2024屆河北省望都中學數(shù)學高二年級上冊期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆河北省望都中學數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)“X)的導函數(shù)為/'(九)，對任意xeR,都有f\x)>-/(x)成立，若/'(In2)=g,則滿足不等式“X)>J

的x的取值范圍是()

A.B.(0,1)

C(ln2,4w)D.(0,ln2)

2.設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的前幾項和為S“，且%=4為，貝()乎=()

916

A.—B.——

1017

178

C.—D.—

1617

3.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.8B.16

\PF\

4.已知R是拋物線V=4y的焦點，尸為拋物線上的動點，且A的坐標為(0,-1),則質(zhì)的最小值是

C巫D.在

22

5.已知。為坐標原點，OA=(1,2,-2),OB=(2,-1,4),OC=(1,1,4),點尸是0C上一點，則當PR.取得最小值

時，點尸的坐標為()

B?以"

D.(2,2,8)

6.已知A,3是圓C:/+y2=1上的兩點，P是直線X—y+/n=。上一點，若存在點A,B,P,使得Q4_LP3,

則實數(shù)機的取值范圍是。

A.[-l,l]B,[-2,2]

C.[-A/2,A/2]D.[-2>/2,2V2]

丫225

7.如圖，雙曲線C：二—3=1伍〉0,6〉0),A3是圓M：。+2)2+(〉—1)2=—的一條直徑，若雙曲線C過A,

ab2

B兩點,且離心率為&,則直線AB的方程為()

A.3x+y+7=0B.4x+y+6=0

C.x+y+5=0D.2x+y+3=0

8.已知〃x)=4nx+!x2,若對于V%,0G(O,+8)且石Nx,都有了(')―，(”2)>4成立,則實數(shù)。的取值范圍是

2Xy~X2

()

A.[l,+oo)B.(0,4]

c.(0,1)D.[4,+oo)

9.在ABC中，角A、B、C的對邊分別是。、b、c,若（a+c—〃）（a+c+〃）=3ac.則A+C的大小為（）

A5兀2萬

A.——B.——

63

7171

C.—D.-

36

11

10.已知數(shù)列｛4｝中，q=2，a.+i=i，則生=()

31一為

13

A.-B.一一

32

3

C.-2D.-

2

+工］的二項展開式的各項系數(shù)和為32,則二項展開式中x的系數(shù)為

11.已知無2

A5B.10

C.20D.40

12.直線14的斜率是方程d—x—2=0的兩根，則乙與4的位置關(guān)系是（）

A.平行B.重合

C.相交但不垂直D.垂直

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.已知數(shù)列｛｝的前n項和為Sn=n+2n,則該數(shù)列的通項公式an=.

14.設(shè)向量&=（%」/），b=（1,j,l）,c=（2,-4,2）,且aJ_G,bile，貝！1k+,=.

15.正四棱柱的高為底面邊長的后倍，則其體對角線與底面所成角的大小為.

16.如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，A8是一條側(cè)棱，￡。=1,2,、8）是上底面上其余的八個點,

則集合卜卜=43叢￡"=1,2,3,.,8｝中的元素個數(shù)為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知直線/:（2a—l）x+（a+2）y—5=0.

(1)若a=2,求直線/與直線/i：x+2y—3=0的交點坐標;

(2)若直線/與直線4：2x-y+3=0垂直，求。的值.

18.(12分)某快遞公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表).

(1)求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；

(2)在這60天中包裹件數(shù)在［100,200)和［200,300)的兩組中，用分層抽樣的方法抽取30件，求在這兩組中應(yīng)分別

抽取多少件？

19.(12分)平面直角坐標系xOy中，點耳(—1,0),耳。,0),點M滿足+|九碼=2夜.記M的軌跡為C.

(1)說明C是什么曲線，并求C的方程；

(2)已知經(jīng)過工的直線/與C交于A,B兩點,若仙聞?忸胤=?,求

20.(12分)如圖所示，在三棱柱ABC—AgG中，CCi，平面ABC，AC1BC,AC=BC=2,CC1=3,點。，

￡分別在棱AA和棱CG上，且AD=1,CE=2,點”為棱A耳的中點.

(1)求證：//平面DB*；

(2)求直線AB與平面。與E所成角的正弦值.

21.(12分)如圖1,在邊長為2的菱形ABC。中，ZBAD=60°,將△BCD沿對角線50折起到△30。的位置，如

圖2所示，并使得平面50a，平面ABO,E是80的中點，E4J_平面A3O,且取=2&.

圖1圖2

(1)求平面PBC'與平面尸R4夾角的余弦值；

(2)在線段4。上是否存在一點M,使得c'M，平面EBC?若存在，求器的值；若不存在，說明理由.

3

22.(10分)在①勾,出成等差數(shù)列；②％，4-4,%成等比數(shù)列；③S3=7這三個條件中任選一個，補充在下面的

問題中，并對其求解.

問題：已知S”為數(shù)列｛q｝的前幾項和，S"=2a“-ai(nwN*),a“#。,且___________.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)記2=log2an,求數(shù)列出｝前2項和T“.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x),利用導數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，將所求不等式變形為g(x)>g(ln2),

結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性即可得解.

【題目詳解】對任意xeR,都有了'(力>-〃力成立,即-(x)+/(x)>0

令g(x)=e"(x),則g'(x)=+/(%)]>0,

所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增

不等式/(x)>《即即g(x)>l

因為/'(1112)=3,所以g(ln2)=*2"ln2)=2xg=l

所以，g(x)>l=g(ln2),解得%>ln2,

所以不等式g⑴>1的解集為(In2,-+w)

故選：C.

2、C

【解題分析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列｛4｝公比q的關(guān)系，再利用前“項和公式計算得解.

【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的的公比為會由%=4%o得：%=4%^,解得

%(1-產(chǎn))

所以'=J1=]+.=1+(+=—,

S6一(1Y)”'416

i-q

故選:c

3、C

【解題分析】畫出直觀圖，利用椎體體積公式進行求解.

【題目詳解】畫出直觀圖，為四棱錐A-5C0E,其中BC=4,BE=2,AE=2,且BE,AE,Z>E兩兩垂直，故體積為

V=lx4x2x2=—.

33

故選：C

4、C

【解題分析】由題意可得，拋物線好=4丁的焦點尸(0,1),準線方程為y=-l

PF\\PM\.

過點P作PM垂直于準線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PE|=歸〃|,則p^=]p^=smzpAM9ZPAM

為銳角

PFPF

當"4"最小時，焉最小，則當24和拋物線相切時，行最小

陷陷

設(shè)切點PQO,由一#的導數(shù)為/=I-則"的斜率為卜GG詈.

：.a=l,則尸(2,1).

：.\PM\^2,|B4|=2V2

\PM\_V2

，sinZPAM=

西=3

故選C

點睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，與焦點、準線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這

類問題一定要注意點到焦點的距離與點到準線的距離的轉(zhuǎn)化,

這樣可利用三角形相似，直角三角形中的銳角三角函數(shù)或是平行線段比例關(guān)系可求得距離弦長以及相關(guān)的最值等問題.

5、A

【解題分析】根據(jù)三點共線，可得=然后利用向量的減法坐標運算，分別求得最后計算R4.P3,

經(jīng)過化簡觀察，可得結(jié)果.

【題目詳解】設(shè)OP=2OC=（Z；l,4/l）,則

PA=(l-2,2-2,-2-42)

Pfi=(2-2,-1-2,4-42)

2

貝!|總"3=1822-122-8=18(；1」|-10

3

.,.當％=g時，PA.P3取最小值為-10,

此時點P的坐標為

故選：A

【題目點撥】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，難點在于三點共線，審清題干，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.

6、B

【解題分析】確定尸在以A3為直徑的圓上，|。?！?|94「=1,根據(jù)均值不等式得到圓。上的點到。的最大距離為

m

、巧，得到d=\\<72,解得答案.

正

【題目詳解】PA1PB,故P在以A3為直徑的圓上，設(shè)A3中點為O,貝!||。0『+|94「=1,

圓E>上的點到0的最大距離為十|八4|,

mi1|+|DA|<^2（|DO|2+|DA|2）=&，當|DO|=|DA|=^時等號成立.

\m\r~

直線x—y+根=。到原點的距離為往二發(fā)《企，故—24加〈2.

bb

【解題分析】由離心率求得一，設(shè)出兩點坐標代入雙曲線方程相減求得直線.斜率與一的關(guān)系得結(jié)論

aa

【題目詳解】由題意工=0,貝!!6=77彳=“，即2=1,由圓方程知M(—2,1),

aa

設(shè)A(M，M),B(x2,y2),則石+/=—4,%+%=2,

\22

9—近=1

2

a白（乂-%）（%+%）=o

又,,,兩式相減得

22

x2y^._iab

〔/一瓦一

x—%'0+%2「—4

所以。==

2

Xj-x2a%+為2

直線AB方程為y-l=—2（無+2）,即2x+y+3=0

故選：D

8、D

【解題分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對于%,為€((),”)且可<電時，都有/(%)-4%</(9)-4%恒成立，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=/(x)-4x,轉(zhuǎn)化為xe(O,s)時，g'(x)?O恒成立，求得g(x)的導數(shù)，轉(zhuǎn)化為a2—V+?在(0,+。)上

恒成立，即可求解.

【題目詳解】由題意，對于％,為e(0,y)且x產(chǎn)x,都有"、)—"/)>4成立,

一玉一々

不妨設(shè)玉<%，可得/(%)-/(X2)<4%一4兀2恒成立，

即對于?。,+°°)且再時，都有了(七)一4%</(無2)-4x2恒成立，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-4x=alnx+^x2-4x,

可轉(zhuǎn)化為xe(O,+s),函數(shù)g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當xe(0,+8)時,g'(x)20恒成立，

又由g'(x)=q+x—4,所以q+x—420在(0,+。)上恒成立，

即a之—X2+4x在(0,+00)上恒成立，

又由—f+4x=—(》一2)2+4<4,所以。24,

即實數(shù)。取值范圍為［4,+8).

故選：D

9、B

【解題分析】利用余弦定理結(jié)合角8的范圍可求得角3的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得A+C的值.

【題目詳解】因為(a+c—b)(a+c+b)=3ac,貝！|(a+c『一/=3ac,貝1|儲+。2-52=4(?,

〃2??2_121

由余弦定理可得cosB=巴士——二-,

2ac2

TT2TC

因為0<3<〃，則3=—,故A+C=71—3=—.

33

故選：B.

10、D

【解題分析】由數(shù)列｛%｝的遞推公式依次去求，直到求出為即可.

11

【題目詳解】由4=二，%+1=;------,

1_1_311「

可得％=0=口=1生=0=彳=一2,

32

1_1_i…?=3

%_]_%_1-(-2)F51-。41-12

故選：D.

11、B

【解題分析】首先根據(jù)二項展開式的各項系數(shù)和G,°+CJ+G：+C/=2'=32,求得〃=5,再根據(jù)二項展開式

1

的通項為1+1=￡：(19>(一求得廠=2,再求二項展開式中X的系數(shù).

【題目詳解】因為二項展開式的各項系數(shù)和6°+。/+。/+篇=2〃=32,所以〃=5,

又二項展開式的通項為)'4)"-，=CJx"f,3r-5=l,r=2

2

所以二項展開式中X的系數(shù)為c5=10.答案選擇B

【題目點撥】本題考查二項式展開系數(shù)、通項等公式，屬于基礎(chǔ)題

12、C

【解題分析】由韋達定理可得方程的兩根之積為-2,從而可知直線4、4的斜率之積為-2,進而可判斷兩直線的位

置關(guān)系

【題目詳解】設(shè)方程d—x—2=0的兩根為占、巧，則工/2=-2

二直線4、4的斜率左芯=-2,故4與4相交但不垂直

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2n+l

【解題分析】由4=，-?1(〃22)計算，再計算%可得結(jié)論

22

【題目詳解1由題意〃之2時,an=S〃—S〃_]=n+2n—(n—I)—2(n—1)=2n+1,

又。i=3適合上式，

所以為=2〃+l

故答案為：2〃+1

【題目點撥】本題考查由S,求通項公式，解題根據(jù)是4=S〃-S“T522),但要注意此式不含4,q=4

14、3

【解題分析】利用向量平行和向量垂直的性質(zhì)列出方程組，求出X,》，再由空間向量坐標運算法則求出0+6,由此

能求出|a+b|

【題目詳解】解：設(shè)x,y^R,向量&=(x,l,l),b=(l,y,l),c=(2,-4,2),

且a_L。，bile?

2x-4+2=0

.?.<工_2_工，解得x=l,>=-2,所以a=b=(l,-2,l),

5-^4-2

?+&=(1,1,1)+(1,-2,1)=(2,-1,2),

」.|a+b|=j4+l+4=3

故答案為：3

n

15、45##—

4

【解題分析】如圖所示，其體對角線與底面所成角為NZMC,解三角形即得解.

【題目詳解】解：如圖所示，設(shè)AB=BC=x,CD=gx,所以AC=0X.

由題得CD，平面ABC,

則其體對角線與底面所成角為NZMC,

因為AC=CD=41x，所以ZDAC=45°.

故答案為：45

16、1

【解題分析】根據(jù)空間平面向量的運算性質(zhì)，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.

【題目詳解】由圖像可知，AP^AB+BP,,

則A3AG=+A/+ABBE

因為棱長為1,AB人BPi,所以AB.地=0,

所以=46一1+0=1，

故集合卜卜=A3?A￡,，=1,2,3,,8｝中的元素個數(shù)為1

故答案為：1

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17-,(1)(-1,2)

4

(2)a=—

3

【解題分析】(1)聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；

(2)根據(jù)兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.

【小問1詳解】

解：當。=2時，直線/:3x+4y—5=0,

x+2y-3=0x=-l

聯(lián)立解得c

3x+4y—5=0b=2

即交點坐標為(—1,2)；

【小問2詳解】

解：直線/與直線4：2x—y+3=0垂直，

則2(2a-1)-(a+2)=0,解得a=§.

18、(1)平均數(shù)和中位數(shù)都為260件；(2)在［100,200)的件數(shù)為5,在［200,300)的件數(shù)為25.

【解題分析】(1)由每組頻率乘以組中值相加即可得平均數(shù)，設(shè)中位數(shù)為％,由落在區(qū)間(0,%)內(nèi)的頻率為0.5可得結(jié)

果；

(2)先得頻率分別為0.1,0.5,由分層抽樣的概念即可得結(jié)果.

【題目詳解】(1)每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為

0.1x50+0.1x150+0.5x250+0.2x350+0.1x450=260；

設(shè)中位數(shù)為x,易知xe（200,300）,則0.001xl00x2+0.005x（x—200）=0.5,

解得尤=260.

所以公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.

（2）件數(shù)在［100,200）,［200,300）的頻率分別為0.1,0.5

頻率之比為1：5,所抽取的30件中，在［100,200）的件數(shù)為30=5,

6

在［200,300）的件數(shù)為30x=25.

6

2

19、（1）（7是以點耳，工為左右焦點的橢圓，y+y2=l

⑵還

2

【解題分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可得到答案.

（2）當/垂直于x軸時，|A用?忸制=|#T，舍去.當/不垂直于x軸時，可設(shè)/：y=M無—1）,再根據(jù)題意結(jié)合韋

達定理求解即可.

【小問1詳解】

因為|耳聞=2,陽娟+陽司=2血＞內(nèi)閶，

所以C是以點耳，生為左右焦點的橢圓.

丫2

于是a=后，c=l,故b=l,因此C的方程為］+y2=i.

【小問2詳解】

當/垂直于％軸時，q=忸叫=走，但用?忸用舍去.

224

當/不垂直于X軸時，可設(shè)/:'=左（九一1）,

2

代入5+V=1可得（1+2公卜2—4左2%+242—2=0.

因為A=8（l+左2）＞0,設(shè)B（x,,y2）,

而4k22k「2

貝L+X2=K，中2=幣記

因為一＜X]VA/2,

所以1*=歷正F=Ja+i），i-J

同理忸用=9（々+2）.因此|的卜|明仁笠+玉+々+2=慝?

,1+942U可得42=工，X,+X=442

由-----T9=19

1

1+24242-1+2?

于是|人￡|+忸制=等（芯+々+4）=

根據(jù)橢圓定義可知IAK|+忸耳I+|AB|=4血，于是\AB\=竽.

20、（1）證明見解析

⑵B

3

【解題分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標系，由已知確定相關(guān)點坐標，進而求G"的方向向量、面。瓦E的法向量，并應(yīng)

用坐標計算空間向量的數(shù)量積，即可證結(jié)論.

（2）求AB的方向向量，結(jié)合（1）中面。與E的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標表示求直線A3與平面。片E所

成角的正弦值.

【小問1詳解】

以。為原點，以C4，CB,cq為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，

可得：C(0,0,0),A(2,0,0),5(0,2,0),G(0,0,3),4(023),￡>(2,0,1),E(0,0,2),"(1,1,3).

/.QM=(1,1,0),鶴=(0,2,1),ED=(2,0,-1),

n-EB.=2y+z=0

設(shè)”=(%,/z)為面。與E的法向量，貝葉_17，令尤=1得〃=(1,—1,2),

n-ED=2x-z=0

AQM-n=0,即。陽，〃，

CXM//平面。與E；

【小問2詳解】

由(1)知：AB=(-2,2,0),〃=(L—L2)為面。與E的一個法向量，

設(shè)AB與平面DBiE所成角為0,則sin0=|cos<AB,n>|=|■8二|=—,

\AB\-\n\3

二直線AB與平面DB.E所成角的正弦值為旦.

3

21、⑴—

5

(2)不存在，理由見解析

【解題分析】(1)利用垂直關(guān)系，以點石為原點，建立空間直角坐標系，分別求平面EBC和平面硼的法向量相和

n,利用公式cos<〃z,”>,即可求解；

(2)若滿足條件，CMUm>利用向量的坐標表示，判斷是否存在點滿足CM〃加.

【小問1詳解】

VBC=CD,E為50的中點

：.CELBD,

又?平面BCZ>_L平面A3。，平面平面ABD=5r),C'Eu_L平面BCZ),

AC'E_L平面ABD,

如圖以E原點，分別以E5、AE、E。所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,

則3(1,0,0),4(0,-瓜0),D(-l,0,0),F(0,-布，26),C(0,0,6),

:?BF=G1，-6，2⑻,BC'=(-i>0,6)，AB=(1,G，0),

設(shè)平面EBC'的法向量為〃?=(x,y,z),

m?BF=—x—6y+2y/3z=0

^[m