天津東麗區(qū)金鐘街南孫莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

天津東麗區(qū)金鐘街南孫莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(－∞,－2] B.(－2,+∞) C. D.參考答案：B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a＞-，而g（x）=﹣在（，2）遞增，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．【詳解】f′（x）=+2ax，若f（x）在區(qū)間（，2）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f′（x）＞0在x∈（，2）有解，故a＞-，而g（x）=﹣在（，2）遞增，g（x）＞g（）=﹣2，故a＞﹣2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)有解以及函數(shù)的最值的求法，可以用變量分離的方法求參數(shù)的范圍，也考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．2.將函數(shù)的圖像向右移個(gè)單位后，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為（

）A．2

B．1

C.

D．參考答案：B將函數(shù)的圖象向右移個(gè)單位后，得關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，選B

3.下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的三種類比推理：其中類比錯(cuò)誤的是（）①?gòu)?fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則可以類比多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則；②由向量的性質(zhì)||2=2可以類比復(fù)數(shù)的性質(zhì)|z|2=z2；③由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義．A．② B．①② C．①③ D．③參考答案：A【考點(diǎn)】類比推理．【分析】利用復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則判斷出①對(duì)；利用復(fù)數(shù)加法的幾何意義判斷出③對(duì)；通過(guò)舉反例判斷出命題②錯(cuò)．【解答】解：對(duì)于復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則判斷出①對(duì)；對(duì)于②向量a的性質(zhì)||2=2，但|z|2是實(shí)數(shù)，但z2不一定是實(shí)數(shù)，如z=i，就不成立，故錯(cuò)；對(duì)于③復(fù)數(shù)加法的幾何意義判斷出③對(duì)，故選：A．4.已知函數(shù)f（x）=x2-ln|x|，則函數(shù)y=f（x）的大致圖象是（）A. B. C. D.參考答案：A分析：研究函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值的正負(fù)．詳解：由題意，即函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除C、D，又，排除B．故選A．點(diǎn)睛：由函數(shù)解析式選函數(shù)的圖象，可根據(jù)解析式研究函數(shù)的一些性質(zhì)：如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、函數(shù)值的正負(fù)、函數(shù)值的變化趨勢(shì)，特殊點(diǎn)（如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)）等等，通過(guò)這些性質(zhì)利用排除法一般可選得正確結(jié)論．5.若k∈R，則“k＞1”是方程“”表示橢圓的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出方程“”表示橢圓的充要條件，根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：若方程“”表示橢圓，則，解得：k＞1，故k＞1是方程“”表示橢圓的充要條件，故選：C．6.在數(shù)列中，（為虛數(shù)單位），，則的值為（

）

A．-2

B．0

C．2

D．2i參考答案：A7.等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.設(shè)函數(shù),用二分法求方程在內(nèi)近似解的過(guò)程中,計(jì)算得到,則方程的根落在區(qū)間（

）．

．

．

．參考答案：B略9.空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是一種反映和評(píng)價(jià)空氣質(zhì)量的方法，AQI指數(shù)與空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)如下表所示：AQI0～5051～100101～150151～200201～300300以上空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

如圖是某城市2018年12月全月的指AQI數(shù)變化統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖判斷，下列結(jié)論正確的是（

）A.整體上看，這個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越差B.整體上看，前半月的空氣質(zhì)量好于后半月的空氣質(zhì)量C.從AQI數(shù)據(jù)看，前半月的方差大于后半月的方差D.從AQI數(shù)據(jù)看，前半月的平均值小于后半月的平均值參考答案：C【分析】根據(jù)題意可得，AQI指數(shù)越高，空氣質(zhì)量越差；數(shù)據(jù)波動(dòng)越大，方差就越大，由此逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】從整體上看，這個(gè)月AQI數(shù)據(jù)越來(lái)越低，故空氣質(zhì)量越來(lái)越好；故A，B不正確；從AQI數(shù)據(jù)來(lái)看，前半個(gè)月數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，后半個(gè)月數(shù)據(jù)波動(dòng)小，比較穩(wěn)定，因此前半個(gè)月的方差大于后半個(gè)月的方差，所以C正確；從AQI數(shù)據(jù)來(lái)看，前半個(gè)月數(shù)據(jù)大于后半個(gè)月數(shù)據(jù)，因此前半個(gè)月平均值大于后半個(gè)月平均值，故D不正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的均值與方差，熟記方差與均值的意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.10.橢圓的兩焦點(diǎn)之間的距離為

（

）A．

B． C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線的漸近線方程為，拋物線C：的焦點(diǎn)F與雙曲線E的右焦點(diǎn)重合，過(guò)F的直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量與的夾角為120°，則的面積為_____.參考答案：【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，求得拋物線的方程為，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，代入拋物線的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，求得，設(shè)，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得，即可求解的面積．【詳解】由題意，雙曲線，可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，又由漸近線方程為，所以，解得，即，所以雙曲線的右焦點(diǎn)，又因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，即，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，代入拋物線的方程消去，可得，設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系，求得，設(shè)，則，又因?yàn)?，則，解得，所以的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)求得拋物線的方程，再根據(jù)直線拋物線的位置關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量的數(shù)量積求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．12.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上存在，兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則直線的方程為

.參考答案：13.若函數(shù)的圖象在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_______．參考答案：【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得切線斜率，即可求得切線方程.【詳解】，，即函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為1，所以切線方程為：.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出導(dǎo)函數(shù).14.無(wú)窮等差數(shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù)，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a1+a3+a8=a42,則

a5·S4的最大值是______________.參考答案：36略15.已知曲線的參數(shù)方程為，在點(diǎn)（1,1）處切線為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則的極坐標(biāo)方程為__________．參考答案：略16.我們把1，4，9，16，25，…這些數(shù)稱為正方形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成正方形（如圖）．由此可推得第n個(gè)正方形數(shù)是．參考答案：n2【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】根據(jù)12=1，22=4，32=9，可得第n個(gè)正方形數(shù)．【解答】解：∵12=1，22=4，32=9，∴第n個(gè)正方形數(shù)就是n2．故答案為：n217.復(fù)數(shù)的值＝＿＿＿.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分1３分）如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線和平面所成角的正弦值．參考答案：（1）證：取的中點(diǎn)，連.∵為的中點(diǎn)，∴且.∵平面，平面，∴，∴.又，∴.∴四邊形為平行四邊形，則．

∵平面，平面，∴平面．┈┈┈4分（2）證：∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴∵平面，平面，∴．又，故平面．∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．┈┈８分（3）解：在平面內(nèi)，過(guò)作于，連．∵平面平面，∴平面．∴為和平面所成的角．設(shè)，則，，Rt△中，．∴直線和平面所成角的正弦值為．┈┈┈┈１３分19.已知p:函數(shù)的定義域是R，q:方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.（1）若p是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若“”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：解：（1）∵函數(shù)的定義域是，∴.對(duì)恒成立.∴，解得：，∴是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知為真時(shí)，∴:或，∵方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，∴，解得到，∴，∵“”是真命題，∴，解得.∴是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

20.（本小題12分）已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)．（1）求弦的長(zhǎng)度；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：21.已知關(guān)于x的不等式，其中.

(Ⅰ)當(dāng)k變化時(shí)，試求不等式的解集A；

(Ⅱ)對(duì)于不等式的解集A，若滿足A∩Z=B(其中Z為整數(shù)集)，試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少的k的值，并用列舉法表示集合B，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(不單獨(dú)分析時(shí)的情況不扣分)當(dāng)時(shí)，.

………………8分(2)由(1)知：當(dāng)時(shí)，集合B中的元素的個(gè)數(shù)無(wú)限；當(dāng)時(shí)，集合B中的元素的個(gè)數(shù)有限，此時(shí)集合B為有限集.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)時(shí)，集合B的元素個(gè)數(shù)最少.此時(shí)，故集合.

………………12分22.橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1．（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明為定值，并求出這個(gè)定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）把﹣c代入橢圓方程得，解得，由已知過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1，可得．再利用，及a2=b2+c2即可得出；（2）設(shè)|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分線的性質(zhì)可得，利用橢圓的定義可得t+n=2a=4，消去t得到，化為，再根據(jù)a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范圍；（3）設(shè)P（x0，y0），不妨設(shè)y0＞0，由橢圓方程，取，利用導(dǎo)數(shù)即可得到切線的斜率，再利用斜率計(jì)算