及服務(wù)共8類.

2019年一季度（單位：元）

全市居民城鎮(zhèn)居民

指標名稱

2019年一季度增速（％）2019年一季度增速（％）

人均消費支出10677.4114407.4

食品煙酒22928.224018.2

衣著6280.0670-1.0

居住38465.742005.6

生活用品及服務(wù)5466.85888.3

交通和通信121911.0130310.5

教育文化和娛樂92710.5102011.0

醫(yī)療保健87414.292013.6

試卷第2頁，共6頁

其他用品及服務(wù)3051.03382.7

（1）從全市居民的8類人均消費支出中隨機選取1類，求這類人均消費支出超過IOOO

元概率；

（2）從城鎮(zhèn)居民的8類人均消費支出中隨機選取3類,記X表示其中不超過2000元數(shù),

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望：

（3）請直接寫出這8類人均消費支出中，農(nóng)村居民人均消費支出增速大于城鎮(zhèn)居民人

均消費支出增速的類別.

11.（2021.北京東城?統(tǒng)考一模）小明同學(xué)兩次測試成績（滿分100分）如下表所示：

語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物

第一次879291928593

第二次829495889487

（1）從小明同學(xué)第一次測試的科目中隨機抽取1科，求該科成績大于90分的概率；

（2）從小明同學(xué)第一次測試和第二次測試的科目中各隨機抽取1科，記X為抽取的2

科中成績大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測試成績（滿分100分）及相關(guān)統(tǒng)計信息如下表所示：

語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物6科成績均值6科成績方差

α

第一次%?2%?46為Q

bb

第二次a2么A%演D2

將每科兩次測試成績的均值作為該科的總評成績，這6科總評成績的方差為D3.有一種

觀點認為：若占=%,R<2,則A效。2.你認為這種觀點是否正確？（只寫“正確”或

“不正確”）

12.（2022?北京東城?統(tǒng)考三模）為了解某地區(qū)高中生的每天日間戶外活動現(xiàn)狀，分別在

兩所學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生，得到甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間（單位：h）

的統(tǒng)計表和乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間（單位：h）的頻率分布直方圖如下.

頻率

距

組

48

一

。22

。17

13

O.

t71234時間/h

乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間頻率分布直方圖

組別每天日間戶外活動時間（單位：h）人數(shù)

1[0,1)120

2口,2)250

312,3)60

4[3,4]70

甲校抽取的學(xué)生每天H間戶外活動時間統(tǒng)計表

（1）根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，估計甲校學(xué)生每天日間戶外活動時間的25%分位數(shù)在第幾組；

（2）已知每天日間戶外活動時間不低于2h可以對保護視力起到積極作用.現(xiàn)從乙校全體學(xué)

生中隨機選抽取2人，記其中每天日間戶外活動時間不低于2h的人數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)上述數(shù)據(jù),能否推斷甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間的平均值一定低于乙

校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間的平均值？說明理由.

13?（2022?北京東城?統(tǒng)考二模）某部門為了解青少年視力發(fā)展狀況，從全市體檢數(shù)據(jù)中,

隨機抽取了IOO名男生和IOO名女生的視力數(shù)據(jù).分別計算出男生和女生從小學(xué)一年級

（2010年）到高中三年級（2021年）每年的視力平均值，如圖所示.

試卷第4頁，共6頁

力平均值的概率；

(2)從2010年到2021年這12年中隨機選取2年，設(shè)其中恰有X年女生的視力平均值不低

于當(dāng)年男生的視力平均值.求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：

(3)由圖判斷，這200名學(xué)生的視力平均值從哪年開始連續(xù)三年的方差最?。?結(jié)論不要

求證明)

14.(2022?北京東城?統(tǒng)考一模)根據(jù)Z市2020年人口普查的數(shù)據(jù)，在該市15歲及以上

常住人口中，各種受教育程度人口所占比例(精確到0.01)如下表所示：

受教育程度未上小初高大學(xué)專大學(xué)本碩士研究博士研究

性另IJ學(xué)學(xué)中中科科生生

男0.000.030.140.110.070.110.030.01

女0.010.040.110.110.080.120.030.00

合計0.010.070.250.220.150.230.060.01

(1)已知Z市15歲及以上常住人口在全市常住人口中所占比例約為85%,從全市常住人

口中隨機選取1人，試估計該市民年齡為15歲及以上且受教育程度為碩士研究生的概

率；

(2)從Z市15歲及以上常住人口中隨機選取2人，記這2人中受教育程度為大學(xué)本科及

以上的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)若受教育程度為未上學(xué)、小學(xué)、初中、高中、大學(xué)?？萍耙陨系氖芙逃晗薹謩e記為

0年、6年、9年、12年、16年，設(shè)Z市15歲及以上男性與女性常住人口的平均受教

育年限分別為。年和8年，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)直接寫出。與b的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證

明)

15.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對同一體育項目,

在一段時間內(nèi)甲進行了6次測試，乙進行了7次測試.每次測試滿分均為100分，達到

85分及以上為優(yōu)秀.兩位同學(xué)的測試成績?nèi)缦卤恚?/p>

次數(shù)同學(xué)第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

甲807882869593—

乙76818085899694

（1）從甲、乙兩名同學(xué)共進行的13次測試中隨機選取一次，求該次測試成績超過90分的

概率；

（2）從甲同學(xué)進行的6次測試中隨機選取4次，設(shè)X表示這4次測試成績達到優(yōu)秀的次

數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX；

（3）從乙同學(xué)進行的7次測試中隨機選取3次,設(shè)F表示這3次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù),

試判斷數(shù)學(xué)期望Ey與（2）中EX的大小.（結(jié)論不要求證明）

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)分層抽樣的概念及方法，列出方程，即可求解.

【詳解】設(shè)該樣本中高三年級的人數(shù)為〃人，

根據(jù)分層抽樣的概念及方法，可得黑=忌，解得"=18人.

500450

故選：A.

2.A

【分析】設(shè)事件A為抽取的一人完成新冠疫苗全程接種，事件8為抽取的一人完成加強免疫

接種，進而結(jié)合題意，根據(jù)條件概率公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)事件A為抽取的一人完成新冠疫苗全程接種，事件8為抽取的一人完成加強

免疫接種，

所以尸(A)=O.6,P(AB)=0.36,

所以在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機抽取一人，此人完成了加強

,.、P(AB)0.36

免疫接種的概率為*B?力=?p=瑞=06

故選：A

3.D

【分析】利用古典概型概率公式即得.

【詳解】因為從這20個數(shù)字的前10個數(shù)字中有7個奇數(shù)，后10個數(shù)字中有5個奇數(shù)，

所以從這20個數(shù)字的前10個數(shù)字和后10個數(shù)字中各隨機抽取一個數(shù)字，這兩個數(shù)字均為

7x57

奇數(shù)的概率為P=祈Tm

故選：D.

4.A

【分析】先寫出(l-2x)5的展開式的通項公式T川，再令r=3,即得.

【詳解】因為(l-2x)5的展開式的通項公式為TH=G『(_2x)'=q(-2)rz,

令r=3,則展開式中第4項的系數(shù)為C；(-2)3=-80,

故選：A.

5.B

答案第1頁，共9頁

【分析】利用古典概型運算公式進行求解即可.

【詳解】這3個節(jié)氣中含有“立春”的概率為

G8'

故選：B

6.5

【分析】利用二項展開式的通項公式可求得結(jié)果.

【詳解】(I-T)S的展開式的通項公式為7；I=G(_4/=(TAGX匕r=0,l,2,3,4,5,

令gr=2,得r=4,

所以V的系數(shù)為(7)"C；=5.

故答案為：5

7.10

【分析】在二項展開式的通項公式中，令X的事指數(shù)等于4,求出，的值，即可求得展開式

中/的系數(shù).

【詳解】。2-35的展開式的通項公式為1”=仁.(-1)。"?！?，令10—3r=4,求得/?=2,

X

故展開式中X4的系數(shù)為Cj=IO,

故答案為：10.

8.64

【分析】利用二項式的通項公式進行求解即可.

【詳解】二項式(2-4)的通項公式為=c026-J(-4y'=G>26τ?(-ιγ?χa,

令I(lǐng)=Onr=0,所以常數(shù)項為26=64,

故答案為：64

9.±2

【分析】求出二項展開式的通項，令X的指數(shù)等于2,求得"，再根據(jù)展開式中F的系數(shù)為

60,即可得出答案.

【詳解】卜+胃的展開式的通項為&=C"H'=aq?1,

令6—2r=2,則r=2,

答案第2頁，共9頁

則在(x+q)展開式中，爐的系數(shù)為晨=60,

所以α=±2.

故答案為：±2.

aO

10.(I)9(2)分布列見詳解，EX)=:；(3)答案見詳解.

【分析】(1)8類人均消費支出中有3類人均消費支出超過IOOO元，故概率可求；

(2)列出變量的可能取值，結(jié)合超幾何分布求解相應(yīng)概率即可得分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)8類人均消費支出中有3類人均消費支出超過IOOO元，故所求概率為白

O

(2)依題意知X的可能取值為1,2,3則

C1C23

P(x=[)=S?L

7C328

小=2)=等啜

則X的分布列為

(3)農(nóng)村居民人均消費支出增速大于城鎮(zhèn)居民人均消費支出增速的類別有

衣著，居住，交通和通信，醫(yī)療保健.

【點睛】求離散型隨機變量的分布列時，關(guān)鍵要判斷隨機變量是否服從二項分布或超幾何分

布等特殊的分布.

H.(I)f2(2)分布列見解析，E(X)=7-(3)不正確

36

【分析】(1)根據(jù)古典概型的概率公式計算可得結(jié)果；

(2)計算出X的各個取值的概率可得分布列，根據(jù)期望公式計算可得數(shù)學(xué)期望；

答案第3頁，共9頁

(3)根據(jù)方差公式計算，結(jié)合A<2比較可得答案.

【詳解】(1)共有6科成績，其中成績大于90分的有數(shù)學(xué)、英語、物理和生物共4科，

所以從小明同學(xué)第一次測試的科目中隨機抽取1科，該科成績大于90分的概率為;=；.

63

(2)X的所有可能取值為：0,1,2,

S=器4P(X=D=94S嘿4

所以X的分布列為:

1117

數(shù)學(xué)期望E(X)=o×-↑×-2×-=-.

6+2+36

(3)設(shè)玉=Z=x,貝U"+/++aβ=h?÷?++%=6x,

則6。=(q—x)~+(%—%)+÷(?—x)2

=Cly+6?2++—2(q+出++4)工+6%~

=〃；++￠-12/+6/

=〃；+〃；++-6/,

2

同理可得6。2=b；+b；++6；-6X,

2

因為。1<。2，所以。；+而+÷?<?1÷?2++照,

所以6A-6R=隹Aj+隹可++代AJTW+w++魔)

=(1-q)S∣+3q)+」-4)()+%)++(1-4)0+4)的符號不確定

444

所以"與。無法比較大小，

6D-6D=(a'^b'}宜)++(%；%)-(,2++

32??+%

答案第4頁，共9頁

a+ba+bα+,(?2?2?2)

<^i+22+.+??+++

222

_d+d++d+以++?)

一tU，

2

所以2<2，

故這種觀點不正確.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：掌握求離散型隨機變量的分布列的步驟和數(shù)學(xué)期望公式是解題關(guān)鍵.

12.(1)第2組

(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：0.6

(3)不能，理由見解析

【分析】(1)利用圖表中的數(shù)據(jù)結(jié)合25%分位計算判斷；

(2)根據(jù)題意可得X8(3,0.3),根據(jù)二項分布求分布列和期望：

(3)用每組區(qū)間的中點值進行估計求平均數(shù)的估計值，用每組區(qū)間的左端點值進行估計求

平均數(shù)最小值，計算判斷.

【詳解】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計甲校學(xué)生每天日間戶外活動時間25%分位數(shù)在第2組.

(2)由頻率分布直方圖可知，乙校參與調(diào)查的學(xué)生每天日間戶外活動時間不低于2h的頻率

為0.17+0.13=0.3.

由此估計乙校全體學(xué)生每天日間戶外活動時間不低于2h的概率約為0.3.

X的所有可能取值為0,1,2.

P(X=O)=(1-0.3)2=0.49,

P(X=1)=C^×0.3×(l-0.3)=0.42,

P(X=2)=0.32=0.09,

所以X的分布列為

X012

P0.490.420.09

E(X)=0x0.49+1x0.42+2x0.09=0.6.

(3)不能.

答案第5頁，共9頁

若甲校參與調(diào)查的學(xué)生每組中的數(shù)據(jù)恰好都取區(qū)間中點值，則甲校參與調(diào)查的學(xué)生每天的日

間戶外活動時間的平均值

Z1=(0.5×120+1.5×250+2.5×60+3.5×70)÷500=1.66h.

若乙校參與調(diào)查的學(xué)生每組中的數(shù)據(jù)恰好都取相應(yīng)區(qū)間的左端點值，則乙校參與調(diào)查的學(xué)生

每天的日間戶外活動時間的平均值

Z2=0×0.22+l×0.48+2×0.17+3×0.13=1.21h.

此時，t,>t2.

3

13.(1)一

11

2

(2)分布列見解析；數(shù)學(xué)期望E(X)=I

(3)自2017年開始的連續(xù)三年，200名學(xué)生的視力平均值方差最小

【分析】(1)根據(jù)折線圖可確定該年男生的視力平均值高于上一年男生的視力平均值的共有

3個，由此可計算得到概率；

(2)由折線圖知女生的視力平均值不低于當(dāng)年男生的視力平均值的年份有4個，根據(jù)超幾

何分布概率公式可確定X每個取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式

可求得期望值；

(3)根據(jù)折線圖可確定自2017年開始的連續(xù)三年，學(xué)生視力波動程度最小，由此可得結(jié)論.

【詳解】(1)由折線圖可知：從2011年到2021年中，該年男生的視力平均值高于上一年男

生的視力平均值的共有3個；

3

，所求概率P=

(2)從2010年到2021年這12年中，女生的視力平均值不低于當(dāng)年男生的視力平均值的年

份有4個；

X所有可能的取值為0/，2,

.??p(x=。)=m=去P(X=I)=詈=探尸(χ=2)=∣?=~

則X的分布列為：

X012

答案第6頁，共9頁

14161

P

3333TT

.??X的數(shù)學(xué)期望E(X)=OX導(dǎo)IX導(dǎo)2χ?=g.

(3)由折線圖知：自2017年開始的連續(xù)三年視力平均值接近且連續(xù)三年數(shù)據(jù)相差不大,

自2017年開始的連續(xù)三年，200名學(xué)生的視力平均值波動幅度最小，

則自2017年開始的連續(xù)三年，200名學(xué)生的視力平均值方差最小.

14.(1)0.051;

(2)答案見解析；

(3)a>b

【分析】(1)結(jié)合概率乘法的計算公式即可求出結(jié)果；

(2)求出X的可能取值，進而求出對應(yīng)的概率，即可求出結(jié)果；

(3)根據(jù)平均數(shù)的概念即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)因為在該市15歲及以上常住人口中，受教育程度為碩士研究生的人口所占比

例為0.06,

則估計該市民年齡為15歲及以上且受教育程度為碩士研究生的概率85%×0.06=0.05h

(2)該市15歲及以上常住人口中，受教育程度為大學(xué)本科及以上的人口所占比例為

0.23+0.06+0.01=0.3,

X的可能取值為0，1，2,

則P(X=0)=C；x(0.3)°×(l-0.3)2=0.49,

P(X=I)=C；x0.3x(l-0.3)=0.42,

P(X=2)=C；X(0.3『X(1-0.3)°=0.09,

故X的分布列為

X012

P0.490.420.09

E(X)=OXo.49+1*0.42+2*0.09=0.6,

6×0.03+9×0.14+12×0.11+16χ0.22

(3)由題意，男性平均受教育年限為。=13.56,

0.5

答案第7頁，共9頁

6x0.04+9x0.11+12x0.11+16x0.23

女性平均受教育年限為人