18.2.4 菱形的判定 人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)18.2.4菱形的判定教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判定定理．2.會(huì)用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.二、教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：菱形的判定定理的探究.難點(diǎn)：菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用.三、教學(xué)過程：復(fù)習(xí)回顧憶一憶1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.知識(shí)精講探究：用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的十字架，四周圍上一根橡皮筋，做成一個(gè)四邊形.轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)四邊形什么時(shí)候變成菱形呢？猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.求證：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知：如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，且BD⊥AC.

求證：□ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AO=CO

∵BD⊥AC

∴AB=BC(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)

∴□ABCD是菱形思考：我們知道，菱形的四條邊相等.反過來，四條邊相等的四邊形是菱形嗎？求證：四條邊相等四邊形是菱形.已知：如圖，四邊形ABCD，AB=BC=CD=AD.

求證：四邊形ABCD是菱形.證明：∵AB=CD，BC=AD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

又∵AB=BC

∴四邊形ABCD是菱形【歸納】菱形的判定定理1：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.菱形的判定定理2：四條邊相等四邊形是菱形.定理1幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥BD

∴四邊形ABCD是菱形定理2幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AB=BC=CD=AD

∴四邊形ABCD是菱形典例解析例1.如圖，□ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AB=5，AO=4，BO=3.求證：□ABCD是菱形.證明：∵AB=5，AO=4，BO=3

∴AB2=AO2+BO2

∴△OAB是直角三角形

∴AC⊥BD

∴□ABCD是菱形【針對(duì)練習(xí)】一個(gè)平行四邊形的一條邊長(zhǎng)是9，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是12和，這是一個(gè)特殊的平行四邊形嗎？為什么？求出它的面積.解：四邊形ABCD是菱形.理由如下：

∵四邊形ABCD是平形四邊形，AB=9，AC=12，BD=

∴AO=AC=6，BO=BD=

∵62+()2=92即AO2+BO2=AB2

∴AC⊥BD∴四邊形ABCD是菱形∴S菱形ABCD=×12×=例2.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合的四邊形ABCD是一個(gè)菱形嗎？為什么？解：四邊形ABCD是菱形.理由如下：

∵AB∥CD，AD∥BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形過點(diǎn)A分別作BC，CD邊上的高AE，AF，則AE=AF.

∵S□ABCD=BC×AE=CD×AF

∴BC=CD

∴四邊形ABCD是菱形例3.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F.求證：四邊形AFCE是菱形．證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.∴四邊形AFCE是平行四邊形.∵EF⊥AC∴四邊形AFCE是菱形.【針對(duì)練習(xí)】如圖,在△ABC中,AD是角平分線,點(diǎn)E、F分別在AB、AD上,且AE=AC,EF=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.證明：∵AD是角平分線，∴∠1=∠2,又∵AE=AC,AD=AD,∴△ACD≌△AED(SAS).同理△ACF≌△AEF(SAS).∴CD=ED,CF=EF.又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,∴四邊形ABCD是菱形.例4.如圖，在?ABCD中，AD>AB，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F，EF∥AB交BC(1)求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若AB=5，AE=6，?ABCD的面積為36，求BC（1）解：在?ABCD中，AD∴∠AFB=∠CBF，又∵EF∥∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠AFB=∠ABF，∴AB=AF，∴?ABEF（2）解：過點(diǎn)A作AH⊥BC，如下圖：在菱形ABEF中，AE⊥BF，AO=1BE=AB=5，BF=2BO∴∠AOB=90°，∴OB=AB∴S菱形ABEF解得AH=24S?ABCD=BC×AH=36解得BC=15【針對(duì)練習(xí)】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接EB，DF．(1)求證：四邊形EBFD為菱形；(2)若∠BAD=105°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度數(shù)．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，BO=DO，∴∠OBF=∠ODE，∵EF⊥BD，∴∠BOF=∠DOE=90°，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四邊形EBFD為平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形EBFD為菱形；（2）解：∵四邊形EBFD為菱形，∴∠DBF=∠DBE，∵∠DBF=2∠ABE，∴∠DBF=∠DBE=2∠ABE，∴∠ABC=∠ABE+∠DBE+∠DBF=5∠ABE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴105°+5∠ABE=180°，∴∠ABE=15°．課堂小結(jié)1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生概括的能力。使知識(shí)形成體系，并滲透數(shù)學(xué)思想方法。達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.平行四邊形ABCD中，AC，BD是兩條對(duì)角線，如果添加一個(gè)條件，即可推出平行四邊形ABCD是菱形，以下哪個(gè)條件不符合要求()A.AC⊥BDB.AC=BDC.AB=BCD.BC=CD2.順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是()A.菱形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對(duì)角線相等的四邊形3.如圖，AD是△ABC的中線，四邊形ADCE是平行四邊形，增加下列條件，能判定□ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90°B.∠DAE=90°C.AB=ACD.AB=AE4.如圖，已知線段AB，分別以A，B為圓心，大于12AB同樣長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，D，連接AC，AD，BC，BD，CD，則下列說法錯(cuò)誤的是A.AB平分∠CADB.CD平分∠ACBC.AB⊥CDD.AB=CD5.如圖，將等邊三角形ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD，BD，則下列結(jié)論:①AD=BC；②BD，AC互相平分；③四邊形ACED是菱形.其中正確的是___________.6.一邊長(zhǎng)為5的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為24和26，則平行四邊形的面積是_______.7.過矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC邊于點(diǎn)E，交AD邊于點(diǎn)F，分別連接AE、CF.若AB=3，∠DCF=30°，則EF的長(zhǎng)為______.8.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF//AB，DE//AC.求證:四邊形AEDF是菱形.9.如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn).求證:四邊形EFGH是菱形.10.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CE//AB交MN于E，連接AE、CD.(1)求證:AD=CE;(2)填空:四邊形ADCE的形狀是_______，并說明理由.11.如圖，四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，點(diǎn)H為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，CE⊥AB，點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上，CF⊥AD.(1)求證:四邊形CEHF是菱形;(2)若四邊形CEHF的面積為18,求菱形ABCD的面積.【參考答案】BDAD①②③31228.證明:∵DF//AB，DE//AC∴四邊形AEDF是平行四邊形∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵DF//AB∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴AF=DF∴四邊形AEDF是菱形9.證法一:∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)∴HE=EF=FG=GH∴四邊形EFGH是菱形證法二:連接AC，BD.∴H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)∴GH=12同理，HE=12BD，EF=12AC，F(xiàn)G=∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD∴HE=EF=FG=GH∴四邊形EFGH是菱形10.(1)證明:∵CE//AB∴∠DAO=∠ECO∵M(jìn)N是AC的垂直平分線∴∠AOD=∠COE=90°,AO=CO∴△AOD≌△COE(ASA)∴AD=CE(2)理由:由(1)得AD=CE且AD//CE∴四邊形ADCE是平行四邊形又∵AC⊥DE∴四邊形ADCE是菱形11.(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°∴∠EAC=∠FAC=30°∵CE⊥AB，CF⊥AD∴CE=CF=12∵點(diǎn)H為對(duì)角線AC的中點(diǎn)∴EH=FH=12∴CE=CF=EH=FH∴四邊形C