數(shù)學(xué)高考經(jīng)典例題

〔1〕區(qū)域鈍角三角形ABC的最長邊為2，其余兩邊長為a，b，那么集合P={(x,y)|x=a,y=b}表示的平面圖形的面積是？〔2三角帶換〔3〕正弦定理運用。三角形最大角比最小角大90度，三邊等差，求各邊比值〔4〕向量？？心的判斷在三角形ABC內(nèi)存在一點P，使|向量PA|^2+|向量PB|^2+|向量PC|^2最小，那么點P是三角形ABC的〔

〕心。

〔5〕〔6〕向量〔7〕垂心的判斷O為三角形ABC所在平面一點，且/OA/~2+/BC/~2=/OB/~2+/CA/~2=/OC/~2+/AB/~2.試證：AB垂直于OC.

〔8〕向量共線的一巧解〔9〕一三角形形狀判斷。與均值結(jié)合，巧妙的思路。/在三角形ABC中,2√3absinC=a2+b2+c2,試判斷三角形的形狀〔10〕誘導(dǎo)公式解決一正方形內(nèi)求角，正方形ABCD的邊長為1，P,Q分別是AB,AD上的點，求當(dāng)三角形APQ的周長為2時，角PCQ的大小？？怎樣做呢？？？，我想的有點不一樣?！?1〕向量坐標(biāo)范圍〔12〕一個看似向量的圓的問題?！?3〕求角平分線上的向量14、三角函數(shù)知值求值。cosA*sinB=1/2

,

求sinA*cosB

的范圍。。。15、外心求參數(shù)。16、換元求最值假設(shè)0<a<π/2,那么y=sin(a/2)*(1+cosa)的最大值是?怎么求啊？17、08重慶文科12題：三角求值域函數(shù)f(x)=(0≤x≤2)的值域是(A)[-] (B)[-](C)[-] (D)[-]18，知角與對邊，求邊長最大值

19、構(gòu)造距離的“線性規(guī)劃”最大值。P(x，y)滿足|x-1|+|y-a|=1，O為坐標(biāo)原點，假設(shè)|向量PO|的最大值的取值范圍為[(17^1/2)/2,17^(1/2)]，那么實數(shù)a的取值范圍是：〔(20)余弦定理解三角形中的角〔2c-b〕tanB=btanA，求角A(21)(22)一個外心有關(guān)的.O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心,且∠A=A°,假設(shè)向量AB乘cosB/sinC+向量AC乘cosC/sinB=2m乘向量AO那么m=(23)一個點在三角形內(nèi)部求系數(shù)和最值問題。點G是ΔABC的重心，點P是ΔGBC內(nèi)一點，假設(shè)向量AP等于λ倍向量AB加μ倍AC，那么λ+μ的取值范圍〔求詳解〕疊加法〔2〕利用倒序相加思想求和〔4〕等差數(shù)列的證明；數(shù)列an的前n項和為Sn假設(shè)a1=2,nan+1〔角標(biāo)〕=Sn+n(n+1)證明an為等差數(shù)列〔6〕數(shù)列公共項〔用到二項式展開〕{an}是由數(shù)列3的n次方和數(shù)列4n+3的公共項構(gòu)成求an〔7〕數(shù)列周期性，二項式定理，整除性〔8〕等差數(shù)列充要條件bn=(1*a1+2*a2+..........+n*an)/(1+2+.......+n),求證，數(shù)列{bn}等差的充要條件是數(shù)列{an}等差.〔9〕數(shù)列最值an=9n(n+1)/10n(n∈N*),〔10〕數(shù)列{bn}滿足b1=1，b〔n+1〕=bn^2+bn,記cn=1/〔1+bn〕，Sk為數(shù)列{cn}的前k項和，Tk為數(shù)列{cn}的前k項積求證T1/〔S1+T1〕+T2/〔S2+T2〕+T3/〔S3+T3〕+.。。。+Tn/〔Sn+Tn〕小于7/10.〔11〔13〕有點怪的數(shù)列單調(diào)性證明，用到函數(shù)0點存在定理。〔1〕反證法另外，這題也可以利用M》|f〔1〕|，M》|f〔-1〕|，M》|f〔0〕|〔2〕類似的一題：a+b+c=1，，求證〔3〕不等式恒成立〔4〕構(gòu)造一次函數(shù)證明不等式〔5〕對數(shù)和二次結(jié)合的超越不等式恒成立〔圖像〕〔7〕的放縮〔8〕用倒和函數(shù)單調(diào)性求最值〔含參〕f(x)=a/(1-x)+1/x的定義域為[0.5

,

0.75],0<a<=1,求f(x)的最小值及相應(yīng)的x〔9〕不等式證明〔函數(shù)單調(diào)性比擬法〕實數(shù)a,b,c滿足0<a<=b<=c<=0.5,求證：2/[c(1-c)]<=1/[a(1-b)]+1/[b(1-a)]〔10〕不等式證明和比擬大小〔兩小題〕〔12〕三角帶換求最值：反帶換〔14〕二次函數(shù)單調(diào)性比擬大小脫掉導(dǎo)數(shù)的外衣這題的本質(zhì)是二次函數(shù)，也就是說的兩根是比擬與的大小?！?5〕導(dǎo)數(shù)解決超越不等式恒成立請教大家一個問題

f(x)=x^2+2x+alnx

x>=1時，不等式f(2x-1)>=2f(t)-3恒成立

問a的取值范圍〔16〕解含參不等式〔17〕不等式有解求參數(shù)范圍二次函數(shù)f(x)=2x的平方—〔a—2〕x—2a的平方—a,,假設(shè)在區(qū)間[0,

1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)b,

使

f(b)>0,

那么實數(shù)

a

的取值范圍是___________此題也可以考慮反面?！?8〕均值不等式的使用最容易犯的錯誤，舉個例子。，求的最小值。〔18〕不等式恒成立、能成立比照題目〔19〕待定系數(shù)法用均值不等式〔20〕導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式數(shù)列{an}滿足Sn=n/2*an(n∈N*),Sn是{an}的前n項的和,a2=1

證明:3/2≤(1+1/2an+1)的an+1次方<2(中間n+1為下標(biāo))

〔21〕換元法求解指數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合的最值求函數(shù)

y=a^(2x)+2a^x-1

〔a為非1的正數(shù)〕，在區(qū)間

[-1，1]內(nèi)函數(shù)的最大值為14，求a值?！?2〕利用函數(shù)單調(diào)性比大小?！?3〕均值不等式正實數(shù)x1,x2及函數(shù)f(x)滿足：=[1+f(x)]/[1-f(x)]，且f(x1)+f(x2)=1，那么f(x1+x2)的最小值為〔

〕〔24〕轉(zhuǎn)換主元思想，求最值?！?5〕均值不等式求最值。有難度。正實數(shù)x1,x2及函數(shù)f(x)滿足：=[1+f(x)]/[1-f(x)]，且f(x1)+f(x2)=1，那么f(x1+x2)的最小值為〔

〕〔26〕主元變換求參數(shù)范圍〔26〕圖象法求二次不等式知解求參數(shù)問題〔29〕構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式：〔30〕一類典型的構(gòu)造等比數(shù)列放縮證明不等式數(shù)列{an}滿足,,設(shè)bn=1/(an-1),

(1)證明:數(shù)列{bn+1/2}為等比數(shù)列,并求其通項公式.(已解決)

(2)證明:a1+a2+a3+

+an<n+5/4〔31〕數(shù)形結(jié)合解決絕對值不等式難題：〔32〕一類常見的待定系數(shù)求二次函數(shù)范圍f(x)=ax^2+bx+c假設(shè)│f(1)│≤1,│f(-1)│≤1,│f(0)│≤1求證:對-1≤x≤1,有│f(x)│≤5/4〔33〕數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式〔34〕對數(shù)不等式在定義域上恒成立假設(shè)函數(shù),且y>4對定義域內(nèi)的x恒成立，那么a的取值范圍是________________?！?5〕均值不等式求最值，需要配系數(shù)?！?6〕設(shè)f(x)=ksinx+1〔k為正實數(shù)〕，判斷是否存在最小正數(shù)a，使不等式>f〔x〕在(0,+無窮)上恒成立，請證明你的結(jié)論。這個解法在高考題中也出現(xiàn)過屢次了〕〔〔37〕動點P(x，y)滿足|x-1|+|y-a|=1，O為坐標(biāo)原點，假設(shè)|向量PO|的最大值的取值范圍為[(17^1/2)/2,17^(1/2)]，那么實數(shù)a的取值范圍是：〔38〕〔39〕導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立。函數(shù)f(x)=x2-alnx的圖象與g(x)=x-a的圖象與直線x=1于點A、B，且曲線y=f〔x〕在點A處的切線與曲線y=g(x)在B點處的切線平行。〔1〕求函數(shù)f(x)、g(x)的表達(dá)式；〔2〕設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),求函數(shù)h(x)的最小值；〔3〕假設(shè)不等式f(x)>=mg(x),在x∈(0,4)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍 〔40〕二項式定理以及裂項證明數(shù)列不等式an=(3n)/(3n+2)

求證：Sn=a1+...+an>n2/(n+1)(41)三個變量的不等式恒成立求參數(shù)范圍.kabc/(a＋b＋c)≤(a＋b)^2+(a+b+4c)^2對于任意正數(shù)a,b,c都成立,求k的取值范圍.(42)06江西壓軸題的加強證法:〔43〕先猜出最小值，再用切線法證明。,求的最小值.(49)知解集求參數(shù)范圍:不等式|x+b|〔2x+1〕≤0的解集為{x|x≤-1/2}，那么b的取值范圍

(50)二次不等式恰4整數(shù)解求參數(shù)范圍ax^2-2x+1>0有四個整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍(51)先猜出取等條件去配湊的均值不等式.含有函數(shù)記號“”有關(guān)問題解法例1：,求.例2：，求例3．二次實函數(shù)，且+2+4,求.=為奇函數(shù),當(dāng)>0時,,求例5．一為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+，求,.例6：設(shè)的定義域為自然數(shù)集，且滿足條件,及=1,求例7,對一切實數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。例8：奇函數(shù)在定義域〔-1，1〕內(nèi)遞減，求滿足的實數(shù)的取值范圍。例9：如果=對任意的有,比擬的大小例1、函數(shù)f〔x〕對任意實數(shù)x，y，均有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，且當(dāng)x＞0時，f〔x〕＞0，f〔－1〕＝－2，求f〔x〕在區(qū)間[－2，1]上的值域。例2、函數(shù)f〔x〕對任意，滿足條件f〔x〕＋f〔y〕＝2+f〔x＋y〕，且當(dāng)x＞0時，f〔x〕＞2，f〔3〕＝5，求不等式的解。例3、設(shè)函數(shù)f〔x〕的定義域是〔－∞，＋∞〕，滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：〔1〕f〔0〕；〔2〕對任意值x，判斷f〔x〕值的正負(fù)。例4、是否存在函數(shù)f〔x〕，使以下三個條件：①f〔x〕＞0，x∈N；②；③f〔2〕＝4。同時成立？假設(shè)存在，求出f〔x〕的解析式，如不存在，說明理由。例5、設(shè)f〔x〕是定義在〔0，＋∞〕上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：

〔1〕f〔1〕；〔2〕假設(shè)f〔x〕＋f〔x－8〕≤2，求x的取值范圍。例6、設(shè)函數(shù)y＝f〔x〕的反函數(shù)是y＝g〔x〕。如果f〔ab〕＝f〔a〕＋f〔b〕，那么g〔a＋b〕＝g〔a〕·g〔b〕是否正確，試說明理由。例7、己知函數(shù)f〔x〕的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三條件：①當(dāng)是定義域中的數(shù)時，有；②f〔a〕＝－1〔a＞0，a是定義域中的一個數(shù)〕；③當(dāng)0＜x＜2a時，f〔x試問：〔1〕f〔x〕的奇偶性如何？說明理由。〔2〕在〔0，4a〕上,f〔x例8、函數(shù)f〔x〕對任意實數(shù)x、y都有f〔xy〕＝f〔x〕·f〔y〕，且f〔－1〕＝1，f〔27〕＝9，當(dāng)時，?！?〕判斷f〔x〕的奇偶性；〔2〕判斷f〔x〕在［0，＋∞〕上的單調(diào)性，并給出證明；〔3〕假設(shè)，求a的取值范圍。例1.函數(shù)的定義域是［1，2］，求f(x)的定義域。二、求值問題例3.定義域為的函數(shù)f(x)，同時滿足以下條件：①；②，求f(3)，f(9)的值。三、值域問題例4.設(shè)函數(shù)f(x)定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域。四、解析式問題例5.設(shè)對滿足的所有實數(shù)x，函數(shù)滿足，求f(x)的解析式。五、單調(diào)性問題例6.設(shè)f(x)定義于實數(shù)集上，當(dāng)時，，且對于任意實數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。六、奇偶性問題例7.函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。七、對稱性問題例8.函數(shù)滿足，求的值。八、網(wǎng)絡(luò)綜合問題例9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有，且當(dāng)x>0時，0<f(x)<1?！?〕判斷f(x)的單調(diào)性；〔2〕設(shè)，，假設(shè)，試確定a的取值范圍。數(shù)列易錯題分析例題選講1、不能正確地運用通項與前n項和之間的關(guān)系解題：例1、數(shù)列{an}的前n項和Sn，求通項公式an：〔1〕Sn＝5n2＋3n；〔2〕Sn＝－2；【正解】〔1〕an=10n－2;〔2〕2、無視等比數(shù)列的前n項和公式的使用條件：例2、求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n).【正解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋an)－(1＋2＋3＋…＋n)當(dāng)a=1時，S=；當(dāng)時，S=無視公比的符號例3、一個等比數(shù)列前四項之積為，第二、三項的和為，求這個等比數(shù)列的公比．變式、等比數(shù)列中，假設(shè)，，那么的值

〔A〕是3或－3〔B〕是3〔C〕是－3〔D〕不存在C4、缺乏整體求解的意識例6、一個只有有限項的等差數(shù)列，它的前5項的和為34，最后5項的和為146，所有項的和為234，求18例7(1)設(shè)等比數(shù)列的全項和為.假設(shè)，求數(shù)列的公比.說明此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第〔21〕題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。例題7等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.(Ⅰ)假設(shè)Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列，證明am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列；(Ⅱ)寫出(Ⅰ)的逆命題，判斷它的真?zhèn)危⒔o出證明.例題8數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=－13，〔Ⅰ〕設(shè)的通項公式；〔Ⅱ〕求n為何值時，最小〔不需要求的最小值〕當(dāng)n=8或n=9時例題9函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(1,1)成中心對稱，且f'(1)=0．〔Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；〔Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}滿足條件：a1∈(1,2)，an+1=f(an)求證：(a1－a2)·(a3－1)+(a2－a3)·(a4－1)+…+(an－an+1)·(an+2－1)＜1f(x)=x3－3x2+3x．bn=，中的應(yīng)用一、巧設(shè)公差〔比〕求解方程〔組〕例1.解方程：例2.解方程組：二、巧用等差〔比〕知識解〔證〕不等式例3.〔第19屆莫斯科奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題〕設(shè)，且，求證：例4.〔第25屆IMO〕設(shè)x，y，z為非負(fù)實數(shù)，且，求證：三、巧用等差〔比〕數(shù)列知識求最值例5.，求使成立的z的最大、小值。四、巧用等差〔比〕數(shù)列知識解有關(guān)應(yīng)用問題例6.從n個數(shù)中拿走假設(shè)干個數(shù)，然后將剩下的數(shù)任意分成兩個局部，證明：這兩局部之和不可能相等。例7.桌面上有個杯子，杯子口全部向上，按如下規(guī)那么對杯子進(jìn)行操作：第一次任意翻動其中1個杯子，第2次任意翻動其中2個杯子，……，第n次任意翻動其中的n〔n＜p〕個杯子，每次操作都是把杯口的方向由原來的向上〔或向下〕改為向下〔或向上〕，求證：翻動100次以后杯口向下的杯子必有偶數(shù)個。病癥一根本問題耗時太多【表現(xiàn)】對一些有特殊結(jié)構(gòu)的等差〔等比〕數(shù)列基此題，做不對或能做對但耗時太多。如：在等差數(shù)列中，假設(shè)，是數(shù)列前項的和，那么參考答案：B【癥結(jié)】這類題目往往要求靈活運用等差〔等比〕數(shù)列的性質(zhì)求解。【突破之道】熟記有關(guān)規(guī)律：假設(shè)是等差數(shù)列，，且，那么有，特別地，；又假設(shè)是等比數(shù)列，，且，那么有。例1兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，那么使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是〔〕.3C【解析】靈活應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解題，由得而，，代入上式化簡得，易驗證當(dāng)時，取整數(shù)，所以選D。病癥二遷移運用能力不強【表現(xiàn)】對教材中的內(nèi)容形式稍加變化的試題不知如何做。如：在數(shù)列中〔是常數(shù)，〕，且成公比不為1的等比數(shù)列，〔1〕求的值，〔2〕求的通項.參考答案：〔1〕=2〔2〕【癥結(jié)】對教材中討論過的一些根本方法〔如疊加法、疊乘法、逆向相加法、錯位相減法〕等未能實現(xiàn)靈活的遷移、運用。例2數(shù)列滿足，，試求數(shù)列的的通項.【解析】由題意有，，，，把上面?zhèn)€式子用疊加法相加得病癥三遞推關(guān)系題入手難【表現(xiàn)】對形如“，且，求通項”的數(shù)列問題不知該如何求解【癥結(jié)】對高考試題中的一些典型數(shù)列問題〔如差等比數(shù)列〕缺乏系統(tǒng)的求解方法【突破之道】差等比數(shù)列是高考數(shù)列問題的典型。一階差等比數(shù)列問題解題的關(guān)鍵是找到一個適當(dāng)常數(shù)，為等比數(shù)列，如何找到常數(shù)呢？假設(shè)常數(shù)滿足，，其中為常數(shù)，且〔因為的情形很簡單，可直接求通項，此處從略〕。存在常數(shù)，使為等比數(shù)列，其中的參數(shù)由特征方程給出，從而，可將新問題轉(zhuǎn)化為一個比擬簡單的問題。例3數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項.解析假設(shè)能注意到，于是可視數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，于是利用等比數(shù)列的通項公式得，即.病癥四缺乏與的辯證思考【表現(xiàn)】對以或型給出的遞推關(guān)系試題不知如何下手，如：設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項和為，并且對于所有的自然數(shù)，與2的等差中項等于與2的等比中項。〔1〕寫出數(shù)列的前3項；〔2〕求數(shù)列的通項公式〔寫出推理過程〕；〔3〕令，求參考答案：略【癥結(jié)】對適用于任意數(shù)列的重要關(guān)系式未掌握和靈活運用之?！就黄浦馈繉τ谌我鈹?shù)列有〔適用于任意數(shù)列的重要關(guān)系式〕，這說明構(gòu)成了一個新的數(shù)列，它的通項表示相應(yīng)數(shù)列的前項和，它的第一項表示數(shù)列的第一項，當(dāng)時，數(shù)列相鄰項的差，這就是數(shù)列與其和數(shù)列之間的辯證關(guān)系。另外，某些特殊數(shù)列可以通過適當(dāng)?shù)淖兓踩缌秧椣嘞骋院笄蠛?。?各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和滿足，且，，〔1〕求的通項公式；〔2〕設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前項和，求證：，.解析〔1〕令，得解得〔注意條件，舍去〕；假設(shè)，那么由得，兩式相減得，，整理即得，由題意有〔〕，〔〕于是數(shù)列是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，那么，〔〕〔2〕略。對于一般數(shù)列，假設(shè)條件為，求通項的方法，除了用“嘗試——猜測——探求——發(fā)現(xiàn)”〔最后用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明〕思維模式外，還有其他的處理方法，由首先推出，解除的大小，接著常有兩個思考方向：當(dāng)時，，問題轉(zhuǎn)化為與〔〕的關(guān)系問題〔前面已求出〕，求出后，可用，〔〕求出數(shù)列的通項；利用遞推關(guān)系作差技巧，由得〔〕，而〔〕，兩式相減即得，于是我們就把問題轉(zhuǎn)化為與之間的問題了〔一般情況下，轉(zhuǎn)化到這一步問題就比擬容易解決了〕。數(shù)列綜合應(yīng)用問題專題縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學(xué)們除熟練運用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法，1.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅實的根底知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解容許用性問題，應(yīng)充分運用觀察、歸納、猜測的手段，建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識來解決問題.一.典型例題解析:例1.二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值－(t＞0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表達(dá)式；(2)假設(shè)任意實數(shù)x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］為多項式，n∈N*),試用t表示an和bn；(3)設(shè)圓Cn的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個圓的面積之和，求rn、Sn.(1)設(shè)f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1.∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.(2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入得：(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式對任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分別代入上式得：且t≠0，解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n)(3)由于圓的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上，又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1①②設(shè){rn}的公比為q①② ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］②÷①得q==t+1，代入①得rn=［例2］從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此開展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？知識依托：此題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點.技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是此題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.=1600×［()n－1］(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.填空題.在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個點，假設(shè)1，x1，x2，4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2，8依次成等比數(shù)列，那么△OP1P2的面積是_________.解析：由1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比數(shù)列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,∴P1(2,2),P2(3,4).∴=(3,4)∴答案：1.從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用水加滿；這樣倒了n次，那么容器中有純酒精_________升.解析：第一次容器中有純酒精a－b即a(1－)升，第二次有純酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n次有純酒精a(1－)n升.答案：a(1－)n.據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值到達(dá)95933億元，比上年增長7.3%，”如果“十·五”期間(2001年~2005年)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十·五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為_________億元.解析：從2001年到2005年每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項，以7.3%為公比的等比數(shù)列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(億元).答案：120000三、解答題×108噸，占地562.4平方公里，假設(shè)環(huán)保部門每年回收或處理1噸舊物資，那么相當(dāng)于處理和減少4噸工業(yè)廢棄垃圾，并可節(jié)約開采各種礦石20噸，設(shè)環(huán)保部門1996年回收10萬噸廢舊物資，方案以后每年遞增20%的回收量，試問：(1)2001年回收廢舊物資多少噸？(2)從1996年至2001年可節(jié)約開采礦石多少噸(精確到萬噸)？(3)從1996年至2001年可節(jié)約多少平方公里土地？解：設(shè)an表示第n年的廢舊物資回收量，Sn表示前n年廢舊物資回收總量，那么數(shù)列{an}是以10為首項，1+20%為公比的等比數(shù)列.(1)a6=10(1+20%)5=10×5≈25(萬噸)(2)S6=≈99.3(萬噸)∴從1996年到2000年共節(jié)約開采礦石20×≈1986(萬噸)(3〕由于從1996年到2001年共減少工業(yè)廢棄垃圾4×99.3=397.2(萬噸)，∴從1996年到2001年共節(jié)約：≈3平方公里.設(shè)二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3．(1)試用表示a；11．?dāng)?shù)列中，且滿足()⑴求數(shù)列的通項公式；⑵設(shè)，求；⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，請說明理由。解：〔1〕由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.〔2〕假設(shè)，時，故〔3〕假設(shè)對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對任意，均有【例2】將一枚骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【例3】在一個袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1，2，3，4，5的五個小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機取出2個小球，那么取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是〔〕A．B．C．D．〔【例4】8個籃球隊中有2個強隊，先任意將這8個隊分成兩個組(每組4個隊)進(jìn)行比賽，這兩個強隊被分在一個組內(nèi)的概率是多少?【【例5】甲、乙兩個袋中均有紅、白兩種顏色的小球,這些小球除顏色外完全相同,其中甲袋裝有4個紅球、2個白球,乙袋裝有1個紅球、5個白球.現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各隨機取出一個球,那么取出的兩球都是紅球的概率為．(答案用分?jǐn)?shù)表示)〔6〕獨立重復(fù)試驗——加法原理與乘法原理的復(fù)合【例6】甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)那么為“3局2勝”，即以先贏2局者為勝．根據(jù)經(jīng)驗，每局比賽中甲獲勝的概率為0．6，那么本次比賽甲獲勝的概率是〔〕(A10．216(B)0．36(C)0．432(D)0．648【說明】此題雖然屬于獨立重復(fù)試驗.的題型，卻有不能死套公式.這是因為：如果甲前兩局獲勝，那么無須打第3局..【例7】某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓(xùn)，以提高低崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，參加過財會培訓(xùn)的有60%，參加過計算機培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個人對培訓(xùn)工程的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．〔I〕任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；〔II〕任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過培養(yǎng)的概率．三類概率問題的求解策略對于一個概率題，我們首先要弄清它屬于哪一類型的概率，因為不同的類型需要采取不同類型的概率公式和求解方法；其次，要審清題意，注意問題中的關(guān)鍵語句，因為這些關(guān)鍵語句往往蘊含著解題的思路和方法。下面略舉數(shù)例談?wù)剮追N概率應(yīng)用題的解題技巧和策略。一、可能性事件概率的求解策略對于可能性事件的概率問題，除了要用到排列、組合的知識來解決外，還要用到排列、組合的解題思路和方法，同時，在利用概率的古典定義來求可能性事件的概率時，應(yīng)注意按以下步驟進(jìn)行：求出根本領(lǐng)件的總個數(shù)n;②求出事件A中包含的根本領(lǐng)件的個數(shù)m;③求出事件A的概率，即例1甲、乙兩名學(xué)生參加某次英語知識競賽，該競賽共有15道不同的題，其中聽力題10個，判斷題5個，甲乙兩名學(xué)生依次各抽一題。分別求以下問題的概率：〔1〕甲抽到聽力題，乙抽到判斷題；〔2〕甲乙兩名學(xué)生至少有一人抽到聽力題。二、互斥事件概率的求解策略例2從12雙不同顏色的鞋中任取10只，求至少有一雙配對的概率。三、相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求解策略例3在我軍的一場模擬空戰(zhàn)演習(xí)中，我軍甲、乙、丙三名飛行員向同一假想敵機炮擊，甲乙丙三名飛行員擊中敵機的概率分別為、和?！?〕求敵機被擊中的概率；〔2〕假設(shè)一名飛行員擊中，敵機墜毀的概率是，假設(shè)兩名飛行員擊中，敵機墜毀的概率是，假設(shè)三名飛行員擊中，那么敵機必然墜毀，求敵機墜毀的概率。概率的計算方法一、公式法利用公式就可以計算隨機事件的概率，這里，，如果A為不確定事件，那么0＜＜1．例1．中國體育彩票每100萬張一組，每張2元，設(shè)特等獎1名，獎金30萬元；一等獎10名，各獎5萬元；二等獎10名，各獎1萬元；三等獎100名，各獎100元；四等獎1000名，各獎20元；五等獎10萬名，各獎2元．小王花2元買了1張彩票，那么他獲獎的概率是多少？他得特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、四等獎、五等獎的概率分別是多少？二、列表法例2．如果每組3張牌，它們的牌面數(shù)字分別是1，2，3，那么從每組牌中各摸出一張牌，兩張牌的牌面數(shù)字和為幾的概率最大？兩張牌的牌面數(shù)字和等于4的概率是多少？1．袋中裝有3個紅球，1個白球，除顏色外完全相同．〔1〕用實驗的方法估計，從袋中隨機摸出一球，是白球的概率．〔2〕計算從袋中隨機摸出一球，是白球的概率是多少？〔3〕實驗估計結(jié)果與理論概率一致嗎？為什么？你認(rèn)為要得到較為準(zhǔn)確的估計值，應(yīng)注意哪些問題？2．在摸牌游戲中，每組有三張牌，第一組牌面數(shù)字分別是2，3，4，第二組牌面數(shù)字分別是3，4，5，從每組牌中各摸出一張牌，兩張牌的牌面數(shù)字和為幾的概率最大？是多少？3．三張除數(shù)字完全相同的紙牌，數(shù)字為1，2，3，每次抽取一張為一次實驗，多少次實驗后匯總下表：摸牌次數(shù)2050100200300400500奇數(shù)92875172195176310奇數(shù)頻率45％75％62％〔1〕將表格補充完整；〔2〕觀察上面的表格，你估計出現(xiàn)奇數(shù)的概率為多少？〔3〕通過對表格的仔細(xì)觀察，你有什么想法和感悟？4．一張有重要情報的紙片，被隨意藏在下面涂有黑、灰、白三種顏色的圖形中．〔1〕藏在那種顏色的區(qū)域的概率最大？〔2〕藏在哪兩種顏色區(qū)域內(nèi)的概率相同？〔3〕分別計算藏在三種顏色區(qū)域內(nèi)的概率？5．下表左攔是五個裝有一些彩色小球的口袋，右欄是五個愿望，請為每一愿望找一個口袋，使這一愿望最有希望實現(xiàn)．口袋愿望A袋中裝著1個紅球、19個白球①想取出一個黃球B袋中裝著20個紅球②想取出一個綠球C袋中裝著10個紅球、10個綠球③想取出一個白球D袋中裝著18個紅球、1個黃球、1個白球④想取出一個紅球E袋中裝著10個紅球、6個白球、4個綠球⑤想同時取出一個白球和一個綠球6．如圖3，有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤A，B，轉(zhuǎn)盤A被均勻地分成4等分，每份分別標(biāo)上1、2、3、4四個數(shù)字；轉(zhuǎn)盤Ｂ被均勻地分成6等分，每份分別標(biāo)上1、2、3、4、5、6六個數(shù)字，有人為甲、乙兩人設(shè)計了一個游戲，其規(guī)那么如下：〔1〕同時自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A與B；〔2〕轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個數(shù)字〔如果指針恰好指在分格線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一數(shù)字為止〕，用所指的兩個數(shù)作乘積，如果得到的積是偶數(shù)，那么甲勝；如果得到的積是奇數(shù)，那么乙勝〔如轉(zhuǎn)盤A指針指向3，轉(zhuǎn)盤B指針指向5，3×5＝15，按規(guī)那么乙勝〕．4324321641532圖3例析概率問題與各章知識的精彩交匯概率問題與函數(shù)知識的交匯例1：多項飛碟是奧運會的競賽工程，它是由拋靶機把碟靶〔射擊的目標(biāo)〕在一定范圍內(nèi)從不同的方向飛出，每拋出一個碟靶，就允許運發(fā)動射擊兩次.一運發(fā)動在進(jìn)行訓(xùn)練時，每一次射擊命中碟靶的概率P與運發(fā)動離碟靶的距離S〔米〕成反比，現(xiàn)有一碟靶拋出后S〔米〕與飛行時間t〔秒〕滿足S=15〔t+1〕，〔0≤t≤4〕.假設(shè)運發(fā)動在碟靶飛出后0.5秒進(jìn)行第一次射擊，且命中的概率為0.8，如果他發(fā)現(xiàn)沒有命中，那么通過迅速調(diào)整，在第一次射擊后經(jīng)過0.5秒進(jìn)行第二次射擊，求他命中此碟靶的概率？概率問題與向量、數(shù)列知識的交匯例2：從原點出發(fā)的某質(zhì)點M，按向量a=(0,1)移動的概率為2/3，按向量b=〔0，2〕移動的概率為1/3，設(shè)M可到達(dá)點〔0，n〕的概率為Pn(1)求P1和P2的值；〔2〕求證：=;(3)求的表達(dá)式。概率問題與平面幾何知識的交匯例3：兩人相約在7點到8點在某地會面，先到者等候另一個人20分鐘方可離去.試求這兩人能會面的概率？概率問題與立體幾何知識的交匯例4：質(zhì)地均勻的三個幾何體A、B、C.A是硬幣，正面涂紅色，反面涂黃色；B是正四面體涂了紅黃藍(lán)白四色，每面一色；C是正方體，每面涂一色，涂有紅黃藍(lán)三色，每種顏色兩個面，在水平地面上依次投A、B、C各一次，幾何體與地面接觸的面的顏色稱為“保存色”。求A、B、C的“保存色”相同的概率；求A、B、C的“保存色”恰為兩個紅色的概率；求A、B、C的“保存色”互不相同的概率；附相關(guān)練習(xí)及答案：1、從集合｛0，1，2，3，5，7，11｝中任取3個元素分別作為方程Ax+By+C=0中的A、B、C。所得直線恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點的概率是。2、將一個各個面上均涂有紅顏色的正方體鋸成64個同樣大小的小正方體。(1)從這些小正方體中任取1個，其中恰好有奇數(shù)個面涂有紅顏色的概率是多少？(2)從這些小正方體中任取2個，至少有一個小正方體的某個面或某幾個面涂有紅顏色的概率是多少？3.、在某物理實驗中，有兩粒子a，b分別位于同一直線上A、B兩點處(如下圖)，|AB|＝2，且它們每隔1秒必向左或向右移動1個單位，如果a粒子向左移動的概率為，b粒子向左移動的概率為.(1)求2秒后，a粒子在點A處的概率；(2)求2秒后，a，b兩粒子同時在點B處的概率.4．袋里裝有35個球，每個球上都標(biāo)有從1到35的一個號碼，設(shè)號碼n的球重〔克〕．這些球以等可能性〔不受重量的影響〕從袋里取出．〔1〕如果任意取出一球，試求其重量大于號碼數(shù)的概率；〔2〕如果同時任意取出二球，試求它們重量相同的概率．5．某超市為擴大銷售調(diào)查進(jìn)入該超市顧客的人數(shù)，經(jīng)觀察，在一段時間內(nèi)，進(jìn)入超市為n個人的概率為p(n)滿足關(guān)系求一個顧客也沒有的概率p〔0〕；〔2〕求一段時間進(jìn)入該超市顧客的期望值。巧求概率一、注意每次實驗的步數(shù)，有放回與無放回例1袋中有1個白球，2個黃球，問〔1〕從中一次性地隨機摸出2個球，都是黃球的概率是多少？〔2〕先從中摸出一球，再從剩下的球中摸出一球，兩次都是黃球的概率是多少？〔3〕先從中摸出一球，將它放回口袋中后，再摸一次，兩次都是黃球的概率是多少？〔2〕先從中摸出一球，再從剩下的球中摸出一球，作為一次實驗，此實驗分為兩步，第一步為：從袋中摸出一球，第二步為：再從剩下的球中摸出一球．例2用以下圖所示的轉(zhuǎn)盤進(jìn)行配紫色〔紅色與藍(lán)色配成〕游戲：其中A轉(zhuǎn)盤藍(lán)色局部占整個轉(zhuǎn)盤的．求游戲者獲勝的概率？《概率與統(tǒng)計》預(yù)測題從原點出發(fā)的某質(zhì)點，按照向量移動的概率為，按照向量移動的概率為，設(shè)可到達(dá)點的概率為．〔Ⅰ〕求概率、；〔Ⅱ〕求與、的關(guān)系并證明數(shù)列是等比數(shù)列；〔Ⅲ〕求．預(yù)測題二：〔理科〕從“神六”飛船帶回的某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所進(jìn)行該種子的發(fā)芽實驗，每次實驗種一粒種子，每次實驗結(jié)果相互獨立，假定某次實驗種子發(fā)芽那么稱該次實驗是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，那么稱該次實驗是失敗。假設(shè)該研究所共進(jìn)行四次實驗，設(shè)ξ表示四次實驗結(jié)束時實驗成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)之差的絕對值?！并瘛城箅S機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ；〔Ⅱ〕記“不等式ξx2－ξx+1>0的解集是實數(shù)集R”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P〔A〕。預(yù)測題二：〔文科〕湖南省羽毛球一隊與二隊進(jìn)行對抗比賽，在每局比賽中一隊獲勝的概率都是p〔0≤p≤1〕。一．根本領(lǐng)件總數(shù)算錯誤導(dǎo)致錯誤例1．〔江西九江模擬題〕兩個袋內(nèi)，分別裝有寫著0,1，2,3，4,5的六個數(shù)字的6張卡片，現(xiàn)從每個袋子中任取一張卡片，求所得兩數(shù)之和等于7的概率。三．“有序”與“無序”判斷不準(zhǔn)導(dǎo)致錯誤例3．〔2002年兩省一市高考試題〕甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有10道不同的題目，其中選擇題有6道，判斷題有4道，甲、乙兩個依次各抽取一題?！?〕甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？〔2〕甲、乙二人至少有1人抽到選擇題的概率是多少？四．“互斥事件”與“獨立事件”混淆導(dǎo)致錯誤例4．〔山西模擬試題〕甲、乙、丙三名射手擊中目標(biāo)的概率分別為0.7，0.8，0.85。假設(shè)他們?nèi)朔謩e向目標(biāo)發(fā)射一槍，試求三彈都脫靶的概率。。五．“互斥事件”與“對立事件”混淆致錯例5．〔江西南昌調(diào)研題〕甲、乙兩名同學(xué)分別解一道數(shù)學(xué)題，每個人解出這道題的概率都是0.6，求至少有一個人解出這道題的概率。。六．無視公式成立的條件出錯例6．〔2001年天津高考試題〕如圖，用A、B、C三類不同的無件連接成一個系統(tǒng)N．當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N正常工作．元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90．分別求系統(tǒng)N正常工作的概率P?！狟—B——C—NN2、甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量X和Y，其分布列如下：Ｘ１２３ＰａY123Pb〔1〕求a,b的值；〔2〕比擬兩名射手的水平.3、某校要組建明星籃球隊，需要在各班選拔預(yù)備隊員，規(guī)定投籃成績A級的可作為入圍選手，選拔過程中每人最多投籃5次，假設(shè)投中3次那么確定為B級，假設(shè)投中4次及以上那么可確定為A級，某班同學(xué)阿明每次投籃投中的概率是0.5.〔1〕求阿明投籃4次才被確定為B級的概率；〔2〕設(shè)阿明投籃投中次數(shù)為X，求他入圍的期望；〔3〕假設(shè)連續(xù)兩次投籃不中那么停止投籃，求阿明不能入圍的概率.4、袋中裝有35個球，每個球上都標(biāo)有1到35的一個號碼，設(shè)號碼為n的球重克，這些球等可能的從袋中被取出.〔1〕如果任取1球，試求其重量大于號碼數(shù)的概率；〔2〕如果任意取出2球，試求他們重量相等的概率.5、甲、乙兩名射擊運發(fā)動，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為0.5，乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s，假設(shè)他們獨立的射擊兩次，設(shè)乙命中10環(huán)的次數(shù)為X，那么EX=，Y為甲與乙命中10環(huán)的差的絕對值.求s的值及Y的分布列及期望.6、一軟件開發(fā)商開發(fā)一種新的軟件，投資50萬元，開發(fā)成功的概率為0.9，假設(shè)開發(fā)不成功，那么只能收回10萬元的資金，假設(shè)開發(fā)成功，投放市場前，召開一次新聞發(fā)布會，召開一次新聞發(fā)布會不管是否成功都需要花費10萬元，召開新聞發(fā)布會成功的概率為0.8，假設(shè)發(fā)布成功那么可以銷售100萬元，否那么將起到負(fù)面作用只能銷售60萬元，而不召開新聞發(fā)布會那么可新銷售75萬元.〔1〕求軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率.〔2〕求開發(fā)商盈利的最大期望值.7、現(xiàn)在，一些城市對小型汽車開始解禁，小型轎車慢慢進(jìn)入百姓家庭，但是另一個問題相繼暴露出來——堵車，某先生居住在城市的A處，準(zhǔn)備開車到B處上班，假設(shè)該地各路段發(fā)生堵車事件是相互獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率為如圖，〔例如算作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率是0.1，路段CD發(fā)生堵車事件的概率是〕〔1〕請你為他選擇一條由A到B的路段，使得途中發(fā)生堵車的概率最?。弧?〕假設(shè)記路線中遇到堵車的次數(shù)為隨機變量X，求X的期望；高考數(shù)學(xué)中有關(guān)概率問題的解題思路概率是高中新教材的新增內(nèi)容，在實際中應(yīng)用非常廣泛，每年高考都占有一席之地。下面就高考中與概率有關(guān)的問題的解題思路作一歸納，供大家參考。離散型隨機變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望例1：〔2003年理科高考題〕A，B兩個代表隊進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員。A隊隊員是A1，A2，A3，B隊隊員是B1，B2，B3。按以往屢次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負(fù)的概率A1對B1A2對B2A3對B3

現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負(fù)隊得0分。設(shè)A隊，B隊最后所得總分分別為ξ，η?！并瘛城螃?，η的概率分布；〔Ⅱ〕求Eξ，Eη。等可能事件的概率例2：〔2000年理科高考題〕甲，乙二人參加普法知識競答，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個。甲，乙二人依次各抽一題?！并瘛臣壮榈竭x擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？〔Ⅱ〕甲，乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？分析：〔Ⅰ〕.透視高考數(shù)學(xué)試題與三角函數(shù)有關(guān)的五大熱點例1.(06重慶卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個高點的橫坐標(biāo)為.〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值.例2.〔06山東卷〕函數(shù)f(x)=A(A>0,>0,0<<函數(shù)，且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點〔1，2〕.〔1〕求;〔2〕計算f(1)+f(2)+…+f(2008).例3.〔06福建卷〕函數(shù)f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.〔=1\*ROMANI〕求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；〔Ⅱ〕函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？本小題主要考查三角函數(shù)的根本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等根本知識，以及推理和運算能力?？偡种?2分。 2．三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)問題近年來，高考解答題加大了對三角函數(shù)性質(zhì)的考查力度，它不僅考查了函數(shù)的有關(guān)概念，還考查三角變換技能。例4.〔06遼寧卷〕函數(shù)，.求:(=1\*ROMANI)函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；(=2\*ROMANII)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.例5.〔06廣東卷〕函數(shù).(=1\*ROMANI)求的最小正周期； (=2\*ROMANII)求的的最大值和最小值；(=3\*ROMANIII)假設(shè)，求的值.解：〔Ⅰ〕的最小正周期為;〔Ⅱ〕的最大值為和最小值；〔Ⅲ〕因為，即,即3．關(guān)于三角函數(shù)求值問題三角函數(shù)求值問題，必須明確求值的目標(biāo)。一般來說，題設(shè)中給出的是一個或幾個特定角，即便這些角都不是特殊角，其最終結(jié)果也應(yīng)該是一個具體的實數(shù)；題中給出的是某種或幾種參變量關(guān)系，其結(jié)果既可能是一個具體的實數(shù)，也可能是含參變量的某種代數(shù)式。解題時應(yīng)在認(rèn)準(zhǔn)目標(biāo)的前提下，從結(jié)構(gòu)式的特點去分析，以尋找到合理、簡捷的解題方法，切忌不分青紅皂白地盲目運用三角公式。例6.〔06安徽卷〕〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求的值。例7.〔06北京卷〕函數(shù)， 〔Ⅰ〕求的定義域； 〔Ⅱ〕設(shè)是第四象限的角，且，求的值.例8.〔08湖南卷〕求θ的值.4．三角形函數(shù)的最值問題三角形函數(shù)的最值問題，是三角函數(shù)根底知識的綜合應(yīng)用，是和三角函數(shù)求值問題并重的重要題型，是高考必考內(nèi)容之一。例9．(06陜西卷)函數(shù)f(x)=eq\r(3)sin(2x－eq\f(π,6))+2sin2(x－eq\f(π,12))(x∈R)(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.5．三角與平面向量綜合問題由于平面向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點和聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介，必將成為高考命題的熱點。例10.〔06浙江卷〕如圖，函數(shù)y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤)的圖象與y軸交于點〔0，1〕.(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)設(shè)P是圖象上的最高點，M、N是圖象與x軸的交點，求四、典型例題分析例1、分析：對三角函數(shù)式化簡的目標(biāo)是：〔1〕次數(shù)盡可能低；〔2〕角盡可能少；〔3〕三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一；〔4〕項數(shù)盡可能少。觀察欲化簡的式子發(fā)現(xiàn)：〔1〕次數(shù)為2〔有降次的可能〕；〔2〕涉及的角有α、β、2α、2β，〔需要把2α化為α，2β化為β〕；〔3〕函數(shù)名稱為正弦、余弦〔可以利用平方關(guān)系進(jìn)行名稱的統(tǒng)一〕；〔4〕共有3項〔需要減少〕，由于側(cè)重角度不同，出發(fā)點不同，此題化簡方法不止一種。解法一：解法二：〔從“名”入手，異名化同名〕解法三：〔從“冪”入手，利用降冪公式先降次〕解法四：〔從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方〕［注］在對三角式作變形時，以上四種方法，提供了四種變形的角度，這也是研究其他三角問題時經(jīng)常要用的變形手法。例2、函數(shù)的圖像過點，且b>0，又的最大值為，(1)求函數(shù)的解析式；(2)由函數(shù)y=圖像經(jīng)過平移是否能得到一個奇函數(shù)y=的圖像？假設(shè)能，請寫出平移的過程；假設(shè)不能，請說明理由。［注］此題考查的是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等根底知識，其是高考命題的重點內(nèi)容，應(yīng)于以重視。例3、為使方程在內(nèi)有解，那么的取值范圍是〔B〕［注］換元法或方程思想也是高考考查的重點，尤其是計算型試題。例4、向量，(1)求的值；(2)假設(shè)的值。點評本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換的根本技能，著重考查數(shù)學(xué)運算能力．平面向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考命題的一個新的亮點之一．例5、向量，向量與向量的夾角為，且，〔1〕求向量；〔2〕假設(shè)向量與向量的夾角為，向量，其中為的內(nèi)角，且依次成等差數(shù)列，求的取值范圍。例6如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.假設(shè)BC=a，∠ABC=，設(shè)△ABC的面積為S1，正方形的面積為S2．〔１〕用a，表示S1和S2；〔２〕當(dāng)a固定，變化時，求取最小值時的角．o［注］三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，此題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言，再將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)。三角函數(shù)的應(yīng)用性問題是歷年高考命題的一個冷點，但在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的關(guān)注。o三角高考數(shù)學(xué)題的常規(guī)解題途徑由于三角問題公式繁、題型雜、技巧多，學(xué)生在做這類題時，往往盲目探索，超時失分現(xiàn)象較為嚴(yán)重。假設(shè)將各種題型技巧全部強化訓(xùn)練，又會陷入題海。如何解決這一矛盾？筆者認(rèn)為：三角高考題都有比擬明確的解題方向，只要在復(fù)習(xí)中讓學(xué)生從整體上加以把握，掌握其常規(guī)的解題途徑，就能獲得事半功倍的效果。途徑1：化成“三個一”“三個一”是指一個角的一種三角函數(shù)一次方的形式。這種方法的解題步驟是：運用三角公式，把所求函數(shù)變換成“三個一”的形式，即等形式，再根據(jù)條件及其性質(zhì)深入求解。一般求三角函數(shù)的性質(zhì)問題，如對稱性、單調(diào)性、周期性、最值、值域、作圖象等問題均可用此法。這類題在高考中每年都作重點考查。例1.〔2004年全國〕求的最小正周期、最大值和最小值。分析：此題屬于求三角函數(shù)性質(zhì)問題，故使用途徑1。途徑2：化成“兩個一”假設(shè)某些問題化不成“三個一”，也可只化成一個角一種三角函數(shù)n次方的形式，或一個角的兩種三角函數(shù)一次方的形式，即只能到達(dá)“兩個一”的要求。此時可通過配方、求導(dǎo)、解方程、設(shè)輔助角等手段進(jìn)一步求解。例2.〔2004年廣東〕當(dāng)時，函數(shù)的最值為〔〕A. B. C.2 D.4途徑3：邊角轉(zhuǎn)換假設(shè)三角形的某些邊或角的關(guān)系，而求另一些邊或角或判斷三角形形狀時，可運用正〔余〕弦定理或面積公式，把邊都化為角，或把角都化為邊，然后通過解方程求之。例3.在中，分別為角A、B、C的對邊，且，〔1〕求角B；〔2〕假設(shè)，求a的值。評注：有些學(xué)生把條件變形為后，便思路受阻，顯示他們對三角題的常規(guī)解法不熟。途徑4：三角變換三角變換就是運用各種三角公式〔倍、半、和差、誘、萬能等〕，通過切弦互化、變角、變名、變次等技巧，將一個三角式恒等變形為另一種形式的方法。例4.〔2002年全國〕，求的值。途徑5：等價轉(zhuǎn)化有些問題無法直接選用前4種途徑，而需先轉(zhuǎn)化后選用。即先將各條件轉(zhuǎn)化為三角形式，然后從前4種途徑中擇一求解。這類高考題處于知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點上，易發(fā)揮考查數(shù)學(xué)能力的成效，故必是高考常見的命題形式，需重點留意。例5.〔2004年廣東〕成公比為2的等比數(shù)列〔〕，且也成等比數(shù)列，求的值。高三期末(11套)數(shù)學(xué)試卷分類匯編——三角函數(shù)

15．〔此題總分值14分〕，，求和的值．的最小正周期是▲.15．〔本小題總分值14分〕在中，角A、B、C的對邊分別為，向量且滿足，〔Ⅰ〕求角A的大??；〔Ⅱ〕假設(shè)試判斷的形狀。15．〔1〕〔2〕。2．，那么=．16．〔本小題總分值16分〕向量，假設(shè)函數(shù)的圖象經(jīng)過點和〔I〕求的值；〔II〕求的最小正周期，并求在上的最小值；〔III〕當(dāng)時，求的值．的最小正周期是▲.，那么值為▲.715.〔本小題總分值14分〕在中，所對邊分別為.,且.〔Ⅰ〕求大小.〔Ⅱ〕假設(shè)求的面積S的大小.7．方程〔為常數(shù)，〕的所有根的和為▲．017．〔本小題共15分〕、、是同一平面內(nèi)三條不重合自上而下的平行直線．〔Ⅰ〕如果與間的距離是1，與間的距離也是1，可以把一個正三角形的三頂點分別放在，，上，求這個正三角形的邊長； 〔Ⅱ〕如圖，如果與間的距離是1，與間的距離是2，能否把一個正三角形的三頂點分別放在，，上，如果能放，求和夾角的正切值并求該正三角形邊長；如果不能，說明為什么？〔Ⅲ〕如果邊長為2的正三角形的三頂點分別在，，上，設(shè)與的距離為，與的距離為，求的范圍？〔第17題〕〔第17題〕3．△中，假設(shè)，，那么▲．418．〔本小題總分值14分〕函數(shù)，．〔1〕求函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；〔2〕假設(shè)函數(shù)在處取到最大值，求的值；〔3〕假設(shè)〔〕，求證：方程在內(nèi)沒有實數(shù)解．〔參考數(shù)據(jù)：，〕3． 函數(shù)的最小正周期T=▲． 答案：．9． 在△ABC中，假設(shè)，那么▲．答案：．16．〔本小題總分值12分〕 向量，，記． 〔1〕求f(x)的解析式并指出它的定義域； 〔2〕假設(shè)，且，求． 講評建議：第〔1〕問中，必須注意中x的條件限制． 第〔2〕中，學(xué)生常會將“”展開，并結(jié)合，求解方程組，求的值．但三角恒等變換中，“三變”應(yīng)加強必要的訓(xùn)練．9．在△中,,,假設(shè),那么=▲.；1．函數(shù)的最小正周期為2．，求中，如果∶∶=5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是★．15.〔本小題總分值14分〕向量,,,設(shè).(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期.(Ⅱ)假設(shè),且,求的值.=.………………14分高考試題中常見的三角函數(shù)問題及對策例1、〔Ⅰ〕求sinx－cosx的值；〔Ⅱ〕求的值.〔Ⅰ〕用同角的關(guān)系溝通有方法1，由即注意角所在范圍選取符號又故認(rèn)識同角關(guān)系的作用，構(gòu)建方程組有解法2：①②聯(lián)立方程由①得將其代入②，整理得①②〔Ⅱ〕目標(biāo)意識溝通代入有,，例2、為第二象限的角，為第一象限的角，解：目標(biāo)意識,用同角及倍角和角公式的應(yīng)用,為第二象限的角，，例5、函數(shù).〔1〕假設(shè)，求函數(shù)的值；〔2〕求函數(shù)的值域.例6、化簡，并求函數(shù)的值域和最小正周期。分析：誘導(dǎo)公式化簡，輔助角公式化歸。例7、函數(shù)〔〕在[0，，〔，上遞增，在[，，〔，上遞減。在[0，，[，上遞增，在〔，，〔，上遞減。在〔，，〔，上遞增，在[0，，[，上遞減?！睤〕在[，，〔，上遞增，在[0，，〔，上遞減。例8、函數(shù)，[0，]的圖像與直線有且僅有兩個不同的交點，那么的取值范圍是作圖形助數(shù)有為所求;例9、設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在[a，b]上的面積，函數(shù)y＝sinnx在[0，]上的面積為〔n∈N*〕，〔i〕y＝sin3x在[0,]上的面積為；〔ii〕y＝sin〔3x－π〕＋1在[，]上的面積為.規(guī)律總結(jié)：利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)可數(shù)形結(jié)合研究根的個數(shù)問題，注意圖象的對稱性，可分割法解決圖象與其直線所圍成的非規(guī)那么圖形的面積，應(yīng)積累這種學(xué)習(xí)體驗。Ⅳ、三角形中的三角問題例10、在△ABC中，sinA〔sinB＋cosB〕－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.解：注意三角形中補角的降元意識，從某一個條件入手構(gòu)建方程有解法一，由得例11、在△ABC中，邊上的中線BD=，求sinA的值.分析：此題主要考查正弦定理、余弦定理等根底知識，同時考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能和運算能力引入中位線產(chǎn)生解法1：設(shè)E為BC的中點，連接DE，那么DE//AB，且DE=構(gòu)建向量產(chǎn)生解法2：引邊的高產(chǎn)生解法3：和，求和的值.分析：此題考查余弦定理、正弦定理、兩角差的正弦公式、同角三角函數(shù)的根本關(guān)系等根底知識，考查根本運算能力.規(guī)律總結(jié)：三角形問題中的三角問題，注意其隱含條件的挖掘.互補角降元，互余角變名常常是變換的思維點；解三角形中假設(shè)能引入不同的輔助線將會產(chǎn)生不同的思維方法，構(gòu)建向量利用其概念和運算簡化求解三角問題，更顯示出向量和三角的相互依賴的關(guān)系；正弦定理和余弦定理為“邊化角”和“角化邊”提供了化統(tǒng)一的依據(jù)和方法，要依據(jù)題設(shè)的特殊性適當(dāng)?shù)倪x擇.Ⅴ、三角的工具性和應(yīng)用性例13、如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中〔Ⅰ〕將十字形的面積表示為的函數(shù)；〔Ⅱ〕為何值時，十字形的面積最大？最大面積是多少？分析：本小題主要考查根據(jù)圖形建立函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)公式、用反三角函數(shù)表示角以及解和三角函數(shù)有關(guān)的極值問題等根底知識，考查綜合運用三角函數(shù)知識的能力.注意直角三角的函數(shù)的意義切入。解：〔Ⅰ〕設(shè)S為十字形的面積假設(shè)用導(dǎo)數(shù)解決產(chǎn)生解法二：Ⅵ、三角與向量及導(dǎo)數(shù)的網(wǎng)絡(luò)交匯問題例14、設(shè)函數(shù)，圖像的一條對稱軸是直線〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；〔Ⅲ〕證明直線分析：由待定系數(shù)確定解析式切入。抽象函數(shù)單調(diào)性函數(shù)與點關(guān)于直線對稱二次函數(shù)定義域值域相等A=1b=3下翻上圖象問題。A〔5〕抽象函數(shù)不等式問題：定義在[0，正無窮〕上的函數(shù)f(x)滿足

〔1〕f(xy)=f(x)+f(y)

〔2〕f(2)=1〔3〕當(dāng)x>y時，f(x)>f(y)

求1.f(1):f(4)

2.

f(x)+f(x-3)<2時，求X的取值一類典型問題。1，22，3小于等x小于4〔高度注意大括號下面兩個大于0，是因為函數(shù)定義于要求。很容易掉〕〔6〕設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)=,x≠10,x=1,那么關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同實數(shù)解的充要條件是[答]()(A)b<0且c>0(B)b>0且c<0(C)b<0且c=0(D)b≥0且c=0〔7〕數(shù)型結(jié)合解決一個看似實根分布的問題。f(x)=x^2+ax+a+1=0在[0，2]上有唯一解，〔8〕圖象法解決方程根的個數(shù)〔9〕函數(shù)周期性和奇偶性結(jié)合。f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),假設(shè)f(2)=2,那么f(2006)的值為〔10〕圖象看根個數(shù)，4次方程〔11〕函數(shù)不等式結(jié)合。〔12〕一函數(shù)最值，利用奇偶性?！?3〕圖象解決根的個數(shù)〔14〕求證2次方程根的分布〔15〕定義法證明函數(shù)單調(diào)性及超越方程無根的說明一題。教我做下這題，謝謝啊

函數(shù)f﹙x﹚=〔a∧x〕+〔x-2〕/(x+1)〔a>1〕

〔1〕

證明：函數(shù)f(x)在〔-1，+∞〕上為增函數(shù)

〔2〕

用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根〔16〕一類常見的抽象函數(shù)不等式求解f〔1〕大于等于-2〔17〕數(shù)型結(jié)合解一不等式知解求參數(shù)問題。8

〔18〕分段函數(shù)討論求最值設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x2+∣x-a∣+1,x∈R,求f(x)的最小值.〔3-4a〕/4〔19〕數(shù)型結(jié)合解決一圖像交點個數(shù)問題〔數(shù)型互換〕函數(shù)f(x)=x的絕對值/〔x+2〕與f(x)=kx2有四個交點,求k的取值范圍故〔20〕二次函數(shù)兩次跌帶不動點問題f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)且方程f(x)=x無實根，以下命題中

①方程f[f(x)]=x也一定沒有實數(shù)根；

②假設(shè)a>0，那么不等式f[f(x)]>x對一切實數(shù)x都成立。

③假設(shè)a<0,那么必存在實數(shù)x0,使f[f(x0)]>x0。

④假設(shè)a+b+c=0，那么不等式f[f(x)]<x對一切實數(shù)x都成立。

正確命題的序號是：1，2，4對。〔21〕08江西卷二次函數(shù)最小值討論函數(shù)，，假設(shè)對于任一實數(shù)，與至少有一個為正數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．，〔22〕抽象函數(shù)，求和。0〔24〕分段周期函數(shù)、方程有解、圖象法。a大于-2(25)一個二次函數(shù)恒成立,思路巧妙(27)一個惱火的二次函數(shù)平移加不等式恒成立4為m的最大值。(28)二次函數(shù)值域包含關(guān)系求參數(shù)(29)11年重慶10題,看似實根分布設(shè)m，k為整數(shù)，方程在區(qū)間〔0,1〕內(nèi)有兩個不同的根，m+k的最小值為〔A〕-8〔B〕8(C)12(D)13，當(dāng)m=6時，k=7〔2〕(30)實根分布判斷函數(shù)值大小B.〔1〕直線平行充要條件問題。解析幾何：兩直線平行的充分必要條件直線L1：A1x+B1y+C1=0與直線L2：A2x+B2y+C2=0，很多課外書給出了平行的充分必要條件是

A1B2－A2B1=0且B1C2－B2C1≠0

如果用這個結(jié)論來解這道題：

兩條直線l1:,l2：，當(dāng)m為何值時,l1與l2平行？

〔2〕直線和圓設(shè)圓滿足：〔1〕截y軸所得弦長為2；〔2〕被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1。

滿足條件〔1〕〔2〕的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程。我覺得這題應(yīng)該先求出圓心軌跡，在軌跡上的點到直線的最小距離?！?〕圓上點到雙曲線點距離最小?！厕D(zhuǎn)化成圓心到雙曲線距離〕2010北大自主招生〔三校聯(lián)招〕數(shù)學(xué)局部1．〔僅文科做〕，求證：．不妨設(shè)，那么，且當(dāng)時，．于是在上單調(diào)增．∴．即有．同理可證．，當(dāng)時，．于是在上單調(diào)增?！嘣谏嫌小＜?。注記：也可用三角函數(shù)線的方法求解．2．為邊長為的正五邊形邊上的點．證明：最長為．〔25分〕以正五邊形一條邊上的中點為原點，此邊所在的直線為軸，建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系．⑴當(dāng)中有一點位于點時，知另一點位于或者時有最大值為；當(dāng)有一點位于點時，；⑵當(dāng)均不在軸上時，知必在軸的異側(cè)方可能取到最大值〔否那么取點關(guān)于軸的對稱點，有〕．不妨設(shè)位于線段上〔由正五邊形的中心對稱性，知這樣的假設(shè)是合理的〕，那么使最大的點必位于線段上．且當(dāng)從向移動時，先減小后增大，于是；對于線段上任意一點，都有．于是由⑴，⑵知．不妨設(shè)為．下面研究正五邊形對角線的長．如右圖．做的角平分線交于．易知．于是四邊形為平行四邊形．∴．由角平分線定理知．解得．3．為上在軸兩側(cè)的點，求過的切線與軸圍成面積的最小值．〔25分〕不妨設(shè)過點的切線交軸于點，過點的切線交軸于點，直線與直線相交于點．如圖．設(shè)，且有．由于，于是的方程為；①的方程為．②聯(lián)立的方程，解得．對于①，令，得；對于②，令，得．于是．．不妨設(shè)，，那么③不妨設(shè)，那么有6個9個．④又由當(dāng)時，③，④處的等號均可取到．∴．注記：不妨設(shè)，事實上，其最小值也可用導(dǎo)函數(shù)的方法求解．由知當(dāng)時；當(dāng)時．那么在上單調(diào)減，在上單調(diào)增．于是當(dāng)時取得最小值．4．向量與夾角，，，，，．在時取得最小值，問當(dāng)時，夾角的取值范圍．〔25分〕不妨設(shè)，夾角為，那么，令．其對稱軸為．而在上單調(diào)增，故．當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，在上單調(diào)增，于是．不合題意．于是夾角的范圍為．5．〔僅理科做〕存不存在，使得為等差數(shù)列．〔25分〕不存在；否那么有，那么或者．假設(shè)，有．而此時不成等差數(shù)列；假設(shè)，有．解得有．而，矛盾！“解排列、組合應(yīng)用問題”的思維方法考點1考查兩個原理直接應(yīng)用〔03年天津〕某城市的中心廣場建造一個花圃，分為6個局部〔如圖〕?，F(xiàn)要種植4種不同色的花，每局部種一種且相鄰局部不能種同樣色的花，不同的種植方法有20〔種〕考點2考查特殊元素優(yōu)先考慮問題例2〔04天津〕從1，2，3，5，7，中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個數(shù)字，組成沒有重?fù)?dān)數(shù)字的四位數(shù)，其中通報被5整除的四位數(shù)共有個。用數(shù)字作答〕300個。考點3考查相鄰排列計算問題例2〔海春〕有件不同的產(chǎn)品排成一排，假設(shè)其中A、B兩件不同的產(chǎn)品排在一起的排法有48種，那么解析：對于含有某幾個元素相鄰的排列問題可先將相鄰元素“捆綁”起來視為一個大元素，與其他元素一起進(jìn)行了全排列，然后瑞對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行全排列，這就是處理相鄰排列問題的“捆綁”方法?？键c4考查互不相鄰排列計算問題例4〔04遼〕有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2個就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是〔〕(A)234(B)346(C)350(D)363〔B〕?？键c5考查排列組合混合計算問題例5〔04陜〕將4名教師分配到3種中學(xué)任教，每所中學(xué)到少1名教師，那么不同的分配方案共有〔〕種〔A〕12〔B〕24〔C〕36〔D〕48〔B〕?？键c6考查定序排列計算問題例6〔96全國〕由數(shù)字0、1、2、3、4、5、組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有〔〕個〔A〕210〔Ｂ〕300〔C〕464〔D〕600〔B〕?？键c7考查等價轉(zhuǎn)化計算問題例7〔04湖南〕從正方體的八個頂點中任取三個點為頂點作三角形，其中直角三角形的個數(shù)為〔〕個〔Ａ〕56〔B〕52〔C〕48〔D〕40〔C〕。例8〔97全國〕四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有〔〕種〔A〕150〔Ｂ〕147〔C〕144〔D〕141〔D〕.考點8考查二項展開式指定項求法例9(04湖北)的展開式中各項系數(shù)的和是128,那么展開式中的系數(shù)是..考點9考查二項展開式系數(shù)和求法(04天津)假設(shè),那么.解析：直接展開由各項系數(shù)求解將誤入歧途。二項式定理既是公式，又可視為方程式或恒等式，故可用多項式恒等理論和賦值法去求解。解：取得；故原式=考點10考查三項展開式指定項求法例11〔92全〕在的展開式中x的系數(shù)為〔〕〔A〕160〔B〕240〔C〕360D800解析：求三頂展開式指定頂時，常通過恒等變形，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的兩項式，然后分兩步運用二項式定理展開求解。解：=展開式中x項的系數(shù)只能是在中，再次展開可得x項為故x項的系數(shù)為240，應(yīng)選B。此題亦可將其恒等變形為，再把它們分別展開，運用多頂式乘法集項法求解?？键c11考查二項式定理與近似估值問題例12〔04湖南〕農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩局部構(gòu)成。03年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元〔其中工資源共享性收入為1800元，其它收入為1350元〕，預(yù)計該地區(qū)自04年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資源共享性收入將以每年的年增長率增長，其它性收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，08年該地區(qū)人均收入介于〔〕〔A〕4200元~4400元〔B〕4400元~4460元〔C〕4460元~4800元〔D〕4800元~5000元B考點12考查二項式定理應(yīng)用例13〔91三南〕函數(shù)證明：對于任意不小于3的自然數(shù)n，解析：假設(shè)直接運用二項式定理或數(shù)學(xué)歸納法去證明困難都大，故應(yīng)另辟解題蹊徑，將其轉(zhuǎn)化為熟悉命題：再證明就容易了。證明：，展開至少有4項，故原命題獲證。歷年高考排列組合和二項式定理的試題以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，難度不大，重點考查運用排列組合知識、二項式定理去解決問題的能力和邏輯劃分、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法。為此，只要我們熟悉兩個原理，把握住二項式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會把實際問題化歸為數(shù)學(xué)模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解。解決排列組合問題常見策略典型易錯題：例1某天有六節(jié)不同的課，假設(shè)第一節(jié)排數(shù)學(xué)，或第六節(jié)排體育，問共有多少種不同的排法？216種例2從4名男生3名女生中選3人成立科技小組，問中選者中至少有一名男生和一名女生的選法有幾種？30種例3n個不同的球放入n－1個不同的盒子，假設(shè)每個盒子都有足夠大的容量，問每個盒子中至少有一個球的放法共有多少種？＝n！例4、將4個不同的球放入4個不同的盆子內(nèi)共有幾種放法？恰有一個盆子